山东省威海乳山市（五四制）2025-2026学年九年级下学期期末数学试题

**基本信息** 立足核心素养，融合传统文化与现实情境，梯度设计覆盖初中数学核心知识，通过古算题、测量实践等考查运算能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数运算、图形性质、概率计算|结合威海气温、GDP数据考查数感，《算法统筹》古题体现文化传承| |填空题|5/15|函数意义、因式分解、图形变换|新定义运算、规律探究题考查推理能力| |解答题|8/75|几何证明、统计分析、函数综合|世纪钟测量（解直角三角形）、矩形折叠（空间观念）、正方形与抛物线结合（创新应用）|

初四数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1．山东威海冬季某天的气温从－4℃开始，经过一段时间的升温后，温度上升了8℃，此时温度计上显示的温度是 A．－4℃ B．4℃ 　 C．12℃ D．－12℃ 2．下列图形中是轴对称图形的是 A． B． C． D． 3．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．GDP（国内生产总值）是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果．2025年前三季度我国GDP累计达102.5万亿元，其中数据102.5万亿用科学记数法表示为 A． 　 B． C． 　 D． 5．下列运算正确的是 A． B． C． D． 6．某班学生到博物馆参加“探寻古代数学智慧”研学活动，博物馆为同学们准备了三款分别以“汉代算筹”“宋代活字印刷模具”“明代算盘雕花珠子”为主题的具有数学文化特色的文创纪念品.每位同学可从中随机抽取一款，且抽到每款文创纪念品的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到以“明代算盘雕花珠子”为主题的文创纪念品的概率是 A． B． C． D． 7．《算法统筹》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当（一样多).设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出的二元一次方程组为 A. B. C. D. 8．有公共顶点，公共边的正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，连接并延长，交正六边形于点，则的度数为A B C D E A．84° B．74° C．64° D．36° 9．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为,连接若四边形的面积为12，,则的值为y x O A B C D A．1 B．2 C．3 D．4 10．我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了如图所示的“鹊桥”函数的图象，下列结论正确的是 A．图象的对称轴是 x -1 y O 3 B．当且仅当时，随的增大而增大 C．若则 D．若，则 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果） 11．使代数式有意义的x的取值范围是______． 12．分解因式：___________． 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为8，则△ABD的面积等于 ． 14．对于实数m、n定义运算“*”为，例如：，若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 15．如图，在平面直角坐标系中，一动点自点A0（-1,0）处向上平移1个单位长度至点A1（-1,1）处，然后向右平移2个单位长度至点A2（1,1）处，再向下平移3个单位长度至点A3（1,-2）处，再向左平移4个单位长度至点A4（-3,-2）处……按此规律平移下去，若这点平移到点A2025处时，则点A2025的坐标是________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程） 16．（本题满分8分） （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中a满足a2﹣4＝0． 17. （本题满分8分） 综合与实践活动中，要用测角仪测量世纪钟建筑AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD＝EF＝1.7m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为31°，CE＝32m．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）． 参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6． B A E C D F 22° 31° 18．（本题满分9分） 为弘扬中华优秀传统文化，某区准备在全区初中举行唐诗诵读比赛．某校七（1）、（2）两个班各有学生50人，学校要在这两个班中挑选一个班代表学校参加今年的比赛，为了了解这两个班唐诗诵读情况，现对这两个班的学生进行唐诗诵读测试，并各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据： 七（1）班：65，75，75，90，60，50，75，90，85，65； 七（2）班：90，55，80，70，55，70，95，80，65，70. 整理数据： 七（1）班 1 3 3 1 2 七（2）班 2 1 m 2 n 分析数据： 平均数 中位数 众数 七（1）班 73 x 75 七（2）班 73 70 y 应用数据： (1)表中______，______，________，________； (2)若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生唐诗诵读为优秀，请估计七（2）班50名学生中唐诗诵读为优秀的学生人数； (3)如果选取了一个班级参加区里组织的比赛，你建议选择七（1）班还是七（2）班，并说明理由． 19．（本题满分8分） 某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个．求这两款书签的单价． 20．（本题满分10分） 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D，交AB于点E． （1）求证：直线AC是⊙O的切线； （2）若点E为AO的中点，AD＝3，求阴影部分的面积； 21．（本题满分10分） 我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． （1）请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有 　　 （填序号）． （2）如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AB＝AD．求四边形ABCD的面积． B C D A 22．（本题满分10分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（2，3），与x轴交于点A（﹣1，0）和点B． （1）求该抛物线的解析式； （2）点C，D在直线上，点E在x轴上，F是抛物线上位于第一象限的点，若四边形CDEF是正方形，求点F的坐标； （3）设点P（x1，y1）在抛物线上，点Q（x1，y2）在抛物线上，当1≤x1≤2时，y2﹣y1的最小值为3，求m的值． y x A O E D B F C y x A O E D B F C 23．（本题满分12分） 矩形ABCD中，AB＝10，AD＝17，点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE，把△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F，求证：FP＝FC． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段CD上，CM＝4．点E在移动过程中，求PM的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段AD上，AN＝4．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长． A B C D M N P E A B E P D F C 学科网（北京）股份有限公司 $初四数学答案及评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分）BACCD ACADC 二、填空题（每小题3分，共15分） 1 1≥2,2-m-3,1B16:42:15.（1013.1013) 三、解答题（共75分） 16.(8分)(1)解：原式 4-3+2-5+2x3 2分 =4-3+2-√3+√5 =3. …4分 a2-1,1 (a-2} (2)解：原式=(a-1a-1)·a2(a-2) =a.a-2 a-1a2(a-2) 5分 =0-2 a-1: 6分 d2-4=0,a-2≠0， .a=-2,… .7分 -2-24 原式=-2-1=3 8分 17.(8分)解：如图，延长DF与AB相交于点G, 1分 31F.22 D A 根据题意可得四边形GAEF和四边形FECD是矩形，∠GDB=22°，∠GFB=31°， ∠DGB=90°， ..AG=EF=CD=1.7m,DF=CE=32m, 在Rt△FGB中， am∠GFB=GB GF, GF=GB an31°，… 3分 GB tan∠GDB= 在Rt△DGB中， GD, GB GD= tan22° …4分 GB GRDR=GD.1Q0315+32=-8 tan22° GB-32×an29an31°≈32x0.4x0.6-38.4 tan31°-tan22° 0.6-0.4 6分 AB=AG+GB≈1.7+38.4≈40(m)， 7分 答：世纪钟建筑AB的高度约为40. 8分 18.(9分) (1)3,2,75,70.4分 (2)解：，七(2)班抽取的10名学生成绩中成绩在80分（含80分）以上的有4人， 六估计七(2)班50名学生中唐诗通读为优秀的学生人数为50x号-20人：…6分 10 (3)解：建议选择七(1)班.7分 理由如下： ,两个班各抽取的10名学生成绩中，平均数相等，七(1)班成绩的中位数75分，七 (2)班中位数70分；七(1)班众数75分，七(1)班众数70分，七(1)班中位数及众 数均高于七(2)班， .建议选择七(1)班. 9分 19.(8分) 5 解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是4 元，1分 128100 =3 x 5 根 据 题 意 得 3分 解得：x=16, 5分 经检验，x=I6是所列方程的解，且符合题意，6分 5._5 x= ×16=20 .4 4 （元)，7分 答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元.8分 20.(10分)(1)证明：连接OD,如图所示： 分 ∠C=90°， ∴.BC⊥AC, ,BD是∠ABC的平分线， ∴.∠OBD=∠CBD, ,OB是⊙O的半径，⊙O恰好经过点D,交AB于点E, .∴.OE=OD=OB,.∴.∠ODB=∠OBD,.∠ODB=∠CBD, ∴.OD∥BC, 3分 ∴.OD LAC, 又，OD是⊙O半径， .直线AC是⊙0的切线；4分 (2)解：设⊙O的半径为R, ..OD=OE=OB=R, 点E是AO的中点，AE=OE=R, .A0=2R5分 由(1)可知：OD⊥AC sinA=OD R 1 ∴.在Rt△AOD中， A02R2. ∠A=30°，∠A0D=60°，6分 tanA=OD AD=3, ΓAD tanA, OD=AD-tan4=3×tan30°=V5, D 、H- 3x5-3 .SAA0D=2AD·OD=2 ,S扇形 EOD= 60mx5 360 2,8分 3W5-元 ∴.阴影部分的面积为：S△4OD-S扇形OD= 10分 21.10分)解：(1)③： 2分 (2)∠BAC=90°，AB=3,AC=4, .BC=AB2+AC=5 3分 ,四边形ABCD是邻等内接四边形，∠BAC=90°， A,B,C,D四点共圆，且BC为直径， 把BC的中点记为点O,即A,B,C,D四点在⊙O上，4分 连接BD,AO,相交于点H, 5 BO=OA= ,BC=5, 2, AH 设OH=x, 2- .AB=AD,..AOLBD,BH=DH, 则在Rt△ABH中，BH=AB2-AH, 在Rt△BOH中，BH=BO-OH, ..BO2-OH2=AB2-AH, =-目 解得x=0.7, .5分 AH=2.5-0.7=1.8,则BH=V32-1.8=2.4, 即BD=2.4×2=4.8, ,BC是直径，.∠BDC=90°， ,BH=DH,BO=OC,∴.OH是△BDC的中位线， .DC=2HO=1.4,7分 BDXDC=1 ×4.8×1.4=3.36 则SABDC=-2 BD×AH=x4.8×1.8=4.32 SABDA-2 2 ，9分 .四边形ABCD的面积=SABDC+S△BDA=3.36+4.32=7.68.10分 22.(11分)解：(1)把(2,3)，A(-1,0)代入y=-x+bx+c得： -4+2b+c=3 [b=2 -1-b+c=0,解得c=3, .抛物线的解析式为y=-X2+2+3；2分 (2)过F作FH⊥x轴于H,设直线CD交y轴于K,如图： y= 在"=吃+2中，令=0得-2，令=0得=-1， 11 K60.2),直线2+2与轴交点为A(-1,0, y=- OK 1 tan∠KAO OA2, ,四边形CDEF是正方形， ∴.EF∥CD,DE=EF, ∴.∠FEH=∠KAO, FH 1 tan∠FEH EH2,3分 设FH=t,则EH=2t, .EF=FH+EH=5t .DE=ER=51 DE 1 ,tan∠KAO=DA2, ∴AD=2DB=2V5i. D AR=VDE+AD-5)+25)=5 .'.AH=AE+EH=5t+2t=7t, ∴.OH=AH-OA=7t-1, .F(7t-1,t), 把F(7t-1,t)代入y=-x2+2x+3得：t=-(7t-1)242(7t-1)+3, 27 解得t=0(舍去)或t49 .5分 2027 F（7,49）月6分 (3),点P(x1,y1)在抛物线y=-x+2x+3上，点Q(x1,y2)在抛物线 y=x2-(4-2)x+4m2+2上， n-x-2x+3,nx-(4m-24+4m+2, 2-.x-4m-2k+4m+2.-x-2x+3)=2x-4t4mr2-1 =2(x1-m)2+2m2-1, 7分 当≤1时，若1≤x1≤2，则x1=1时，2-y1的值为3， ∴.2（1-m)2+22-1=3, 1+5 1-√3 解得=2（大于1，舍去）或m=2, 1-V3 .=2; 8分 当1<m<2时，若1≤x1≤2，则x1=m时，y2-y1的值为3， ∴.22-1=3， 解得=√2或m=-√2（舍去）， m=2: 9分 当m≥2时，若1≤x1≤2，则x1=2时，2-y1的值为3， .2(2-m)2+22-1=3, 解得1=2=1（舍去)；10分 1-3 综上所述，m的值为2或√2 11分 23.(12分)(1)证明：如图，连接EF, A B E 由折叠可得∠APE=∠B=90°，PE=BE,1分 ,四边形ABCD为矩形， ∴.∠C=90, ,E为BC的中点， ∴BE=EC, ∴.PE=EC, 在Rt△EPF与Rt△ECF中， .EP=EC,EF=EF, .Rt△EPF≌Rt△ECF(HL),2分 FP=FC;… 3分 (2)解：，AP=AB=10,点E在移动过程中，AP=10不变 .点P在以A为圆心，10为半径的⊙A的弧上，4分 连接AM,如图， y D E 当点P在线段AM上时，PM有最小值， 5分 AD=17,AB=CD=10,CM=4, .DM=6, .AM=VAD+DM=V172+6=√325=5√13 6分 ∴PM的最小值为AM-AP=5V13-10, 7分 (3)解：过点P作PH⊥AD于H,延长HP交BC于点G,连接PD、NP,如图， H ,∠NPD=90°， .∠1+∠2=90°， ∴.∠1+∠3=90°， ∠3=∠2， ,∠PHN=∠DHP, .△PHW△DHP,.9分 PH HN .HD HP, ∴.HP=HNHD, ,AN=4,AD=17, ∴.DN=13, … 设N=x,HD=13-x, ∴AH=x+4,HP2=x(13-x), ,AB=10, ..AP=AB=10, .HP2=AP2-AH, .HP2=102-(x+4)2, ∴.x(13-x)=102-(x+4)2, 解得X=42.分 ..HP=6,AH=8,HG=AB=10,PG=4,BG=AH=8, 设BE=L,则PE=L,GE=8-l, 在Rt△PGE中，PE2=EG2+PG2, m2=(8-m)2+42, 解得m=5, 即BE的长为5. .12分