暑假专题提优：二元一次方程组2025-2026学年数学七年级下册苏科版

**基本信息** 苏科版七年级下册二元一次方程组暑假提优卷，以《九章算术》购物问题、幻方古算题等文化素材为情境，通过基础定义判断、含参数方程组、跨学科应用等梯度设计，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|9|二元一次方程定义、加减消元法、古代数学应用|第4题结合《九章算术》购物情境，第9题以幻方为载体考查方程组应用| |填空题|6|解的表示、参数计算、古代数学术语|第12题引用《代微积拾级》"天""地"术语，第15题创设"弦和"方程组新定义| |解答题|5|错解问题、整体代入法、实际应用|第18题强化"整体代入法"技巧，第20题探究特殊代数技巧迁移，第19题结合教室布置清单考查方案设计|

暑假专题提优：二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册苏科版（2024） 一、单选题 1．下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（  ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．在解方程组时，用加减消元法消去y的做法正确的是（     ） A． B． C． D． 4．《九章算术》是我国一部杰出的数学著作．其中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少4元，问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，物品价值y元，则可列二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 5．如图，大长方形是由7个形状大小完全相同的小长方形组成的，大长方形的周长为，则小长方形的两边长分别为（   ） A．3、4 B．2、5 C．3、6 D．4、5 6．已知关于，的方程组的解和的解相同，则的值为（     ） A． B． C．2026 D．1 7．已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数组解；③当时方程组无解；④无论为何值，方程组始终有一个解为．其中正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 9．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方，图2是一个未完成的幻方，则的值是（    ）． A．0 B． C． D．32 二、填空题 10． 写出二元一次方程的一个整数解是________． 11．若是二元一次方程的一组解，则________． 12．清朝时期的课本《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为2，“”的值为，则“天”与“地”的和为____． 13．学校为表彰在省中小学金钥匙科技竞赛中获奖的9名优秀学生，决定购买A、B两种奖品共9件．若购买A奖品5件、B奖品4件，则还差50元；若购买A奖品4件、B奖品5件，则剩余50元．若学校实际购买了A奖品2件、B奖品7件，则剩余______元． 14．关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是____________________ ． 15．对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“弦和”方程组．对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组，则的值为_____． 三、解答题 16．解二元一次方程组 (1) (2) 17．甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得．求原方程组的正确解． 18．阅读材料： 王星同学在解二元一次方程组时，是用以下方法解的： 解：由①，得 把③代入②，得，解得 把代入③，得，解得． 原方程组的解为． 这种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”， 请用此方法解方程组：． 19．某学校布置教室，购买了一些日常用品和装饰品，清单见右表（部分信息不全）： 物品名 单价/元 数量/个 金额/元 挂钟 30 2 60 拖布 15 小黑板 40 格言贴 45 2 90 门垫 35 1 35 合计 8 280 请完成下列问题： (1)求该学校购买的拖布、小黑板的数量． (2)若干天后，该学校再次购买格言贴和拖布两种物品（两种物品都有），共花费105元，则有几种不同的购买方案？请将方案列举出来． 20．解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可以采用以下方法： 解：②①，得，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于x，y的方程组，的解，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专题提优：二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C A D C B D B C B 1．C 【详解】解：根据二元一次方程的定义，选项中只有是二元一次方程． 2．A 【分析】本题先通过代入消元法得到原方程组中,关于的表达式，再将,代入公共解满足的方程，即可求出的值． 【详解】解：， ①代入②得 ， 化简得， 即， 代入①得， ， ∵原方程组的解也是的解， 把，， 代入得， 解得． 3．D 【分析】观察未知数的系数特征，即可判断正确做法． 【详解】解：对于方程组， ①中的系数为，②中的系数为，两个系数互为相反数， 将①②，即可消去，得到关于的一元一次方程，符合要求． 4．C 【分析】设有x人，物品价值y元，根据“每人出9元，多4元；每人出8元，少4元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设有x人，物品价值y元， ∵每人出9元，多4元， ∴； ∵每人出8元，少4元， ∴， ∴根据题意可列方程组． 5．B 【分析】设小长方形的长为，宽为，再结合长方形的性质可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，， 解得：， ∴小长方形的两边长分别为，． 6．D 【详解】解：∵关于，的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组， 解得， 代入，得， 解得：， ∴． 7．B 【分析】利用代入消元法整理方程后，分情况讨论的取值，逐一判断四个说法即可. 【详解】解：方程组， 由②得 ， 把代入①得：， 整理得， ∵当时，等式化为，恒成立，方程组有无数组解， ∴①错误，②正确，③错误； 验证④：把代入方程组，得，满足方程②， ，满足方程①， ∴无论取何值，该解都满足方程组，④正确， 综上，正确的说法是②④，共2个. 8．C 【分析】先根据去分母时，两边都要乘以2判断，再根据代入法求出方程组的解． 【详解】解：丙同学出现错误，去分母时，18应该乘以2，正确的过程如下： ， 解：由①，得， 将③代入②，得， 去分母，得，即， 解得， 将代入③，得． 9．B 【分析】根据题意列方程组，根据整体思想分别求出，进而得到关于b的一元一次方程，解出b，即可得解． 【详解】解：如图所示，设中间的数字为a，第三行第一个数字为b， 由题意得， 由得， 由得， ， 解得， ． 10．（答案不唯一） 【分析】任意给定一个整数值，计算得到对应的也为整数，即可得到方程的一个整数解． 【详解】解：令，代入方程得， 解得， 因此二元一次方程的一个整数解是（答案不唯一）． 11．2010 【分析】把方程的解代入方程得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴． 12．9 【分析】设“天”与“地”分别为，，根据、的含义列方程组求解即可． 【详解】解：设“天”与“地”分别为，， 由题意得：， 整理得：， 得：， ∴， ∴“天”与“地”的和为． 13． 【分析】设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据两种购买方案列出方程组，推导得到未知数之间的关系，再计算实际购买后剩余的钱数即可． 【详解】解：设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据题意得： ， 得：， ∴， 得：， 整理得：， 将代入得： ， 整理得：， 实际购买后剩余钱数为： （元）． 14．． 【分析】根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，且 ∴， 解得． 15．或1 【分析】根据“弦和”方程组的定义得到，即或，解方程组得到或，分别代入，根据对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组求出a、b的值，进而可知的值． 【详解】解：∵“弦和”方程组的解满足， ∴， 可得或 解得：或； 把代入得，即 ∵对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组， ∴， 解得：， 此时； 把代入得，即 ∵对于任意不等于0的数，关于的方程组都是“弦和”方程组， ∴， 解得：， 此时； 综上所述，的值为或1． 16．(1) (2) 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得 得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 17． 【分析】甲看错了方程①中的，但他解出的答案满足正确的方程②，故将代入方程②可得的值，同理，将代入方程①可得的值利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得； 将代入方程得：， 解得． 即原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 【点睛】这类题目不需要你去管甲和乙具体是怎么算错的，只需要抓住“错解中包含正确方程的信息”这一核心点，代入求值即可． 18． 【详解】解：由②，得                      ③ 将①变形得  ④ 把③代入④，得                        把代入③，得                         这个方程组的解是 19．(1)该学校购买拖布个，小黑板个 (2)共有2种不同的购买方案，购买1个格言贴，4个拖布；购买2个格言贴，1个拖布 【分析】（1）设该学校购买拖布个，小黑板个，利用总价单价数量，结合表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买个格言贴，个拖布，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设该学校购买拖布个，小黑板个， 依题意得， 解得． 答：该学校购买拖布个，小黑板个； （2）解：设购买个格言贴，个拖布， 根据题意得：， ． 又，均为正整数， 或， 该学校共有2种购买方案， 方案1：购买1个格言贴，4个拖布； 方案2：购买2个格言贴，1个拖布． 20．(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解： ①②，得， ③， 将，得：④， ①④，得，解得：， ， ， （2）解：解为，理由如下： ， ①②，得， 即③， 将，得④， ①④，得：，， ， 方程组的解为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $