暑假作业08 二元一次方程组、一元一次不等式的含参问题14题型（巩固培优）七年级数学新教材苏科版

**基本信息** 聚焦二元一次方程组与一元一次不等式含参问题，按“基础求解—综合应用—拓展探究”逻辑分层设计题型，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |已知解求参数|1-9题|含参方程（组）解的直接代入与固定解探究|从单一解代入到方程组解的关联，构建参数求解基础模型| |综合应用|10-25题|同解、错解复原、整数解及方程与不等式综合|整合方程解的性质与不等式解集分析，培养综合推理能力| |不等式含参|26-44题|解集情况、整数解及绝对值不等式|从解集判断到参数范围确定，深化模型观念与运算精准性|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 二元一次方程组、一元一次不等式的含参问题 【题型1 已知二元一次方程的解求参数】 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若是二元一次方程的解，则_____ ． 【答案】2 【详解】解：把代入二元一次方程得，， 解得． 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若是方程的解，则的值为__________． 【答案】 【分析】把代入方程得到的值，再把所求变形即可求解． 【详解】把解：代入方程得到 ∴． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解的意义是解题的关键． （1）把、的值代入即可求出的值； （2）先把方程整理为，再根据题意得出，即可求出的值，继而求出的值，从而得到方程的固定解． 【详解】（1）解：当，时，， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， 不论取何值时，二元一次方程总有一个固定的解， ， ， ， ， 二元一次方程的固定的解是． 【题型2 已知二元一次方程（组）的解求参数】 4．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若关于，的方程是二元一次方程，则______． 【答案】 【分析】由二元一次方程定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程，求出m和n的值，再根据负整数指数幂求解即可． 【详解】解：由二元一次方程定义得且，， 故，； 则． 5．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 【答案】0 【分析】只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴． 6．（20-21七年级下·全国·课后作业）若是关于，的二元一次方程组，则__，__，__． 【答案】 3或2 【分析】二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据此列式即可求解． 【详解】解：是关于，的二元一次方程组， ，或0，， 解得：或2，，， 答案：3或2，， 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解． 【题型3 已知二元一次方程组的解求参数】 7．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则__． 【答案】6 【分析】把代入，可得，的值，即可求解． 【详解】解：把代入得，， 解得， ∴． 8．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解为，则方程组的解为________． 【答案】 【分析】根据方程组解的定义，先利用已知的原方程组的解求出m和n的值，再将m，n代入所求方程组，解二元一次方程组即可得到结果． 【详解】解：将代入原方程组， 解得， 将代入所求方程组，得 ， 整理，得 ，， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解是． 9．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知（m为常数）是方程组的解，则关于x，y的二元一次方程“☆”可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，先代入计算得的值，设☆为：，将代入得关系式，最后选取数值得到方程． 【详解】解：将代入， 得：， 解得：， 设☆为：（不全为0）， 将代入，得：， 只要满足上述关系且即可， 令， 则， 则此时的方程为：． 【题型4 同解方程组】 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x，y的方程组 和关于x，y的方程组 的解相同，求 的值． 【答案】0 【分析】先求出，再将代入，解得，即可得到答案． 【详解】解：两个方程组的解相同，故是两个方程组的公共解， 解得， 将代入，得， 解得， ． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于，的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】243 【分析】本题主要考查二元一次方程组同解问题． 先联立方程组求出其解，再将解代入另外两个方程得到关于的方程组，解出的值，最后代入所求表达式计算即可． 【详解】解：解方程组，得， 由题意得方程组，解得， 则． 12．（21-22七年级下·江苏泰州·期中）阅读与思考：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法． 例如：． (1)【解决问题】补全下列完全平方式： ①_________；②_______． (2)【变式训练】试说明无论x取何值，代数式是正数； (3)【深入研究】若，，比较M、N的大小； (4)【拓展应用】关于x、y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】(1)①1；② 4y2 (2)见解析 (3)M≥N (4)2 【分析】（1）根据完全平方式的形式直接得出结果； （2）先将原式配成完全平方式即可； （3）将M、N分别配成完全平方式，再比较大小； （4）解方程组，用含m、n的代数式表示出x、y，再将x、y代入求出m、n的值，即可计算． 【详解】（1）解：①1　；② 　4y2　＋4y＋1. （2）x2﹣12x＋37 ＝ x2﹣12x＋36＋37﹣36   ＝（x﹣6）2＋1                       ∵（x﹣6）2≥0        ∴（x﹣6）2＋1＞0                     ∴无论x取何值，代数式x2﹣12x＋37是正数 （3）M﹣N＝（2x2＋4x＋5＋y2）﹣（x2＋6x＋4） ＝2x2＋4x＋5＋y2﹣x2﹣6x﹣4 ＝x2﹣2x＋1＋y2 ＝（x﹣1）2＋y2                  ∵（x﹣1）2≥0  y2≥0 ∴（x﹣1）2＋y2 ≥0                  ∴M≥N （4）解二元一次方程组 得         把代入中得 ①＋②得：2m2＋2mn＋n2＋4m＋4＝0 ∴m2＋2mn＋n2＋m2＋4m＋4＝0 ∴（m＋n）2＋（m＋2）2＝0                            ∴ ∴                             ∴m＋2n＝﹣2＋2×2＝2 ∴m＋2n的值为2 【点睛】本题考查完全平方式，解二元一次方程组，灵活运用完全平方式是解题的关键． 【题型5 错解复原问题】 13．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程组的解． 【答案】 【分析】根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：甲看错了b，把甲求得的解代入①得，, 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②得，, 得， ∴， 得：， 解得， 把代入②得：， ∴原方程组的解为． 14．（25-26七年级下·全国·周测）小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 【答案】，；0 【分析】小明看错了方程①中的，但他的解对于方程②是成立的，因此可以代入方程②求出的值； 小红看错了方程②中的，但她的解对于方程①是成立的，因此可以代入方程①求出的值； 最后将、的值代入代数式计算结果． 【详解】解：将代入②，得，解得． 将代入①，得，解得． 故． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的错解问题，解题关键是明确：看错某个方程的系数，意味着该解对于另一个未看错系数的方程是成立的，从而代入求解． 15．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把错看成了1，乙把错看成了1 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，熟练掌握二元一次方程组的解和解二元一次方程组的方法，是解题的关键： （1）分别把两组解代入方程组中，进行求解即可； （2）根据（1）得到正确的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：； 故甲把错看成了1； 把代入，得：， 解得：， 故乙把错看成了1； （2）解：由（1）可知，， ∴原方程组为：， 解得：． 【题型6 根据二元一次方程组的解满足的情况求参数】 16．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）若关于x，y的方程组的解x，y满足，则k的值为______． 【答案】1 【分析】将方程组的两个方程作差，得到关于的表达式，结合已知条件建立一元一次方程，即可求解的值． 【详解】解：， 得：， 化简得：， ， ， 解得． 17．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知关于的方程组，给出下列说法： ①若方程组的解互为相反数，则； ②若方程组的解也满足，则； ③当时，方程组的解也是关于的二元一次方程的解； ④无论取何值，代数式的值不变，始终为定值．其中正确的有__________．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了加减消元法，已知二元一次方程组的解的情况求参数，二元一次方程的解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 假设解互为相反数，即，代入方程组求解得，与给定不符，由此判断①； 先求出方程组的通解，，代入得，由此判断②； 当时，方程组的解为，，代入成立，由此判断③； 计算得定值3，与无关，由此判断④． 【详解】解：若方程组的解互为相反数， 则， 将代入， 得， 解得：； 将代入， 得， 即； ∴， 解得：， 这与矛盾， 故说法①错误； 方程组， 解得：， 将代入， 得， 即， 解得：， 故说法②正确； 当时，，； 代入，得左边， 且右边，左边=右边， 故说法③正确； 计算， 结果为定值，与无关， 故说法④正确， 故答案为：②③④． 18．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为______． 【答案】4 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、二元一次方程组的解，根据关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组恰有3个整数解，可以求得a的值，然后即可求得所有满足条件的整数a的和． 【详解】解：由可得， 由不等式组可得， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴这三个整数解为2，1，0， ∴， 解得， 又∵关于x，y的方程组的解都为整数， ∴或3， ∴所有满足条件的整数a的和为， 故答案为：4． 【题型7 方程组与不等式组综合】 19．（22-23七年级下·重庆·期末）若整数a使关于x的不等式组有解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的积是________． 【答案】80 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，二元一次方程组的解法，先根据不等式组有解求出a的范围，再根据关于x，y的方程组的解为正整数确定所有满足条件的整数a的值，最后求积即可解答． 【详解】解：整理不等式组可得：， 由不等式组有解，得到，解得：， 解方程组，得， ∵关于x，y的方程组的解为正整数， ∴的值为或或或或或， ∴a的值为1或0或或或或， ∵， ∴a的值为或或或， ∴所有满足条件的整数a的值的积是． 故答案为： 20．（21-22七年级下·安徽芜湖·期末）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的平方根为_____． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，根据解是正整数列出一元一次不等式组，解关于的不等式，进而根据是正整数的条件求得的范围，解一元一次不等式组，根据有且仅有2个整数解，确定的值，然后再求m的平方根即可． 【详解】解：由二元一次方程组，得， ∵整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数， ∴，解得，， ∴m＝5或6， 当m＝5时，x＝3，y＝2， 当m＝6时，x＝1.5不符合题意，舍去； ∴m＝5， 由不等式组，得x≤6， ∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解， ∴，解得，5≤m， 由上可得，m的值为5， ∴m的平方根为±． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 21．（江苏省宿迁市宿豫区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题）已知关于的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【答案】的整数值为、． 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先用整体法解二元一次方程组，然后代入不等式组求解即可． 【详解】解： 得：， 得： ， 代入不等式得：， 解不等式组得：， ∴满足条件的的整数值为：、． 【题型8 与二元一次方程组有关的整数解问题】 22．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的整数m的值为______． 【答案】 【分析】先用加减消元法消去y，将x表示为含m的分式，再根据x为整数得出分母是22的因数．逐一验证确定m的值，若m的值是整数，则代入检验y是否为整数． 【详解】解： 将②得，③ ①+③，得， ， 为整数， 是22的因数， 22的因数为， 当时，代入②得解得为整数，符合； 当时（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，，代入②得不是整数，舍去； 当时，（舍去）． 故答案为：． 23．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知是整数，且满足，，则整数的所有可能值是_________． 【答案】、、、、 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解问题，先得到，再把代入方程中得到，再分当时，当时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，此时，不符合题意； 当时，则， ∵y是整数， ∴是整数，即是整数， ∴或或， ∴或或或或或， ∴整数的所有可能值是、、、、， 故答案为：、、、、． 24．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则的值为________． 【答案】3或15 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组得出，，结合二元一次方程组的解是正整数求出或，分情况代入代数式计算即可得出结果． 【详解】解：， 由可得：， ∴， 将代入②可得：， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组有正整数解， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为3或15． 25．（23-24七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． 【答案】(1) (2)0或 (3)当时；当时 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解二元一次方程： （1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为负整数，，可得或或或，再根据x为整数即可得到答案； （3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或，从而得到k取0或1，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵、为正整数， ∴是3的倍数，且， ∴只有，满足题意， ∴方程的正整数解为； 故答案为： ； （2）解；∵为负整数，， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）； 故答案为：0或； （3）解：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为 ∵关于x，y的二元一次方程组的解是正整数， ∴都是正整数， ∴当为正整数时，或或或； 当为正整数数，或， ∴只有当或时都是正整数， ∴或， ∴当时，；当时，。 【题型9 根据不等式解集情况求参数】 26．（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据不等式解集的不等号方向变化，利用不等式的基本性质判断的系数的正负，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：不等式 的解集为，不等号方向发生改变， 根据不等式的基本性质3：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变， 可得 ， 移项得 ， 系数化为得． 27．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】先根据已知不等式的解集确定的符号，得到与的数量关系，再代入待求不等式，根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：， 移项，得， ∵解集是， ∴，且，即， 将代入不等式，得，， 合并同类项，得， ∵， ∴两边同除以，得． 28．（2026·重庆·二模）若m为正整数，且满足，则________． 【答案】10 【分析】先估算无理数的取值范围，再根据不等式的性质推导 的范围，结合已知不等式求解正整数． 【详解】解：因为 ，， 所以 ， 不等式三边同乘正数，根据不等式的性质，不等号方向不变，得 ， 不等式三边同减，得 ， 因为为正整数，且满足 ， 所以 【题型10 已知不等式的整数解情况求参数】 29．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 30．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则代数式的值为__________． 【答案】8 【分析】本题综合考查解不等式、方程及代数式求值，需注意每一步的符号和计算准确性．本题需先解给定的不等式，找到其最大整数解，再将其代入方程求出的值，最后计算代数式的值．解题的关键在于正确求解不等式和方程，并准确代入计算． 【详解】解：解不等式 ： 解得：， 该不等式最大的整数解为， 将代入方程： ，化简得：， 解得：， 将代入： ． 故答案为：8． 31．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则满足条件的正整数m的值为__________． 【答案】4 【分析】本题考查一元一次不等式的含参问题，掌握求一元一次不等式的方法，取值方法是解题的关键． 首先解不等式，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于m的不等式，求得m的范围即可求解． 【详解】解： 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为1，得： ， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， ∴满足条件的正整数m的值为4． 故答案为：4． 32．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段检测）关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是____． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式求出解集是解题关键．先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式有最小整数解2， ， 解得：， 故答案为：． 【题型11 解|x|≥a型的不等式】 33．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解二元一次方程组，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式的能力． （1）依据题意，由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）依据题意，由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：对于含绝对值的不等式， 从如图的数轴上看：小于或大于2的数的绝对值大于2， 所以的解集为或． 根据绝对值的定义得：或； （2）解：由题意， ， ， ， 解集为， ， ． 34．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）阅读下列材料： ，像这样的不等式，叫绝对值不等式．解绝对值不等式的方法是想办法去掉绝对值符号，转化成已学过的不等式（组）来解决．例如： 解不等式：． 解：①当时，原不等式变形为，解得； ②当时，原不等式变形为，解得． 综合①②可得，原不等式的解集为或． (1)解不等式：； (2)解不等式：； (3)若关于的不等式中，对于任意的都有使得该不等式成立，当______时，有最大值为_______． 【答案】(1) (2) (3)0；6 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集情况求参数，绝对值的几何意义，正确理解题意是解题的关键． （1）当时，原不等式变形为，当时，原不等式变形为，分别解不等式组即可得到答案； （2）当时，原不等式变形为，当时，原不等式变形为，分别解不等式组即可得到答案； （3）可把原不等式变形为，根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，最小值为，再由关于的不等式中，对于任意的都有使得该不等式成立，得到，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，原不等式变形为， 解得； 当时，原不等式变形为，此时不等式组无解； 综上所述，； （2）解：当时，原不等式变形为， 解得； 当时，原不等式变形为， 解得； 当时，原不等式变形为， 解得； 综上所述，； （3）解：∵， ∴； 由绝对值的几何意义可知表示的是数轴上表示数x的点到表示数的点和到表示数1的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， ∵关于的不等式中，对于任意的都有使得该不等式成立， ∴， ∴， ∴m的最大值为6， ∴当时，m有最大值为6． 35．（21-22七年级下·河南信阳·期末）请阅读求绝对值不等式和的解集的过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或． (1)求绝对值不等式的解集； (2)已知绝对值不等式的解集为，求的值； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）由|2x−1|＜a知−a＜2x−1＜a，据此得出，再结合b＜x＜3可得出关于a、b的方程组，解之即可求出a、b的值，从而得出答案． 【详解】（1）根据绝对值的定义得：或， 解得或； （2）， ， 解得， 解集为， ， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握绝对值的几何意义及解一元一次不等式和不等式组的基本步骤． 【题型12 已知不等式组的整数解情况求参数】 36．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据解集中整数的个数确定整数解，进而推导参数a的取值范围． 【详解】解：解不等式得 ， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为： ， ∵解集中有且仅有3个整数， ∴满足条件的3个整数为， 由此可得的取值范围是：． 37．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有2个整数解，分别为， ∴， ∴， 故答案为：． 38．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)3；，0，1 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）由不等式，得，分和两种情况，求出解集，结合进行判断即可； （3）用a表示不等式组的解集，根据恰有3个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为：，0，1； 故答案为：3；，0，1． （2）解： 由不等式，得， 当即时，， 结合得解集为：4和中的较小值， “长度”， ， 解得，满足，符合题意； 当即时，， 结合得解集为：，无法满足“长度”，不合题意； 综上可知，a的值为； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组有3个“整点”， ∴，其中， 设3个整数解为k，，， 则， 变形得， ， ，， 根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2， 其中，当整数解为，，0，即时， 可得 解得a的取值范围为，符合题意； 当整数解为，0，1，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 当整数解为0，1，2，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的取值范围为． 【题型13 根据不等式组解集求参数】 39．（24-25七年级下·重庆万州·期中）若不等式组 的解集为，则的值等于 （    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组），解一元一次方程等知识点，解此题的关键是求出关于a和b的方程． 根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据不等式组的解集得出，，求解并代入计算即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组 的解集为， 不等式组 的解集为 -1 < x < 1， ，， 解得：，， ， 故选D． 40．（2024九年级下·浙江·专题练习）关于x的不等式组的解集为，则的值为（　　） A． B．3 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式的解集是，可得，，即可求解；理解不等式组的解集是解题的关键. 【详解】 解：由①得：， 由②得：， 解集为， ，， 解得：，， 则 ， 故选：C． 41．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）若不等式组的解集为，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据已知的不等式组解集，建立关于，的一元一次方程，求出，的值后代入计算即可得到结果． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②：得 因此不等式组的解集为 不等式组的解集为 ， 解得， ． 【题型14 根据不等式组解集的情况求参数】 42．（21-22七年级下·江苏盐城·期末）若不等式组有解，则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先将不等式组变形为 ，之后根据方程有解即可判断的范围． 【详解】解：变形为 ， 有解，即有解， 故． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若＞较小的数、＜较大的数，那么解集为介于两数之间． 43．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】此题考查根据一元一次不等式组的解集求参数，根据一元一次不等式组解集的无解的确定方法：大大小小无解找，确定取值范围即可． 【详解】解：由解得， ∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴，即m的取值范围是， 故答案为：． 44．（22-23七年级下·四川自贡·期末）已知不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求 a的值； (2)若该不等式组无解，求 a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解不等式组中两个不等式后根据不等式组的解集可得关于a的方程，解之可得； （2）根据“大小小大无解了”可确定关于a的不等式，解之可得． 【详解】（1）解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：； （2）解：∵不等式组无解， ∴， 解得：． 1．（24-25七年级下·广西河池·期末）阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，      又，，． 又， …………①． 同理可得…………②． 由①②得：． 的取值范围是． 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是___________； (2)已知关于，的方程组的解都是正数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式，解二元一次方程组，理解题意，熟练掌握题干已知解法是解题关键． （1）仿照已知解法进行求解即可得到答案； （2）先解不等式组，再根据不等式组的解都是正数，即可求出a的取值范围； （3）仿照已知解法结合（2）中结论，进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 又， ①， 同理可得②， 由得：， 的取值范围是， 故答案为：； （2）解：， 解得：， ，， ， 解不等式组得：， 的取值范围为：； （3）解：∵， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴①， 又∵， ∴， ∵， ， ②， 由①②得：， 的取值范围是． 2．（22-23七年级下·湖北恩施·阶段检测）阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：． (1)填空：若，则___________，，则x的取值范围___________． (2)芳对于正整数m、n，满足，求的值； (3)若对于两个非负数x、y，满足，求实数k的取值范围． 【答案】(1)0.25， (2)3 (3) 【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则，列出方程或不等式，即可求解； （2）根据二阶行列式的运算法则，列出不等式，即可求解； （3）根据二阶行列式的运算法则，列出方程组，求出x，y，再根据均为非负数，得到关于k的不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 根据题意得：， 解得：； 故答案为：，； （2）解：由题意得，， ， 是正整数， ，或 ； （3）解：由题意可得， ， 得：，解得：， 将代入②，得：， 解得， 均为非负数， ， 解得． 【点睛】本题考查实数的新运算，一元一次不等式，二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握实数的新运算法则，解一元一次不等式组的解集，解二元一次方程组． 3．（22-23七年级下·四川南充·期末）阅读下面材料： 关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．    解：∵，∴当时，，当时，． ∵x的不等式的所有解都满足， ∴． 根据材料，完成下列各题： (1)解关于x的不等式． (2)关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围． (3)如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)或 【分析】（1）分两种情况讨论解不等式即可； （2）仿照阅读材料解答即可； （3）解每个不等式，然后仿照阅读材料讨论，由于不等式组非负整数解的和为3，则不合题意，于是得到三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 当时，． （2）解：∵， ∴， ∵关于x不等式的所有解都满足不等式， ∴且， ∴； ∴； （3）解： 由①得，， 由②得，， ∵不等式组非负整数解的和为3， ∴不合题意，， ∵非负整数解的和为3， ∴①非负整数解为0,1,2， ∴， 解得，∴无解； ②非负整数解为1,2， ∴， 解得， ∴； ③非负整数解为3， ∴ ∴， 解得， 综上或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式（组），仿照阅读材料的解题思路求解是解题的关键． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解” (1)组合是 ；（填梦想解或无缘解） (2)若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围； (3)若关于x的是“无缘解”则m的取值范围为 ． 【答案】(1)无缘解 (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握求解方法，理解题意是解此题的关键． （1）分别求出方程和不等式的解，再结合题意判断即可得解； （2）分别求出方程和不等式的解，再结合“梦想解”的定义得出，求解即可； （3）分别求出方程和不等式的解，再结合“无缘解”的定义得出，求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解不等式得：， 方程的解不满足，故此组合为无缘解； （2）解：解方程得：， 解不等式得：， ∵关于x的组合是“梦想解”， ∴， 解得：； （3）解：解方程得：， 解不等式得：， ∵关于x的是“无缘解”， ∴， 解得：． 1．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段检测）对x，y定义一种新的运算f，规定：（其中）． (1)若已知，，则______． (2)已知，，求a，b的值； (3)在（2）问的基础上， ①若，则x的取值范围为______； ②若，求x的取值范围； ③若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，求k的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3)①；②；③ 【分析】（1）根据新定义运算列出算式求解； （2）根据，，可得方程组，解方程即可； （3）①由（2）可知，，再由，可得，解不等式即可； ②分两种情况讨论：当时，，时，，分别列不等式组求解即可； ③由，，可得，，根据题意可列不等式组，求得，再根据关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，可得，再进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵，， ∴， 故答案为：4； （2）解：∵，， ∴， 解得； （3）解：①由（2）可知，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：； ②当时，， ∴，解得， 当时，， ∴， ∴不等式无解， ∴x的取值范围为， ③∵m为正数， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵关于正数m的不等式组恰好有2个整数解， ∴， 解得． 【点睛】本题考查新定义运算、解一元一次不等式和一元一次不等式组、解二元一次方程组、根据不等式组的整数解求参数，理解新定义，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）定义：关于，的二元一次方程中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3)2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值、解一元一次不等式等知识，正确理解交换系数方程的定义是解题关键． （1）根据题目所给“交换系数方程”的定义进行解答即可； （2）根据交换系数方程的定义建立方程组，解方程组求出，的值，再代入方程可得，，据此计算即可得； （3）根据交换系数方程的定义求出方程的交换系数方程，再分两种情况讨论，对比方程的各系数，解方程组求出，，然后根据，为整数求解即可得． 【详解】（1）解：根据“交换系数方程”的定义可知方程的交换系数方程为或． 或． 或． 故答案为：或． （2）解：由题意，方程与它的交换系数方程组成的方程组为①或②， 解方程组①得， ， ， 方程组①的解为， 解方程组②得， ， 方程组②的解为， 综上，方程与它的交换系数方程组成的方程组的解为， 由题意可知，将代入，得：， ，， ． （3）解：由题意，方程的交换系数方程为或， ①当方程的交换系数方程为时， 是关于，的二元一次方程的交换系数方程， 各系数与各系数相等， ， ， ， ， ， ， 为整数， ，即， ． ②当方程的交换系数方程为时， 由条件可知各系数与各系数相等， ． ，不是整数，不符合题意，舍去． 综上，的值为2． 3．（22-23七年级下·北京石景山·期末）对于二元一次方程的任意一个解给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)写出方程的一个解，并指明此时方程的“关联值”； (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)直接写出方程的最小“关联值”为______；当关联值为时，直接写出x的取值范围是______． 【答案】(1)方程的解为，方程的“关联值”为1（答案不唯一） (2)， (3)或 【分析】（1）根据“关联值”的概念求解即可； （2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可； （3）根据题意得到，进而得到当增大时，先减小到0，然后再增大，然后联立求解即可；根据题意分四种情况分别列出不等式求解即可． 【详解】（1）当时，即， 解得， ∵ ∴此时方程的“关联值”为1，方程的解为（答案不唯一）； （2）∵“关联值”为4， ∴①当时，即，解得， ∴方程的解为； ②当时，即，解得， ∴方程的解为； ③当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； ④当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； 综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）∵ ∴， ∵当时，， 当增大时，先减小到0，然后再增大， ∴当时，方程取得最小“关联值”， ∴联立，解得 ∴方程的最小“关联值”为； 当关联值为时，即， ∴， ∴ ∴①当，时，即，时， ∴，解得， ∴； ②当，时，即，时， ∴，解得， ∴； ③当，时，即，时， ∴，解得， ∴； ④当，时，即，时， ∴，解得， ∴； 综上所述，当或时，关联值为． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解和一元一次不等式，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系． 4．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解， （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【详解】（1）①，解得； ②，解得； ③，解得； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵在范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得， 综上所述，． 5．（22-23七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．    (1)在，0，2，3.5四个数中，连动数有______； (2)若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值； (3)若关于x的不等式组的解集中恰好有3个连动整数，求这3个连动整数的值及a的取值范围． 【答案】(1)，2 (2)或或； (3)a的取值范围是． 【分析】（1）根据连动数的定义即可确定； （2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可； （3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得． 【详解】（1）解：∵点P是线段上一动点，点A、点B对应的数分别是，1， 又∵， ∴连动数Q的范围为：或， ∴连动数有，2； 故答案为：，2； （2）解：， 得：， 得：， 要使x，y均为连动数， 或，解得或， 或，解得或， ∴或或； （3）解：解得： ， ∵解集中恰好有3个解是连动整数， ∴四个连动整数解为，1，2， ∴， ∴ ∴a的取值范围是． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键， 6．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段检测）阅读材料： 对于任意的非零实数x和正实数k，如果满足为整数，则称k是x的一个“整商系数”． 例如：时，有，则5是2的一个整商系数； 时，有，则20也是2的一个整商系数； 时，有，则10是的一个整商系数； 结论：一个非零实数x有无数个整商系数k，其中最小的一个整商系数记为， 例如 (1)          ；       ；            ． (2)若实数（）满足，且有正整数解，求实数b的取值范围． (3)若实数（且）满足，求a的取值范围． 【答案】(1)，20， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据和整商系数的定义进行求解即可； （2）求出，，再由结合a有正整数解列出不等式求解即可； （3）求出，，再由列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，为整数，且k为正实数， ∴（n为正整数）， ∴k的最小值为， ∴； ∵当时，为整数，且k为正实数， ∴（n为正整数）， ∴k的最小值为20， ∴； ∵当时，为整数，且k为正实数， ∴（n为负整数）， ∴k的最小值为， ∴； 故答案为：，20，； （2）解： ∵当时，为整数，且k为正实数，， ∴（n为正整数）， ∴k的最小值为， ∴； 同理可得最小值， ∵， 当时，则， ∴，即， ∵a有正整数解， ∴， ∴； 当时，则， ∴，即， ∵a有正整数解， ∴， ∴； 综上所述，或 ； （3）解：∵时，为整数，且k为正实数，， ∴（n为负整数）， ∴k的最小值为， ∴； 同理可得， ∵， ∴当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了新定义和解一元一次不等式，正确理解题意是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 二元一次方程组、一元一次不等式的含参问题 【题型1 已知二元一次方程的解求参数】 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）若是二元一次方程的解，则_____ ． 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若是方程的解，则的值为__________． 3．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）若关于x，y的二元一次方程（k为常数）． (1)当，时，求k的值； (2)不论k取何值时，二元一次方程总有一个固定的解，请你求出这个解． 【题型2 已知二元一次方程（组）的解求参数】 4．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）若关于，的方程是二元一次方程，则______． 5．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 6．（20-21七年级下·全国·课后作业）若是关于，的二元一次方程组，则__，__，__． 【题型3 已知二元一次方程组的解求参数】 7．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解为，则__． 8．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解为，则方程组的解为________． 9．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知（m为常数）是方程组的解，则关于x，y的二元一次方程“☆”可以是________．（写出一个即可） 【题型4 同解方程组】 10．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x，y的方程组 和关于x，y的方程组 的解相同，求 的值． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于，的方程组与有相同的解，求的值． 12．（21-22七年级下·江苏泰州·期中）阅读与思考：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法． 例如：． (1)【解决问题】补全下列完全平方式： ①_________；②_______． (2)【变式训练】试说明无论x取何值，代数式是正数； (3)【深入研究】若，，比较M、N的大小； (4)【拓展应用】关于x、y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【题型5 错解复原问题】 13．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得的解为，求原方程组的解． 14．（25-26七年级下·全国·周测）小红与小明两人共同解关于，的二元一次方程组在计算过程中，他们都出现了错误．根据下面的对话，试求出，的正确值，并计算的值． 15．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【题型6 根据二元一次方程组的解满足的情况求参数】 16．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）若关于x，y的方程组的解x，y满足，则k的值为______． 17．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知关于的方程组，给出下列说法： ①若方程组的解互为相反数，则； ②若方程组的解也满足，则； ③当时，方程组的解也是关于的二元一次方程的解； ④无论取何值，代数式的值不变，始终为定值．其中正确的有__________．（填序号） 18．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为______． 【题型7 方程组与不等式组综合】 19．（22-23七年级下·重庆·期末）若整数a使关于x的不等式组有解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的积是________． 20．（21-22七年级下·安徽芜湖·期末）整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的平方根为_____． 21．（江苏省宿迁市宿豫区2024-2025学年七年级下学期期末数学试题）已知关于的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【题型8 与二元一次方程组有关的整数解问题】 22．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）已知关于x、y的方程组的解为整数，则满足条件的整数m的值为______． 23．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知是整数，且满足，，则整数的所有可能值是_________． 24．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组有正整数解，其中k为整数，则的值为________． 25．（23-24七年级下·重庆·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的正整数解 ； (2)若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为 ； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解． 【题型9 根据不等式解集情况求参数】 26．（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为_______． 27．（25-26七年级下·江苏南通·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_____． 28．（2026·重庆·二模）若m为正整数，且满足，则________． 【题型10 已知不等式的整数解情况求参数】 29．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是________． 30．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则代数式的值为__________． 31．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）若关于x的不等式只有3个正整数解，则满足条件的正整数m的值为__________． 32．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段检测）关于的不等式的最小整数解为2，则实数的取值范围是____． 【题型11 解|x|≥a型的不等式】 33．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程． 对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．     (1)求含绝对值的不等式的解集； (2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值． 34．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）阅读下列材料： ，像这样的不等式，叫绝对值不等式．解绝对值不等式的方法是想办法去掉绝对值符号，转化成已学过的不等式（组）来解决．例如： 解不等式：． 解：①当时，原不等式变形为，解得； ②当时，原不等式变形为，解得． 综合①②可得，原不等式的解集为或． (1)解不等式：； (2)解不等式：； (3)若关于的不等式中，对于任意的都有使得该不等式成立，当______时，有最大值为_______． 35．（21-22七年级下·河南信阳·期末）请阅读求绝对值不等式和的解集的过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或． (1)求绝对值不等式的解集； (2)已知绝对值不等式的解集为，求的值； 【题型12 已知不等式组的整数解情况求参数】 36．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 37．（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于的不等式组恰有两个整数解，则的取值范围是___________． 38．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 【题型13 根据不等式组解集求参数】 39．（24-25七年级下·重庆万州·期中）若不等式组 的解集为，则的值等于 （    ） A．1 B． C．2 D． 40．（2024九年级下·浙江·专题练习）关于x的不等式组的解集为，则的值为（　　） A． B．3 C． D．1 41．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）若不等式组的解集为，则的值是__________． 【题型14 根据不等式组解集的情况求参数】 42．（21-22七年级下·江苏盐城·期末）若不等式组有解，则a的取值范围是_____． 43．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是______． 44．（22-23七年级下·四川自贡·期末）已知不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求 a的值； (2)若该不等式组无解，求 a的取值范围． 1．（24-25七年级下·广西河池·期末）阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，      又，，． 又， …………①． 同理可得…………②． 由①②得：． 的取值范围是． 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是___________； (2)已知关于，的方程组的解都是正数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若，，求的取值范围． 2．（22-23七年级下·湖北恩施·阶段检测）阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：． (1)填空：若，则___________，，则x的取值范围___________． (2)芳对于正整数m、n，满足，求的值； (3)若对于两个非负数x、y，满足，求实数k的取值范围． 3．（22-23七年级下·四川南充·期末）阅读下面材料： 关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．    解：∵，∴当时，，当时，． ∵x的不等式的所有解都满足， ∴． 根据材料，完成下列各题： (1)解关于x的不等式． (2)关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围． (3)如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“梦想解”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘解” (1)组合是 ；（填梦想解或无缘解） (2)若关于x的组合是“梦想解”，求a的取值范围； (3)若关于x的是“无缘解”则m的取值范围为 ． 1．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段检测）对x，y定义一种新的运算f，规定：（其中）． (1)若已知，，则______． (2)已知，，求a，b的值； (3)在（2）问的基础上， ①若，则x的取值范围为______； ②若，求x的取值范围； ③若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，求k的取值范围． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段检测）定义：关于，的二元一次方程中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或． (1)方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 ； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 3．（22-23七年级下·北京石景山·期末）对于二元一次方程的任意一个解给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)写出方程的一个解，并指明此时方程的“关联值”； (2)若“关联值”为4，写出所有满足条件的方程的解； (3)直接写出方程的最小“关联值”为______；当关联值为时，直接写出x的取值范围是______． 4．（22-23七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 5．（22-23七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P是线段上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．    (1)在，0，2，3.5四个数中，连动数有______； (2)若k使得方程组中的x，y均为连动数，求k所有可能的取值； (3)若关于x的不等式组的解集中恰好有3个连动整数，求这3个连动整数的值及a的取值范围． 6．（22-23七年级下·江苏扬州·阶段检测）阅读材料： 对于任意的非零实数x和正实数k，如果满足为整数，则称k是x的一个“整商系数”． 例如：时，有，则5是2的一个整商系数； 时，有，则20也是2的一个整商系数； 时，有，则10是的一个整商系数； 结论：一个非零实数x有无数个整商系数k，其中最小的一个整商系数记为， 例如 (1)          ；       ；            ． (2)若实数（）满足，且有正整数解，求实数b的取值范围． (3)若实数（且）满足，求a的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $