专题1.2.2 数轴【导图+知识卡片+知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题】-2026-2027学年人教版数学七年级上册同步讲义

本讲义聚焦初中数学数轴核心知识点，系统梳理数轴三要素（原点、正方向、单位长度）、有理数与数轴上点的对应关系及利用数轴比较大小的方法，构建从定义画法到应用深化的知识链，为后续绝对值等内容学习提供支架。 资料以8个题型讲练（含数轴三要素、动点问题、规律探究等）为主线，结合中考真题与分层训练，通过思维导图直观呈现知识结构。培养学生几何直观（用数轴表示数）、推理意识（动点问题逻辑分析），如规律探究题助力创新意识养成，课中辅助分层教学，课后帮助学生查漏补缺、巩固提升。

专题1.2.2 数轴『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【人教版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 数轴 2 知识点二 有理数与数轴上的点的关系 3 知识点三 利用数轴比较有理数的大小 3 题型讲练 3 题型一 数轴的三要素及其画法 3 题型二 用数轴上的点表示有理数 5 题型三 利用数轴比较有理数的大小 5 题型四 数轴上两点之间的距离 6 题型五 数轴上点的平移(动点问题) 8 题型六 数轴上找原点 10 题型七 数轴上整点覆盖问题 12 题型八 数轴上的规律探究 13 中考真题演练 15 难度分层训练 19 【基础夯实】 19 【培优拔高】 26 知识点一 数轴 画一条直线(通常把它水平放置)，在直线上取一点 O，把它叫做原点，用它表示数0，规定这条直线上一个方向(通常从左到右)的方向为正方向，标上箭头，相反的方向规定为负方向，选取某一长度为单位长度，就得到如图2-2-3所示的图形. 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 说明：数轴的画法：①画一条直线，在这条直线上任取一点作为原点，用这个点表示数0；②规定直线上从原点向右的方向为正方向，在右边画出箭头，则从原点向左的方向为负方向；③选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点,依次标上-1,-2,-3,…,如图2-2-3所示. 拓展点：数轴上一个单位长度可以表示1，也可以表示2，3，…，10，但是同一条数轴单位长度表示的要一样. 方法归纳 (1)原点、正方向和单位长度被称为数轴的三要素； (2)在数轴上，正数和负数分别位于原点的两侧，正数在原点的右边(正方向的一边)，负数在原点的左边(负方向的一边). 知识点二 有理数与数轴上的点的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示，即正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示，但不能说数轴上所有的点都表示有理数. 说明：在数轴上给出一点能确定它表示的数；给一个有理数能在数轴上找出这个点的位置. 方法归纳 ①表示正有理数的点都在原点的右侧；②表示负有理数的点都在原点的左侧；③表示0的点就是原点；④表示分数时一定要准确地找到该数的位置. 知识点三 利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示出两个数，右边的数总比左边的数大，由此可以得到：正数都大于0，0大于负数，负数都小于0，正数大于一切负数. 说明：“右边的数总比左边的数大”是针对正方向向右的数轴而言的，对于正方向向上的数轴，就该说成“上边的数总比下边的数大”，不论正方朝向何方，都可以说成“沿着数轴正方向的点所表示的数越来越大，沿着数轴负方向的点所表示的数越来越小”. 拓展点：多个有理数比较大小时，要把这些有理数表示在数轴上，根据它们的左右位置关系来确定它们的大小. 方法归纳 由数轴可知：①最小的自然数是0，没有最大的自然数；②最小的正整数是1，没有最大的正整数；③最大的负整数是-1，没有最小的负整数.④如果a是正数，则a>0；反之，如果a>0，则a是正数.同理，如果a是负数，则a<0；反之，如果a<0，则a是负数 题型一 数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴的三要素是原点，单位长度，正方向，分析哪个图形含有这三要素，就是数轴． 【详解】解：A、符合所有条件，是数轴，该选项符合题意； B、没有原点，该选项不符合题意； C、单位长度不一样长，该选项不符合题意； D、原点左边数据标错，该选项不符合题意． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）根据数轴三要素画图即可； （2）将5个数在数轴上表示出来，然后根据数轴左边的数小于右边的数用“”号把这些数连接起来． 【详解】（1）解：如图所示，数轴即为所求； （2）解：如图所示， ∴． 【变式训练2】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列数轴画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，规定了原点，单位长度和正方向的一条直线叫做数轴，根据数轴的定义进行判断即可． 【详解】解：A、没有单位长度，不符合题意； B、没有规定正方向，不符合题意； C、画法正确，符合题意； D、负半轴部分从左到右没有从小到大排列，不符合题意； 故选C． 题型二 用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）点在数轴上，位于原点的右侧，距离原点5个单位长度，则此点对应数值为________． 【答案】 【详解】解：数轴上原点的右侧5个单位长度的点对应数值为5． 【变式训练1】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，在数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点的位置，概略确定该点对应数轴上点的数值即可． 【详解】解：点M在和之间， 只有符合， 故选：C． 【变式训练2】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，数轴上表示数1的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【详解】解：数轴上表示数1的点是点P． 故选：C． 题型三 利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，数轴上雪容融所在点表示的数可能为（    ） A． B． C．11 D．3 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置选择即可． 【详解】解：由图可知雪容融所在点在和0之间， 故选B． 【变式训练1】（24-25七年级上·云南德宏·期末）如图，数轴上的点 A，B，C，D所表示的数中最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】一般地，数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小． 【详解】解：∵在这个数轴上，正方向向右，且点位于最左边， ∴在这四个点中，点表示的数最小． 【变式训练2】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了数轴的概念和实数与数轴上点的对应关系，熟练掌握数轴上左边的数总比右边的数小这一性质是解题的关键． 先根据数轴上点的位置关系，判断出数与的大小关系，再写出一个满足该关系的数即可． 【详解】解：∵数轴上表示数的点在表示数的点的左侧， ∴． 取（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 题型四 数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（25-26七年级上·福建漳州·期末）若数轴上点A表示的数是2，则与点A相距5个单位长度的点所表示的数是（    ） A．7 B． C．7或 D．或3 【答案】C 【分析】分所求点在点A的左侧和右侧两种情况讨论，分别计算即可得到结果，注意不要漏解． 【详解】解：∵点A表示的数是2，所求点与点A相距5个单位长度， ∴分两种情况讨论： 当所求点在点A的左侧时，该点表示的数为； 当所求点在点A的右侧时，该点表示的数为． ∴所求点表示的数为或． 【变式训练1】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）有理数在数轴上对应的点到原点的距离为，则有理数是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，属于基础题型，分类讨论是关键． 分该点在原点的右侧和该点在原点的左侧两种情况求解即可． 【详解】解：因为有理数在数轴上对应的点到原点的距离为3， 所以当该点在原点的右侧时，当该点在原点的左侧时， 所以有理数是或． 故选：C． 【变式训练2】（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 【答案】(1)见解析 (2)点表示3 (3)点表示的数为或． 【分析】本题考查了数轴．熟练掌握数轴上的点表示数，是解题的关键． （1）根据点A表示的数为来确定原点； （2）根据点B在原点右侧3个单位长度处回答； （3）分点C在点B左侧和右侧两种情况解答． 【详解】（1）解：如图，∵点A表示的数是， ∴原点在点A右侧4个单位长度处， 用0表示出原点． ； （2）解：∵点B在原点右侧3个单位长度处， ∴点B表示的数为3． （3）解：∵，点B表示的数为3， ∴当点C在点B左侧时，点C表示的数为， 当点C在点B右侧时，点C表示的数为， 故点表示的数为或． 题型五 数轴上点的平移(动点问题) 【典例精讲】（25-26七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的点移动，掌握“右加左减”的规则是解题关键． 根据数轴上点的移动规则，向右移动几个单位长度加几，向左移动几个单位长度减几，逐步计算即可． 【详解】解：∵点表示，向右移动个单位长度， ∴移动后位置为：， ∵再向左移动个单位长度， ∴点表示的数为：． 故选：． 【变式训练1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B．2 C．或2 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的平移． 点A在数轴上移动3个单位长度，可向左或向右移动，根据数轴上点的移动规律：向右移动加，向左移动减，计算点B表示的数即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点， 则点表示的数是或． 故选：C． 【变式训练2】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 题型六 数轴上找原点 【典例精讲】（25-26七年级上·江西九江·期末）如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)点 (2) 【分析】本题考查了实数与数轴，准确识图，判断出，两个数之间的距离小于3是解题的关键． （1）根据已知条件结合数轴判断出，两个数之间的距离小于3，依据，即可判断原点的位置． （2）由，结合，即可解得，再由代入计算即可． 【详解】（1）解：， 两个数之间的距离小于3， ， 原点不在两个数之间，也不在两个数的左边， 即该数轴的原点是点； 故答案为：； （2）解：， ， 解得：， ． 【变式训练1】（25-26七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【分析】本题考查数轴的有关知识以及相反数的性质，关键是先求出、两点在直尺上的距离，再结合“互为相反数的两点到原点距离相等”确定原点对应的刻度． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点对应刻度， ∴、在直尺上的距离为， ∵点、表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为； 故答案为：6． 【变式训练2】（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，4，y． (1)在数轴上面出原点O和表示有理数的点E； (2)若点B和点D之间的距离为5，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查数轴上中点的性质以及代数式求值，体现了数轴上互为相反数的点的几何特征，同时通过点的位置关系推导距离，是数轴与代数结合的基础． （1）根据数轴上两点的位置关系可确定原点位置，再根据相反数的性质确定的位置； （2）先根据两点之间的距离得出与的关系，再将其代入代数式进行运算即可． 【详解】（1）解：如图取的中点，即为原点， 点与点所表示的数到原点的距离相等且方向相反，点如图所示： （2）解：点B和点D之间的距离为5， ， ． 题型七 数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的特征写出被遮住的点即可得到答案． 【详解】解：被盖住的整数有，共9个． 故选：C． 【变式训练1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题考查用数轴表示数的应用，熟练掌握有理数在数轴上的排列规律是解题关键． 把每段的整数写出来即可得到答案． 【详解】解：由数轴每段的端点可以得到： 段①的整数为， 段②的整数为，， 段③的整数为， 段④的整数为， 故选B． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数， 先确定数轴上被盖住的整数，进而得出答案． 【详解】解：被盖住的整数有， 一共有10个． 故答案为：10． 题型八 数轴上的规律探究 【典例精讲】（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上的规律，根据从与数轴上表示的点重合的数字起，每个单位长度即为一个周期，计算到数轴上表示的点经过了多少个周期，根据余数判断此时圆周上重合的数字． 【详解】解：如图所示，每个单位长度即为一个周期， ∵数字的点与数轴上表示的点重合， ∴数字的点与数轴上表示的点重合， ∵， ∴为从数字0和数轴上表示的点重合起，第个周期后的第一个数， 即． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26六年级上·山东泰安·期末）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【分析】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正六边形在数轴上的翻转规律探究，关键是找出向左翻转顶点的循环规律．首先根据已知条件列举前几次翻转顶点对应的负数，发现每6个为一个循环，循环内顶点依次为、、、、、；再通过计算除以的余数，结合循环规律确定对应的顶点． 【详解】解：根据题意，第1次点对应，第2次点对应，第3次点对应，第4次点对应，第5次点对应，第6次点对应，第7次点对应， 由此可得，每次翻转对应的顶点为一个循环，循环内顶点顺序为、、、、、． 数轴上所对应的顶点是正六边形经过次翻转得到的， 计算， 根据循环规律，余数为时对应的顶点是， 因此数轴上所对应的顶点是． 故选：B． 【真题演练1】（2025·陕西咸阳·中考真题）如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：A． 【真题演练2】（2025·福建福州·中考真题）数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 【答案】D 【分析】本题考查数轴表示数，数的大小比较，根据题意得到是解题的关键． 由题可知，再分和讨论可知，进而得到即可． 【详解】根据题意，，且， 若，则，不符合； 当时，，符合， ，又，所以，即， 故表示数1的点的位置在点的右边． 故选：D． 【真题演练3】（2025·湖南长沙·中考真题）如图，数轴上点表示的数分别为，点在之间，若图中有一条线段是另一条线段的两倍，则点表示的数可以为_______ ． 【答案】或或 【分析】本题考查了数轴上距离的表示，熟悉掌握数轴上距离的运算方法是解题的关键．分类讨论线段的比值关系运算求解即可． 【详解】解：设点表示的数为，则，，， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上所述，点表示的数可以为或或． 故答案为：或或． 【真题演练4】（2025·河南焦作·中考真题）如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是_________． 【答案】60 【分析】本题主要考查利用数轴探求规律的问题，可以结合每次移动的距离得到序数相邻的两个点之间的距离，由最简单的开始分析可得规律； 根据点的每次移动的方向和移动的距离，可以得到则；；；；；根据每次数字的变化规律，可以得到这个距离是3的倍数，即字母的最大序数乘以3，由此可以得到的长度. 【详解】解：第1次点A向左移动3个单位长度至点，则； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则； …… 所以第20次移动后得：. 故答案为：60. 【真题演练5】（2025·陕西渭南·中考真题）【定义新知】 在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点和，若点、到点的距离相等，则称点与点互为基准变换点．如图，点表示数，点表示数3，它们与表示数1的点的距离都是2个单位长度，则点与点互为基准变换点． 【初步探究】 （1）若点表示数，点表示数，且点与点互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题； ①当时，_____，当时，______． ②利用①中的结论，探索与之间的数量关系，并用含的式子表示； ③当时，求的值； 【拓展提升】 （2）若点表示的数为，对点进行如下操作：先把点表示的数乘以3，再把所得的数在数轴上对应的点沿数轴向左移动4个单位长度得到点，且数轴上的点与点互为基准变换点，用含的代数式表示点与点之间的距离． 【答案】（1）①2，；②③；（2）当点在点右侧时，点与点之间的距离为；当点在点左侧时，点与点之间的距离为． 【分析】本题考查了代数式，数轴上两点之间的距离，理解互为基准变换点是解题的关键； （1）①根据互为基准变换点的定义求解即可； ②根据①中a，b两数可知，； ③根据②即可用含的式子表示． （2）先根据题意求出点表示的数，再根据③的结论即可求出点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：（1）①当时，，当时，， 故答案为：2，． ②由①中的结论可知与之间的数量关系为， 所以． ③当时，． （2）解：由题意可得，点表示的数为． 因为点与点互为基准变换点， 点与点互为基准变换点， 由②可得点表示的数为． 当点在点右侧时，点与点之间的距离为． 当点在点左侧时，点与点之间的距离为． 点与点之间的距离为或． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上数字类的规律探索，关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系；圆沿着数轴每向右滚动一圈后，都向右前进个单位长度，那么每一圈的滚动过程中数轴上从开始的整数分别对应圆上的、、、，据此规律求解即可． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， ∴数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ∵， ∴数轴上表示的数与圆上表示的点重合， 故选：A ． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分别当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 3．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算，设点表示的数是，根据点是的中点，可知点表示的数是，根据点是的三等分点，即可得到点表示的数是，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点表示的数是， 则， 是的中点， ， 点表示的数是， ， 点是的三等分点， ， ， 点表示的数为， ， 解得：， ． 故选：C． 4．（25-26七年级上·江西宜春·期中）数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 【答案】或或 【分析】利用两点间的距离公式可以知道点表示的数为或，再由点C到点B距离为2（点C不在原点上），可得答案． 【详解】解：数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5， 点表示的数为或， 点C到点B距离为2（点C不在原点上）， 点C表示的数为（舍去）或或或． 综上，点C表示的数为或或． 5．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离是_____． 【答案】6 【分析】本题考查数轴上两点间的距离计算．解题的关键是利用数轴上两点间距离公式进行计算． 已知点A表示的数为4，点B表示的数为，代入距离公式，计算得到距离为 ． 【详解】解：点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离为． 故答案为6． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【详解】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 7．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来． ． 【答案】；图见解析 【分析】先根据有理数的乘方运算法则，相反数定义进行解答，然后把各数在数轴上表示出来，最后比较有理数的大小即可． 【详解】解：，， 把各数在数轴上表示为： 用“”号连接各数为：． 8．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 【答案】(1) (2) (3)数轴见解析， 【分析】本题主要考查的是数轴的认识以及实数与数轴上点的对应关系，解题的关键是找出各点在数轴上的位置； （1）直接观察数轴即可解决； （2）分析题意可知点与点是关于点的对称点，由此可以求解； （3）先在数轴上标记点，，然后根据数轴上点的大小关系即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，点表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点到点的距离为， ∵点与点到点的距离相等且两点不重合， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是， 故答案为：； （3）解：将点表示在数轴上，如下： ∴点、、三个点表示的数用“”连接为． 9．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【答案】(1)原点、正方向、单位长度 (2)见解析 (3)B点表示的数为4，见解析 【分析】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键． （1）根据数轴的定义进行解答即可； （2）根据点在数轴上的位置进行解答即可； （3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可． 【详解】（1）解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 故答案为：原点、正方向、单位长度 （2）如图即为所求， （3）解：设，则 ∵， ∴ 解得 所以B点表示的数为4. 如图，在数轴上标出原点O． 10．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】 4 64岁 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，找到题目中的等量关系． （1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】解：（1）如图1， 可知：三个火车的长为， 则一个火车的长为， 故答案为：4； （2）同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 故答案为：64岁． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】A 【分析】本题考查数轴上的动点问题，整式加减中的无关型问题，先求出点表示的数，根据点的移动规则，求出移动后点表示的数，分点在点右侧和左侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为5， ∴运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 当点在点右侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 当点在点左侧时，， 则： ； ∵的值在某段时间内不随着的变化而变化， ∴， ∴； 综上：或； 故选A． 2．（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为，则翻转2024次后，数轴上的数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，理解题意找到点的变化规律是解题关键． 先分析翻转一周的过程中，每个点对应的数，再分析翻转第二周后，每个点对应的数．两者一对比，总结出规律，然后推广到题干要求的数字． 【详解】解：正方形在数轴上翻转一周的过程中，点B所对应的数为，点C所对应的数为，点D所对应的数为，点A所对应的数为．再翻转一次，点B所对应的数为，故每四次一循环． ∵， ∴与所对应的点相同，即数所对应的点是点A， 故选：A． 3．（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 4．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 【答案】 22 或或2或4 【分析】（1）先根据线段a、b长度和已知点，确定两条线段的端点表示的数，再计算和，最后代入计算即可； （2）如图，先确定线段a的端点表示的数，再由及分情况得线段b的端点表示的数，得出x、y的值，最后计算即可． 【详解】解：（1）∵表示的点在线段a上，表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，线段a，b的长度分别为2和4， 又∵，， ∴线段a两个端点表示的数分别为、，线段b两个端点表示的数分别为6、10， ∴，， ∴； （2）如图， ∵线段a的长度为2，表示的点在线段a上，原点在线段a上， ∴线段，其中点C、O表示的数分别为、0， ∵，，点在线段a上，点A表示的数为x，点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）， 分两种情况：①线段，其中点E、F表示的数分别为1、5， 当时，，则； 当时，，则； ②线段，其中点G、H表示的数分别为、， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，对应的或或2或4． 5．（25-26七年级上·山东日照·期末）如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离．先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2026次跳动的点表示的数，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为． ∴点与点O的距离是：． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    【答案】14.5或19.5秒 【分析】本题考查了数轴动点问题，确定满足时，点P所在的位置是解题的关键．分点P在上和点P在上两种情况进行讨论求解，设P点所对应的数为x，根据，求出x的值，再根据点P的运动速度，求出相应的运动时间． 【详解】解：设P点所对应的数为， ①当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P运动从点O运动到10时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； ②当点P在上， ∵，， 又∵， ∴， 解得，， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度运动，点A表示， ∴动点P从点A到点O，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点O与点B之间时，速度为1个单位长度/秒， ∴动点P从点O运动到B时，所用时间为（秒）， ∵当动点P运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍，初始速度为2个单位长度/秒， ∴动点P运动到点B与点C之间时，速度为6个单位长度/秒， ∴动点P从点B运动到C时，所用时间为（秒）， ∴动点P从点C运动到26时，所用时间为（秒）， ∴满足，此时动点P运动的时间是（秒）； 综上，满足，此时动点P运动的时间是14.5秒或19.5秒． 故答案为：14.5或19.5秒． 7．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 8．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在一个水平的“气垫导轨”上做小球碰撞实验．轨道架上有三个大小、质量完全相同的小球A、B、C，轨道两端各有一个挡板M和N，挡板间的距离为．其中C到左挡板M的距离为，B到右挡板N的距离为，A、C两球相距．现以轨道所在直线画数轴，A球在原点，B球表示的数为40，解答下列问题： (1)C球表示的数为________，左挡板M表示的数为________； (2)碰撞实验中（小球大小、相撞时间不计），小球做匀速直线运动，当一小球以一速度撞向另一静止小球时，这个小球停留在被撞小球的位置，被撞小球则以同样的速度向前运动，小球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动．假设A、B两球同时开始运动，运动时间为t秒． 若A球以每秒的速度向左运动，B球以每秒的速度向右运动，当A、B两球相撞时停止运动． ①当B球撞到挡板N时，________； ②令，其中，表示点A、M之间的距离，表示点B、N之间的距离．请探究在运动过程中，m与t的数量关系； ③当三个球运动的路程和为时，求此时正在运动的球表示的数是什么？ 【答案】(1)，； (2)①秒；②；③，． 【分析】（1）由，，可求得，即可得到答案； （2）①根据球以每秒的速度向右运动，,即可得到答案； ②由题意可得A、B两球相撞时的时间秒，此时两球停止运动，然后分、、、四种情况解答即可； ③先求出三个球运动的时间，再分别计算B球向右和A球向左撞到C球的运动路线，求出最终停止时的位置即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 球在原点， 球表示的数为，左挡板M表示的数为； （2）①球以每秒的速度向右运动，, 秒； ②由题意可得：左挡板M表示的数为，C球表示的数为，A球表示的数为0，B球表示的数为40，右挡板N表示的数为130， 当A、B两球相撞时的时间秒，此时两球停止运动， 当时，A球以每秒的速度向左运动，B球以每秒的速度向右运动， ，， ， ； 当时，A球撞C球后A球停止运动，C球以每秒的速度向左运动，B球以每秒的速度向右运动， ，， ， ； 当时，A球停止运动，B球撞右挡板N后返回，以每秒的速度向左运动， ，， ， ； 当时，C球撞A球后C球停止运动，A球以每秒的速度向右运动，B球继续以每秒的速度向左运动， ，， ， ； 综上所述，； ③三个球运动的时间为：秒， B球：B到N时间为秒，撞到右挡板返回距离为，此时B球回到位置，B球表示的数为； A球：A球到C球时间为秒，C球到M时间为秒，撞到左挡板返回撞到A球的时间为秒，此时，C球停止， 秒，则A球继续运动秒，此时A球表示的数为． 此时正在运动的球表示的数是，． 9．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 10．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是 ； ②在①的情况下， 如果， 那么x为 ； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点、、分别表示数、、，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台、、、、，一只配件箱应该放在工作台____处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米． (3)若点、、在数轴上分别表示数、、，点、、同时开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)①；②5或 (2)①2；②；12； (3)其值不随时间变化，恒为2 【分析】本题考查绝对值的几何意义（数轴上两点间的距离）及动点问题，解题的关键是利用＂绝对值表示数轴上两点距离＂的几何意义，结合数轴分析最值或动点的距离变化． （1）①根据绝对值的几何意义求两点距离； ②结合距离列方程求； （2）①利用绝对值的几何意义，分析点在线段上时的距离和最小值； ②利用绝对值的几何意义，求解工作流水线的最短路径问题； （3）表示出动点运动秒后的位置，计算和的长度，再求差值判断是否变化． 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点距离，根据绝对值的几何意义，为， ②若，则，解得或，即或， 故答案为：①；②5或； （2）解：①代数式的几何意义是数轴上点到0、1、2的距离之和． 当时，距离和为，此时和最小． 故答案为：2； ②5个工作台、、、、依次间隔2米，相当于数轴上的点，最短路径是将配件箱放在中间位置（即处）． 最短路程为：到的距离到的距离到的距离到的距离米． 故答案为：，12； （3）解：秒后，点的位置：，点的位置：，点的位置：， ， ， 因此， 其值不随时间变化，恒为2． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题1.2.2 数轴『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+8个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【人教版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 数轴 2 知识点二 有理数与数轴上的点的关系 3 知识点三 利用数轴比较有理数的大小 3 题型讲练 3 题型一 数轴的三要素及其画法 3 题型二 用数轴上的点表示有理数 4 题型三 利用数轴比较有理数的大小 4 题型四 数轴上两点之间的距离 5 题型五 数轴上点的平移(动点问题) 5 题型六 数轴上找原点 6 题型七 数轴上整点覆盖问题 7 题型八 数轴上的规律探究 7 中考真题演练 8 难度分层训练 10 【基础夯实】 10 【培优拔高】 12 知识点一 数轴 画一条直线(通常把它水平放置)，在直线上取一点 O，把它叫做原点，用它表示数0，规定这条直线上一个方向(通常从左到右)的方向为正方向，标上箭头，相反的方向规定为负方向，选取某一长度为单位长度，就得到如图2-2-3所示的图形. 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 说明：数轴的画法：①画一条直线，在这条直线上任取一点作为原点，用这个点表示数0；②规定直线上从原点向右的方向为正方向，在右边画出箭头，则从原点向左的方向为负方向；③选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点,依次标上-1,-2,-3,…,如图2-2-3所示. 拓展点：数轴上一个单位长度可以表示1，也可以表示2，3，…，10，但是同一条数轴单位长度表示的要一样. 方法归纳 (1)原点、正方向和单位长度被称为数轴的三要素； (2)在数轴上，正数和负数分别位于原点的两侧，正数在原点的右边(正方向的一边)，负数在原点的左边(负方向的一边). 知识点二 有理数与数轴上的点的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示，即正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示，但不能说数轴上所有的点都表示有理数. 说明：在数轴上给出一点能确定它表示的数；给一个有理数能在数轴上找出这个点的位置. 方法归纳 ①表示正有理数的点都在原点的右侧；②表示负有理数的点都在原点的左侧；③表示0的点就是原点；④表示分数时一定要准确地找到该数的位置. 知识点三 利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示出两个数，右边的数总比左边的数大，由此可以得到：正数都大于0，0大于负数，负数都小于0，正数大于一切负数. 说明：“右边的数总比左边的数大”是针对正方向向右的数轴而言的，对于正方向向上的数轴，就该说成“上边的数总比下边的数大”，不论正方朝向何方，都可以说成“沿着数轴正方向的点所表示的数越来越大，沿着数轴负方向的点所表示的数越来越小”. 拓展点：多个有理数比较大小时，要把这些有理数表示在数轴上，根据它们的左右位置关系来确定它们的大小. 方法归纳 由数轴可知：①最小的自然数是0，没有最大的自然数；②最小的正整数是1，没有最大的正整数；③最大的负整数是-1，没有最小的负整数.④如果a是正数，则a>0；反之，如果a>0，则a是正数.同理，如果a是负数，则a<0；反之，如果a<0，则a是负数 题型一 数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 【变式训练2】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列数轴画法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）点在数轴上，位于原点的右侧，距离原点5个单位长度，则此点对应数值为________． 【变式训练1】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，在数轴上点M表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）如图，数轴上表示数1的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 题型三 利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，数轴上雪容融所在点表示的数可能为（    ） A． B． C．11 D．3 【变式训练1】（24-25七年级上·云南德宏·期末）如图，数轴上的点 A，B，C，D所表示的数中最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式训练2】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是_____．（写出一个即可） 题型四 数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（25-26七年级上·福建漳州·期末）若数轴上点A表示的数是2，则与点A相距5个单位长度的点所表示的数是（    ） A．7 B． C．7或 D．或3 【变式训练1】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）有理数在数轴上对应的点到原点的距离为，则有理数是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式训练2】（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 题型五 数轴上点的平移(动点问题) 【典例精讲】（25-26七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·安徽安庆·期末）数轴上点表示的数是，将点移动3个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B．2 C．或2 D．4或 【变式训练2】（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 题型六 数轴上找原点 【典例精讲】（25-26七年级上·江西九江·期末）如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 【变式训练1】（25-26七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【变式训练2】（2025七年级上·广东深圳·专题练习）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数，x，4，y． (1)在数轴上面出原点O和表示有理数的点E； (2)若点B和点D之间的距离为5，求代数式的值． 题型七 数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【变式训练1】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（   ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 题型八 数轴上的规律探究 【典例精讲】（2025七年级上·四川南充·专题练习）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 【变式训练1】（25-26六年级上·山东泰安·期末）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【变式训练2】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点和对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点逆时针方向在数轴上向左连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为．按此规律继续翻转下去，数轴上所对应的顶点是（   ） A． B． C． D． 【真题演练1】（2025·陕西咸阳·中考真题）如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·福建福州·中考真题）数轴上的点，，分别表示数，，，它们的位置如图所示，若点在原点左侧，则表示数1的点的位置正确的是（    ） A．在原点和点之间 B．在原点和点之间 C．与点重合 D．在点的右边 【真题演练3】（2025·湖南长沙·中考真题）如图，数轴上点表示的数分别为，点在之间，若图中有一条线段是另一条线段的两倍，则点表示的数可以为_______ ． 【真题演练4】（2025·河南焦作·中考真题）如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是_________． 【真题演练5】（2025·陕西渭南·中考真题）【定义新知】 在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点．对于两个不同的点和，若点、到点的距离相等，则称点与点互为基准变换点．如图，点表示数，点表示数3，它们与表示数1的点的距离都是2个单位长度，则点与点互为基准变换点． 【初步探究】 （1）若点表示数，点表示数，且点与点互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题； ①当时，_____，当时，______． ②利用①中的结论，探索与之间的数量关系，并用含的式子表示； ③当时，求的值； 【拓展提升】 （2）若点表示的数为，对点进行如下操作：先把点表示的数乘以3，再把所得的数在数轴上对应的点沿数轴向左移动4个单位长度得到点，且数轴上的点与点互为基准变换点，用含的代数式表示点与点之间的距离． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江西宜春·期中）数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 5．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）数轴上点A表示的数为4，点B表示的数为，则点A与点B的距离是_____． 6．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 7．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来． ． 8．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 9．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 10．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（   ） A．5或7 B．3或5或7 C．3或5 D．3或7 2．（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和0，若正方形绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为，则翻转2024次后，数轴上的数所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．（25-26七年级上·海南海口·期中）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 4．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．O为原点，线段a，b的长度分别为2和4，表示的点在线段a上． （1）若表示的点也在线段a上，表示6和10的点在线段b上，则 _______ ． （2）若原点O在线段a上，点A也在线段a上，点A表示的数为x．点B在线段b上，点B表示的数为y（x，y均为整数）．当，时，对应的 ______________ ． 5．（25-26七年级上·山东日照·期末）如图，数轴上O、A两点的距离为9，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，…（n≥3，n是整数）处，则经过这样2026次跳动后的点与点O的距离是______． 6．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为；点A与点B在数轴上的“友好距离”为21个单位长度，并表示为，以此类推． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动，当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度．动点P从点A出发运动至点D的过程中，某个时刻满足，此时动点P运动的时间是_______．    7．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 8．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在一个水平的“气垫导轨”上做小球碰撞实验．轨道架上有三个大小、质量完全相同的小球A、B、C，轨道两端各有一个挡板M和N，挡板间的距离为．其中C到左挡板M的距离为，B到右挡板N的距离为，A、C两球相距．现以轨道所在直线画数轴，A球在原点，B球表示的数为40，解答下列问题： (1)C球表示的数为________，左挡板M表示的数为________； (2)碰撞实验中（小球大小、相撞时间不计），小球做匀速直线运动，当一小球以一速度撞向另一静止小球时，这个小球停留在被撞小球的位置，被撞小球则以同样的速度向前运动，小球撞到左右挡板则以相同的速度反向运动．假设A、B两球同时开始运动，运动时间为t秒． 若A球以每秒的速度向左运动，B球以每秒的速度向右运动，当A、B两球相撞时停止运动． ①当B球撞到挡板N时，________； ②令，其中，表示点A、M之间的距离，表示点B、N之间的距离．请探究在运动过程中，m与t的数量关系； ③当三个球运动的路程和为时，求此时正在运动的球表示的数是什么？ 9．（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 10．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是 ； ②在①的情况下， 如果， 那么x为 ； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点、、分别表示数、、，， ∵的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴的最小值是． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是______； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔米排着个工作台、、、、，一只配件箱应该放在工作台____处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米． (3)若点、、在数轴上分别表示数、、，点、、同时开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null