精品解析：北京市首都师范大学附属中学2025—2026学年第二学期期末练习初一数学

首都师大附中2025—2026学年第二学期期末练习 初一数学 第一部分 选择题 一、选择题（共8小题，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 3月14日，学校举办数学文化节，吸引了大批家长和同学参与．为确保活动顺利开展，需完成多项调研工作，以下工作最适合全面调查的是（ ） A. 开始活动前，了解家长和同学对各展区活动的参与意向 B. 活动当天，对进入展区的人员进行安全检查 C. 活动当天，统计同学们对鲁班锁、24点等游戏的喜爱程度 D. 活动结束后，了解参与人员对本次活动的满意程度 4. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上点在点右侧，点表示的数为，正方形的面积为．若，则点表示的数的相反数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，被直线所截，．作一组同旁内角的角平分线交于点O．设，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 某学习小组随机抽取了本班10名同学的两次数学练习成绩，绘制统计图如下，给出下面四个结论： ①本班同学第二次练习成绩有进步趋势 ②10名同学中有3名同学前后两次成绩一样 ③10名同学中有5名同学至少有一次超过90分 ④10名同学中甲总分最高，乙的成绩进步最大上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共8小题，每小题2分） 9. 2是_____的算术平方根． 10. 如图，将“马”的小篆字体放在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，则点C的坐标为_________． 11. 为了解某校学生最喜欢的课余活动，数学兴趣小组从该校抽取了部分学生进行调查，调查问卷分为“阅读”“娱乐”“运动”和“其他”四个大项，每个大项又分为若干小项，根据调查结果绘制了如下统计图． 若该校有学生1200名，估计喜欢阅读科普类书籍的人数是______名． 12. 已知关于的不等式的解集是，则的值是_______． 13. 将点平移个单位，使其落在轴上，的最小值是_______． 14. 首都师大附中学生节期间，社团售卖两种文创周边：纪念徽章每个5元，迷你卡通贴纸每张2元．小明带了160元，恰好买了这两种周边共50件作为班级礼物，则他买了_______个纪念徽章． 15. 将长方形纸带沿线段进行翻折，如图1，使得A与重合，B与重合，测得图中为锐角；再将纸带沿着翻折，如图2，使得与重合，E与重合，测得为钝角，则的取值范围是_______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形有边与x轴垂直，有一个顶点坐标为，将此正方形记为图形M．将图形M上任意一点变成，得到图形，其中，． （1）图形的面积是_______； （2）已知图形的边上恰有两个点的坐标满足，a的取值范围是_______． 三、解答题（本题共68分，第17题5分，第18题9分，第19题5分，第20-22题每题6分，第23题5分，第24-25题每题6分，第26-27题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解下列方程（组）： （1）； （2） 19. 解不等式组：，并写出它的整数解． 20. 如图，平面直角坐标系中，已知，现将平移得到，点A对应点D，点B对应点，点C对应点F．其中点D的坐标是． （1）请画出，并直接写出点的坐标 ； （2）若横纵坐标都是整数的点称为格点，直接写出四边形CBEF内（不包括边）的格点数 ． 21. 如图，三个完全相同的小长方形沿“横一竖一横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，求空白处面积． 22. 已知，如图，，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°． （1）求证：； （2）连接CE，若CE平分∠BCF，求∠FEC的度数． 23. 已知正数m的两个平方根分别是a和b． （1）求的值； （2）若，且，求m． 24. 以“展现数学魅力，传播数学文化”为主旨，某校在数学文化节上举办了数学知识竞赛，为了解学生数学知识竞赛的答题情况，现从全校学生中随机抽取n名学生的测试成绩进行整理与描述，下面给出了部分信息． a．n名学生的测试成绩的频数分布表 分组 划记 频数 3 8 12 b．n名学生的测试成绩的扇形统计图 c．这组数据是：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89； （1） ，_____________； （2）在下图中补全这n名学生测试成绩的频数分布直方图； （3）若全校共500名学生，知识竞赛成绩不低于88分的学生可获得“数学之星”的称号，请你估计该校获得“数学之星”称号的学生人数． 25. 定义：我们把关于x的不等式叫做关于x的不等式的“动k不等式”．类似的，也叫做的“动k不等式” （1）不等式的“动不等式”的解集是 ； （2）若不等式的“动k不等式”的解都是不等式的解，求k的取值范围； （3）当时，对于不等式与，若它们的“动k不等式”解集的公共部分中恰有7个整数解，直接写出k的取值范围． 26. 如图1，已知线段与线段平行，（），的角平分线交线段于点E．点F是射线上的动点，连接，作交直线于点G． （1）如图2，当点G与点C重合时，若，求的值； （2）设，若的一边恰好与平行，且，直接写出的值． 27. 平面直角坐标系中，过点分别向x轴、y轴作垂线分别交一、三象限角平分线和二、四象限角平分线于分别交一、三象限角平分线和二、四象限角平分线于．特别地，当点与重合时，线段的长度为0；当点与重合时，线段的长度为0．定义：点的特征值为．例如，图中点对应的，特征值． （1）已知，直接写出 ； （2）在平面直角坐标系中，画出所有特征值为2的点组成的图形； （3）已知，顺次连接四点得到四边形， ①已知，若在线段上存在点M，四边形上存在点N使得，直接写出t的取值范围； （选做）②在四边形上，若存在若干个不同的点，使得，直接写出n的最大值s以及的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师大附中2025—2026学年第二学期期末练习 初一数学 第一部分 选择题 一、选择题（共8小题，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的只有一个． 1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标特征，根据第二象限点的坐标特征：横坐标为负，纵坐标为正，进行判断． 【详解】解：第二象限的点横坐标小于，纵坐标大于， 点)的横坐标，纵坐标，满足条件， 故选：C． 2. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 故选：B． 3. 3月14日，学校举办数学文化节，吸引了大批家长和同学参与．为确保活动顺利开展，需完成多项调研工作，以下工作最适合全面调查的是（ ） A. 开始活动前，了解家长和同学对各展区活动的参与意向 B. 活动当天，对进入展区的人员进行安全检查 C. 活动当天，统计同学们对鲁班锁、24点等游戏的喜爱程度 D. 活动结束后，了解参与人员对本次活动的满意程度 【答案】B 【解析】 【分析】根据两种调查的适用范围，结合各选项调查的实际情况判断即可． 【详解】解：A、调查参与意向，范围较大，适合抽样调查； B、展区人员安全检查需要对每一名进入人员检查，事关安全，适合全面调查； C、统计游戏喜爱程度，范围较大，适合抽样调查； D、了解活动满意程度，范围较大，适合抽样调查． 4. 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由邻补角的定义得出，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：， ∵直尺两边平行， ∴． 5. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，不等式两边同乘同一个正数，不等号方向不变， ，故A错误； 不等式两边同减同一个数，不等号方向不变， ，故B错误； 不等式两边同乘同一个负数，不等号方向改变， ，故C正确； 举反例：当，时，满足，但，故D错误； 故选：C． 6. 如图，数轴上点在点右侧，点表示的数为，正方形的面积为．若，则点表示的数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根可得，结合点所表示的数及间距离可得点所表示的数． 【详解】解：正方形的面积为，且， ， 点表示的数为，且点在点右侧， 点表示的数为， 点 表示的数的 相反数为 ． 7. 如图，直线，被直线所截，．作一组同旁内角的角平分线交于点O．设，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的性质得出同旁内角互补，结合角平分线的定义表示出与的数量关系，再利用邻补角的性质及角平分线定义表示出，通过代换即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 分别平分， ∴． ∵，， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． 8. 某学习小组随机抽取了本班10名同学的两次数学练习成绩，绘制统计图如下，给出下面四个结论： ①本班同学第二次练习成绩有进步趋势 ②10名同学中有3名同学前后两次成绩一样 ③10名同学中有5名同学至少有一次超过90分 ④10名同学中甲总分最高，乙的成绩进步最大上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据统计图可知横轴表示第一次成绩，纵轴表示第二次成绩，对于任意同学的成绩点，点在对角线上方说明第二次成绩高于第一次，点在直线上说明两次成绩相等，点在下方说明第二次成绩低于第一次，结合统计图一一判断即可． 【详解】解：对①，大部分点都落在对角线上方，说明多数同学第二次成绩比第一次更高，因此本班同学第二次练习成绩有进步趋势，①正确． 对②，观察图形可得，共有3个点在对角线上，即10名同学中有3名同学前后两次成绩一样，②正确． 对③，统计可得，仅有4名同学至少有一次成绩超过90分，不是5名，因此③错误． 对④，甲第一次成绩约95分，第二次约98分，总分约193分，是10名同学中最高的；乙第一次成绩为80分，第二次成绩为100分，进步了20分，同时丙同学第一次成绩约小于分，第二次大于分，进步超过分，因此丙同学是所有同学中进步最大的，因此④错误． 综上，正确结论为①②， 第二部分 非选择题 二、填空题（共8小题，每小题2分） 9. 2是_____的算术平方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，计算所求被开方数为2的平方即可得到结果． 【详解】解：根据算术平方根的定义，若正数是的算术平方根，则满足； 将代入得 ． 10. 如图，将“马”的小篆字体放在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，则点C的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图所示， A，B两点的坐标分别为， 点的坐标为． 11. 为了解某校学生最喜欢的课余活动，数学兴趣小组从该校抽取了部分学生进行调查，调查问卷分为“阅读”“娱乐”“运动”和“其他”四个大项，每个大项又分为若干小项，根据调查结果绘制了如下统计图． 若该校有学生1200名，估计喜欢阅读科普类书籍的人数是______名． 【答案】84 【解析】 【分析】根据左侧扇形统计图求出喜欢阅读的学生人数，再根据右侧扇形统计图求出其中喜欢科普类书籍的人数，利用样本估计总体的思想进行计算即可． 【详解】解：（名）． 估计喜欢阅读科普类书籍的人数是84名． 12. 已知关于的不等式的解集是，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先解这个关于的一元一次不等式，得到用含的式子表示的解集，再结合已知解集建立关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解： ， 不等式的解集为， 解得． 13. 将点平移个单位，使其落在轴上，的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据轴上点的纵坐标为，平移后点落在轴上，平移距离的最小值为点到轴的距离，计算点纵坐标的绝对值即可得到结果． 【详解】解：轴上点的纵坐标为， 点到轴的距离为， 平移后点落在轴上时，平移距离的最小值为． 14. 首都师大附中学生节期间，社团售卖两种文创周边：纪念徽章每个5元，迷你卡通贴纸每张2元．小明带了160元，恰好买了这两种周边共50件作为班级礼物，则他买了_______个纪念徽章． 【答案】 【解析】 【分析】先设出两种周边的购买数量，根据总件数和总花费的条件列出方程组，求解即可得到纪念徽章的数量． 【详解】解： 设他买了个纪念徽章，张迷你卡通贴纸， 根据题意列方程组得：  解得： ， 故他买了个纪念徽章． 15. 将长方形纸带沿线段进行翻折，如图1，使得A与重合，B与重合，测得图中为锐角；再将纸带沿着翻折，如图2，使得与重合，E与重合，测得为钝角，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据折叠性质得到，，然后列出不等式解不等式即可． 【详解】解：设， ∵长方形纸带沿线段进行翻折， ∴，， ∴， ∴， ∵再将纸带沿着翻折， ∴， ∴， ∵为锐角，为钝角， ∴，， ∴，， ∴， 故 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形有边与x轴垂直，有一个顶点坐标为，将此正方形记为图形M．将图形M上任意一点变成，得到图形，其中，． （1）图形的面积是_______； （2）已知图形的边上恰有两个点的坐标满足，a的取值范围是_______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）根据平移前后图形的形状，大小都不变，得到图形的面积即为图形M的面积，即可得出结果； （2）根据，得到，进而得到在第一象限角平分线或者第二象限的角平分线上，进而得到平移后的图形与第一象限角平分线和第二象限角平分线共有2个交点，求出临界情况，即可得出结果. 【详解】解：（1）∵将图形M上任意一点变成，得到图形， ∴图形是由图形平移得到的， ∴图形是边长为4的正方形， ∴图形的面积是； （2）∵， ∴， ∴当时，，此时在第一象限角平分线上， 当时，，此时在第二象限角平分线上， ∵图形的边上恰有两个点的坐标满足， ∴平移后的图形与第一象限角平分线和第二象限角平分线共有2个交点， 如图， 当时，图形斜向上平移，当平移到点时，此时，平移后的图形与第一象限角平分线和第二象限角平分线共有3个交点， ∴当时，满足题意； 当时，图形斜向下平移，当点平移到时，此时，平移后的图形与第一象限角平分线和第二象限角平分线共有1个交点， 故当时，满足题意； 综上：a的取值范围是：或. 三、解答题（本题共68分，第17题5分，第18题9分，第19题5分，第20-22题每题6分，第23题5分，第24-25题每题6分，第26-27题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解下列方程（组）： （1）； （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或 【小问2详解】 解： 得，，解得， 将代入得，解得， 方程组的解为． 19. 解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集为；整数解为、、 【解析】 【详解】解：不等式组， 解不等式得，， 解不等式， 去分母得，， 去括号移项合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式组的解集为；整数解为、、． 20. 如图，平面直角坐标系中，已知，现将平移得到，点A对应点D，点B对应点，点C对应点F．其中点D的坐标是． （1）请画出，并直接写出点的坐标 ； （2）若横纵坐标都是整数的点称为格点，直接写出四边形CBEF内（不包括边）的格点数 ． 【答案】（1）如图所示，， 点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据点的对应点是点找出三角形的移动方式，根据移动方式移动点，在平面直角坐标系中描点，顺次连线即可； （2）直接在图像上数出格点数即可． 【小问1详解】 解：∵点的对应点是点， ∴点的平移是向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴点的对应点是点，点的对应点是点， 在平面直角坐标系中描点，将点顺次连接即可； 【小问2详解】 解：四边形CBEF内（不包括边）的格点数共个． 21. 如图，三个完全相同的小长方形沿“横一竖一横”排列在一个长为10，宽为8的大长方形中，求空白处面积． 【答案】 【解析】 【分析】先将三个完全相同的小长方形的长与宽的长度设出来，再根据大长方形的长是由2个小长方形的长与1个小长方形的宽组成，大长方形的宽是由2个小长方形的宽与1个小长方形的长组成列二元一次方程组，再用大长方形的面积减去3个小长方形面积求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图像有，解得， ∴小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积， 空白处面积． 22. 已知，如图，，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°． （1）求证：； （2）连接CE，若CE平分∠BCF，求∠FEC的度数． 【答案】（1）见解析； （2）20°． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ACB＝60°，继而得到，∠BCF的度数，再根据∠EFC＝140°，即可得到∠BCF+∠EFC＝180°，最后根据同旁内角互补，两直线平行解题； （2）由角平分线的性质得到∠BCE=∠ECF=20°，结合，最后根据两直线平行，内错角相等解题． 【小问1详解】 证明：， ∠DAC+∠ACB＝180°， ∠DAC＝120° ∠ACB＝60°， ∠ACF＝20°， ∠BCF=60°-20°=40°， ∠EFC＝140°， ∠BCF+∠EFC＝180°， ； 【小问2详解】 CE平分∠BCF，∠BCF=40° ∠BCE=∠ECF=20° ， ∠FEC=∠BCE=20°． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 23. 已知正数m的两个平方根分别是a和b． （1）求的值； （2）若，且，求m． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相反数性质和立方根性质计算结果； （2）代入不等式得到的取值范围，即可求出的值． 【小问1详解】 解：正数m的两个平方根分别是a和b， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）得， 把代入，得， 解得，两边平方得，故， 又，而，得，解得， ． 24. 以“展现数学魅力，传播数学文化”为主旨，某校在数学文化节上举办了数学知识竞赛，为了解学生数学知识竞赛的答题情况，现从全校学生中随机抽取n名学生的测试成绩进行整理与描述，下面给出了部分信息． a．n名学生的测试成绩的频数分布表 分组 划记 频数 3 8 12 b．n名学生的测试成绩的扇形统计图 c．这组数据是：81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89； （1） ，_____________； （2）在下图中补全这n名学生测试成绩的频数分布直方图； （3）若全校共500名学生，知识竞赛成绩不低于88分的学生可获得“数学之星”的称号，请你估计该校获得“数学之星”称号的学生人数． 【答案】（1）， （2）如图所示： （3）人 【解析】 【分析】（1）根据“总数某部分的数量该部分的占比”求解即可； （2）根据图像判断出部分的人数，用总人数减去其他部分的人数得到部分的人数，再补全直方图即可； （3）根据“某部分的数量总人数该部分在样本中的占比”即可求解． 【小问1详解】 解：根据学生的频数分布表和扇形统计图知： 的人数为人，占样本的， ∴总人数（人）， 的人数为人， ∴样本中的占比； 【小问2详解】 解：由（1）知，总人数为人，的人数为人， ∴的人数（人）， 在直方图中画图见答案； 【小问3详解】 解：由题意知，在这组数据中不低于分的有3人，在的人数有17人， ∴不低于分的有（人）， ∴可获得“数学之星”有（人）． 25. 定义：我们把关于x的不等式叫做关于x的不等式的“动k不等式”．类似的，也叫做的“动k不等式” （1）不等式的“动不等式”的解集是 ； （2）若不等式的“动k不等式”的解都是不等式的解，求k的取值范围； （3）当时，对于不等式与，若它们的“动k不等式”解集的公共部分中恰有7个整数解，直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干给出的“动不等式”写出对应不等式，再利用一元一次不等式的求解方法计算； （2）由定义写出的“动不等式”为，解得．不等式的解为．若前者的解都是后者的解，则，解得． （3）由定义写出两个“动不等式”分别为和．得解集分别为和，则这7个整数，由此列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：根据“动不等式”的定义， 不等式的“动不等式”为，解得． 【小问2详解】 解：根据定义，的“动不等式”为， 解得， 不等式的解为， 不等式的“动k不等式”的解都是不等式的解， ，解得， k的取值范围为． 【小问3详解】 解：对于不等式与， 它们的“动不等式”分别为， ， 它们的解集分别为， 它们解集的公共部分中恰有7个整数解，即范围内恰有7个整数解， 和的中点为， 则这7个整数解分别为， ，解得， 综上，k的取值范围是． 26. 如图1，已知线段与线段平行，（），的角平分线交线段于点E．点F是射线上的动点，连接，作交直线于点G． （1）如图2，当点G与点C重合时，若，求的值； （2）设，若的一边恰好与平行，且，直接写出的值． 【答案】（1） （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据垂直得出直角，根据平行得出角之间的数量关系，根据角平分线得出，最后利用直角三角形的性质求解； （2）分两种情况进行讨论，画出图形，利用平行线的性质以及角平分线得出角之间的关系，最后利用三角形的外角以及直角三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图所示，当时， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当时，交于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴． 综上，的值为或． 27. 平面直角坐标系中，过点分别向x轴、y轴作垂线分别交一、三象限角平分线和二、四象限角平分线于分别交一、三象限角平分线和二、四象限角平分线于．特别地，当点与重合时，线段的长度为0；当点与重合时，线段的长度为0．定义：点的特征值为．例如，图中点对应的，特征值． （1）已知，直接写出 ； （2）在平面直角坐标系中，画出所有特征值为2的点组成的图形； （3）已知，顺次连接四点得到四边形， ①已知，若在线段上存在点M，四边形上存在点N使得，直接写出t的取值范围； （选做）②在四边形上，若存在若干个不同的点，使得，直接写出n的最大值s以及的取值范围． 【答案】（1） （2）画图如下： （3）①或；②n的最大值， 【解析】 【分析】（1）根据特征值的定义计算即可； （2）由一、三象限角平分线和二、四象限角平分线与坐标轴夹角为，可得点、、、的横坐标和纵坐标的绝对值相等，进而求出，分类讨论即可画出图形； （3）①根据点的坐标，在坐标系中画出四边形，点在四边形上，由（2）的图形可确定点所在的区域，线段与点所在的区域有交点即可求出t的取值范围；②点在四边形上，可得的最小值为，的最大值为，四边形上的点只有两处，无法取出5个取值为的不同点，所以的最大值为，此时在、、、中有两个点，其余两个点大于，剩余两个点的总和为，剩余两个点中较大的，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：如图所示： ，， ∴． 【小问2详解】 解：∵一、三象限角平分线和二、四象限角平分线与坐标轴夹角为，即点、、、的横坐标和纵坐标的绝对值相等， 又∵点， ∴，， ∴， ∵特征值为， ∴， ∴， ∴当时，或，即或； 当时，或，即或； 当时，或，即或； 当时，或，即或； 画图，如答图所示 【小问3详解】 解：①∵点在四边形上，如图所示： ∴， ∴当点在点或点时，为最小值；当点在点时，为最大值， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在如图所示的阴影区域内， ∴线段与阴影区域有交点即可， 在图中寻找线段的临界位置： 当点的坐标为时，即，解得：； 当点的坐标为时，即； 当点的坐标为时，即，解得：； 当点的坐标为时，即； ∴或； ②∵， ∴ ∵点在四边形上， ∴，的最小值为，的最大值为， 若等式右边的每个，等式的左边，由，解得：， 但四边形上的点只有两处，无法取出5个取值为的不同点， ∴，的最大值为，此时，在、、、中有两个点，其余两个点大于， 不妨设，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $