暑假专题提优：一元一次不等式2025-2026学年数学七年级下册苏科版

**基本信息** 聚焦一元一次不等式，通过机器人搬运、知识竞赛等现实情境，结合“关联公共解”“k关联”新定义问题，培养抽象能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|9|列不等式、解集数轴表示、不等式组参数|第2题天平情境考不等式组，体现几何直观| |填空题|7|不等式整数解、分段优惠计算、程序图应用|第13题超市优惠考分段不等式，培养应用意识| |解答题|5|解不等式组、设备购买方案、新定义推理|第19题“k关联”新定义考逻辑推理，发展理性思维|

暑假专题提优：一元一次不等式-2025-2026学年数学七年级下册苏科版（2024） 一、单选题 1．“的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（   ） A． B． C． D． 2．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是5克，则天平左盘中的每个小立方体的质量的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 4．关于的不等式组的解集是，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．下列判断不正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．如图1，某工厂内的一人形机器人正在搬运货物，如图2，这是该款人形机器人说明书上的一部分，表示该人形机器人每次搬运的货物的质量不能超过．设该人形机器人每次搬运的货物的质量为kg，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 8．某中学在五一到来之际组织了一场以“强国有我”为主题的知识竞赛，这次竞赛共20道题，评分标准是____，小刚在这次竞赛中有2题未答，已知他的总分不低于80分，那么小刚至少答对的题数是多少？若设小刚答对了x道题目，可列不等式，则此次知识竞赛的评分标准是（   ）． A．答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． B．答对1题给5分，答错1题不扣分，不答题扣2分． C．答对1题给5分，答错1题或不答题扣2分． D．答对1题给5分，答错1题或不答题不给分也不扣分． 9．某校举行定点投篮趣味赛，在较远位置投中一球得5分（称“五分球”），在较近位置投中一球得3分（称“三分球”），未投中得0分．小慧同学共投篮20次，其中3次未投中，最终得分不低于70分．若设小慧同学投中了个五分球，则可列出的不等式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．写出不等式的一个整数解______．（写出一个即可） 11．若关于的不等式可化为，则的取值范围是______． 12．不等式组 的解集为________． 13．小周的妈妈需要购买一批厨房用品，经了解发现，甲、乙两家超市的优惠方式如下： 超市 优惠方式 甲 所有厨房用品按标价的八折优惠 乙 总标价不超过200元的部分，按九五折优惠 总标价超过200元的部分，按六折优惠 通过计算，小周的妈妈发现在乙超市购买这批厨房用品更加划算，设这批厨房用品的总标价为x元，则x的取值范围为______． 14．如图，要使输出的y值大于75，则输入的最小正整数x是 _____． 15．对于不等式，当时，，当时，．当关于的不等式，其解集中无正整数解，则的取值范围_____． 16．关于x的不等式组． （1）当时，该不等式组的解集是________； （2）若不等式组有5个整数解，则a的取值范围是________． 三、解答题 17．解下列不等式（组）． (1)解不等式：； (2)求不等式组：的所有整数解的和． 18．绿水青山就是金山银山，保护环境，就是保护未来．市环保局决定购买10台污水处理设备用于对主城区生活污水进行处理，现有甲、乙两种型号的设备．经调查：购买3台甲型设备和2台乙型设备一共26万元，购买2台甲型设备比购买4台乙型设备少4万元． (1)求甲型、乙型设备每台各是多少钱； (2)市环保局购买污水处理设备的预算资金不超过54万元，并且甲型设备的数量不少于乙型设备的数量，请你计算有哪几种购买方案？请列出购买方案，并写出相应的费用． 19．对于两个关于x的不等式，同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有k个整数，则称这两个不等式“关联”，例如不等式和不等式是“关联”的． (1)请判断不等式和是否是“关联”的，并说明理由； (2)若和是“关联”的，求a的最小整数值； (3)若不等式和是“关联”的，直接写出b的值． 20．阅读理解：的几何意义为有理数在数轴上对应的点到原点的距离．由此我们知道：如图1，若，则在数轴上对应的点到原点距离大于2，所以不等式的解集是或；如图2，若，则在数轴上对应的点到原点距离小于2，所以不等式的解集是． 解答下面的问题： (1)不等式的解集为 ，不等式的解集为 ； (2)解不等式：； (3)求的最小值； (4)若关于的不等式无解，求的取值范围． 21．阅读理解： 定义：若一个未知数的值使方程（组）与不等式（组）同时成立，则称这个未知数的值是该方程（组）与不等式（组）的“关联公共解”．例如：当时，方程与不等式同时成立，则称“”是方程与不等式的“关联公共解”． 问题解决： (1)方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“关联公共解”_________ ①    ②    ③ (2)若方程组与不等式存在“关联公共解”，求的取值范围． (3)当时，方程的解都是此方程与不等式的“关联公共解”．若且满足条件的整数有且只有2个，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专题提优：一元一次不等式-2025-2026学年数学七年级下册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A C B B C C B A B 1．A 【详解】由题意，可列不等式为. 2．C 【分析】根据图形，列出不等式组进行求解即可． 【详解】解：根据题意，得 解得：． 3．B 【详解】解：， 解得： 在数轴上表示为： 4．B 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再根据一元一次不等式组“同小取小”的解集原则，结合已知解集得到关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集是，根据“同小取小”的原则，可得， 不等式两边同时加，得． 5．C 【分析】注意不等式两边乘除同一个数时，该数的符号会影响不等号的方向，符号不确定时无法确定变形结果． 【详解】解：根据不等式的基本性质逐一判断： A选项，∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴ ，A判断正确； B选项，∵ ，不等式两边同加，不等号方向不变， ∴ ，B判断正确； C选项，∵ ，当时可得，当时可得，当时， 故的符号不确定，无法推出，C判断不正确； D选项，∵ ， ∴ ， ∵ ，不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ∴ ，D判断正确． 6．C 【分析】“不能超过”是不等关系中的“小于或等于”，即；同时货物质量必须为正数，即，综合可得取值范围． 【详解】解：由题意，该人形机器人每次搬运的货物质量不能超过， ． 又货物质量为正数， ． 综上，的取值范围是． 7．B 【分析】先解一元一次不等式组，根据整数解的个数确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组有整数解筛选出符合条件的整数，最后计算这些整数的和即可． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得 ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有5个整数解，5个整数解为 ∴， 解得，可得整数的可能取值为， 解二元一次方程组 将第二个方程乘2得，与第一个方程相加解得： 代入第二个方程得， ∵方程组有整数解，即均为整数，逐个验证： ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，不是整数，不符合； 符合条件的所有整数的和为：． 8．A 【分析】根据不等式中各项的含义，分别分析答对、答错、未答题的计分规则，从而确定评分标准． 【详解】解：已知一共20道题，2题未答，答对道，则答错的题目数量为， 不等式中： 表示答对道题，1题得5分的总得分； 表示答错道题，1题扣2分的扣分； 未答的2道题，式子中未涉及加减，说明不答题不给分也不扣分， 因此评分标准为：答对1题给5分，答错1题扣2分，不答题不给分也不扣分． 9．B 【分析】先根据总投篮次数和未投中次数求出投中球的总次数，再得到投中三分球的个数，结合得分规则和“不低于70分”的条件列出不等式即可． 【详解】小慧共投篮20次，3次未投中， 投中球的总次数为 次， 投中五分球共个， 投中三分球的个数为 个， 根据得分规则，总得分五分球得分三分球得分，即总得分表示为， 最终得分不低于70分，“不低于”表示大于等于， 可列不等式． 10．（答案不唯一） 【分析】先根据一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再从解集中选取一个整数即可． 【详解】解：解不等式， 移项得， 合并同类项得， 系数化为，得， 不等式的整数解为所有大于的整数，任取其中一个即可，例如（答案不唯一）． 11． 【分析】利用不等式的基本性质，根据变形后不等号方向改变，可得的系数为负数，据此求解的取值范围． 【详解】解：不等式可化为，不等号方向发生改变， ， 解得：． 12． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 13． 【分析】根据在乙超市购买这批厨房用品更加划算，可列出关于x的一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意可得总标价不超过200元时甲的折扣更多，更优惠， ∴在乙超市购买这批厨房用品更加划算时，， ∴根据题意得， 解得． 14．16 【分析】根据程序图分输入的x为奇数或偶数两种情况列不等式取符合题意的最小值． 【详解】解：①当输入的x为奇数时，， 解得：， ∴此时输入的最小正整数为17； ②当x为偶数时，， 解得：， ∴此时输入的最小正整数为16， 综上，要使输出值y大于75，输入的最小正整数x是16． 15． 【分析】先根据，将已知指数不等式转化为一元一次不等式，整理后分，，三种情况讨论，结合解集中无正整数解的条件，求出的取值范围． 【详解】解：，， ， 移项整理得 ， 当，即时， 不等式的解集为， ， 解集中一定包含正整数，不符合解集中无正整数解的要求，故此情况舍去． 当，即时，不等式变为，即恒成立，解集为全体实数，一定包含正整数，不符合要求，故此情况舍去． 当，即时，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变， 得解集为：， 解集中无正整数解， ， ，不等式两边同乘不等号方向不变， 得，解得， 满足的条件． 综上，的取值范围是． 16． 【分析】先解出原不等式组中的两个不等式解集分别为：，， （1）把代入解集中，解不等式组即可； （2）根据题意得，不等式组有且只有5个整数解，所以确定出的值，只能取，再写出实数的取值范围即可． 【详解】解：先解不等式组中的两个不等式， 解不等式， 展开得， 移项合并同类项得， 解不等式， 两边同乘6去分母得， 展开整理得， 解得， 因此不等式组的解集为. （1）当时，代入得， 因此不等式组的解集为. （2）若不等式组有5个整数解，由可知，5个整数解依次为， 因此可得不等关系， 不等式三边同时加2得， 三边同时除以3得. 17．(1) (2)，整数解和为 【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化为1即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解进一步求和即可． 【详解】（1）解：∵， ∴；     ∴；         解得：． （2）解：， 解不等式①得，     解不等式②得，     ∴不等式组的解集为， ∴整数解为、、、、，     ∴整数的解和为． 18．(1)甲型设备每台6万元，乙型设备每台4万元． (2)共有3种购买方案，分别为： 方案1：购买甲型设备5台，乙型设备5台，总费用50万元； 方案2：购买甲型设备6台，乙型设备4台，总费用52万元； 方案3：购买甲型设备7台，乙型设备3台，总费用54万元． 【分析】（1）先设甲型设备每台万元，乙型设备每台万元，再根据题意列出方程组，最后解方程组即可； （2）先设购买甲型设备台，则购买乙型设备台，再根据题意列出一元一次不等式组，进一步得出的取值范围，结合题意即可解答． 【详解】（1）解：设甲型设备每台万元，乙型设备每台万元， 由题意得，， 解得，． 答：甲型设备每台6万元，乙型设备每台4万元． （2）解：设购买甲型设备台，则购买乙型设备台， 由题意得，， 解得，， 又为整数， ，，， ，，， 即共有3种购买方案，分别为： 方案1：购买甲型设备5台，乙型设备5台，总费用为（万元）； 方案2：购买甲型设备6台，乙型设备4台，总费用为（万元）； 方案3：购买甲型设备7台，乙型设备3台，总费用为（万元）． 19．(1) 解：是，理由如下： 解不等式，得； 解不等式，得； ∴同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有1个整数， ∴不等式和是“关联”的； (2) (3) 【分析】（1）求得这两个不等式的解集，然后按照定义判断即可； （2）先求得这两个不等式的公共解集，然后根据定义可知公共解集有且仅有3个整数，得到关于的不等式组，即可解答； （3）先求得这两个不等式的解集，再根据这两个不等式的解集有公共部分得到的取值范围，然后根据为整数，分别代入计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：解不等式，得， ∵和是“关联”的， ∴满足这两个不等式的x的值中，有且仅有3个整数，分别为、、， ∴，解得：， ∴a的最小整数值为； （3）解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式和是“关联”的，即这两个不等式的解集有公共部分， ∴，解得， ∴，且为整数， 当时，，此时是“关联”的，不符合题意； 当时，，此时是“关联”的，不符合题意； 当时，，此时是“关联”的，不符合题意； 当时，，此时是“关联”的，符合题意； ∴的值为3． 20．(1)或， (2)或 (3) (4) 【分析】（1）由于的解集是，的解集是或，根据它们即可确定和的解集； （2）把当作一个整体，首先利用（1）的结论可以求出的取值范围，然后就可以求出x的取值范围； （3）根据绝对值的几何意义可得表示数轴上点到的距离与到的距离的和，进而求得最小值； （4）仿照（3）即可求解． 【详解】（1）解：不等式的解集为或． 不等式的解集为； （2）解：， ∴或， ∴或； （3）解：表示数轴上点到的距离与到的距离之和， ∴当时，距离之和最小，且最小值为点到的距离之和，即 ∴的最小值为； （4）解：表示数轴上点到的距离与到的距离之和， ∴当时，距离之和最小，且最小值为点到的距离之和，即 ∴的最小值为； ∵无解 ∴ 解得： 21．(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）先解方程得到的值，再逐一验证不等式（组）； （2）通过方程组变形得到的表达式，代入不等式求解的范围； （3）先根据条件得到的取值范围，再根据整数的个数列出不等式组求解的范围． 【详解】（1）解方程 解得 ① 解不等式得，不满足，不是“关联公共解” ② 解不等式得，，满足，是“关联公共解” ③ 解不等式组 得，解集为，满足，是“关联公共解” （2）解：已知 得： 因为方程组与不等式存在“关联公共解” 所以 即 解得． （3）解：解方程得 因为，所以， ∴，即所有满足条件的方程的解都小于4 解不等式， ∴， ∵， ∴， 要使恒成立，则 ∵， ∴，即整数满足且整数有且只有2个，这两个整数为、，因此： ∴ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $