第10讲整式的加法与减法2026-2027学年度人教版七年级数学上册暑假预习讲义（知识点+题型精讲）

第10讲 整式的加法与减法 目录 知识点1 同类项的定义 2 知识点2 合并同类项法则 2 知识点3 去括号法则（核心必考） 2 知识点4 添括号法则 3 知识点5 整式的加减运算规则 3 知识点6 整式无关型问题核心原理 3 知识点7 含字母绝对值化简规则 3 题型1 同类项的判断 3 题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 4 题型3 合并同类项 6 题型4 去括号 8 题型5 添括号 9 题型6 整式的加减运算 10 题型7 整式的加减中的化简求值 12 题型8 整式加减中的无关型问题 14 题型9 整式加减的应用 16 题型10 带有字母的绝对值化简问题 20 1. 知识目标：理解同类项的定义，熟练掌握合并同类项、去括号、添括号核心法则；掌握整式加减的完整运算步骤，明确整式化简的基本要求。 2. 能力目标：能精准判断同类项、利用同类项性质求参数；熟练完成整式加减运算、化简求值；掌握无关型问题、绝对值化简、实际应用类题型解题方法。 3. 素养目标：建立代数式化简的运算思维，培养严谨的符号运算能力、整体代换思想，规范解题步骤，规避符号类高频错题。 知识点1 同类项的定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也完全相同的项，叫做同类项。所有常数项都是同类项。 核心判定四要素：字母相同、对应指数相同、与系数大小无关、与字母顺序无关。 示例：与是同类项，与不是同类项。 知识点2 合并同类项法则 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 法则：系数相加减，字母和字母的指数保持不变。 运算步骤：找同类项→移项归类→系数加减计算→保留字母与指数。非同类项不能合并，直接保留。 知识点3 去括号法则（核心必考） 1. 括号前是“+”号：去掉括号和前面的“+”号，括号内各项符号不变； 2. 括号前是“-”号：去掉括号和前面的“-”号，括号内各项全部变号； 3. 括号前有系数：先利用乘法分配律展开，系数乘遍括号内每一项，再去括号，严防漏乘。 知识点4 添括号法则 1. 添括号后括号前是“+”号，括号内各项符号不变； 2. 添括号后括号前是“-”号，括号内各项全部变号； 核心用途：整式变形、整体代换、简便运算，是化简求值的常用技巧。 知识点5 整式的加减运算规则 整式的加减本质：去括号 + 合并同类项。 通用步骤：先去括号→再归类同类项→合并同类项→整理最简整式。 最简整式要求：无括号、无同类项，结果按字母降幂或升幂规范排列。 知识点6 整式无关型问题核心原理 若整式的值与某字母取值无关，则该字母的所有对应项系数均为0，据此列方程求解参数。 知识点7 含字母绝对值化简规则 化简核心：先判断绝对值内部式子的正负性，正数直接去绝对值，负数去绝对值后整体变号，0结果为0，结合整式加减完成化简。 题型1 同类项的判断 解题技巧（四看判定法）：1. 看字母：所含字母种类完全一致；2. 看指数：相同字母的指数完全相同；3. 看无关：与系数大小、正负无关，与字母排列顺序无关；4. 特殊判定：所有常数项互为同类项。 高频易错：仅字母相同、指数不同不是同类项；字母不同一定不是同类项。 【典例1】．下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意． 【变式1】．下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项，单独的两个数字也叫做同类项，据此逐一判断即可． 【详解】A、与都是常数，是同类项，故此选项符合题意； B、 是常数，不含字母，含字母，不是同类项，故此选项不符合题意； C、不是单项式，与不是同类项，故此选项不符合题意； D、中的指数为 ，的指数为 ，中的指数为 ，的指数为 ，相同字母指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意． 【变式2】．与_____是同类项．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，故的一个同类项可以为． 【变式3】．写出一个与进行加减运算后，结果仍为单项式的式子：__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：写出一个与进行加减运算后，结果仍为单项式的式子：（答案不唯一）． 题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 解题技巧：1. 同类项对应相同字母指数相等，直接列出方程或方程组；2. 求解未知数，代入所求代数式计算；3. 多字母题型分别对应指数列等式，逐一求解；4. 结果回代验证，确保符合同类项定义。 核心口诀：同类项、指数等，列方程、求参数。 【典例2】．已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据同类项相同字母的指数相等列出等式，即可求出的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 对第一个等式移项得， 故的值为． 【变式1】．如果单项式与是同类项那么等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项中所含字母相同，且相同字母的指数相等列出一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵单项式与是同类项，同类项要求所含字母相同，且相同字母的指数相等， ∴两个单项式中的指数均为，的指数相等， ∴可列方程，移项、合并同类项得，解得． 【变式2】．若单项式与是同类项，则___________，___________． 【答案】 5 3 【分析】根据同类项的定义，相同字母的指数相等求解． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，． 【变式3】．若单项式与单项式是同类项，则____． 【答案】4 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数相同，求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题意，由同类项的定义得：，， 解得：，， 因此． 题型3 合并同类项 解题技巧：1. 标记归类：用不同符号标注所有同类项，防止漏项、错项；2. 带号移动：移项时连带项前正负号整体移动；3. 系数运算：仅对系数做加减，字母、指数原样保留；4. 保留余项：非同类项无法合并，直接写入最终结果。 易错点：合并时改变字母指数、漏写常数项、符号计算失误。 【典例3】．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的法则，只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，根据法则逐一判断选项即可． 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，B错误； 对选项C：，C错误； 对选项D：，D正确． 【变式1】．合并同类项：__________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式2】．计算与化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键． （1）合并同类项，即可求解； （2）利用整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是去括号和合并同类项． （1）先去括号，再合并同类项； （2）先去括号，再合并同类项． 【详解】（1）解： （2）解： 题型4 去括号 解题技巧（三步零失误）：1. 判符号：观察括号前是正号还是负号；2. 定变号：正号不变、负号全变；3. 有系数先分配：括号前有数字、字母系数，先全员相乘再去括号，杜绝漏乘某一项。 秒杀口诀：正去不变，负去全变，有系数先乘遍。 【典例4】．化简： 【答案】 【详解】解：原式． 【变式1】．化简：． 【答案】 【分析】根据去括号的规则先去括号，再合并同类项即可． 【详解】解： 原式 ． 【变式2】．计算：； 【答案】 【分析】先去括号，然后再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式3】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）先去小括号，然后去中括号，最后进行合并同类项即可； （）先去括号，然后合并同类项即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型5 添括号 解题技巧：1. 定符号：确定添括号后的前置符号；2. 判变号：前置为正，内部不变；前置为负，内部各项全部变号；3. 精准分组：按需归类式子项，不丢项、不重项；4. 反向验算：去括号还原原式，核对变形无误。 适用场景：整体代入化简、因式分解前置变形、简便运算。 【典例5】．在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据添括号法则对原式两个因式分别变形，即可得到括号内的代数式，添括号时括号前是正号，括入项符号不变；括号前是负号，括入项符号都改变． 【详解】解：对第一个因式变形：， 第一个括号内应填； 对第二个因式变形：， 第二个括号内应填； 综上所述，括号内依次填入和． 【变式1】．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号与添括号的法则求解即可． 【详解】解：． 【变式2】．（_____）；（_____）． 【答案】 【分析】根据等式变形，结合添括号法则求解即可. 【详解】解：对于第一个等式，整理等式左边得 因此第一个括号内应填. 对于第二个等式，先去括号再整理得 因此第二个括号内应填. 【变式3】．在（    ）中，括号内应填的代数式为_________． 【答案】 【分析】本题考查去括号，添括号． 根据去括号和添括号法则，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型6 整式的加减运算 解题技巧（标准四步法）：1. 列式：根据和、差题意，正确列出整式加减式子；2. 去括号：严格遵循去括号法则，处理所有括号；3. 合并同类项：分类合并，化简整式；4. 整理排序：按字母降幂排列，得到最简结果。 核心禁忌：整式加减不是简单逐项加减，必须先去括号再合并。 【典例6】．计算：； 【答案】 【分析】根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式2】．以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 【答案】(1)一；过程见解析 (2) 【分析】（1）观察嘉嘉的解答过程，可知第一步去括号错误，根据去括号合并同类项的步骤写出正确的步骤； （2）把代入（1）中化简的结果计算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉是从第一步开始出错的， 正确解答过程如下： 原式 ． （2）解：当时，原式 ． 【变式3】．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型7 整式的加减中的化简求值 解题技巧：1. 先化简：优先去括号、合并同类项，化为最简整式，绝不直接代入；2. 后代入：将字母数值代入最简式子；3. 规范计算：负数、分数代入加括号，严格遵循有理数运算顺序；4. 验算核对：重点核对符号、乘方、加减运算，规避计算错误。 得分关键：先化简再求值是固定解题步骤，直接代入会扣分。 【典例7】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴原式． 【变式1】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式2】．先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【答案】， 【详解】解： ∵ ∴ ∴      ∴原式． 【变式3】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， 【详解】解：原式 ， ， 当，时， 原式． 题型8 整式加减中的无关型问题 解题技巧：1. 完整化简：先去括号、合并同类项，整理整式；2. 锁定无关字母：找到题目中“取值无关”的字母；3. 系数归零：令该字母所有项的系数等于0，列方程求参数；4. 二次求值：求出参数后，代入所求代数式计算最终结果。 必考结论：与某字母无关 ⇔ 该字母各项系数为0。 【典例8】．无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 【答案】A 【分析】利用多项式恒等对应系数相等得到和的值，再化简待求式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，即 ， ． 【变式1】．已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加减运算，理解代数式的值与某个字母取值无关的含义，即该字母各项的系数均为，掌握合并同类项法则即可求解． 【详解】解： ， 因为的值与的取值无关，所以的各项系数为，可得 ，， 解得，， 则． 【变式2】．已知，． (1)求； (2)若的值与x无关，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据的值与x无关可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵的值与x无关，且， ∴， ∴． 【变式3】．有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解； （2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系． 【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关， ， ， 解得：． （2）解：设， 由图可知：， ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 含x项的系数为0， 即， ． 题型9 整式加减的应用 解题技巧：1. 审题建模：结合几何图形、价格、长度、周长、面积等场景，用含字母式子表示各量；2. 列式运算：根据题意列加减算式，化简整式；3. 结合实际：根据图形边长、数量为正的规则，合理取舍结果；4. 规范作答：贴合实际场景写出完整答案。 常见场景：图形周长面积计算、价格利润计算、线段长度求解、数量配比问题。 【典例9】．如图，长方形由两个小长方形组成，根据图形面积可以得到的等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的面积等于两个小长方形的面积和求解即可. 【详解】解：根据题意，得. 【变式1】．对于任意一个四位数，若千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差大1，且百位数字与十位数字的差为非负数，则称这个四位数为“夜郎数”．将“夜郎数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到，并记．最小的“夜郎数”的值为_________；若为“夜郎数”，且能被6整除，则满足条件的的最大值为_________． 【答案】 【分析】设四位数的千位为，百位为，十位为，个位为，根据“夜郎数”定义得到约束条件，化简的表达式，先根据四位数最小的要求求解最小夜郎数，再根据被整除的条件，结合数位性质求的最大值． 【详解】解：设四位数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，其中，，且均为整数， 根据“夜郎数”的定义可得：， 整理第一个等式得：， ，交换后得到， ， 将代入化简得：， 要得到最小的四位“夜郎数”，先取最小的千位，再依次让最小， 代入，得， 由，取，可得，进而， 因此最小的“夜郎数”是； 因为能被整除， 设，则， 要使最大，需取最大值， 最大可能为，小于的最大符合条件的， 验证存在性：即，代入得， 由得，满足，且得， 故存在符合条件的四位数，因此成立，代入得． 【变式2】．如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为． 设是一个四位数， (1)四位数可以表示为 （用含a、b、c、d的代数式表示）； (2)若可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除． 【答案】(1) (2) ， ∵ ，可以被3整除，         又可以被9整除，9可以被3整除， ∴可以被3整除， ∴可以被3整除. 【分析】（1）根据四位数字的表示方法列出代数式即可； （2）根据，结合可以被9整除，进行说明即可. 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】．取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2)； (3)积木①②组合的最远延伸长度是；积木①②③组合的最远延伸长度是 【分析】（1）根据题干性质求解即可； （2）根据题干性质求解即可； （3）根据题干性质求解即可． 【详解】（1）解：均匀积木重心在中点，上层积木最多能超出下层；多层依次外伸时，第1块相对第2块最多伸，第2块相对第3块最多伸，第3块相对第4块最多伸，…，第n块相对下一块最多伸； 只推积木①至最远：①相对②最多延伸； 再固定①②推②：①②总质量为，②相对③最多延伸， 再叠加①相对②的，总延伸； 再固定①②②推③：①②②总质量为，相对④最多延伸， 总延伸； 故答案为：；； （2）解：固定①，推②至最远：②相对③最多伸，①跟着②一起外伸，总延伸； 固定①②相对位置，三块①②③放在④上，推③至最远， 设③相对④向右伸出，支撑边界为④的右端， 各块重心坐标（以④右端为，向右为正）： ① ②同①，为， ③， 三块总重心等于（临界平衡）： ， 解得 总延伸长度（最右端超出④的总长） ． （3）解：1．积木①先延伸 (相对②超出)，再固定①②推②： 设②相对③最远可伸， 由题意得，解得， 所以①②组合总延伸：； 2．再固定①②推③：①②②总质量为，③相对下层最远可伸， 总延伸：． 题型10 带有字母的绝对值化简问题 解题技巧（四步化简法）：1. 定范围：根据题干已知条件，判断绝对值内部整式的正负性；2. 去绝对值：正数直接去符号，负数变号去符号，0直接得0；3. 整式化简：去绝对值后，去括号、合并同类项；4. 整理结果：得到最简不含绝对值的整式。 核心易错：未判断正负直接去绝对值、负数去绝对值忘记整体变号。 【典例10】．已知、 、 三个数在数轴上对应点的位置如图所示下列几个判断：  ； ； ； ；的值一定是正数．其中正确的个数有（）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】首先根据数轴确定、 、 大小关系，再根据结论逐个判断对错即可． 【详解】解：由数轴可知 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 结论错误， ∵ ， ∴、 异号， ∴， ∴ 结论正确， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 结论正确， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ 结论错误， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴值一定是正数， ∴ 结论正确， 综上所述正确个数有个． 【变式1】．若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______． 【答案】 【分析】先根据数轴以及已知条件得出，再化简绝对值，最后再进行整式的加减运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 【变式2】．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2) 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论； （2）由题意得，a，b，c中有2个负数，1个正数，则，利用绝对值的意义可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①若a，b，c都是负数，即，，时， ； ②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或1； （2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c有2个负数，1个正数， ∴， ∴． 【变式3】．在数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简为例．当时，；当时，；当时，． 知识储备：在小学学过一个非零数字除以它本身等于1，我们学习了用字母表示数，这句话可以表示为 求解下列问题： (1)当时，值为_____，当时，的值为_____，当为不等于0的有理数时，的值为_____； (2)已知，求的值； (3)已知：，这个数都是不等于0的有理数，若这个数中有个正数，，则的值为_____．（请用含n的式子表示）． 【答案】(1)1，， (2)或3 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、代数式求值等知识，理解题意，熟练运用分类讨论的数学方法分析问题是解题关键． （1）结合题意，根据绝对值的性质化简求值即可； （2）首先将原式化简，然后结合题意，分“x为正数，y，z为负数”，“y为正数，x，z为负数”， “z为正数，x，y为负数”三种情况逐一分析计算即可； （3）根据题意，这个数中有n个正数，有个负数，然后整理化简即可获得答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当为不等于0的有理数时， 若，则； 若，则． 即的值为． 故答案为：1，，； （2）解：， ，，． ． ， ，y，z的正负性可能为： 当为x正数，y，z为负数时，原式； 当为y正数，x，z为负数时，原式； 当为z正数，x，y为负数时，原式． 综上所示，原式的值为或3； （3）解：根据题意，这个数中有n个正数，有个负数， 即中有n个1，有个． ． 故答案为：． 1．下列说法中，正确的是（     ） A． 是多项式 B．和2不是同类项 C．单项式与单项式相加的结果一定是单项式 D．整式与整式相加的结果一定是整式 【答案】D 【分析】逐一根据整式，多项式，单项式，同类项的基本概念判断各选项即可得到结果． 【详解】解：∵多项式是几个单项式的和，单项式属于整式，而分母含有字母，是分式不是单项式 ， ∴ 不是多项式，A错误． ∵所有常数项都是同类项， 和都是常数， ∴ 和是同类项，B错误． ∵反例：单项式与单项式相加，结果为 ，是多项式不是单项式 ， ∴单项式与单项式相加的结果不一定是单项式，C错误． ∵整式包括单项式和多项式，整式相加合并同类项后，结果仍然是整式 ， ∴整式与整式相加的结果一定是整式， ∴D正确． 2．已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】两个单项式的和是单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”，即可求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴． 3．已知单项式：，其中为正整数．例如：，．下列说法： ①若，则； ②若化简结果为单项式，则满足条件的有序数对共有个； ③，，，四个数可以相同也可以不同，若，则化简结果共有种． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次判断三个说法的正误，根据单项式和同类项的定义，结合正整数的性质枚举计算，得到正确说法的个数． 【详解】由题知 ， 为正整数． ①：，，解得 ，故①错误． ②：，化简结果为单项式，说明合并后只有一项，分情况讨论： 情况1：，此时 ，剩余 为单项式，整理得 ， 为正整数，可得有序对 ，共4个； 情况2：，此时 ，剩余 为单项式，整理得 ，可得有序对 ，共4个； 情况3：，代入得 ，无正整数解； 综上，共有 个有序对，故②正确． ③： 为正整数，，按从小到大枚举不同的不计顺序的分拆，可得：，共5种不同的化简结果，故③错误． 综上，正确的说法只有1个． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故A计算错误，不符合题意； 选项B中，与所含字母不同，不是同类项，不能合并，故B计算错误，不符合题意； 选项C中，与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，故C计算错误，不符合题意； 选项D中，与是同类项，合并得，计算正确，D符合题意． 5．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用单项式乘多项式法则展开各选项左边，与右侧对比判断正误． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，等式左右相等，故D正确． 6．对多项式任意加一个或者两个小括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”．例如：，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③只添加一个小括号，共有3种不同的结果；④所有的“加算操作”共有4种不同的结果．以上说法中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查添括号法则，根据题意枚举所有“加算操作”的结果，逐一判断四个说法即可． 【详解】解：原多项式为 ，“加算操作”指添加1个或2个括号，且仍只含减法运算． 因为，与原多项式相等， ①正确． ② 若结果与原多项式之和为，则结果需为， 无论如何添加括号， 的符号始终为正，不可能得到 ， 不存在这样的操作，②正确； 所有只添加一个小括号的不同结果： ， ， ， ， 可得共有种不同结果，不是种， ③错误． ④ 所有“加算操作”中，添加两个括号后得到的结果如下：， ， ， ， 所有“加算操作”共有种不同结果， ④正确． 综上，正确的说法共个，故选C． 7．已知整式，其中n为自然数，，，…，均为整数，且整式M的最高次项的系数为正整数．若．下列说法：①满足条件的所有整式M中有且仅有3个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】先根据等式条件确定的所有可能取值，再按的不同取值分类枚举所有满足条件的整式，最后逐一验证三个说法的正确性． 【详解】解：∵ ，且为正整数，为自然数， ∴ ，得，时等式不成立． 当时，得，，共1个，是单项式； 当时，，得，， 所有情况共7种：，其中仅是单项式． 当时，，得，， 所有情况共5种：，其中仅是单项式． ① 满足条件的单项式为，共3个，①正确； ② 时，所有整式的和为，②正确； ③ 满足条件的整式总数为个，③正确； 三个说法均正确，正确个数为3． 8．代数式的值（　　） A．仅与的大小有关 B．仅与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关 【答案】D 【分析】对原代数式去括号，合并同类项得到最终结果，根据结果判断代数式的值与，的关系． 【详解】解：对原代数式化简如下： 原式 ∵化简后的结果为常数，不含变量和， ∴该代数式的值与，的大小都无关，故选D． 9．关于x的n次多项式，其中n，均为正整数，，…，均为整数，且，．下列说法： ①若，，则符合条件的整式有且仅有1个； ②若，则多项式M可以为二次三项式； ③若二次三项式且，则满足条件的所有整式的和为； ④若，，则满足条件的多项式M共有33个． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】依次判断四个说法，根据题目条件分类讨论，验证每个说法是否正确，统计正确个数． 【详解】已知条件：，为正整数，均为整数，为所有系数的乘积． ① 当，时，，满足，为正整数． 整数乘积为仅存在和两种情况，仅符合正整数要求，此时，但要求，不成立，因此没有符合条件的整式，①错误． ② 若，取，，，满足，乘积，是二次三项式，因此可以为二次三项式，②正确． ③ 若二次三项式，即，所有符合条件的多项式为： ，，，，． 求和得：，③错误． ④ 若，，分类计数： ：，，且，为正整数，为整数，∴，；，；，；，；共个符合条件； ：，，且，为正整数，、为整数，∴，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；共个符合条件； ：，，且，为正整数，、、为整数，∴，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；已找到个符合条件，总个数超过，因此④错误． 综上，只有个说法正确． 10．已知四个整式分别为：，，，；若将其中的一个或多个整式中的自变量替换为（例如：整式变为），然后再将这四个整式相加求和，称为一次“镜面操作”．