精品解析：重庆市綦江区2025-2026学年度下学期期末考试七年级数学试题（北师大版）

綦江区2025-2026学年度（下）期末考试 初2028届数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，随机事件是（ ）． A. 太阳从西方落下 B. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为7 C. 随意翻到数学书的某页，该页的页码是奇数 D. 三角形内角和为 4. 为测算草坪两端的间距，在草坪外取一点，测得，．则草坪两端、之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的三条高一定都在三角形内部 B. 三角形的三条中线可能交于三角形的外部 C. 等腰三角形一定是等边三角形 D. 对顶角相等 6. 在等腰中，若，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的二次三项式是一个完全平方式，则常数的值是（ ） A. B. 5 C. 5或 D. 或3 9. 如图，在中，是的角平分线，，若，，则的长度为（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 12 10. 已知关于的整式，其中为自然数，，，，，为正整数，且满足．下列说法： ①当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； ②若规定，，，，均为正整数，则的可能取值有种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某种细菌芽孢的细胞壁非常薄，厚度约为0.0000025米，其中0.0000025用科学记数法表示为_________． 12. 一个不透明的袋子中有个红球，个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是_________． 13. 若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 14. 某地居民用电度数（度）和应交电费（元）对应数据如下：观察表格里与的对应规律，写出和的关系式：_________（）． 用电度数 0 10 20 30 … 电费 0 5.5 11 16.5 … 15. 如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 16. 我们规定：一个四位数（其中，，，且，，，均为整数），若满足且，则称这个四位数为“和九数”，例如：四位数，因为且，所以是“和九数”，则最大的“和九数”是________．若一个“和九数”，，将其前两位数字与后两位数字整体调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则所有满足条件的的值的和为________． 三、解答题：（本大题共9个小题，其中17题12分；18-20题每题8分，21-25题，每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） （3） 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 结合轴对称与等腰三角形的性质完成作图与证明填空： （1）尺规作图：已知等腰，为底边上的高，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，（不写作法和结论，保留作图痕迹）； （2）已知：如图，在中，，，垂直平分线段． 求证：是等腰三角形． 证明：垂直平分， ∴ ① ，， ，， ，， 平分， ， ， 在和中， （ ③ ） ∴ ④ ， 是等腰三角形． 20. 如图，，平分交于点，点在的延长线上且． （1）证明：． （2）若，求的度数． 21. 如图，，，． （1）证明：． （2）若，平分，求的度数． 22. 定义新运算：． （1）求的值． （2）若，求的值． 23. 重庆市綦江区文旅资源丰富，拥有古剑山、老瀛山、东溪古镇、高庙坝等特色景点．为了解同学们最喜欢的綦江特色景点情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查（调查要求每位学生从上述四个景点中选择其中一个，并将上述四个景点依次记为A，B，C，D）．学校对调查结果进行整理后，得到部分信息如下： 被调查学生的选择情况统计表 类别 人数 A 35 B 30 C 20 D 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，________，________． （2）若该校共有2000名学生，请估计最喜欢A项与B项景点的学生共有多少名？ （3）学校计划组织一次前往古剑山的研学活动，每班有10个名额，已知小明所在的班级有40名学生，求小明被选中的概率． 24. 重庆市綦江区是闻名全国的“中国农民版画之乡”，綦江农民版画属于重庆市第三批非物质文化遗产，是綦江标志性文化名片．周末小宇骑车从家出发前往綦江农民版画院参观，骑行一段路程后，在折返途中的版画文创门店选购版画刻刀，选购完版画刻刀后，再次骑车前往版画院．下图是他本次骑行所用时间与离家距离的关系示意图，请根据图中信息回答下列问题． （1）在整个骑行过程中，自变量为______________，因变量为______________． （2）綦江农民版画院与小宇家的距离为_______；本次全程出行，小宇累计骑行的总路程为_______． （3）请计算说明，小宇在哪个时间范围内骑行速度最快． 25. 已知为等边三角形，为线段中点． （1）如图1，连接，为角平分线，交线段于点，求的度数． （2）如图2，点为线段上一点，以为边作等边三角形，连接交的延长线于点，证明：． （3）如图3，连接，点为线段上一点，满足，连接，，平分且交线段于点，点与点分别为线段，上的动点，且满足，当取最小值时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 綦江区2025-2026学年度（下）期末考试 初2028届数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．不是轴对称图形； B．是轴对称图形； C．不是轴对称图形； D．不是轴对称图形． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：对于选项A，∵，∴计算正确； 对于选项B，∵，∴计算错误； 对于选项C，∵，∴计算错误； 对于选项D，∵，∴计算错误． 3. 下列事件中，随机事件是（ ）． A. 太阳从西方落下 B. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为7 C. 随意翻到数学书的某页，该页的页码是奇数 D. 三角形内角和为 【答案】C 【解析】 【分析】先明确三类事件的定义：必然事件是一定会发生的事件，不可能事件是一定不会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，再逐一判断选项即可． 【详解】∵ 太阳一定会从西方落下，三角形内角和一定为，∴ A和D是必然事件； ∵ 质地均匀的骰子最大点数为，不可能掷出点数，∴ B是不可能事件； ∵ 随意翻到数学书某页，页码可能是奇数，也可能是偶数，两种结果都有可能发生，∴ C是随机事件，符合题意． 4. 为测算草坪两端的间距，在草坪外取一点，测得，．则草坪两端、之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的取值范围，再结合选项进行判断即可． 【详解】解：设的长为， 在中，，， ， ， ， 选项A中，选项B中，选项D中，均不符合题意，选项C中，符合题意． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的三条高一定都在三角形内部 B. 三角形的三条中线可能交于三角形的外部 C. 等腰三角形一定是等边三角形 D. 对顶角相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形相关概念与对顶角的性质逐一判断各选项正误即可． 【详解】解：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，故A错误； 三角形的三条中线一定交于三角形内部一点，故B错误； 等腰三角形只有三边都相等时才是等边三角形，等腰三角形不一定是等边三角形，故C错误； 对顶角的性质为对顶角相等，故D正确． 6. 在等腰中，若，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵三角形内角和为，若为底角，则两个底角的和为，不符合三角形内角和定理， ∴只能是等腰的顶角， ∴底角为． 7. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图： 在中，，, ∴， ∵， ∴． 8. 若关于的二次三项式是一个完全平方式，则常数的值是（ ） A. B. 5 C. 5或 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方式的结构，对比题目式子对应系数，列方程求解即可． 【详解】解：∵关于的二次三项式是完全平方式，且， 根据完全平方式的结构，可得一次项系数满足， 当时，解得； 当时，解得； ∴常数的值是或． 9. 如图，在中，是的角平分线，，若，，则的长度为（ ） A. 3 B. 2 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，再利用三角形面积公式即可求出的长． 【详解】解：过点作于点， 是的角平分线，，， ， ， ， ， ， ． 10. 已知关于的整式，其中为自然数，，，，，为正整数，且满足．下列说法： ①当，时，所有满足条件的整式的值的总和为； ②若规定，，，，均为正整数，则的可能取值有种； ③若，则的所有奇次项系数之和为． 其中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目给定条件，逐个验证三个说法，利用枚举法、不等式推导、赋值法计算即可得到结果。 【详解】解：由题知，为正整数，为自然数，、、、为正整数，满足，逐个验证如下： 验证①：当，时，， 当时，则， 即， ∵、、、为正整数， ∴， 又∵为自然数，即， ∴或， 当时，即（只有一种情况），此时， 故时，； 当时，即、、、中有一个值是（共计四种情况），此时， 故时，； 所有的值总和为，故①说法错误； 验证②：若、、、、…、均为正整数，则共有个数，每个数至少为， 故， ∵， ∴， 故， 解得， ∵为正整数， 故可以取的值有、、、，共种，故②说法正确； 验证③：设，则奇次项系数和为， 令，得， 令，得， 得， 故，故③说法正确； 综上，正确的说法共2个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某种细菌芽孢的细胞壁非常薄，厚度约为0.0000025米，其中0.0000025用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 一个不透明的袋子中有个红球，个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一个球，则摸出白球的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单随机事件概率的计算，先计算袋中球的总个数，再确定摸出白球的可能结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵袋中总球数为，白球有个， ∴根据概率公式，摸出白球的概率为． 13. 若一个角的补角是这个角的余角的4倍，那么这个角的度数为__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程、余角和补角，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 首先设这个角为，则其补角为，余角为，根据题意补角是余角的4倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个角为， ∴补角的度数为，余角的度数为， ∴，解得：， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 14. 某地居民用电度数（度）和应交电费（元）对应数据如下：观察表格里与的对应规律，写出和的关系式：_________（）． 用电度数 0 10 20 30 … 电费 0 5.5 11 16.5 … 【答案】 【解析】 【详解】解：由题知，用电度数每增加10度，电费增加5.5元， 和的关系式为． 15. 如图，在中，点是中点，过点作交于点，过点作交于点，若点是中点，的周长为20，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 连接，易证明垂直平分、垂直平分，则，设、，则，利用的周长求出的值，最后利用求解即可． 【详解】解：连接， 点是中点、， 垂直平分、， ， 点是中点、， 垂直平分、， ， ， 设、，则， 的周长为， ， ， ． 16. 我们规定：一个四位数（其中，，，且，，，均为整数），若满足且，则称这个四位数为“和九数”，例如：四位数，因为且，所以是“和九数”，则最大的“和九数”是________．若一个“和九数”，，将其前两位数字与后两位数字整体调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则所有满足条件的的值的和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】要使“和九数”最大，则的值取最大，的值也取最大，再根据“和九数”的定义可求出最大的“和九数”；由“和九数”的定义可得，，即得，，得到，，，即得到，，进而得到，，再根据是整数得，即得，，从而得到，然后由是整数得，，，最后结合求出符合条件的的值即可求解． 【详解】解：①要使“和九数”最大，则的值取最大，的值也取最大， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴最大的“和九数”是； ②∵，， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∵是整数，， ∴（为正整数）， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是整数，， ∴，，， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，不合题意，舍去； ∴所有满足条件的的值为，， ∴所有满足条件的的值的和为． 三、解答题：（本大题共9个小题，其中17题12分；18-20题每题8分，21-25题，每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别计算零指数幂，有理数乘方，负整数指数幂，再进行加减计算； （2）先计算积的乘方，然后计算单项式乘以单项式； （3）按单项式乘以多项式计算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，5 【解析】 【详解】解： 当，时，原式． 19. 结合轴对称与等腰三角形的性质完成作图与证明填空： （1）尺规作图：已知等腰，为底边上的高，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，（不写作法和结论，保留作图痕迹）； （2）已知：如图，在中，，，垂直平分线段． 求证：是等腰三角形． 证明：垂直平分， ∴ ① ，， ，， ，， 平分， ， ， 在和中， （ ③ ） ∴ ④ ， 是等腰三角形． 【答案】（1）如图，所作即所求， （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查用尺规作线段的垂直平分线及垂直平分线的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定． （1）熟练掌握垂直平分线的作法即可； （2）由垂直平分得，，，所以，，由等腰三角形的“三线合一”性质得，，从而得出，根据可证，进而得，所以是等腰三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，，平分交于点，点在的延长线上且． （1）证明：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ． 平分， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）首先由平行的性质可知，然后根据角平分线的定义即可证明； （2）首先由三角形的内角和求出，然后根据平行线的性质求出，进而由平分求出． 【详解】（1）略； （2）在中，， ． ， ． 平分， ． 21. 如图，，，． （1）证明：． （2）若，平分，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， 在与中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可证明； （2）根据（1）可证明，则可推出，再由角平分线的定义得到，根据直角三角形两锐角互余可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ， 在中，，且， ， 平分， ， ． 22. 定义新运算：． （1）求的值． （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可； （2）分两种情况建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，不符合题意． ∴． 23. 重庆市綦江区文旅资源丰富，拥有古剑山、老瀛山、东溪古镇、高庙坝等特色景点．为了解同学们最喜欢的綦江特色景点情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查（调查要求每位学生从上述四个景点中选择其中一个，并将上述四个景点依次记为A，B，C，D）．学校对调查结果进行整理后，得到部分信息如下： 被调查学生的选择情况统计表 类别 人数 A 35 B 30 C 20 D 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，________，________． （2）若该校共有2000名学生，请估计最喜欢A项与B项景点的学生共有多少名？ （3）学校计划组织一次前往古剑山的研学活动，每班有10个名额，已知小明所在的班级有40名学生，求小明被选中的概率． 【答案】（1）15，35 （2）共有1300名 （3） 【解析】 【分析】（1）由C的人数除以其占比可得总人数，再求解的值即可； （2）利用样本估计总体的思想求解即可； （3）利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图表可得，抽取的学生人数为（人）， ∴（人）， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：喜欢A项景点与B项景点的学生共占 共有名 答：估计最喜欢A项与B项景点的学生共有1300名． 【小问3详解】 解：（小明被选中）． 答：小明被选中的概率为． 24. 重庆市綦江区是闻名全国的“中国农民版画之乡”，綦江农民版画属于重庆市第三批非物质文化遗产，是綦江标志性文化名片．周末小宇骑车从家出发前往綦江农民版画院参观，骑行一段路程后，在折返途中的版画文创门店选购版画刻刀，选购完版画刻刀后，再次骑车前往版画院．下图是他本次骑行所用时间与离家距离的关系示意图，请根据图中信息回答下列问题． （1）在整个骑行过程中，自变量为______________，因变量为______________． （2）綦江农民版画院与小宇家的距离为_______；本次全程出行，小宇累计骑行的总路程为_______． （3）请计算说明，小宇在哪个时间范围内骑行速度最快． 【答案】（1）骑行所用时间，离家距离 （2）1600，3000 （3）小宇骑行在范围内速度最快 【解析】 【分析】（1）根据函数相关定义，图像横轴表示骑行所用时间，纵轴表示离家距离，离家距离随骑行时间的变化而变化，可直接确定自变量和因变量； （2）最终小宇到达版画院，取图像终点对应的纵轴数值即可；计算累计骑行总路程时，需要把各段骑行的路程相加，分别提取每个骑行阶段的路程变化量，求和得到总路程； （3）首先划分出所有骑行的时间段分别计算每个时间段对应的路程变化量和时间变化量，代入公式求出各段速度，那么比较各段速度大小就能得到速度最快的时间段． 【小问1详解】 解：根据图象可知：在整个骑行过程中，自变量为骑行所用时间，因变量为离家距离； 【小问2详解】 小宇最终到达版画院时，离家距离为， 因此，綦江农民版画院与小宇家的距离为； 计算总骑行路程：第一段骑行，折返骑行，最后从门店到版画院骑行，总路程为 因此，累计总路程为； 【小问3详解】 解：根据题意有： ：， ：， ：距离不变，速度为0， ：， ， 小宇骑行在范围内速度最快． 25. 已知为等边三角形，为线段中点． （1）如图1，连接，为角平分线，交线段于点，求的度数． （2）如图2，点为线段上一点，以为边作等边三角形，连接交的延长线于点，证明：． （3）如图3，连接，点为线段上一点，满足，连接，，平分且交线段于点，点与点分别为线段，上的动点，且满足，当取最小值时，直接写出的度数． 【答案】（1） （2）证明：、为等边三角形， ，， ，， ， ，即， 在与中， ， ， ，， ， ，为中点， ，， 在与中， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形三线合一得，，进而由平分，得，从而根据求的度数即可； （2）先根据等边三角形的性质利用证明，得，再利用证明，得，进而得证； （3）根据等边三角形的性质和等腰三角形三线合一，得垂直平分，进而得，作且使得，连接，连接交于点，利用证明，得，进而可得当三点共线时，取最小值，证明是等边三角形，得，进而得计算即可得的度数． 【小问1详解】 解：为等边三角形， ，， 为线段中点， ，， 平分， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：为等边三角形，为线段中点， 垂直平分，， ， ， 如图，作且使得，连接，连接交于点， 在和中， ， ， ， 由图得， ， 当三点共线，即点与点重合时，取最小值， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 当点与点重合，取最小值时， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $