专题3　圆的基本性质 学案 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦初中数学“圆的基本性质”，通过典例+变式+综合题的梯度设计，融合筒车、公园树木移栽等真实情境，考查点与圆位置关系、垂径定理等核心知识，培养几何直观与推理能力，适配新授课巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|基础题6题|点与圆位置关系、弧长计算等|结合公园树木位置判断等生活情境，落实抽象能力| |解答题|综合题6题|垂径定理、圆内接四边形等|典例2变式以古代筒车为背景，考查垂径定理应用；典例6综合题结合圆内接四边形与相似，发展推理能力|

专题3　圆的基本性质 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 题型一　点与圆的位置关系 【典例1】 若☉O的半径为5 cm，平面上有一点A，OA=6 cm，则点A与☉O的位置关系是(　A　) A.点A在☉O外 B.点A在☉O上 C.点A在☉O内 D.不能确定 【点悟】 设☉O的半径为r，点P与圆心O的距离为d，则d＞r⇔点P在☉O外；d=r⇔点P在☉O上；d＜r⇔点P在☉O内。 变式1图 【变式1】 在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)。现计划修建一座以点O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中，需要被移栽的是 (　A　) A.E，F，G B.F，G，H C.G，H，E D.H，E，F 题型二　垂径定理及其推论 【典例2】 如图，☉O的直径CD=10，弦AB=5，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为(　D　) 　典例2图 A.5 B. C.5 D. 【解析】 如答图，连结OA。 　典例2答图 ∵☉O的直径CD=10，∴OA=5。 ∵AB=5，AB⊥CD， ∴AM=AB=×5， ∴在Rt△AOM中， OM=， ∴DM=OD＋OM=5＋。 【点悟】 在已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，运用勾股定理来解决。 【变式2－1】 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，其示意图如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且☉O被水面截得的弦AB长为5.6 m，☉O半径长为r(m)，C为运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离是1.4 m，则r的值为(　C　) 变式2－1图 A.2 B.2.8 C.3.5 D.4 【解析】 如答图，连结OC，交AB于点D。 变式2－1答图 由题意，得OA=OC=r(m)，OC⊥AB，CD=1.4 m， ∴AD=BD=AB=2.8 m，∠ADO=90°，OD=(r－1.4)m， 由OA2=AD2＋OD2，得r2=2.82＋(r－1.4)2， 解得r=3.5。 【变式2－2】 如图，AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为劣弧AD上一动点，AG与CD的延长线相交于点F，连结AC，AD，CG，DG。记tan∠DGF=m(m为常数，且m＞1)。 (1)求证：∠AGC=∠ACF。 (2)求的值(用含m的式子表示)。 变式2－2图 解：(1)∵AB为☉O的直径，弦CD⊥AB， ∴，∴∠AGC=∠ACF。 (2)∵∠AGC=∠ACF，∠CAG=∠FAC， ∴△ACG∽△AFC，∴， ∴AC2=AG·AF。 由四边形ACDG内接于☉O，易知∠ACE=∠AGC=∠DGF， ∴AE=CE·tan∠ACE=mCE， ∴AC2=CE2＋AE2=(1＋m2)CE2， ∴=1＋m2。 题型三　圆心角与圆周角、圆内接四边形 【典例3】 如图，在直径为AB的☉O中，C，D是☉O上的两点，∠AOD=58°，CD∥AB，则∠ABC的度数为　61　°。  典例3图 【解析】 ∵∠AOD=58°， ∴∠ACD=∠AOD=29°。 ∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ACD=29°。 ∵AB是直径，∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°－∠CAB=61°。 【点悟】 (1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦、弦心距中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件(半径相等)的应用；(3)圆周角定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系是进行圆内角度转化与计算的主要依据，遇直径，要想到直径所对的圆周角是90°，从而获得直角三角形；遇到弧所对的圆周角与圆心角，要想到同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍以及同弧所对的圆周角相等。 【变式3－1】 如图，点A，B，C，D，E在☉O上，且的度数为50°，∠ACD=60°，则∠E的度数为　95　°。  变式3－1图 【解析】 如答图，连结OA，OB。 变式3－1答图 ∵的度数为50°，∴∠AOB=50°， ∴∠ACB=∠AOB=25°。 又∵∠BCD=∠ACB＋∠ACD=85°，∠BCD＋∠E=180°， ∴∠E=180°－∠BCD=95°。 【变式3－2】 如图1，四边形ABCD内接于☉O，对角线AC，BD相交于点G，，点F在线段BD上，且AF=AD。 (1)若∠ADB=α，请用含α的代数式表示∠ADC。 (2)求证：BF=CD。 (3)如图2，延长AF，交☉O于点M，若AM为☉O的直径，AM=13，tan∠DAC=，求AF的长。 图1　图2变式3－2图 解：(1)∵， ∴∠ABC=∠ADB=α。 ∵四边形ABCD内接于☉O， ∴∠ABC＋∠ADC=180°， ∴∠ADC=180°－∠ABC=180°－α。 (2)∵AF=AD，∴∠AFD=∠ADB， ∴∠AFB=180°－∠AFD=180°－∠ADB=180°－∠ABC， ∴∠AFB=∠ADC。 又∵∠ABD=∠ACD，AF=AD， ∴△ABF≌△ACD(AAS)， ∴BF=CD。 (3)如答图，连结BM，MC。 变式3－2答图 ∵AM是直径， ∴∠ABM=∠ACM=90°。 又∵AM=AM，AB=AC， ∴Rt△ABM≌Rt△ACM(HL)， ∴∠BAM=∠CAM。 ∵△ABF≌△ACD， ∴∠BAM=∠CAD， ∴∠DAC=∠BAM=∠CAM=∠CBM。 ∵AB=AC，AM是直径，∴AM⊥BC。 ∵tan∠DAC=， ∴=tan∠MBP==tan∠BAM=， ∴。 又∵MP＋AP=AM=13， ∴MP=4，AP=9，∴BP=6。 ∵∠AFD=∠ADF， ∴∠BFM=∠BMF，∴BM=BF。 又∵BP⊥MF， ∴PF=MP=4， ∴AF=AP－PF=5。 题型四　弧长的计算 【典例4】 如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫作“正三角形的渐开线”，其中，的圆心依次按A，B，C，循环，它们依次相连结。若AB=1，则曲线CDEF的长为　4π　。  　典例4图 【解析】 的长为的长为的长为=2π，则曲线CDEF的长为π＋π＋2π=4π。 【点悟】 若忘记了弧长的计算公式，则可利用弧的度数占360°的几分之几来计算，但这样会多花时间。 【变式4】 如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A，B，C为格点，作△ABC的外接圆，则的长为 π　。  　变式4图 题型五　扇形面积的计算　 【典例5】 如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，OA=12，C是OA的中点，CD⊥OA，交于点D，以OC为半径的交OB于点E，则阴影部分的面积为　12π＋18　。  典例5图 【解析】 如答图，连结OD。 　典例5答图 ∵C是OA的中点， ∴OC=OA=OD。 又∵CD⊥OA， ∴∠CDO=30°，∴∠DOC=60°。 又∵∠AOB=120°， ∴∠BOD=60°。 ∵OD=OA=12，∴OC=6， ∴CD=6， ∴S阴影=S扇形BOD＋S△OCD－S扇形COE =×6×6 =12π＋18。 【点悟】 求不规则图形的面积，常转化为易解决的基本图形计算，或通过面积的和差来计算。 【变式5】 若扇形的半径为3 cm，弧长为π cm，则该扇形的圆心角的度数为　80　°，面积为　2π　cm2。  【解析】 设该扇形的圆心角的度数为n°，由题意，得π，解得n=80， ∴面积S==2π(cm2)。 题型六　圆的综合 【典例6】 如图1，在圆内接四边形ABCD中，AD＞BC，延长AD至点E，延长BA至点F，连结EF，延长CD，交EF于点G，已知∠EGD＋∠DAB=180°。 (1)找出一个与∠EGD相等的角，并说明理由。 (2)如图2，连结AC，BD，使EF=BD，延长CB，DA，两者相交于点H。求证： ①。 ②AE=AC。 典例6图 解：(1)∠C=∠EGD。理由如下： ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠C＋∠DAB=180°。 ∵∠EGD＋∠DAB=180°，∴∠C=∠EGD。 (2)①易知∠DCB＋∠DAB=180°。 又∵∠EGD＋∠DAB=180°， ∴∠DCB=∠EGD，∴EF∥BH， ∴△AEF∽△AHB，∴。 ②方法一：∵，∴。 ∵∠DHB=∠CHA，∠HDB=∠HCA， ∴△HAC∽△HBD， ∴，∴。 又∵EF=BD，∴AE=AC。 方法二：如答图，过点A作AM∥EF，连结DM，BM。 典例6答图 ∵AM∥EF，∴∠F=∠MAB=∠MDB。 ∵四边形ABMD内接于☉O， ∴∠EAF=180°－∠DAB=∠DMB。 又∵EF=BD，∴△EFA≌△BDM(AAS)， ∴AE=MB。 由①知，EF∥BH，∴AM∥HC， ∴∠AMB=∠MBC， ∴，∴， ∴AC=MB，∴AE=AC。 1.如图，AB是☉O的直径，∠BAC=50°，则∠D的度数为(　B　) A.20° B.40° C.50° D.80° 第1题图 第2题图 2.如图，在☉O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2，则OC的长为(　B　) A.1 B.2 C.2 D.4 【解析】 连结OB，设OA交BC于点E，如答图。 　第2题答图 ∵∠ADB=30°，∴∠AOB=60°。 ∵OA⊥BC，BC=2，∴BE=BC=。 在Rt△BOE中，sin∠AOB=， ∴sin 60°=， ∴OB=2，∴OC=2。 3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()，点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于点D。若AC=300 m，BD=150 m，则的长为 (　B　) 第3题图 A.300π m B.200π m C.150π m D.100π m 【解析】 ∵OB⊥AC，∴， ∴AD=AC=150 m，∠AOC=2∠AOB。 ∵在Rt△AOD中，AD2＋OD2=OA2，且OA=OB， ∴AD2＋(OA－BD)2=OA2， ∴(150)2＋(OA－150)2=OA2， ∴OA=300 m， ∴sin∠AOB=， ∴∠AOB=60°，∴∠AOC=120°， ∴=200π(m)。 4.已知一个扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则它的弧长为　8　cm。  5.如图，△ABC是☉O的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A=　62　°。  第5题图 【解析】 如答图，连结OC。 第5题答图 ∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=28°， ∴∠BOC=180°－∠OCB－∠OBC=124°， ∴∠A=∠BOC=62°。 6.如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A按顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)得到AE，直角边AC绕点A按逆时针方向旋转角β(0°＜β＜90°)得到AF，连结EF。若AB=3，AC=2，且α＋β=∠B，则EF= 　。  　第6题图 【解析】 ∵α＋β=∠B，∠C=90°， ∴∠EAF=∠BAC＋∠B=90°， ∴△AEF是直角三角形。 又∵AE=AB=3，AF=AC=2， ∴EF=。 7.如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A，B，C，O为坐标原点。(网格中小正方形的边长为1) (1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为　(2，－1)　。  (2)求的长(结果保留π)。 第7题图 解：(1)如答图，连结BC，分别作AB，BC的垂直平分线，两条直线相交于点P。圆心P的坐标为(2，－1)。 第7题答图 (2)如答图，连结AP，CP，AC。 由勾股定理，得AP2=22＋42=20，PC2=22＋42=20，AC2=22＋62=40， ∴AP2＋PC2=AC2，AP=2， ∴∠APC=90°， ∴的长为π。 8.如图，在☉O中，直径BD与弦AC相交于点E，且AB=AC。 (1)求证：∠BAC=2∠ABD。 (2)若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求∠ABD的度数。 (3)若AB=5，BC=6，求AE的长。 第8题图 解：(1)如答图，连结AO并延长，交BC于点H。 第8题答图 ∵AB=AC，∴， ∴AH垂直平分BC， ∴AH平分∠BAC， 即∠BAC=2∠BAH。 ∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAH， ∴∠BAC=2∠ABD。 (2)设∠ABD=α，则∠BAC=2α， ∴∠AED=∠ABD＋∠BAC=α＋2α=3α。 ∵BD为直径，∴∠BAD=90°。 当AD=AE时，∠ADB=∠AED=3α， ∴α＋3α=90°，解得α=22.5°； 当DA=DE时，∠DAE=∠AED=3α， ∴∠BAD=2α＋3α=90°，解得α=18°。 综上所述，∠ABD的度数为18°或22.5°。 (3)∵AH⊥BC， ∴BH=CH=BC=3。 在Rt△ABH中，AH==4。 设☉O的半径为r，则OA=OB=r，OH=4－r。 在Rt△OBH中，32＋(4－r)2=r2， 解得r=，∴BD=2r=。 在Rt△ABD中，AD=。 在Rt△BCD中，CD=。 易知AH∥CD，∴△AEO∽△CED， ∴， ∴， ∴AE=×5=。 9.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，连结BE，点H在BE上运动，G为EF的中点，△AGH的周长的最小值为(　B　) A.2＋2 B. C.＋2 D.2 第9题图 【解析】 如答图，要使△AGH的周长最小，则AH＋HG的值最小。 第9题答图 利用正六边形的性质，作点G关于BE的对称点G'，则G'E=GE=1，连结AG'交BE于点H'，连结AE，H'G，则H'G=H'G'，易知此时AH＋HG=AH'＋GH'=AG'，值最小。 ∵∠AFE=120°，AF=EF=2， ∴∠AEF=30°， ∴易知AE=2。 ∵∠AEG'=∠DEF－∠AEF=90°， ∴AG'=， ∴AH'＋GH'=。 过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，则∠AFM=60°， ∴FM=AF=1， ∴AM=，GM=2， ∴AG=， △AGH的周长的最小值为。 10.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，直径AB=10，D是的中点，弦DE⊥AB，∠EDC=99°，则的长为　3π 　。  第10题图 【解析】 如答图，连结OC，OD，OE，BE。 第10题答图 ∵∠EDC=99°， ∴∠EBC=180°－99°=81°， ∴∠EOC=2∠EBC=162°。 ∵DE⊥AB，AB是☉O的直径， ∴。 又∵D是的中点， ∴， ∴， ∴∠EOA=∠AOD=∠DOC=∠EOC=×162°=54°， ∴∠DOE=108°。 ∵AB=10，∴OD=5， ∴的长为=3π。 11.如图，☉O是△ADC的外接圆，AB是☉O的直径，G是上的一点，B是的中点，AB与CD相交于点E，连结AG并延长，交DC的延长线于点F。 (1)求证：∠ADC=∠AGD。 (2)若sin∠ADG=，AE=3，求AF的长。 (3)若=a2，求的值(用含a的代数式表示)。 第11题图 解：(1)∵AB是直径，B是的中点， ∴AB⊥CD，∴， ∴∠ADC=∠AGD。 (2)由(1)知，∠ADC=∠AGD，AB⊥CD， ∴∠ADG＋∠GDF=∠F＋∠GDF，∠AEF=90°， ∴∠F=∠ADG， ∴AF=。 (3)由(2)知，∠ADG=∠F。 又∵∠DAG=∠FAD， ∴△DAG∽△FAD， ∴， ∴AD2=AG·AF。 ∵=a2，∴AF=AG·a2， ∴AD2=AG·AG·a2， ∴AD=AG·a， ∴=a。 12.如图，△ABC内接于☉O，AB=AC，E是上的一个动点(不与点A，C重合)。 (1)如图1，若☉O的半径为2，∠BAC=45°，求BC的长。 (2)如图2，连结AE，CE。若BE=AE＋CE，求∠BAC的度数。 (3)如图3，过点E作EF⊥AB于点F。若=m，对于CE的任意长度，都有2EF2－5m·CE2＋的值是一个定值，求m的值。 第12题图 解：(1)如答图1，连结OB，OC。 第12题答图1 ∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=45°， ∴∠BOC=90°。 ∵☉O的半径为2， ∴OB=OC=2， ∴BC=OB=2。 (2)如答图2，在BE上截取BF=CE，连结AF。 第12题答图2 在△ABF和△ACE中， ∵ ∴△ABF≌△ACE(SAS)， ∴∠BAF=∠CAE，AF=AE。 ∵BE=AE＋CE=BF＋EF=CE＋EF， ∴EF=AE， ∴AF=EF=AE， ∴△AEF为等边三角形， ∴∠FAE=60°， ∴∠FAC＋∠CAE=60°， ∴∠FAC＋∠BAF=60°， 即∠BAC=60°。 (3)如答图3，过点A作AH∥BC，交CE的延长线于点H，过点A作AM⊥CH于点M，连结BE。 第12题答图3 ∵， ∴AE=BC，∠ABE=∠BEC， ∴AB∥CE。 又∵AH∥BC， ∴四边形ABCH为平行四边形， ∴BC=AH，AB=CH， ∴AE=AH。 ∵AM⊥CH， ∴EM=MH=EH。 ∵EF⊥AB，AM⊥CH，AB∥CE， ∴四边形AFEM为矩形， ∴AF=EM。 设CE=a，则AF=ma， ∴EM=AF=ma， ∴EH=2EM=2ma， ∴AB=CH=CE＋EH=a＋2ma。 ∵AB=AC，AE=AH， ∴∠ABC=∠ACB，∠AEH=∠H。 ∵四边形ABCE为圆的内接四边形， ∴∠AEH=∠ABC， ∴∠ABC=∠ACB=∠AEH=∠H， ∴△AEH∽ABC， ∴， ∴， ∴AE2=2ma2＋4m2a2。 ∵EF2=AE2－AF2， ∴EF2=2ma2＋4m2a2－m2a2=2ma2＋3m2a2， ∴2EF2－5m·CE2＋ =2(2ma2＋3m2a2)－5ma2＋ =4ma2＋6m2a2－5ma2＋ =6m2a2－ma2＋ =(6m2－m)CE2＋。 ∵对于CE的任意长度，都有2EF2－5m·CE2＋的值是一个定值， ∴2EF2－5m·CE2＋的值与CE无关， ∴6m2－m=0， ∴m=0(不合题意，舍去)或m=， ∴m的值为。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3　圆的基本性质 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 题型一　点与圆的位置关系 【典例1】 若☉O的半径为5 cm，平面上有一点A，OA=6 cm，则点A与☉O的位置关系是( ) A.点A在☉O外 B.点A在☉O上 C.点A在☉O内 D.不能确定 【点悟】 设☉O的半径为r，点P与圆心O的距离为d，则d＞r⇔点P在☉O外；d=r⇔点P在☉O上；d＜r⇔点P在☉O内。 变式1图 【变式1】 在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)。现计划修建一座以点O为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中，需要被移栽的是 ( ) A.E，F，G B.F，G，H C.G，H，E D.H，E，F 题型二　垂径定理及其推论 【典例2】 如图，☉O的直径CD=10，弦AB=5，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为( ) 　典例2图 A.5 B. C.5 D. 【变式2－1】 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，其示意图如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且☉O被水面截得的弦AB长为5.6 m，☉O半径长为r(m)，C为运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离是1.4 m，则r的值为( ) 变式2－1图 A.2 B.2.8 C.3.5 D.4 【变式2－2】 如图，AB为☉O的直径，弦CD⊥AB于点E，G为劣弧AD上一动点，AG与CD的延长线相交于点F，连结AC，AD，CG，DG。记tan∠DGF=m(m为常数，且m＞1)。 (1)求证：∠AGC=∠ACF。 (2)求的值(用含m的式子表示)。 变式2－2图 题型三　圆心角与圆周角、圆内接四边形 【典例3】 如图，在直径为AB的☉O中，C，D是☉O上的两点，∠AOD=58°，CD∥AB，则∠ABC的度数为　°。  典例3图 【变式3－1】 如图，点A，B，C，D，E在☉O上，且的度数为50°，∠ACD=60°，则∠E的度数为　　°。  变式3－1图 【变式3－2】 如图1，四边形ABCD内接于☉O，对角线AC，BD相交于点G，，点F在线段BD上，且AF=AD。 (1)若∠ADB=α，请用含α的代数式表示∠ADC。 (2)求证：BF=CD。 (3)如图2，延长AF，交☉O于点M，若AM为☉O的直径，AM=13，tan∠DAC=，求AF的长。 图1　图2变式3－2图 题型四　弧长的计算 【典例4】 如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫作“正三角形的渐开线”，其中，的圆心依次按A，B，C，循环，它们依次相连结。若AB=1，则曲线CDEF的长为　　。  　典例4图 【变式4】 如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A，B，C为格点，作△ABC的外接圆，则的长为 　。  　变式4图 题型五　扇形面积的计算　 【典例5】 如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，OA=12，C是OA的中点，CD⊥OA，交于点D，以OC为半径的交OB于点E，则阴影部分的面积为　。  典例5图 【变式5】 若扇形的半径为3 cm，弧长为π cm，则该扇形的圆心角的度数为　°，面积为　　cm2。  题型六　圆的综合 【典例6】 如图1，在圆内接四边形ABCD中，AD＞BC，延长AD至点E，延长BA至点F，连结EF，延长CD，交EF于点G，已知∠EGD＋∠DAB=180°。 (1)找出一个与∠EGD相等的角，并说明理由。 (2)如图2，连结AC，BD，使EF=BD，延长CB，DA，两者相交于点H。求证： ①。 ②AE=AC。 典例6图 1.如图，AB是☉O的直径，∠BAC=50°，则∠D的度数为( ) A.20° B.40° C.50° D.80° 第1题图 第2题图 2.如图，在☉O中，OA⊥BC，∠ADB=30°，BC=2，则OC的长为( ) A.1 B.2 C.2 D.4 3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧()，点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点，OB⊥AC于点D。若AC=300 m，BD=150 m，则的长为 ( ) 第3题图 A.300π m B.200π m C.150π m D.100π m 4.已知一个扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则它的弧长为　　cm。  5.如图，△ABC是☉O的内接三角形，若∠OBC=28°，则∠A=　　°。  第5题图 6.如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A按顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)得到AE，直角边AC绕点A按逆时针方向旋转角β(0°＜β＜90°)得到AF，连结EF。若AB=3，AC=2，且α＋β=∠B，则EF=　。  　第6题图 7.如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A，B，C，O为坐标原点。(网格中小正方形的边长为1) (1)该圆弧所在圆的圆心P的坐标为　 。  (2)求的长(结果保留π)。 第7题图 8.如图，在☉O中，直径BD与弦AC相交于点E，且AB=AC。 (1)求证：∠BAC=2∠ABD。 (2)若△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求∠ABD的度数。 (3)若AB=5，BC=6，求AE的长。 第8题图 9.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，连结BE，点H在BE上运动，G为EF的中点，△AGH的周长的最小值为( ) A.2＋2 B. C.＋2 D.2 第9题图 10.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，直径AB=10，D是的中点，弦DE⊥AB，∠EDC=99°，则的长为　 　。  第10题图 11.如图，☉O是△ADC的外接圆，AB是☉O的直径，G是上的一点，B是的中点，AB与CD相交于点E，连结AG并延长，交DC的延长线于点F。 (1)求证：∠ADC=∠AGD。 (2)若sin∠ADG=，AE=3，求AF的长。 (3)若=a2，求的值(用含a的代数式表示)。 第11题图 12.如图，△ABC内接于☉O，AB=AC，E是上的一个动点(不与点A，C重合)。 (1)如图1，若☉O的半径为2，∠BAC=45°，求BC的长。 (2)如图2，连结AE，CE。若BE=AE＋CE，求∠BAC的度数。 (3)如图3，过点E作EF⊥AB于点F。若=m，对于CE的任意长度，都有2EF2－5m·CE2＋的值是一个定值，求m的值。 第12题图 学科网（北京）股份有限公司 $