则以下表述正确的个数是（     ） ①存在特殊的“镜面操作”：，使得化简结果的最小值为2； ②存在某种“镜面操作”，使得时，化简后的结果恒为一个常数； ③对这四个整式进行所有可能的“镜面操作”后，共有15种不同的结果． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可推出四个整式的和为（，且a为整数），根据a的值只能取，结合题意逐一判断即可． 【详解】解：四个整式仅替换自变量，不改变常数项，因此四个整式的常数和恒为， 设替换为的整式个数为（，且a为整数），则总和可表示为， 题中给出的操作替换了3个整式，即， ∴， 当时，，则； 当时，，则， 的最小值为2，原说法正确； 当时，，若，则，代入得，恒为常数，因此存在符合要求的操作，原说法正确； 仅可取，对应4种不同结果，不是15种，原说法错误． 综上，正确的表述有个． 11．如果单项式 与的和仍是单项式，则________． 【答案】 【分析】根据两个单项式的和仍是单项式，则这两个单项式为同类项.根据同类项定义求出a与b的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴，， ∴. 12．_______． 【答案】/ 【分析】先去括号，再合并同类项即可得出结果． 【详解】解： ． 13．如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个． 【答案】 【详解】解：第个图案中，黑色六边形的数量为个； 白色六边形：第1个有个， 第2个有个， 第3个有个， 可得第个图案中白色六边形数量为个； ∴白色六边形比黑色六边形多：个． 14．若代数式的值为10，则代数式的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ 15．若关于的整式中不含有项，则的值为______． 【答案】 【分析】先把多项式合并，然后令项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：∵多项式不含项， ∴， 解得． 故答案为：． 16．有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______； 【答案】 【详解】解：由数轴可得， ∴，． 17．化简求值 (1)，其中 (2)，其中 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先去括号，再合并同类项后，把a和b的值代入求值即可； （2）先去括号，再合并同类项后，把和的值代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 当时， 原式 ． 18．定义新运算：． (1)计算的值； (2)已知有理数在数轴上满足，化简． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）先判断的范围，再根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 19．我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示，其中大圆的半径为，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含的式子表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用大圆的面积减去小圆的面积即可； （2）将代入（1）中求出的代数式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，． ∴图中阴影部分的面积为． 20．【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 【答案】(1) (2)36 (3) (4)20 【分析】（1）按照“整体思想”进行计算即可； （2）把用表示，然后整体代入即可； （3）由题意得，再把代入，最后整体代入 即可求解； （4）由题意可得③号正方形的边长，进而表示出④号正方形的边长，则可表示⑤号长方形的长与宽，根据⑤号长方形的周长为20，可求得的值，从而求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：当时，代数式的值是， 即， ∴； 当时，； （4）解：∵①号正方形的边长为，②号正方形的边长为， ∴③号正方形的边长为， ∴④号正方形的边长为， ∴⑤号长方形的长为，宽为， 由题意得， ∴， 则③号正方形的周长为． 21．为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【答案】(1)①；②； (2)①在甲商店购买更优惠；②最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球（获赠40个毽球），在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 【分析】（1）根据两种优惠方案列式即可； （2）①将代入（1）所得式子分别计算比较即可；②先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球，即可求出最优惠的购买方案及其所需总费用． 【详解】（1）解：①若在甲商店购买，所需总费用为元； ②若在乙商店购买，所需总费用为元； （2）（2）①当时，（元）， （元）， ∵， ∴在甲商店购买更优惠； ②∵可以在甲、乙两个商店中分别购买， ∴先在甲商店购买40个足球，同时获赠40个毽球，然后再在乙商店购买剩余的40个毽球， ∵在甲商店购买40个足球的费用为（元），再在乙商店购买剩余的40个毽球的费用为（元）， ∴总花费为（元）， ∵， ∴最优惠的购买方案为：在甲商店购买40个足球，在乙商店购买剩余的40个毽球，所需总费用为3160元． 22．【阅读材料】 定义：如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“和谐数”． 注： 举例①：四位数1538． 因为，所以1538是“和谐数”． 举例②：四位数2637． 因为，所以2637是“和谐数”． (1)【类比推理】请判断四位数3846是否为“和谐数”，并说明理由； (2)【探究性质】小明经观察发现“和谐数”1538中，；“和谐数”2637中，．于是猜想：对于任意一个“和谐数”，都有．请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】(1)是，理由如下： 是“和谐数” (2)猜想正确，理由如下： ，， ， ， 由可得， 因此是的倍数。 又因为， 是9的倍数 ，且 【分析】（1）根据题意验证四位数3846是否满足“和谐数”的定义即可； （2）根据得到，再变形成，得到是9的倍数，再根据a与d的取值范围得到，从而得到． 【详解】（1）略 （2）略 23．材料：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”．如：是一个三位的“对称数”． 材料：对于一个三位自然数，将它各个数位上的数字分别倍后取个位数字，得到三个新的数字．我们对自然数规定一个运算．例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别倍后取个位数字分别是：，则． (1)已知两个三位“对称数”，． ，若能被11整除，请写出符合条件的m的所有值． (2)一个三位的“对称数”，若，请直接写出的所有值． 【答案】(1)，， (2)101，151，606，656 【分析】（1）根据题意，表示出，得出，根据，确定取值； （2）根据题意，确定三位数个位和百位上数字为或，十位上的数字为或，然后确定所有值． 【详解】（1）解：，， ∵，能被整除， ∴，且， 可得满足条件取值如下： ； ； ； 答：符合条件的值有，，； （2）解：， ∵，， ∴其各个数位上的数字分别倍后取个位数字分别是：、、，显然三位数个位和百位上数字为或，十位上的数字为或， ∴符合条件的数有：，，，． 答：若，的所有值有，，，． 24．数学活动 活动主题 判断一个正整数能否被7整除 探究内容 利用整式的加减运算和数据规律类探索整除问题 探究过程 小乐同学探究一个正整数被7整除的规律，她先列举一些数，如28，364，1576，…等，她发现了如下特征： 28能被7整除，则有； 364能被7整除，则有； …… 1576不能被7整除，则有，145不能被7整除； 继续探究 （1）根据题目中的信息，仿照上述判断过程，判断3738能否被7整除（请写出详细过程）； 经验回顾 在课本页的活动2中，我们论证自然数被3整除的规律．以三位数为例： 若能被3整除，则这个数可以被3整除．理由如下： ． 显然能被3整除，因为也能被3整除，则就能被3整除． 规律发现 （2）设是一个三位数，若满足______能被7整除．并说明这个三位数能被7整除的理由． 拓展提升 （3）当自然数能被7整除时，直接写出x的值． 【答案】（1）3738能被7整除；（2），见解析；（3）1或8 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的加减运算． （1）依题例进行判断即可； （2）根据题意，若满足能被7整除，则这个三位数能被7整除；由即可说明； （3）根据题意得能被7整除，再根据x是0到9的整数，求解即可． 【详解】解：（1）能，理由如下： ∵， ∴3738能被7整除； （2）若满足能被7整除，则这个三位数能被7整除； ∵ ， ∵、能被7整除， ∴这个三位数能被7整除； （3）∵自然数能被7整除， ∴能被7整除， ∵x是0到9的整数， ∴当，能被7整除，当，能被7整除， ∴x的值为1或8． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 整式的加法与减法 目录 知识点1 同类项的定义 2 知识点2 合并同类项法则 2 知识点3 去括号法则（核心必考） 2 知识点4 添括号法则 3 知识点5 整式的加减运算规则 3 知识点6 整式无关型问题核心原理 3 知识点7 含字母绝对值化简规则 3 题型1 同类项的判断 3 题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 4 题型3 合并同类项 4 题型4 去括号 5 题型5 添括号 5 题型6 整式的加减运算 6 题型7 整式的加减中的化简求值 6 题型8 整式加减中的无关型问题 6 题型9 整式加减的应用 7 题型10 带有字母的绝对值化简问题 9 1. 知识目标：理解同类项的定义，熟练掌握合并同类项、去括号、添括号核心法则；掌握整式加减的完整运算步骤，明确整式化简的基本要求。 2. 能力目标：能精准判断同类项、利用同类项性质求参数；熟练完成整式加减运算、化简求值；掌握无关型问题、绝对值化简、实际应用类题型解题方法。 3. 素养目标：建立代数式化简的运算思维，培养严谨的符号运算能力、整体代换思想，规范解题步骤，规避符号类高频错题。 知识点1 同类项的定义 所含字母相同，并且相同字母的指数也完全相同的项，叫做同类项。所有常数项都是同类项。 核心判定四要素：字母相同、对应指数相同、与系数大小无关、与字母顺序无关。 示例：与是同类项，与不是同类项。 知识点2 合并同类项法则 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 法则：系数相加减，字母和字母的指数保持不变。 运算步骤：找同类项→移项归类→系数加减计算→保留字母与指数。非同类项不能合并，直接保留。 知识点3 去括号法则（核心必考） 1. 括号前是“+”号：去掉括号和前面的“+”号，括号内各项符号不变； 2. 括号前是“-”号：去掉括号和前面的“-”号，括号内各项全部变号； 3. 括号前有系数：先利用乘法分配律展开，系数乘遍括号内每一项，再去括号，严防漏乘。 知识点4 添括号法则 1. 添括号后括号前是“+”号，括号内各项符号不变； 2. 添括号后括号前是“-”号，括号内各项全部变号； 核心用途：整式变形、整体代换、简便运算，是化简求值的常用技巧。 知识点5 整式的加减运算规则 整式的加减本质：去括号 + 合并同类项。 通用步骤：先去括号→再归类同类项→合并同类项→整理最简整式。 最简整式要求：无括号、无同类项，结果按字母降幂或升幂规范排列。 知识点6 整式无关型问题核心原理 若整式的值与某字母取值无关，则该字母的所有对应项系数均为0，据此列方程求解参数。 知识点7 含字母绝对值化简规则 化简核心：先判断绝对值内部式子的正负性，正数直接去绝对值，负数去绝对值后整体变号，0结果为0，结合整式加减完成化简。 题型1 同类项的判断 解题技巧（四看判定法）：1. 看字母：所含字母种类完全一致；2. 看指数：相同字母的指数完全相同；3. 看无关：与系数大小、正负无关，与字母排列顺序无关；4. 特殊判定：所有常数项互为同类项。 高频易错：仅字母相同、指数不同不是同类项；字母不同一定不是同类项。 【典例1】．下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各选项中的两项是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】．与_____是同类项．（写出一个即可） 【变式3】．写出一个与进行加减运算后，结果仍为单项式的式子：__________． 题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值 解题技巧：1. 同类项对应相同字母指数相等，直接列出方程或方程组；2. 求解未知数，代入所求代数式计算；3. 多字母题型分别对应指数列等式，逐一求解；4. 结果回代验证，确保符合同类项定义。 核心口诀：同类项、指数等，列方程、求参数。 【典例2】．已知与是同类项，那么的值是（     ） A．1 B．3 C． D． 【变式1】．如果单项式与是同类项那么等于（    ）． A． B． C． D． 【变式2】．若单项式与是同类项，则___________，___________． 【变式3】．若单项式与单项式是同类项，则____． 题型3 合并同类项 解题技巧：1. 标记归类：用不同符号标注所有同类项，防止漏项、错项；2. 带号移动：移项时连带项前正负号整体移动；3. 系数运算：仅对系数做加减，字母、指数原样保留；4. 保留余项：非同类项无法合并，直接写入最终结果。 易错点：合并时改变字母指数、漏写常数项、符号计算失误。 【典例3】．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．合并同类项：__________． 【变式2】．计算与化简： (1)； (2)． 【变式3】．计算： (1)； (2)． 题型4 去括号 解题技巧（三步零失误）：1. 判符号：观察括号前是正号还是负号；2. 定变号：正号不变、负号全变；3. 有系数先分配：括号前有数字、字母系数，先全员相乘再去括号，杜绝漏乘某一项。 秒杀口诀：正去不变，负去全变，有系数先乘遍。 【典例4】．化简： 【变式1】．化简：． 【变式2】．计算：； 【变式3】．计算： (1) (2) 题型5 添括号 解题技巧：1. 定符号：确定添括号后的前置符号；2. 判变号：前置为正，内部不变；前置为负，内部各项全部变号；3. 精准分组：按需归类式子项，不丢项、不重项；4. 反向验算：去括号还原原式，核对变形无误。 适用场景：整体代入化简、因式分解前置变形、简便运算。 【典例5】．在等式的括号内依次填入的代数式是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】．（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（_____）；（_____）． 【变式3】．在（    ）中，括号内应填的代数式为_________． 题型6 整式的加减运算 解题技巧（标准四步法）：1. 列式：根据和、差题意，正确列出整式加减式子；2. 去括号：严格遵循去括号法则，处理所有括号；3. 合并同类项：分类合并，化简整式；4. 整理排序：按字母降幂排列，得到最简结果。 核心禁忌：整式加减不是简单逐项加减，必须先去括号再合并。 【典例6】．计算：； 【变式1】．计算：． 【变式2】．以下是一道习题及嘉嘉的解答过程： 计算：． 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程； (2)当时，求此代数式的值． 【变式3】．计算： 题型7 整式的加减中的化简求值 解题技巧：1. 先化简：优先去括号、合并同类项，化为最简整式，绝不直接代入；2. 后代入：将字母数值代入最简式子；3. 规范计算：负数、分数代入加括号，严格遵循有理数运算顺序；4. 验算核对：重点核对符号、乘方、加减运算，规避计算错误。 得分关键：先化简再求值是固定解题步骤，直接代入会扣分。 【典例7】．先化简，再求值：，其中． 【变式1】．先化简，再求值：，其中，． 【变式2】．先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【变式3】．先化简，再求值：，其中，． 题型8 整式加减中的无关型问题 解题技巧：1. 完整化简：先去括号、合并同类项，整理整式；2. 锁定无关字母：找到题目中“取值无关”的字母；3. 系数归零：令该字母所有项的系数等于0，列方程求参数；4. 二次求值：求出参数后，代入所求代数式计算最终结果。 必考结论：与某字母无关 ⇔ 该字母各项系数为0。 【典例8】．无论x取何值时，都成立，则的值为（    ） A．8 B． C．20 D．13 【变式1】．已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【变式2】．已知，． (1)求； (2)若的值与x无关，求m的值． 【变式3】．有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即． (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 题型9 整式加减的应用 解题技巧：1. 审题建模：结合几何图形、价格、长度、周长、面积等场景，用含字母式子表示各量；2. 列式运算：根据题意列加减算式，化简整式；3. 结合实际：根据图形边长、数量为正的规则，合理取舍结果；4. 规范作答：贴合实际场景写出完整答案。 常见场景：图形周长面积计算、价格利润计算、线段长度求解、数量配比问题。 【典例9】．如图，长方形由两个小长方形组成，根据图形面积可以得到的等式为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．对于任意一个四位数，若千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差大1，且百位数字与十位数字的差为非负数，则称这个四位数为“夜郎数”．将“夜郎数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到，并记．最小的“夜郎数”的值为_________；若为“夜郎数”，且能被6整除，则满足条件的的最大值为_________． 【变式2】．如果一个三位数是985，即百位数字为9，十位数字为8，个位数字为5，那么这个三位数可以表示为． 设是一个四位数， (1)四位数可以表示为 （用含a、b、c、d的代数式表示）； (2)若可以被9整除，请说明这个四位数可以被9整除． 【变式3】．取长度为的相同积木，四边对齐叠放，如图1所示．沿平行于积木长边的方向水平向右推动一块积木而不触碰其他积木，在不倾倒的前提下研究积木可延伸多远．结合课本中预备知识解决下列问题． (1)先推动积木①至最远，那么积木①的最远延伸长度是________；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远；最后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图2，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (2)不推动积木①，保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，那么积木①②组合的最远延伸长度是________；保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远．如图3，此时积木①②③组合的最远延伸长度是________．（用含的代数式表示） (3)先推动积木①，使得积木①的延伸长度为；再保持积木①、②相对位置不变，推动积木②至最远，此时积木①②组合的最远延伸长度是多少？然后保持积木①、②、③相对位置不变，推动积木③至最远，此时积木①②③组合的最远延伸长度是多少？（用含的代数式表示） 题型10 带有字母的绝对值化简问题 解题技巧（四步化简法）：1. 定范围：根据题干已知条件，判断绝对值内部整式的正负性；2. 去绝对值：正数直接去符号，负数变号去符号，0直接得0；3. 整式化简：去绝对值后，去括号、合并同类项；4. 整理结果：得到最简不含绝对值的整式。 核心易错：未判断正负直接去绝对值、负数去绝对值忘记整体变号。 【典例10】．已知、 、 三个数在数轴上对应点的位置如图所示下列几个判断：  ； ； ； ；的值一定是正数．其中正确的个数有（）． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】．若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______． 【变式2】．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【变式3】．在数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简为例．当时，；当时，；当时，． 知识储备：在小学学过一个非零数字除以它本身等于1，我们学习了用字母表示数，这句话可以表示为 求解下列问题： (1)当时，值为_____，当时，的值为_____，当为不等于0的有理数时，的值为_____； (2)已知，求的值； (3)已知：，这个数都是不等于0的有理数，若这个数中有个正数，，则的值为_____．（请用含n的式子表示）． 1．下列说法中，正确的是（     ） A． 是多项式 B．和2不是同类项 C．单项式与单项式相加的结果一定是单项式 D．整式与整式相加的结果一定是整式 2．已知单项式与的和是单项式，那么的值是（     ） A．6 B．5 C． D． 3．已知单项式：，其中为正整数．例如：，．下列说法： ①若，则； ②若化简结果为单项式，则满足条件的有序数对共有个； ③，，，四个数可以相同也可以不同，若，则化简结果共有种． 其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．对多项式任意加一个或者两个小括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”．例如：，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③只添加一个小括号，共有3种不同的结果；④所有的“加算操作”共有4种不同的结果．以上说法中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知整式，其中n为自然数，，，…，均为整数，且整式M的最高次项的系数为正整数．若．下列说法：①满足条件的所有整式M中有且仅有3个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的整式共有个．其中正确的个数是（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．代数式的值（　　） A．仅与的大小有关 B．仅与的大小有关 C．与、的大小都有关 D．与、的大小都无关 9．关于x的n次多项式，其中n，均为正整数，，…，均为整数，且，．下列说法： ①若，，则符合条件的整式有且仅有1个； ②若，则多项式M可以为二次三项式； ③若二次三项式且，则满足条件的所有整式的和为； ④若，，则满足条件的多项式M共有33个． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知四个整式分别为：，，，；若将其中的一个或多个整式中的自变量替换为（例如：整式变为），然后再将这四个整式相加求和，称为一次“镜面操作”．则以下表述正确的个数是（     ） ①存在特殊的“镜面操作”：，使得化简结果的最小值为2； ②存在某种“镜面操作”，使得时，化简后的结果恒为一个常数； ③对这四个整式进行所有可能的“镜面操作”后，共有15种不同的结果． A． B． C． D． 11．如果单项式 与的和仍是单项式，则________． 12．_______． 13．如图，第1个图案是由1个黑色和6个白色的六边形组成的，第2个，第3个，…，第个图案都可以看成是由第1个图案经过平移得到的．在第个图案中，白色六边形比黑色六边形多__________个． 14．若代数式的值为10，则代数式的值为___________． 15．若关于的整式中不含有项，则的值为______． 16．有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______； 17．化简求值 (1)，其中 (2)，其中 18．定义新运算：． (1)计算的值； (2)已知有理数在数轴上满足，化简． 19．我国“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，某款手机后置摄像头模组如图所示，其中大圆的半径为，中间小圆的半径为，4个半径为的高清圆形镜头分布在两圆之间． (1)请用含的式子表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 20．【阅读理解】我们知道：，类似的，若我们把看成一个整体，则有．这种解决问题的方法渗透了数学中的“整体思想”．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，其应用极为广泛． 【方法运用】 (1)把看成一个整体，则__________； (2)已知，求代数式的值； (3)当时，代数式的值是，则当时，求的值（结果用含的代数式表示）． 【拓展应用】 (4)将一块长方形纸片剪成如图所示的①、②、③、④4个正方形和⑤一个小长方形，设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，若图中⑤号小长方形的周长为20，试求③号正方形的周长． 21．为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足球的定价都为70元，每个毽球的定价都为10元． 甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球． 乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售． 设学校准备购买毽球x个． (1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． ②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x的式子表示）． (2)当时，解答下列问题． ①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠 ②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买方案及其所需总费用． 22．【阅读材料】 定义：如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“和谐数”． 注： 举例①：四位数1538． 因为，所以1538是“和谐数”． 举例②：四位数2637． 因为，所以2637是“和谐数”． (1)【类比推理】请判断四位数3846是否为“和谐数”，并说明理由； (2)【探究性质】小明经观察发现“和谐数”1538中，；“和谐数”2637中，．于是猜想：对于任意一个“和谐数”，都有．请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由． 23．材料：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”．如：是一个三位的“对称数”． 材料：对于一个三位自然数，将它各个数位上的数字分别倍后取个位数字，得到三个新的数字．我们对自然数规定一个运算．例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别倍后取个位数字分别是：，则． (1)已知两个三位“对称数”，． ，若能被11整除，请写出符合条件的m的所有值． (2)一个三位的“对称数”，若，请直接写出的所有值． 24．数学活动 活动主题 判断一个正整数能否被7整除 探究内容 利用整式的加减运算和数据规律类探索整除问题 探究过程 小乐同学探究一个正整数被7整除的规律，她先列举一些数，如28，364，1576，…等，她发现了如下特征： 28能被7整除，则有； 364能被7整除，则有； …… 1576不能被7整除，则有，145不能被7整除； 继续探究 （1）根据题目中的信息，仿照上述判断过程，判断3738能否被7整除（请写出详细过程）； 经验回顾 在课本页的活动2中，我们论证自然数被3整除的规律．以三位数为例： 若能被3整除，则这个数可以被3整除．理由如下： ． 显然能被3整除，因为也能被3整除，则就能被3整除． 规律发现 （2）设是一个三位数，若满足______能被7整除．并说明这个三位数能被7整除的理由． 拓展提升 （3）当自然数能被7整除时，直接写出x的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $