精品解析：河南商丘市梁园区2025 - 2026学年度第二学期期末质量检测试卷八年级数学

2025-2026学年度第二学期期末质量检测试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（ ） A. 1，，2 B. 8，9，10 C. 4，5，6 D. 5，12，13 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 4. 为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 5和5 B. 7和5 C. 5和7 D. 6和5 5. 已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 6. 下列图中，表示一次函数与一次函数（其中a、b为常数，且）的大致图像，其中表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形的对角线和交于点，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 对于任意的正数m、n定义运算※为：m⊗n=，计算(3⊗2)＋(8⊗12)的结果为(　　) A. + B. 2 C. D. - 9. 如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（ ） A. B. C. D. 3 10. 如图1，中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度，按的路径匀速运动．设点P的运动时间为，的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则正整数m的值可以是________．（写出一个即可） 12. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____． 13. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则不等式的解集是_______． 14. 如图，在四边形中，，，，分别以，，为边向外作正方形，其面积分别是、、，且，已知，则的长度为________． 15. 如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）， （2） 17. 某射击队为了从A，B两名运动员中选拔一人参加射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并将A，B两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 运动员 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 a b 10 B 8 8 9 10 10 （1）计算平均数________环，环，通过统计图可以看出________（填，或）； （2）计算四分位数，表格中________，________，基于四分位数或箱线图，可以发现运动员A射击成绩的中位数________运动员B射击成绩的中位数（填，或）； （3）请你从运动员A，B中选拔一人参加射击比赛，并任选两种统计量说明理由． 18. 风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； （2）如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 19. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 20. 阅读与思考： 【阅读理解】 爱思考的小利在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【任务】 请你根据小利的分析过程，解决如下问题： （1）计算：____________； （2）若，求． 21. 小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元． （1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？ （2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，设买康乃馨x支，买这束鲜花所需总费用为w元． ①求w与x之间的函数关系式； ②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 22. 如图，已知直线经过点，直线． （1）求直线的解析式；并判断点是否在直线上？ （2）若，直线与x轴交于点C，直线与交于点P． ①点P的坐标为________． ②求面积． （3）直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出k的取值范围． 23. 在矩形中，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． （1）求证：； （2）当点是边的中点时，求的长； （3）当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末质量检测试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是立方根，不是二次根式； B、中的被开方数，无意义，不是二次根式； C、中的被开方数，是二次根式； D、当时，无意义，不是二次根式；当时，是二次根式；所以不一定是二次根式． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中是“勾股数”的是（ ） A. 1，，2 B. 8，9，10 C. 4，5，6 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义逐项验证即可求解． 【详解】解：根据勾股数定义，三个数必须是正整数，选项A中不是正整数，因此排除A；对剩余选项逐一验证： 选项B：∵ ，，，即， ∴B不是勾股数，不符合题意； 选项C：∵ ，，，即， ∴C不是勾股数，不符合题意； 选项D：∵ ，，即，且三个数均为正整数， ∴D是勾股数，符合题意． 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据下减规律，解答即可．本题考查了一次函数的平移，熟练掌握规律是解题的关键． 【详解】解：的图象，只需将函数的图象向下平移2个单位． 故选：D． 4. 为了解某校开展劳动教育的情况，组织人员进行了调查，调查发现8名同学每周做家务的天数（单位：天）依次为3，5，6，7，5，6，5，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 5和5 B. 7和5 C. 5和7 D. 6和5 【答案】A 【解析】 【分析】根据概念先对数据排序，再分别计算众数和中位数即可，众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数需先排序，若数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数． 【详解】解：将这组数据从小到大重新排列为 ，，，，，，，． ∵数据中出现次数最多， ∴这组数据的众数为． ∵这组数据共个，个数为偶数，中位数为中间两个数的平均数，即第个和第个数的平均数， ∴中位数为． 因此这组数据的众数和中位数分别为和． 5. 已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】A 【解析】 【分析】利用n边形的内角和可以表示成，结合方程即可求出答案． 【详解】解：根据多边形的内角和可得：， 解得：． 则这个多边形是五边形． 故选：A． 【点睛】此题考查多边形的内角和问题，关键是根据n边形的内角和公式． 6. 下列图中，表示一次函数与一次函数（其中a、b为常数，且）的大致图像，其中表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是正确待定系数k与b的作用，本题属于基础题型．根据一次函数的图象与系数的关系，由函数图象分析可得a、b的符号，进而可得的符号，从而判断的图象即可解答． 【详解】解：由一次函数图象可知，；由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； B．由一次函数图象可知，；由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； C．由一次函数图象可知，；由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误，不符合题意； D．由一次函数图象可知，，则；由正比例函数的图象可知，不矛盾，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，四边形的对角线和交于点，则下列不能判断四边形是平行四边形的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，涉及全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定，根据平行四边形的判定，结合相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴，， ∴不能判断四边形是平行四边形，故此选项符合题意， 故选：D． 8. 对于任意的正数m、n定义运算※为：m⊗n=，计算(3⊗2)＋(8⊗12)的结果为(　　) A. + B. 2 C. D. - 【答案】C 【解析】 【分析】先利用新定义得到原式=，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可． 【详解】解：（3⊗2）+（8⊗12）= = =． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式． 9. 如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 10. 如图1，中，，点D是边上一点，过点D作交于点E，动点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度，按的路径匀速运动．设点P的运动时间为，的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，从图象中有效的获取信息是解题的关键，由图2可知，当时， S最大，且，此时P点到达B点，得到，，当时， ，此时P点到达C点，得到，进而求出的长，从而求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：由图2可知，当时， S最大，且，此时P点到达B点， ∴， 当时， ，此时P点到达C点， ∴， ∴， ∵， ∴ 由图2可知，当时P点到达E点时，， ∴， ∴， 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则正整数m的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于列出不等式，再结合正整数的定义求解即可． 【详解】解：有意义， 解得， 又为正整数， ∴m的值可以是5． 12. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】过点A作于点E，过点A作于点F，设交于点，证明四边形为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点A作于点F，设交于点， 由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴． 13. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则不等式的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象找到直线的图象在直线的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由图象可知：直线与直线相交于点， ∴不等式的解集是. 14. 如图，在四边形中，，，，分别以，，为边向外作正方形，其面积分别是、、，且，已知，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，构造平行四边形和直角三角形，利用平行四边形性质和已知角度关系证明为直角三角形，结合勾股定理和面积关系得出与的数量关系，最后代入数值计算即可． 【详解】解：如图所示，过点作交于点，  ，，   四边形是平行四边形， ，， ，  ， ，  ， 在中，， 是直角三角形， 由勾股定理得：，   正方形面积，，，且，  ， ，  ， ， ，，  ， ，且，  ， ，即，  ， ． 15. 如图，在中，的平分线交于点为线段上一动点，为边上一动点，若，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H，先证明，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，证明直线是线段的垂直平分线，利用勾股定理的逆定理，线段的垂直平分线性质，三角形面积性质，解答即可． 【详解】：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，，， 且， ∴， 直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）， （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某射击队为了从A，B两名运动员中选拔一人参加射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并将A，B两名运动员八轮射击成绩绘制成如下统计图． 运动员 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 a b 10 B 8 8 9 10 10 （1）计算平均数________环，环，通过统计图可以看出________（填，或）； （2）计算四分位数，表格中________，________，基于四分位数或箱线图，可以发现运动员A射击成绩的中位数________运动员B射击成绩的中位数（填，或）； （3）请你从运动员A，B中选拔一人参加射击比赛，并任选两种统计量说明理由． 【答案】（1）， （2），9， （3）解：选择运动员B参加射击比赛，理由如下： 从平均数上看，运动员B成绩高于运动员A，从方差上看运动员B低于运动员A，说明运动员B整体好且稳定，故选择运动员B参加射击比赛． 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义可得第一空的答案，根据数据波动越大，方差越大可得第二空的答案； （2）根据中位数和第一四分位数的定义求解即可； （3）根据运动员B的平均成绩大于运动员A的平均成绩，且运动员B的方差小，成绩更稳定可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，环； 由统计图可知，运动员A射击成绩的波动比运动员B的成绩的波动大， ∴； 【小问2详解】 解：把运动员A射击成绩按照从低到高的顺序排列为：6，7，8，9，9，9，10，10， ∴运动员A的，即， ∴运动员A射击成绩的中位数运动员B射击成绩的中位数 ∵， ∴运动员A的是第2个数据和第三个数据的平均数，即； 前4个数据为6，7，8，9，则前四个数据的中位数为，即； 综上所述，； 【小问3详解】 略 18. 风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下： 【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离． 【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度； （2）如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？ 【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为米 （2）4米 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【小问1详解】 解：在中，米， 米． 答：此时风筝离地面的垂直高度为米． 【小问2详解】 解：米， 由题意可得：米， 在中，米， 米， 答：他应该朝射线方向前进4米． 19. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接，． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； （2） 解：四边形是菱形， 理由如下：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； （3） 解：当或时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 或：当时，∵， ∴， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明，进而得到四边形是平行四边形，即可得证； （2）中点得到，证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，得到四边形是菱形； （3）根据有一个角是直角的菱形时正方形，得到当或时，四边形是正方形，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 阅读与思考： 【阅读理解】 爱思考的小利在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【任务】 请你根据小利的分析过程，解决如下问题： （1）计算：____________； （2）若，求． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，分母有理化，乘法公式等，熟练掌握分母有理化的方式是解题关键． （1）利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将代数式变形，代入计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ，即， ， 21. 小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元． （1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？ （2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，设买康乃馨x支，买这束鲜花所需总费用为w元． ①求w与x之间的函数关系式； ②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 【答案】（1）买一支康乃馨需4元，一支百合需5元 （2）①，且为整数；②购买康乃馨9支，百合2支时，购买费用最少，最少费用为46元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设买一支康乃馨需m元，一支百合需n元，然后由题意可得方程组，进而求解即可； （2）①由题意可直接列出函数关系式；②根据①中函数关系及一次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：设买一支康乃馨需m元，一支百合需n元，由题意得： ， 解得：； 答：买一支康乃馨需4元，一支百合需5元． 【小问2详解】 解：①由题意得： ， ∵康乃馨不多于9支， ∴且为整数； ②由①可知：， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w有最小值，最小值为； 答：购买康乃馨9支，百合2支时，购买费用最少，最少费用为46元． 22. 如图，已知直线经过点，直线． （1）求直线的解析式；并判断点是否在直线上？ （2）若，直线与x轴交于点C，直线与交于点P． ①点P的坐标为________． ②求面积． （3）直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】（1），点不在直线； （2）①，②； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解，然后把点代入即判断； （2）①联立得，求解即可； ②求出，，根据三角形面积公式即可求解； （3）先求出，，再根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， ∵直线经过点， ， ， ∴直线的解析式为， 在中，当时，、 ∴点不在直线上； 【小问2详解】 解：①当时直线 联立得：， 解得：， ∴点坐标为， 故答案为：， ②在中，当时，，当时，， ，， ； 【小问3详解】 解：∵点在直线上， ，， ，， 当直线过点时，则， 解得：， 当直线过点时，则， 解得：， ∴的取值范围或． 23. 在矩形中，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． （1）求证：； （2）当点是边的中点时，求的长； （3）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质及等腰三角形的判定可得出答案； （2）利用矩形的性质证得，根据全等三角形的性质得到，设，则由（1）知，， ，在中利用勾股定理即可求解； （3）当时，设，应分两种情况：第一种情况，点在线段上，则，；第二种情况，点在线段的延长线上，则，在中，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点E是边的中点， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则由（1）知，，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为； 【小问3详解】 解：当时，设， 第一种情况，点在线段上，如图所示： 则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 第二种情况，点在线段的延长线上，如图所示： 则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴的长为； 综上可知，当时，的长为或． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形全等的判定和性质，画出图形，数形结合，应用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $