第10章 二元一次方程组-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（苏科版2024）

11 第10章　二元一次方程组 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共24分) 1. 下列方程组中,是二元一次方程组的为 ( ) A. 2x+y-xy=1, 3x-2y=3 B. 3x=y-1, 5x-4z=7 C. x+2y=5 , 5x+y=3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 D. 2x+y=7, 3x+y=9 2. 用加减法解方程组 2x-5y=3①, 4x-2y=8②, 下列解法 不正确的是 ( ) A. ①×2-②,消去x B. ①×2-②×5,消去y C. ①×(-2)+②,消去x D. ①×2-②×(-5),消去y 3. 若关于x,y 的方程(n-1)x|n|+3ym-2=0 是二元一次方程,则m+n的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 2或4 4. 已知|2x-y+3|+(3x-y+5)2=0,则x+ y的值为 ( ) A. -3 B. 1 C. -1 D. 3 5. 新考向 数学文化 (兰州中考)数学家朱世 杰所著的《四元玉鉴》是我国元代重要的数 学著作之一,书中记载着这样一个问题,大 意如下:999文钱买了甜果和苦果共1000个, 11文钱可买9个甜果,4文钱可买7个苦果, 问:甜果、苦果各买了多少个? 设买了甜果 x个,苦果y个,则可列方程组为 ( ) A. x+y=1000, 11 9x+ 4 7y=999 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 B. x-y=1000, 11 9x+ 4 7y=999 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 C. x-y=1000, 4 7x+ 11 9y=999 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 D. x+y=999, 4 7x+ 11 9y=1000 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 6. 新情境 日常生活 (齐齐哈尔中考)校团委 开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动, 为奖励表现突出的学生,计划拿出200元钱 全部用于购买单价分别为8元和10元的两 种笔记本(两种都要购买)作为奖品,则购买 方案有 ( ) A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种 答案讲解 7. ★如图,长方形ABCD 中放置9个 形状、大小都相同的小长方形,AD 与AB 的差为4,小长方形的周长为 16,则图中涂色部分的面积为 ( ) 第7题 A. 26 B. 28 C. 30 D. 32 8. ★若关 于 x,y 的 方 程 组 3x+4y=2, ax+b2y=5 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 与 a 3x-by=4 , 2x-y=5 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 有相同的解,则a,b 的值分 别为 ( ) A. 2,3 B. 3,2 C. 2,-1 D. -1,2 二、 填空题(每题3分,共30分) 9. 已知二元一次方程3x-y=5,用含x 的代 数式表示y,则y= . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 12 10. (无锡中考)二元一次方程组 3x-y=1, 2x+3y=8 的 解为 . 11. 若 x=2, y=-1 是关于x,y 的二元一次方程 ax+by=-1的一组解,则2024+2a-b 的值为 . 12. 新考向 数学文化 在《九章算术》的“方 程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成 的.如图①,图中各行从左到右列出的算筹 数分别表示未知数x,y的系数与相应的常 数,图①的算筹图用我们现在所熟悉的方 程组形式表达就是 3x+2y=19, x+4y=23, 则如图② 所示的算筹图所表示的方程组的解为 . 第12题 13. 新考法 新定义题 对于有理数x,y,定义 一种新运算:x⊕y=ax+by-5,等式右边 是通常的混合运算,其中a,b为常数.已知 1⊕2=9,(-3)⊕3=-2,则2a+b= . 14. 有甲、乙两种商品,若购买2件甲、1件乙共 需120元,若购买1件甲、2件乙共需 180元,则购买甲、乙两种商品各1件共需 元. 15. 已知 x+y=5, y+z=7, x+z=6, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 则x+y+z= . 16. (宿迁中考)若关于x,y的二元一次方程组 ax+y=b, cx-y=d 的解是 x=3 , y=-2, 则关于x,y 的 方程组 ax+2y=2a+b, cx-2y=2c+d 的解是 . 答案讲解 17. 关于x,y 的二元一次方程(3+ 2m)x+(m-2)y+9-m=0,不 论m 取何值,方程总有一组固定 不变的解,则这组解为 . 18. ★已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0 (xyz≠0),则 2x-y-3z x+y+z = . 三、 解答题(共46分) 19. (6分)解方程组: (1) (乐山中考) x+y=4, 2x-y=5; (2) x+2y+3z=4, y+z=1, 3x+2z=3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 13 20. (7分)甲、乙两名同学在解关于x,y 的方 程组 ax+by=1, cx+y=-1 时,甲正确地解得方程组 的解为 x=-1, y=1. 乙因大意将系数c 看错 了,得到的解为 x=2, y=-1. 试确定a,b,c 的值. 21. (8分)目前节能灯在城市已基本普及,今年 某省面向农村地区推广,为响应号召,某商 场用3300元购进节能灯100只,这两种节 能灯的进价、售价如下表: 进价/(元/只) 售价/(元/只) 甲种节能灯 30 40 乙种节能灯 35 50 (1) 求甲、乙两种节能灯各购进多少只; (2) 这100只节能灯全部售完后,该商场获 利多少元? 22. (8分)扬州古运河是扬州的母亲河,为打造 古运河风光带,现有一段长为180米的河 道整治任务由A,B两个工程队先后接力完 成.A工程队每天整治12米,B工程队每天 整治8米,共用时20天. 根据题意,甲、乙两名同学分别列出了尚不 完整的方程组如下: 甲: x+y= , 12x+8y= ; 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 乙: x+y=① , x 12+ y 8=② . 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 (1) 根据甲同学所列的方程组,请你指出未 知数x,y表示的意义: 甲:x表示 ,y 表示 . 请你补全乙同学所列的方程组: 乙:① ,② . (2) 从甲、乙两名同学的方法中选择一种, 求A,B两个工程队分别整治河道多少米 (写出完整的解答过程). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 14 23. (8分)某运输公司有A,B两种货车,3辆 A货车与2辆B货车一次可以运货90吨, 5辆A货车与4辆B货车一次可以运货 160吨. (1) 请问1辆A货车和1辆B货车一次分 别可以运货多少吨? (2) 目前有190吨货物需要运输,该运输公 司计划安排A,B两种货车将全部货物一次 运完(A,B两种货车均满载),怎样设计运 输方案? 请你列出所有的运输方案. 答案讲解 24. (9分)阅读材料: 把y=ax+b(其中a,b 是常数, x,y 是未知数)这样的方程称为 “雅系二元一次方程”.当y=x 时,“雅系二 元一次方程”y=ax+b中x 的值称为“雅 系二元一次方程”的“完美值”.例如:当y= x时,“雅系二元一次方程”y=4x-9化为 x=4x-9,其“完美值”为x=3. 任务: (1) 求“雅系二元一次方程”y=2x-8的 “完美值”. (2) x=-8是“雅系二元一次方程”y= 1 4x+m 的“完美值”,求m 的值. (3) 是否存在n,使得“雅系二元一次方程” y=- 3 2x+5n 与“雅系二元一次方程”y= 3x-4n+1(n 是常数)的“完美值”相同? 若存在,请求出n的值及此时的“完美值”; 若不存在,请说明理由. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)七年级 3 第10章　二元一次方程组 一、 1. D 2. D 3. B 4. A 5. A 6. B 7. D 利用方程思想解题 有些几何图形的面积问题需要建立二元一次方程 组的模型来解决.在建立方程组的模型时要把握两个 关键点:一是设未知数(一般都是间接设);二是找等量 关系(一般找图形中相等的线段).本题可以设每个小 长方形的长为x,宽为y,再根据图中相等的线段,找出 等量关系式,列出方程组. 8. B 解决两个有相同解的二元一次方程组(含参数) 问题的一般步骤 当两个二元一次方程组同解时,可以利用两个已 知的二元一次方程组成新的方程组,并求出新方程组 的解,然后利用这个解得到关于参数的方程(组),进而 求得参数的值. 二、 9. 3x-5 10. x=1, y=2 11. 2023 12. x=3, y=5 13. 13 14. 100 15. 9 16. x=5, y=-1 17. x=-1, y=3 18. 1 6 解析:根据题意,得 4x-3y=6z①, x+2y=7z②. 由②,得 x=7z-2y③.将③代入①,得y=2z④.将④代入①,得 x=3z.∴ 2x-y-3z x+y+z = 6z-2z-3z 3z+2z+z= 1 6. 利用主元法巧解题 本题属于多元问题.遇到多元问题时,我们可以突 出某个量或某些量,将之当成主元,从而化多元问题为 二元或一元问题.本题含有x,y,z三个未知量,无法直 接求解,可以将x,y 看成主元,将z看成常量,转化成 二元一次方程组求解,进而用含z的式子表示x,y. 三、 19. (1) x=3, y=1. (2) x=-1, y=-2, z=3. 20. 把 x=-1, y=1 代入原方程组,得 -a+b=1 , -c+1=-1, 解得 c=2.把 x=2, y=-1 代入ax+by=1,得2a-b=1.把2a- b=1 与 -a+b=1 组 成 一 个 二 元 一 次 方 程 组 2a-b=1, -a+b=1, 解得 a=2 , b=3. ∴ a=2,b=3,c=2. 21. (1) 设商场购进甲种节能灯x 只,购进乙种节能灯 y只.根 据 题 意,得 30x+35y=3300, x+y=100, 解 得 x=40, y=60. ∴ 甲、乙两种节能灯分别购进40只、60只.(2) 40× (40-30)+60×(50-35)=1300(元),∴ 该商场获利 1300元. 22. (1) A工程队工作的天数;B工程队工作的天数;180; 20.(2) 选法不唯一,如选乙同学的方法.设A工程队整治 河道 x 米,B工 程 队 整 治 河 道 y 米.根 据 题 意,得 x+y=180, x 12+ y 8=20 , 解 得 x=60,y=120. ∴ A 工 程 队 整 治 河 道 60米,B工程队整治河道120米. 23. (1) 设1辆A货车和1辆B货车一次分别可以运货 x吨和y 吨.根据题意,得 3x+2y=90, 5x+4y=160, 解得 x=20 , y=15. ∴ 1辆A货车和1辆B货车一次分别可以运货20吨和 15吨.(2) 设安排A货车m 辆,B货车n辆.依题意,得 20m+15n=190,即m=38-3n4 . 又∵ m,n均为正整数, ∴ m=8, n=2 或 m=5 , n=6 或 m=2 , n=10. ∴ 共有3种运输方案,方 案1:安排A货车8辆,B货车2辆;方案2:安排A货车 5辆,B货车6辆;方案3:安排A货车2辆,B货车10辆. 24. (1) 根据定义,得x=2x-8,解得x=8.∴ “雅系二 元一次方程”y=2x-8的“完美值”为8.(2) 根据定义,得 x=14x+m.∵ x=-8是“雅系二元一次方程”y= 1 4x+m 的“完美值”,∴ -8=14× (-8)+m,解得 m=-6.(3) 不存在.理由:根据定义,得x=-32x+5n① , x=3x-4n+1②,由①解得x=2n.由②解得x= 4n-1 2 . 假设存在n,使得“雅系二元一次方程”y= -32x+5n 与“雅系二元一次方程”y=3x-4n+1(n是 常数)的“完美值”相同,则2n=4n-12 ,无解.∴ 不存在n, 使得“雅系二元一次方程”y=- 3 2x+5n 与“雅系二元一 次方程”y=3x-4n+1(n是常数)的“完美值”相同. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