01讲 图形的旋转 暑期预习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十三章旋转 01讲图形的旋转 题型归纳 【知识点1旋转 1】 【知识点2旋转的性质… 2】 【知识点3旋转作图 2】 【题型1.生活中的旋转…。 2】 【题型2.旋转中心、旋转角、对应点 4】 【题型3.旋转的概念与性质辨析… 5】 【题型4.由旋转的性质证明… 6】 【题型5.由旋转的性质求角度… 7】 【题型6.由旋转的性质求长度… 9】 【题型7.根据旋转的性质综合求解 10】 【题型8.画旋转图形 12】 【题型9.求绕原点旋转90度的点的坐标 13】 【题型10.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 15】 【题型11.求绕非原点旋转的点的坐标 16】 【巩固练习 17】 知识清单 知识点1旋转 1.旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转。 2.旋转的元素：这一点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角，图形上点P经过旋转变 为点P’,这两点叫作这个旋转的对应点 【提示】 ①旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置； 1/20 ②每一点都饶旋转中心沿相同方向转动了相同的角度： ③任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角. 知识点2旋转的性质 1.旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角： (3)旋转前、后的图形全等 【提示】 旋转中心的情况 判断哪点是旋转中心 在图形上 在旋转过程中位置没有改变的点 不在图形上 对应点所连线段垂直平分线的交点 【易错点】对于有公共顶点的两个图形，有时会将公共顶点误认为是旋转中心 知识点3旋转作图 1.具体步骤为：(1)连：连接图形中每一个关键点与旋转中心： (2)转：把连线按要求饶旋转中心饶过一定角度（作旋转角）： (3)截：在角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各点的对应 点； (4)连：连接所得到的各对应点： (5)写出结论，说明作出的图形 题型专练 题型1.生活中的旋转 【例1】升旗时国旗的运动是()，钟面上时针、分针的运动是(). A.平移；旋转 B.旋转；对称 C.对称；旋转D.旋转；平移 【例2】以下生活现象中，属于旋转变换的是() 2/20 A.钟表的指针和钟摆的运动 B.站在电梯上的人的运动 C.汽车沿笔直的公路行驶 D.地下水位线逐年下降 【变式1】有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮 器来回摆动.其中属于旋转的是() A.①② B.②③ c.③④ D.①④ 【变式2】下列生活中的现象是旋转的是() A.飞驰的汽车 B.匀速转动的摩天轮 C.运动员投掷标枪 D.乘坐升降电梯 【变式3】新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含 "山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴.通 过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到() D 【变式4】2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②， 这次运动可以是() 图① 图② A.平移 B.翻折 C.旋转 D.以上都可以 3/20 题型2.旋转中心、旋转角、对应点 【例1】如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形ABO绕某点逆时针旋转到三 角形DCO的位置，下列说法正确的是() A.旋转中心是O,旋转角是90° B.旋转中心是O,旋转角是45° C.旋转中心是C,旋转角是90° D.旋转中心是C,旋转角是45 【变式1】如图，在4×4的正方形网格中，△ABC绕某点旋转90°，得到△A1B1C1,则旋 转中心是() D F B C A.点D B.点E C.点F D.点G 【变式2】如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△ABC,且点B刚好落在AB 上.若LACA'=43°，∠BCA'=28°，则a等于() B A.71° B.15° C.28° D.43° 【变式3】如图，△ABC经过旋转后得到△DEC. E (1)旋转中心是点 ，旋转角是 4/20 (2)点A的对应点是点 (3)线段AC的对应线段是；∠ABC的对应角是 【变式4】如图，将△ABC经过旋转得到△ADE,则旋转中心是点 ，此时， ∠B=∠ BC= ，∠1=∠ D B 3 题型3.旋转的概念与性质辨析 【例1】一个图形经过旋转有以下说法，其中正确的说法是(). ①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变 化 A.①②③ B.①②④ c.①③④ D.②③④ 【变式1】将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定能与原图形重合的 是() A.平行四边形 B.长方形 C.正六边形 D.正方形 【变式2】在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是() A.对应点所连线段都平行 B.对应线段都平行 C.对应点所连线段都相等 D.对应线段都相等 【变式3】在如图右侧的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是() A.A B.B C.C D.D 【变式4】图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是() A.形状不变，大小可能改变 B.大小不变，形状可能改变 C.形状和大小都不变 D.形状和大小都可能改变 5/20 题型4.由旋转的性质证明 【例1】如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC,连接BC,作∠ACB的平分线交AB 于点D.求证：CD⊥AB. 【例2】如图，点E与F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°.求证：EF=DF+BE. 【变式1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC,把△ABC绕点A旋转到△ADE的位置，连接BD、 CE.求证：BD=CE. 【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC, 点A的对应点为D,点B的对应点E恰好落在AC上，延长DE交AB于点F. F ■ B C D (1)写出相等的角：∠A=,∠B= (2)判断AB与DF的位置关系，并说明理由. 6/20 【变式3】如图，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连 接CE,BD.求证：△ABD兰△ACE. 【变式4】如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE,DE的延长线与AC相交于点F, 连接AD、BF,且BF=AF. B (1)求证：ADI‖BC; (2)求证：AD=2AE. 题型5.由旋转的性质求角度 【例1】如图，在△ABC中，∠ACB=40°，∠ABC=20°.将△ABC绕点A顺时针旋转至△ABC 使得点C恰好落在BC上的C处，则∠BAC的度数为() B A.20° B.30° C.40° D.50° 【例2】如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△ABC的位置.若 ∠CAB=25°，则∠CAC的度数为 7/20 B 【变式1】如图，将△C0D绕点0按顺时针方向旋转35°后得到△A0B.若∠AOB=25°，则 ∠AOD的度数是(). B A.20° B.10° C.35 D.60° 【变式2】如图，正方形0ABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形0DEF,连接AF,则∠FOC 的度数是() A.50° B.40% C.30° D.20 【变式3】如图，直线a‖b,△A0B的边0B在直线b上，∠A0B=54°，将△AOB绕点0顺时 针旋转74至△A10B1,边A10交直线a于点C,则∠1=°. 【变式4】如图，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转40°到△AED的位置，点C与点D 对应，当CD‖AB时，则∠CAE的度数为 E 8/20 【变式5】如图，△ABC绕顶点A逆时针旋转25至△ADE,∠B=50°，∠E=60°，则 ∠BAE= B 题型6.由旋转的性质求长度 【例1】将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ABC',若AB=3,则BB的长度为() A.3 B.3V2 c.5 D.6 【例2】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,点D恰好落在边AC上.若AB=4,AE= 10,则CD的长为 C B D A 【变式1】如图，把△OAB绕点0顺时针旋转一定角度到△OCD的位置，若0A=7,则0C 的长是() A.3 B.4 C.5 D.7 【变式2】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE,若AC=6,连接CE,则CE 的长为() C D E A.3 B.4 c.5 D.6 9/20 【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC=4,将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD, 延长AD交BC的延长线于点E,则DE的长为 B 【变式4】已知：如图，在△A0B中，∠A0B=90°，A0=3cm,B0=4cm.将△A0B绕 顶点O,按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点， 则线段B1D= cm B 【变式5】如图，P是等边△ABC外的一点，若将△P'AB绕点A顺时针旋转到△PAC,若AP'= 1,则PP的长为 B 题型7.根据旋转的性质综合求解 【例1】如图，等边△ABC的边长为4，P是边BC上的一动点，将△ABP绕点A按逆时针方 向旋转60°，得到△ACQ,D是边AC的中点，连接DQ (1)求∠BCQ的度数. (2)点P在边BC上运动的过程中，求DQ的最小值. 10/20 【变式1】如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°到△DBE,分别连接DC,AD,AC,CE, ∠BCD=30°. E (1)求LDCE的度数： (2)若DC=3,BC=4,求AC的长. 【变式2】如图，四边形ABCD中，AB II CD,AD I BC,连接AC,将四边形ABCD绕着点A 逆时针旋转至四边形AEFG,使AE落在AC边上. D E B (1)若∠DCA=20°，求∠DAG的大小： (2)若BC=2EC=2,△ABC的周长为9，求AB的长. 【变式3】点D是等边△ABC内一点，连接DA,DB,DC,将△BCD绕点C顺时针旋转60° 得到△ACE,连接DE. (1)若DE⊥AE,CD=2,求点C到AE的距离. (2)在(1)的条件下，若BD=V3,求BC的长度. 11/20 题型8.画旋转图形 【例1】在图中，把△ABC向右平移6个方格，再绕点B顺时针方向旋转90°，请画出平移 和旋转后的图形. 【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A(-2,2),B(-1,4),C(-4,5),请解答下列问题： 6 3 -2 6-5-4-3-2-10123456x 2 -h 5 6 (1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1,己知点C1的坐标为(3，-1)，请作出△A1B1C1: (2)将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2,请作出△A2B2C2; 【变式1】如图，在每小格边长均为1的正方形网格图中完成下列各题（用直尺画图）： D E (1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线DE对称的△A1B1C1; (2)再将△A1B1C1向下平移2个单位得△A2B2C2,并计算A1C1扫过的面积是 (直接填 答案)； (3)将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB3C3· 12/20 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为：A(1,2)、B(3,4)、 C(4,1). -3 7-6-54-321 101234567 (1)画出△ABC先向右平移2个单位，再向下平移4个单位后得到的△A1B1C1: (2)画出△ABC绕坐标原点0逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2: (3)在x轴上找一点P,使PA+PC的值最小，请直接写出点P的坐标. 【变式3】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标 系中，△ABC的三个顶点A(5,5),B(6,3),C(2,1)均在格点上. 8-654-32194234.5678 4 -8 (1)画出将△ABC向左平移8个单位长度得到的△A1B1C1: (2)画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C. 题型9.求绕原点旋转90度的点的坐标 【例1】以原点为中心，把点P(2,3)顺时针旋转90°，得到的点P的坐标为() A.(3,-2) B.(-3,2) C.(2,-3) D.(-2,-3) 13/20 【例2】如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△AOB,若A(4,2),则点A坐标为 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OAB', 那么B(6,2)的对应点B的坐标是() VA A.(-6,-2) B.(-2,-6) C.(-2,6) D.(2,6) 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，将线段0A绕原点O逆时针旋转90°，记点A(-2,4)的对 应点为A1,则A的坐标为（) A.(-4,-2) B.(-2,-4) c.(2,4) D.(4,2) 【变式3】如图，点A的坐标为(0,3)，点C的坐标为(1,0)，B的坐标为(1,4)，将△ABC沿y 轴向下平移，使点A平移至坐标原点O,再将△ABC绕点O逆时针旋转90°，此时B的对 应点为B,点C的对应点为C,则点C的坐标为() y B B b A.(4,1) B.(1,4) c.(3,1) D.(1,3) 【变式4】在平面直角坐标系xOy中，己知点M(2,-2V3,那么将点M绕原点O逆时针旋 转90°后与点N重合，那么点N的坐标是 14/20 题型10.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例1】以原点为中心，把点A(4,-5)逆时针旋转180°，得到点B,则点B的坐标为() A.(4,5) B.(-4,5) C.(5,-4) D.(5,4) 【例2】在平面直角坐标系x0y中，点A坐标是(-V3,1),当把坐标系绕点O顺时针旋转30° 时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 【变式1】将点A(3,1)绕原点旋转180°，再向右平移2个单位长度得点A,则点A的坐标是 () A.(-1,-1) B.(-1,-3) C.(3,-1) D.(7,3) 【变式2】将含有30°角的直角三角板0AB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若 OA=2,将三角板绕原点0顺时针旋转75°，则点A的对应点A的坐标为() A 30° A.(V3,-1)B.(-1,V3 c.(2,-2) D.(-V2,V2 【变式3】如图，正方形0ABC的边长为V2,将正方形0ABC绕原点O顺时针旋转45，则点B 的对应点B1的坐标为() A.(-V2,0) B.(0,-V2 C.(0,2) D.(2,0) 【变式4】将含有30°角的直角三角板0AB如图放置在平面直角坐标系中，0B在x轴上，若 AB=2,将三角板绕原点O逆时针旋转60°，则点A的对应点A的坐标为 30 0 B 【变式5】如图，已知点A的坐标为(V3,1),将线段0A绕原点O顺时针旋转150°得点A', 则此时点A'的坐标为 15/20 45, 题型1山.求绕非原点旋转的点的坐标 【例1】如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(2,-1)、C(0,-2),将△ABC绕 C逆时针旋转90°后，A的对应点A的坐标为() A.(-1,2) B.(-2,2) c.(-3,0) D.(-3,-1) 【例2】在平面直角坐标系中，点(3，-1)绕点(1,1)顺时针旋转90°后的点的坐标是 【例3】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到△ABC', 则点P的坐标是 6 3 0123456x 【变式1】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,5),B(-5,1),C(-2,1),将△ABC绕 点C按顺时针方向旋转90°，得到△DEC,则点D的坐标为() A.(1,2) B.(2,1) C.(3,1) D.(5,3) 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为 16/20 A(3,0),B(5,3),C(3,4).将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，点B的对应点的坐标为() V A.(0,2) B.(2,0) c.(-1,0) D.(0,-1) 【变式3】直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△A0B绕点B旋转90°，使点A 落到点C处，则点C的坐标为· 【变式4】如图，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段AB,则点A的对应点A的坐 标是 2-10 234 【变式5】如图，将△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△ABC',点A的对应点A 的坐标是 【变式6】在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(O,2),若将点B绕 原点顺时针旋转60°得到点C,那么线段BC的长为 >巩固练习 1.(2025四川攀枝花.中考真题)已知直角坐标系x0y,点A在该坐标系中的坐标为(-1,2)， 17/20 现将直角坐标系xOy绕点O按逆时针方向旋转90°到xOy的位置，则点A在新坐标系xOy中的 坐标为() A.（-1,2) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-2,-1) 2.(2025江苏南通.中考真题)在平面直角坐标系x0y中，将点A(3,1)绕原点0逆时针旋转90°， 得到点B,则点B的坐标为() A.(3,-1) B.(-1,3) C.(1,-3) D.(-3,1) 3.(2026广东佛山三模)下列运动属于旋转的是() A.国旗上升的过程 B.在笔直的公路上行驶的汽车 C.传输带运输的物品 D.工作中的风力发电机叶片 4.(2026·吉林.一模)如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△ABC,且点B刚好落在AB 上.若LABC=70°，则∠ACA的度数为() B B A.25 B.30° C.35 D.40° 5.(25-26六年级下四川成都期中)下面()图形不是通过旋转得到的 务.》来蜗 6.(25-26七年级下河北保定期中)踢正步是解放军战士的一门必修课.图1是一名解放 军战士踢正步的场景，图2是其简化示意图，∠DCF=60°，∠DBE=28°，若要使臂部与腿 部平行(BENCF),则BE应绕点B逆时针旋转 图1 图2 7.(25-26七年级下.江苏连云港.期中)如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，将△ABC 绕点B顺时针旋转得到△DBE,其中点A的对应点为点D,若旋转角为20°，则∠DBC的大 18/20 小是 B 8.(25-26八年级下·江西鹰潭·期中)如图，格点三角形甲逆时针旋转90°后得到格点三角形 乙，则其旋转中心是点 9.(25-26八年级下.福建三明·期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分 别为A(-1,4),B(-4,2),C(-3,5).(每个方格的边长均为1个单位长度) (1)平移△ABC得到△A1B1C1,若点A1的坐标为(2,2)，画出△A1B1C1,并写出点B1的坐标： _； (2)将△ABC绕点0逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2 10.(25-26七年级下江苏盐城期中)如图，在△ABC中，∠C=50°，将△ABC绕点A逆时 针旋转60°得到△ADE,ED Il AB. (1)求∠B的度数； (2)求LCAD的度数. 19/20 11.(25-26八年级下.河南开封期中)如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐 标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A(3,2)、B(1,3). 0 (1)将△A0B向下平移3个单位后得到△A1B1C1,则点B1的坐标为 (2)画出△AOB关于y轴对称的△A2B20: (3)画出将△A0B绕点0逆时针旋转180°后的△A30B3: 12.(25-26八年级下江西抚州，期末)课本再现 已知△ABC为等边三角形，其边长为4，点P是AB边上一动点，连接CP. D 图1 图2 (1)如图1，点E在AC边上且AE=BP,连接BE交CP于点F ①求证：BE=CP; ②LBFC的度数为一· 变式提升： (2)如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ,连接BQ交AC于点D.设BP=x,CD= y,求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 20/20第二十三章旋转 01讲图形的旋转 题型归纳 【知识点1旋转 1】 【知识点2旋转的性质… 2】 【知识点3旋转作图 2】 【题型1.生活中的旋转…。 2】 【题型2.旋转中心、旋转角、对应点 5】 【题型3.旋转的概念与性质辨析… 8】 【题型4.由旋转的性质证明… 10】 【题型5.由旋转的性质求角度… 14】 【题型6.由旋转的性质求长度… 18】 【题型7.根据旋转的性质综合求解 23】 【题型8.画旋转图形 27】 【题型9.求绕原点旋转90度的点的坐标 32】 【题型10.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 37】 【题型11.求绕非原点旋转的点的坐标 42】 【巩固练习 …47】 知识清单 知识点1旋转 1.旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转。 2.旋转的元素：这一点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角，图形上点P经过旋转变 为点P’,这两点叫作这个旋转的对应点 【提示】 ①旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置； 1/55 ②每一点都饶旋转中心沿相同方向转动了相同的角度： ③任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角. 知识点2旋转的性质 1.旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角： (3)旋转前、后的图形全等 【提示】 旋转中心的情况 判断哪点是旋转中心 在图形上 在旋转过程中位置没有改变的点 不在图形上 对应点所连线段垂直平分线的交点 【易错点】对于有公共顶点的两个图形，有时会将公共顶点误认为是旋转中心 知识点3旋转作图 1.具体步骤为：(1)连：连接图形中每一个关键点与旋转中心： (2)转：把连线按要求饶旋转中心饶过一定角度（作旋转角）： (3)截：在角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各点的对应 点； (4)连：连接所得到的各对应点： (5)写出结论，说明作出的图形 题型专练 题型1.生活中的旋转 【例1】升旗时国旗的运动是()，钟面上时针、分针的运动是(). A.平移：旋转 B.旋转；对称 C.对称；旋转 D.旋转；平移 【答案】A 2/55 【详解】解：：升旗过程中，国旗任意两点间的相对方向和距离不变，整体沿直线移动，符 合平移的定义， ∴.升旗时国旗的运动是平移， :钟面上时针、分针都绕钟面中心定点转动，各点到中心的距离不变，符合旋转的定义， ∴钟面上时针、分针的运动是旋转。 【例2】以下生活现象中，属于旋转变换的是() A.钟表的指针和钟摆的运动 B.站在电梯上的人的运动 C.汽车沿笔直的公路行驶 D.地下水位线逐年下降 【答案】A 【分析】本题是考查图形的平移、旋转的意义，掌握图形平移与旋转的区别是解题的关键。 根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为 平移：根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样 的图形运动称为旋转.由此进行判定即可。 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动，钟表指针绕中心旋转，钟摆绕悬挂点摆动，两者均 属于旋转运动，故该说法正确，符合题意； B、站在电梯上的人的运动，是平移，不符合题意： C、汽车沿笔直的公路行驶，是平移，不符合题意； D、地下水位线逐年下降，不是旋转，不符合题意； 故选：A, 【变式1】有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮 器来回摆动.其中属于旋转的是() A.①② B.②③ c.③④ D.①④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把 生活问题转化为数学问题， 根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可· 【详解】，①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转； ②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转： ③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转： ④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转. 3/55 ∴.属于旋转的是①和④ 故选：D 【变式2】下列生活中的现象是旋转的是() A.飞驰的汽车 B.匀速转动的摩天轮 C.运动员投掷标枪 D.乘坐升降电梯 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的定义， 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋 转的定义 【详解】解：，旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动， ∴，选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象； 选项A中汽车飞驰主要是平移运动： 选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主； 选项D中升降电梯是垂直平移运动. 故选：B 【变式3】新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含 “山宝"水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃"形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴.通 过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到() 【答案】A 4/55 【分析】本题图形旋转的性质：根据图形旋转的性质，判断原图形旋转后得到的图形，需明 确旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系. 【详解】解：将如图所示的“葫娃"逆时针旋转九十度可得到选项A, 旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系，其他选项的“葫娃”和题干的不一样， 故不能由题干所示图形旋转得来， 故选：A。 【变式4】2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②， 这次运动可以是() 图① 图② A.平移 B.翻折 C.旋转 D.以上都可以 【答案】C 【分析】本题考查了几何变换的类型，熟记各种变换的定义并准确识图是解题的关键.根据 翻折、旋转、平移的定义进行判断即可。 【详解】解：由图可知，图①绕图案中心点旋转180°后可得到图②，通过平移或者翻折不 可以得到， :这次运动可以是旋转， 故选：C. 题型2.旋转中心、旋转角、对应点 【例1】如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形ABO绕某点逆时针旋转到三 角形DCO的位置，下列说法正确的是() D A.旋转中心是O,旋转角是90° B.旋转中心是O,旋转角是45 C.旋转中心是C,旋转角是90 D.旋转中心是C,旋转角是45 5/55 【答案】A 【分析】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质.观察图形， 根据网格的特征可得答案， 【详解】解：由图可知，点B绕点O逆时针旋转90°可得点C,点A绕点O逆时针旋转90 可得点D, ∴.旋转中心是点O,旋转角是90°； 故选：A. 【变式1】如图，在4×4的正方形网格中，△ABC绕某点旋转90°，得到△A1B1C1,则旋 转中心是() D G B C A.点D B.点E C.点F D.点G 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，根据图形旋转的性质，旋转前后的对应点到旋转中心的距离 相等即可解决问题 【详解】解：由图可得∠AFA1=90°， 令正方形网格的边长为1， 则AF=A1F=1, BF=B1F=V12+2z=5 CF=C1F=V22+22=2V2, 所以点F为旋转中心. 故选：C 【变式2】如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△ABC,且点B刚好落在AB1 上.若LACA'=43°，∠BCA'=28°，则a等于() B B 6/55 A.71 B.15° C.28° D.43 【答案】D 【分析】根据△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△ABC,且点B刚好落在AB上.根据旋 转的性质可得LACA=∠a=43°. 【详解】解：，△ABC绕顶点C逆时针旋转角度a得到△ABC,且点B刚好落在AB上，∠ACA'= 43°， ∴.LACA'=∠a=43 【变式3】如图，△ABC经过旋转后得到△DEC. E (1)旋转中心是点 旋转角是 (2)点A的对应点是点 (3)线段AC的对应线段是 ;∠ABC的对应角是 【答案】 C LACD(或LBCE) D 线段DC LDEC 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做 旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等. 【详解】解：(1)：△ABC经过旋转后得到△DEC, ∴.旋转中心是点C,旋转角是∠ACD(或∠BCE): (2)点A的对应点是点D: (3)线段AC的对应线段是线段DC;∠ABC的对应角是∠DEC 【变式4】如图，将△ABC经过旋转得到△ADE,则旋转中心是点 此时， ∠B=∠ BC= _，∠1=∠ C D B 23 A 【答案】 A DE 3 7/55 【分析】本题考查了旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键， 根据旋转的性质，确定旋转的中心，找出对应角和对应边. 【详解】解：观察图片可知旋转中心为A, 在旋转过程中，对应角相等，对应边相等： ∴.LB=∠D,BC=DE,∠BAC=∠DAE ,.∠1=∠3 故答案为：A,D,DE,3. 题型3.旋转的概念与性质辨析 【例1】一个图形经过旋转有以下说法，其中正确的说法是(). ①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变 化。 A.①②③ B.①②④ c.①③④ D.②③④ 【答案】D 【详解】解：，旋转是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小， ∴，旋转后对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都不发生变化，即②③④正确： 旋转后对应线段不一定平行，可能相交，因此①错误： 故正确的说法是②③④，选D. 【变式1】将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定能与原图形重合的 是() A.平行四边形 B.长方形 C.正六边形 D.正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，根据旋转对称图形的性质，可得出四 边形需要满足的条件：此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，进而可得出答案。 【详解】解：根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：此四边形的对角线 互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形. 故选：D 【变式2】在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是() A.对应点所连线段都平行 B.对应线段都平行 C.对应点所连线段都相等 D.对应线段都相等 8/55 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，旋转的性质，掌握平移和旋转的性质是解题关键.根据平移 和旋转后的对应线段都相等解答即可， 【详解】解：平移的性质：对应点所连线段平行（在同一直线上）、对应点所连线段相等、 对应线段平行（在同一直线上）、对应线段相等、对应角相等： 旋转的性质：对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心的距离相等 故选D. 【变式3】在如图右侧的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是() A.A B.B C. D.D 【答案】B 【分析】根据平移和旋转的定义，依次进行判断即可得。 【详解】解：A、图形由△ABC经过平移得到，选项说法正确，不符合题意； B、图形不能由△ABC经过旋转或平移得到，，是由翻折得到的，选项说法错误，符合题意； C、图形由△ABC经过旋转得到，选项说法正确，不符合题意； D、图形由△ABC经过旋转和平移得到，选项说法正确，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了平移，旋转，解题的关键是掌握平移，旋转的定义， 【变式4】图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是() A.形状不变，大小可能改变 B.大小不变，形状可能改变 C.形状和大小都不变 D.形状和大小都可能改变 【答案】C 【分析】根据平移、旋转及翻折的性质可进行求解， 【详解】解：图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是形状和大小都不变： 故选C. 【点晴】本题主要考查平移、旋转及翻折的性质，熟练掌握平移、旋转及翻折的性质是解题 的关键 9/55 题型4.由旋转的性质证明 【例1】如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC,连接BC,作∠ACB的平分线交AB 于点D.求证：CD⊥AB. D 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转可得AC=AB,∠A=60, 即得△ABC为等边三角形，进而根据等边三角形的性质即可求证，掌握以上知识点是解题的 关键。 【详解】证明：由旋转可得，AC=AB,∠A=60°， .△ABC为等边三角形， ,CD平分∠ACB, .CD⊥AB 【例2】如图，点E与F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，LEAF=45°.求证：EF=DF+BE. 【答案】见解析 【分析】把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,首先证明△AFE兰AFG,进而得到EF= FG问题即可解决。 【详解】解：证明：~AB=AD, ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合，如图： ∠BAE=∠DAG, ∠BAD=90°，∠EAF=45°， .∠BAE+∠DAF=45°， ·∠EAF=∠FAG '∠ADC=∠B=90°， 10/55 ∠FDG=180°，点F、D、G共线， 在△AFE和△AFG中， AE=AG ∠EAF=∠FAG, AF=AF △AFE兰△AFG(SAS, :EF FG, 即EF=BE+DF. 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定及其性质为核心构造而成：解题的关键 是作辅助线，构造全等三角形 【变式1】如图，在等腰△ABC中，AB=AC,把△ABC绕点A旋转到△ADE的位置，连接BD、 CE.求证：BD=CE 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的 关键.由旋转的性质得AB=AD,∠BAC=∠DAE,AC=AE,利用等量代换可得∠BAD= ∠CAE,AD=AE,推出△ABD≌△ACE,即可得出结论. 【详解】证明：，△ABC绕点A旋转到△ADE, .AB=AD,∠BAC=∠DAE,AC=AE, .∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE, ,∠BAD=∠CAE, .'AB=AC, ..AD AE, ,∴.△ABD≌△ACE(SAS), 11/55 ..BD CE 【变式2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC, 点A的对应点为D,点B的对应点E恰好落在AC上，延长DE交AB于点F. C (1)写出相等的角：LA= ,∠B= (2)判断AB与DF的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)∠D,∠CED,∠AEF (2)AB⊥DF,证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键： (1)根据旋转前后，对应角相等，结合对顶角相等，即可得出结果： (2)根据角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，推出∠BFD=90,即可. 【详解】(1)解：旋转， ∴.∠A=∠D,∠B=∠CED LCED=∠AEF, ∴.∠B=∠CED=∠AEF; (2)AB⊥DF. ,∠ACB=90°， ∴.∠B+∠A=90° .LA=LD, ∴.∠B+∠D=90°， ∴.∠BFD=180°-90°=90°， ..AB⊥DF 【变式3】如图，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连 接CE,BD.求证：△ABD兰△ACE. 12/55 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定，根据等边三角形的 性质，得到AB=AC,∠BAC=60°，旋转的性质，得到AD=AE,∠DAE=60°，利用SAS证 明△ABD兰△ACE即可. 【详解】证明：：△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=60°， ∵旋转， ∴.AD=AE,∠DAE=60°， ∴.∠BAD=∠CAE=60°-∠DAC, .△ABD兰△ACE(SAS) 【变式4】如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE,DE的延长线与AC相交于点F, 连接AD、BF,且BF=AF B (1)求证：AD‖BC: (2)求证：AD=2AE. 【答案】(1) 证明；由旋转的性质可得BD=BA,∠ABD=∠ABC=60°， .△ABD是等边三角形， ∴.∠BAD=60°， ,∠BAD=∠ABC=60°， ..AD II BC; (2) 证明：：△ABD是等边三角形， 13/55 .AD=BD,∠BDA=60°， 又BF=AF, ∴.BF=AF, ∴.DF垂直平分AB, AED =90,ADE =ADB=30, ..AD =2AE. 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与 判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键. (1)由旋转的性质可得BD=BA,∠ABD=∠ABC=60°，则可证明△ABD是等边三角形， 进而可得∠BAD=∠ABC,据此可证明结论； (2)由等边三角形的性质得到AD=BD,∠BDA=60°，再证明DF垂直平分AB,则∠AED= 90,∠ADE=∠ADB=30,进而可证明AD=2AE, 【详解】(1)略 (2)略 题型5.由旋转的性质求角度 【例1】如图，在△ABC中，∠ACB=40°，∠ABC=20°.将△ABC绕点A顺时针旋转至△ABC 使得点C恰好落在BC上的C处，则LBAC的度数为() B B A.20° B.30° C.40° D.50° 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 根据旋转的性质得AC=AC',再根据等腰三角形的性质得∠CAC'=100°， 再根据三角形内角和定理得∠BAC=120°，则此题可解. 【详解】解：根据旋转的性质，得AC=AC,∠ACB=40°， '.∠ACC=∠ACC=40°， 14/55 ∴.∠CAC=180°-2LACC=100°. .'∠ABC=20°，∠ACB=40°， ∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=120°， ∴.∠BAC'=∠BAC-∠CAC'=120°-100°=20°. 故选：A. 【例2】如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△ABC的位置.若 ∠CAB=25°，则∠CAC的度数为 B 【答案】40°/40度 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键， 根据旋转的性质可得LCAB=∠CAB=65°，根据∠CAC=∠CAB'-∠CAB可得∠CAC=40°. 【详解】解：，将△ABC在平面内绕点A旋转到△ABC的位置，∠CAB=65, ∴.LCAB=∠CAB=65°， .LCAB'=25°， ∴.LCAC=∠CAB-∠CAB'=65°-25°=40°， 故答案为：40°. 【变式1】如图，将△C0D绕点0按顺时针方向旋转35°后得到△A0B.若∠A0B=25°，则 ∠AOD的度数是(). A.209 B.10° C.35 D.609 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键.先根据 旋转的性质求出∠D0B=35°，再结合∠AOB=25°，最后求解∠AOD即可. 【详解】解："，'△C0D绕点O按顺时针方向旋转35°后得到△AOB, 15/55 .∠D0B=35. ,∠A0B=25, ∴.LA0D=∠D0B-∠A0B=35°-25°=10 故选：B. 【变式2】如图，正方形0ABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形0DEF,连接AF,则∠FOC 的度数是() A.509 B.40° C.30° D.20° 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键. 由旋转的性质和正方形的性质可得∠F0C=∠AOD=40°. 【详解】解：~正方形0ABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形0DEF, ∴.∠F0C=LA0D=40°， 故选：B 【变式3】如图，直线a‖b,△AOB的边0B在直线b上，∠AOB=54°，将△A0B绕点O顺时 针旋转74至△A10B1,边A10交直线a于点C,则∠1=°. 41 B B 【答案】52 【分析】本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，熟练掌握平行线的性质及旋转的性质是 解题的关键；由题意易得∠B0A1=128°，然后根据平行线的性质可进行求解. 【详解】解：如图， 16/55 6 B 由题意得：∠A0A1=74, ∠A0B=54°， ∴.∠B0A1=∠A0B+∠A0A1=128°， .'all b, ∴.∠B0A1+∠2=180°， .∠2=52°=∠1； 故答案为52. 【变式4】如图，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转40°到△AED的位置，点C与点D 对应，当CD II ABI时，则∠CAE的度数为 E 【答案】30 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本 题的关键。 由旋转的性质可得∠CAD=EAB=40°，AC=AD,由等腰三角形的性质可得∠ACD=70°， 由平行线的性质可得∠ACD=∠CAB=70°，即可求解， 【详解】解：将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转40°到△AED的位置， .∠CAD=∠EAB=40°，AC=AD, ∠ACD=180-,CA0=70°， 2 .'CD II AB, ∴.∠ACD=∠CAB=70°， .LCAE=∠CAB-∠EAB=30 17/55 故答案为：30°. 【变式5】如图，△ABC绕顶点A逆时针旋转25°至△ADE,∠B=50°，∠E=60°，则 ∠BAE= 【答案】95 【分析】本题考查图形旋转性质，三角形内角和，角的和差，掌握图形旋转性质，三角形内 角和，角的和差是解题关键.根据图形旋转可得∠D=∠B=50°，∠BAD=LCAE=25°，进 而可求LBAE的度数. 【详解】解：：△ABC绕顶点A逆时针旋转25°至△ADE, .∠D=∠B=50°，∠BAD=∠CAE=25°， ,∠E=60°， ∴.∠DAE=180°-∠D-∠E=70°， ∴.∠BAE=∠BAD+∠DAE=25°+70°=95 故答案为95， 题型6.由旋转的性质求长度 【例1】将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ABC,若AB=3,则BB的长度为() A.3 B.3V2 C.v3 D.6 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理.根据旋转的性质可得AB=AB= 3,∠BAB=90°，再根据勾股定理，即可求解， 【详解】解：如图：将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ABC, ,AB=3, 18/55 .AB=AB=3,∠BAB=90°， .BB=√AB2+AB2=3V2. 故选：B 【例2】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,点D恰好落在边AC上.若AB=4,AE= 10,则CD的长为 【答案】6 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出AC=AE=10,AD=AB=4,然后 根据线段的和差关系求解即可。 【详解】解：，：将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE,点D恰好落在边AC上，AB=4,AE= 10, ..AC=AE=10,AD =AB=4, .'.CD=AC-AD=6, 故答案为：6. 【变式1】如图，把△OAB绕点O顺时针旋转一定角度到△OCD的位置，若OA=7,则OC 的长是() A.3 B.4 C.5 D.7 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，掌握旋转中对应边相等是关键. 根据旋转图形对应边相等即可求解. 【详解】解：把△OAB绕点O顺时针旋转一定角度到△OCD的位置，若OA=7, .0C=0A=7, 19/55 故选：D. 【变式2】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE,若AC=6,连接CE,则CE 的长为() B A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质及等边三角形的判定与性质，由旋转得∠CAE=60°，CA= EA,可证△ACE是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可得出答案. 【详解】解：由旋转得∠CAE=60°，CA=EA, ∴△ACE是等边三角形， .CE=AC=6, 故选：D. 【变式3】如图，在△ABC中，AB=AC=4,将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD, 延长AD交BC的延长线于点E,则DE的长为 【答案】23-2 【分析】本题考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质， 掌握旋转的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键 如图所示，过点C作CF⊥AE于点F,则∠AFC=∠EFC=90°，根据旋转的性质可得∠BAC= ∠CAD=30°，在Rt△ACF中，可得CF=2,∠ACF=60°，AF=2V3,由等腰三角形的性 质可得∠ACD=∠ADC=75°，∠ECD=30°，∠DCF=15°，则有∠ECF=45°，△CEF是等 腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：如图所示，过点C作CF⊥AE于点F,则∠AFC=∠EFC=90°， 20/55 B E FD ,将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△ACD, ∴.∠BAC=∠CAD=30°，AB=AC=AD=4, 在Rt△ACF中，∠CAF=30°， “CF=AC=×4=2,∠ACF=60, 则AF=VAC2-CF2=2V3, ∴.DF=AD-AF=4-23, 在△ABC中，∠CAB=30°，AB=AC, .LABC=∠ACB=3×(180°=∠CAB)=×(180°-30)=75， ∴.LACD=∠ADC=75, .∠ECD=180°-∠ACB-∠ACD=180°-75°-75°=30°，∠DCF=∠ACD-∠ACF= 75°-60°=15°， ∴.∠ECF=∠ECD+∠DCF=30°+15°=45°，且∠EFC=90°， ∴.△CEF是等腰直角三角形， ∴.CF=EF=2, ∴.ED=EF-DF=2-(4-2V3=2V3-2, 故答案为：2V3-2. 【变式4】已知：如图，在△A0B中，∠A0B=90°，A0=3cm,B0=4cm.将△A0B绕 顶点O,按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点， 则线段B1D= cm. 【答案】1.5 21/55 【分析】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质，利用勾股定理求出AB 的长，则可求出OD的长，再由旋转的性质得到0B1,据此由线段的和差关系可得答案。 【详解】解：，在△A0B中，∠A0B=90°，A0=3cm,B0=4cm, ∴.AB=V0A2+0B=5cm, :D为AB的中点， .0D=3AB=2.5cm, 由旋转的性质可得0B1=OB=4cm, ∴B1D=0B1-0D=1.5cm, 故答案为：1.5. 【变式5】如图，P是等边△ABC外的一点，若将△P'AB绕点A顺时针旋转到△PAC,若AP'= 1,则PP的长为 B P 【答案】1 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质以及旋转的性质，由旋转的性质和等边三 角形的性质得出∠PAP=∠CAB=60°，AP=AP=1,从而得出△APP为等边三角形，进 而可求出答案， 【详解】解：连接PP,如图所示 B :△ABC为等边三角形， ∴.∠CAB=60, 由旋转的性质，得旋转角∠PAP'=∠CAB=60°，AP=AP=1, ∴.△APP为等边三角形， ∴，PP=AP'=1. 22/55 故答案为：1. 题型7.根据旋转的性质综合求解 【例1】如图，等边△ABC的边长为4，P是边BC上的一动点，将△ABP绕点A按逆时针方 向旋转60°，得到△ACQ,D是边AC的中点，连接DQ. B (1)求LBCQ的度数. (2)点P在边BC上运动的过程中，求DQ的最小值. 【答案】(1)∠BCQ=120° (23. 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所 连线段的夹角等于旋转角 (1)根据旋转的性质及等边三角形的性质即可得到∠BCQ的度数； (2)当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可求解。 【详解】(1)解：~△ABP绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△ACQ, ÷LACQ=∠B “△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=∠B=60°， ·∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=120. (2)解：由(1)，可知∠BCQ=120°， 点Q在射线CQ上运动， 当DQ⊥CQ时，DQ的长最小. D是边AC的中点， CD=AC=2. ×LCDQ=90°-60°=30°， CQ=CD=1. 在Rt△CDQ中， 23/55 .DQ=VCD2-CQ2=V22-12=V3, :DQ的最小值是V3. 【变式1】如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°到△DBE,分别连接DC,AD,AC,CE, ∠BCD=30° (1)求LDCE的度数： (2)若DC=3,BC=4,求AC的长. 【答案】(1)90° (2)5 【分析】本题主要查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的 性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键 (1)由旋转的性质可得BC=BE,∠CBE=60°，可得△BCE是等边三角形，从而得到∠BCE= 60°，即可求解， (2)由旋转的性质可得AC=DE,根据等边三角形的性质可得CE=BC=4,在Rt△DCE 中，根据勾股定理可得DE的长，即可求解。 【详解】(1)解：将△ABC绕点B顺时针旋转60°到△DBE, ∴.BC=BE,∠CBE=60, ∴△BCE是等边三角形， ∴.∠BCE=60°， ,'∠BCD=30°， ∴.∠DCE=∠BCE+∠BCD=90; (2)解：'将△ABC绕点B顺时针旋转60°到△DBE, ∴.AC=DE, ,△BCE是等边三角形， ..CE =BC=4, 在Rt△DCE中，DC=3,CE=4,∠DCE=90°， 24/55 ∴.DE=VCD2+CEz=5, .AC=5. 【变式2】如图，四边形ABCD中，AB II CD,AD II BC,连接AC,将四边形ABCD绕着点A 逆时针旋转至四边形AEFG,使AE落在AC边上. D G E (1)若∠DCA=20°，求∠DAG的大小； (2)若BC=2EC=2,△ABC的周长为9，求AB的长， 【答案】(1)20度 (2)3 【分析】本题考查平行线的性质，图形旋转的性质，解题的关键是利用平行线的性质找到角 之间的关系，以及根据旋转性质和已知条件计算线段长度. (1)先根据平行线的性质得出角的关系，再结合旋转性质求LDAG. (2)先根据已知条件求出EC长度，再利用旋转性质得到线段等量关系，最后根据三角形周 长计算AB的长 【详解】(1)解：DC I AB, ÷∠DCA=∠CAB=20, :将四边形ABCD绕着点A逆时针旋转至四边形AEFG, ·∠GAE=∠DAB, LGAE-∠DAE=∠DAB-∠DAE, ÷∠GAD=∠CAB=20°； (2)解：BC=2EC=2, ∴EC=1, ~将四边形ABCD绕着点A逆时针旋转至四边形AEFG, .AB AE, “C△ABc=9, ∴AB+BC+AC=9,即AB+2+AB+1=9, 25/55 .AB =3. 【变式3】点D是等边△ABC内一点，连接DA,DB,DC,将△BCD绕点C顺时针旋转60° 得到△ACE,连接DE, (1)若DE⊥AE,CD=2,求点C到AE的距离. (2)在(1)的条件下，若BD=V3,求BC的长度. 【答案】(1)点C到AE的距离为1； (2)BC=V13. 【分析】(1)由旋转性质得到CE=CD=2,∠DCE=60°，证明△CDE是等边三角形得到 ∠DEC=60°，过C作CF⊥AE延长线于F,则有∠CEF=30°，根据含30度角的直角三角形 的性质可求解： (2)利用旋转性质和勾股定理可求得AE=BD=V√3，EF=V3,进而可求得AC=V13,再 根据等边三角形的性质得到BC=AC可求解。 【详解】(1)解：：△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE,CD=2, ∴.CE=CD=2,∠DCE=60°， ∴.△CDE是等边三角形， .∠DEC=60°， DE⊥AE, ∴LAED=90°， 过C作CF⊥AE延长线于F, 则∠CEF=180°-90°-60°=30°， .CF=CE=1, 26/55 即点C到AE的距离为1； (2)解：由旋转性质得AE=BD=V3, 由(1)知EF=VCE2-CF2=V22-12=V3, 在Rt△ACF中，AF=AE+EF=2V3,CF=1, AC=VAF2+CF=(2V3)2+12=13, :△ABC是等边三角形， ∴，BC=AC=V13 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、 勾股定理，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质是解答的关键， 题型8.画旋转图形 【例1】在图中，把△ABC向右平移6个方格，再绕点B顺时针方向旋转90°，请画出平移 和旋转后的图形。 【答案】如图，△A1B1C1和△A2B1C2即为所求. A A A 【详解】略 【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A(-2,2),B(-1,4),C(-4,5),请解答下列问题： 6 5 2 6-5-4-3-2-10123456x 27/55 (1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1,已知点C1的坐标为(3，-1)，请作出△A1B1C1: (2)将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2,请作出△A2B2C2: 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据点C和点C1的坐标，可得平移方式为向右7个单位长度，再向下6个单位 长度，分别画出点A,B,C的对应点为A1,B1,C1,再顺次连接即可得到△A1B1C1: (2)根据旋转的方式，分别画出点A,B,C的对应点为A2,B2,C2,再顺次连接即可得到 △A2B2C2. 【详解】(1)解：点C(-4,5)经过平移后的对应点C1的坐标为(3，-1)， ∴△ABC的平移方式为向右7个单位长度，再向下6个单位长度， 如图所示，△A1B1C1即为所求： A月 6-5-4-3-2-1o12c3456x (2)解：如图所示，△A2B2C2即为所求. 【变式1】如图，在每小格边长均为1的正方形网格图中完成下列各题（用直尺画图）： D B (1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线DE对称的△A1B1C1: (2)再将△A1B1C1向下平移2个单位得△A2B2C2,并计算A1C1扫过的面积是 (直接填 答案)： (3)将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB3C3· 【答案】(1)见解析 28/55 (2)见解析；4 (3)见解析 【分析】(1)根据网格结构找出点A、B、C关于直线DE的对称点A1、B1、C1的位置，然后 顺次连接即可， (2)根据平移的性质找出点A1、B1、C1向下平移后的对应点A2、B2、C2,然后顺次连接即 可，然后再根据平行四边形的性质求面积即可。 (3)根据旋转的性质结合网格结构找出点B、C绕点A顺时针旋转90后的对称点B3、C3, 顺次连接可得： 【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求 D E (2)解：如图，△A2B2C2即为所求.A1C1扫过的面积是S四边形A,c1024,=2×2=4. D E (3)解：如图，△AB3C3即为所求 D B 29/55 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为：A(1,2)、B(3,4)、 C(4,1). 》 7-6-54-3-21 O1234567x (1)画出△ABC先向右平移2个单位，再向下平移4个单位后得到的△A1B1C1: (2)画出△ABC绕坐标原点0逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2: (3)在x轴上找一点P,使PA+PC的值最小，请直接写出点P的坐标. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，P(3,0) 【分析】(1)根据网格结构找出A、B、C平移后的对应点，顺次连接各点即可， (2)根据网格结构找出A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°后的对应点，顺次连接各点即 可； (3)作点A关于x轴对称的点A3,连接A3C,交x轴于点P,此时PA+PC的值最小，写出P 坐标。 【详解】(1)如图所示， 7-6-54-3-2- (2)如图所示， 30/55 6 (3)如图所示，作点A关于x轴对称的点A3,连接A3C,交x轴于点P,此时PA+PC的值最 小，P(3,0). 【变式3】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标 系中，△ABC的三个顶点A(5,5),B(6,3),C(2,1)均在格点上. 876543224678 (1)画出将△ABC向左平移8个单位长度得到的△A1B1C1; (2)画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的△A2B2C. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 31/55 【分析】本题考查了作图-旋转变换，平移变换 (1)利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； (2)利用网格特点和旋转的性质画出的对应点A2、B2即可， 【详解】(1)解：如图，△A1B1C1即为所求： 4-32-q12345678 (2)解：如图，△A2B2C即为所求： -C. 6 -76-5-4-3-210 -2 6 题型9.求绕原点旋转90度的点的坐标 【例1】以原点为中心，把点P(2,3)顺时针旋转90°，得到的点P的坐标为() A.(3,-2) B.(-3,2) C.(2,-3) D.(-2,-3) 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转.利用旋转变换的性质作出图形，可得结论。 【详解】解：如图，点P(2,3)绕原点O顺时针旋转90°后得到的点P的坐标为(3，-2)， 32/55 故选：A. 【例2】如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB,若A(4,2),则点A坐标为 B 【答案】(-2,4) 【分析】本题考查了坐标与图形变化. 利用旋转的性质得0B'=0B=4,AB=AB=2,∠B0B=90°，∠OBA'=∠OBA=90°， 然后利用第二象限内点的坐标特征写出点A坐标 【详解】解：·A(4,2), .AB=2,0B=4, ',△AOB绕点O逆时针方向旋转90，得到△AOB, .0B=0B=4,AB'=AB=2,∠B0B=90°，∠0BA=∠0BA=90°， ∴.点A坐标为(-2,4) 故答案为：（-2,4). 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，若将△OAB绕点0逆时针旋转90°，得到△0AB, 那么B(6,2)的对应点B的坐标是() A.(-6,-2) B.(-2,-6) C.(-2,6) D.(2,6) 33/55 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，准确构造全等三角 形求得线段长度是解题的关键，过B作BC⊥OA于C,过B作BD⊥x轴于D,构建△OBD兰△ BOC,即可得出答案. 【详解】解：如图，过B作BC⊥OA于C,过B作BD⊥x轴于D, ·.∠BC0=∠BD0=90°， ÷∠2+∠3=90°， 由旋转的性质可知，∠B'0B=90,0B=OB, ÷∠1+∠2=90°， ∠1=∠3： 在△OBD和△BOC中， ∠1=∠3 ∠BC0=∠BD0=90° OB=0B ·△OBD兰△BOC ÷BD=OC,OD=BC, 又B(6,2),即BC=2,0C=6, BD=6,0D=2, B(-2,6) 故选C 【变式2】在平面直角坐标系x0y中，将线段0A绕原点O逆时针旋转90°，记点A(-2,4)的对 应点为A1,则A1的坐标为() A.(-4,-2) B.(-2,-4) C.(2,4) D.(4,2) 【答案】A 【分析】过点A作AB⊥y轴于点B,过点AC⊥x轴于点C,根据旋转的性质得出OA= OA,∠AOA'=90°，证明△AB0兰△ACO,得出AB=AC=2,OB=OC=4,即可求解，解 题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边夹角等于旋转角. 34/55 【详解】解：过点A作AB⊥y轴于点B,过点AC⊥x轴于点C, A(-2,4), ∴.AB=2,0B=4, ,线段0A绕原点O逆时针旋转90°得到0A, ∴.0A=0A,∠A0A'=90°， ∴.∠2+∠A0C=90, ,∠1+∠A0C=90°， .∠1=L2, ,∠1=∠2，∠AB0=∠A'C0=90°，0A=0A, ∴.△AB0兰△AC0, ∴.AB=A'C=2,OB=0C=4, ∴.A1的坐标为(-4，-2)， 故选：A. B 【变式3】如图，点A的坐标为(0,3)，点C的坐标为(1,0)，B的坐标为(1,4)，将△ABC沿y 轴向下平移，使点A平移至坐标原点O,再将△ABC绕点O逆时针旋转90°，此时B的对 应点为B',点C的对应点为C,则点C的坐标为() B A.(4,1) B.(1,4) c.(3,1) D.(1,3) 【答案】C 35/55 【分析】本题主要考查平移的性质和旋转变换以及全等三角形的判定和性质，根据点A平 移后至坐标原点O,得到平移变换是向下平移3个单位，从而得到C1坐标，再根据旋转变换 得到△C1OM兰△CON,即可求得点C 【详解】解：根据点A的坐标为(0,3)，平移后点A平移至坐标原点O,则向下平移3个单 位，那么C1(1,-3),得到△0B1C1, ,将△OB1C1绕点O逆时针旋转90°得到△OBC,过点C1作C1M⊥y交y轴于点M,过点C 作CNLx交x轴于点N,如图， B B -2 -3 M 由旋转性质得0C1=0C,∠C10C'=∠C10N+∠N0C'=90°， .∠C10M+∠C10N=90°， ∴.∠C1OM=∠CON, ,∠M=∠N=90° ∴.△C1OM≌△CON(AAS), ∴.0N=0M=3,CN=C1M=1, ∴，所以点C的坐标为(3,1)， 故选：C 【变式4】在平面直角坐标系xOy中，已知点M(2,-2V3),那么将点M绕原点O逆时针旋 转90°后与点N重合，那么点N的坐标是 【答案】(25,2) 【分析】分别过点M,点N作x轴的垂线，垂足为B,A,证明△AON兰△BMO(ASA),得 到OA=BM=2V3,AN=OB=2,从而可得点N的坐标. 【详解】解：如图，分别过点M,点N作x轴的垂线，垂足为B,A, 由旋转可知：OM=0N,∠M0N=90°， 36/55 .∠M0A+∠N0A=90°， ,∠0AN=90°， ∴.LA0N+∠N=90°， ∴.∠MOA=∠N,又∠OAN=∠0BM, .△AON兰△BMO(ASA), M(2,-23, ∴.0B=2,BM=2V3, ∴，0A=BM=2V3,AN=0B=2, .N(23,2), 故答案为：(23,2) -2-10 3A4 -3 A 【点睛】本题考查了点的旋转问题，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，解题关键在于 能正确画出图形，构造全等三角形 题型10.求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例1】以原点为中心，把点A(4,-5)逆时针旋转180°，得到点B,则点B的坐标为() A.(4,5) B.(-4,5) C.(5,-4) D.(5,4) 【答案】B 【分析】本题考查的是一个点绕原点旋转后对应的点的坐标，根据以原点为中心逆时针旋转 180°，得到的点与该点关于原点对称，即可求得答案. 【详解】解：依题意，点A(4,-5)关于原点的对称点为(-4,5)， 即把点A(4,-5)逆时针旋转180°，得到点B,点B的坐标为(-4,5)， 故选：B. 【例2】在平面直角坐标系x0y中，点A坐标是(-V3,1),当把坐标系绕点O顺时针旋转30° 时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 37/55 【答案】(-2,0) 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转.根据题意画出图形，连接0A,作AB⊥x轴于点 B,当把坐标系绕点O顺时针旋转30时，相当于把0A绕点O逆时针旋转30°，可得点A在 旋转后的坐标系中的坐标是(-2,0) 【详解】解：如图所示：连接OA,作AB⊥x轴于点B, :点A坐标是(-V3,1) .AB=1,0B=, .0A=VOB2+AB2=2, .∠A0B=30°， 当把坐标系绕点O顺时针旋转30°时，相当于把0A绕点O逆时针旋转30°， ∴.点A在旋转后的坐标系中的坐标是(-2,0)： 故答案为：（-2,0) 【变式1】将点A(3,1)绕原点旋转180°，再向右平移2个单位长度得点A,则点A的坐标是 () A.(-1,-1) B.(-1-3) C.(3,-1) D.(7,3) 【答案】A 【分析】先利用绕原点旋转180的点的坐标性质得到旋转后的点坐标，再根据平移的坐标 变化规律计算得到最终点A的坐标即可. 【详解】解：，点A(3,1)绕原点旋转180°， ∴.旋转后点的坐标为(-3，-1)， ,再向右平移2个单位长度得点A, ∴.A(-1,-1) 【变式2】将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若 OA=2,将三角板绕原点0顺时针旋转75°，则点A的对应点A的坐标为() 38/55 30° A.(3,-1) B.(-1,V3 c.(2,-2) D.(-V2,V② 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化和旋转求出旋转后0A与y轴夹角为45°，然后求出点A 的横坐标与纵坐标，从而得解. 【详解】如图， 30° 三角板绕原点0顺时针旋转75°， 旋转后0A与y轴夹角为45°， 0A=2, 0A=2, “点A的横坐标为2×2=V2, 2 纵坐标为-2×号=-V厄。 所以，点A的坐标为(V2,-V②)： 故选：C 【变式3】如图，正方形0ABC的边长为V2,将正方形0ABC绕原点0顺时针旋转45°，则点B 的对应点B1的坐标为() 39/55 A.(-V2,0) B.(0,-V② c.(0,2) D.(2,0) 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得OB=2,根据旋转的性质可得OA旋转后与OB重合，即点A1 在线段OB,线段OB与y轴重合，点B1在y轴上，由此即可求解 【详解】解：如图所示，连接0B,正方形0ABC绕原点0顺时针旋转45°得正方形0A1B1C1, 四边形OABC是正方形， ∴.0B平分∠AOC,且∠A0C=90°，0A=AB=BC=OC=√2， .LA0B=LB0C=A0C=45°， ∴.0B=√20A=V2×V2=2, ,正方形0ABC绕原点0顺时针旋转45°得正方形0A1B1C1, ,OA旋转后与OB重合，即点A1在线段OB,线段OB与y轴重合，点B1在y轴上， .0B=BB1=2, ∴.B1(0,2), 故选：C 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握正方形的性质，等腰三角形的性 质，勾股定理的运算，旋转的性质是解题的关键， 【变式4】将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若 AB=2,将三角板绕原点O逆时针旋转60°，则点A的对应点A的坐标为 30 【答案】(0,2V3 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定 理等等，先由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理推出OA=2V3,由旋转的性质可得 ∠AOA=60°，OA=OA=2V3,再求出∠AOB=LAOA+∠BOA=90°，进而得到点A在y 40/55 轴上，据此可得答案 【详解】解：：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠A0B=30°，AB=2, V 30 .0B=2AB=4, ∴.0A=V0B2-AB2=2V3, 由旋转的性质可得∠A'OA=60°，0A'=0A=2V3, ∴，∠A0B=∠AOA+∠B0A=90°， .点A在y轴上， ∴.点A的坐标为(0,2V3), 故答案为(0,2√3). 【变式5】如图，己知点A的坐标为(V3,1),将线段0A绕原点O顺时针旋转150°得点， 则此时点A的坐标为 A5, 【答案】(-1，-V3) 【分析】画出图形，根据旋转方向和角度可知点'落在第三象限，利用全等找到点的坐标 即可。 【详解】解：过A作AM⊥x轴于M,过A作AN⊥y轴于N, 则△0AM兰△0AN, AN=AM=1,ON OM=3, 因为A在第三象限， ÷A《-1,-V3), 故答案为：(-1，-V3) 41/55 A5, 30° O 150 30 A.万 【点睛】本题考查直角三角形的全等，旋转，理解旋转形成的直角三角形的全等是解题的关 键 题型11.求绕非原点旋转的点的坐标 【例1】如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(2,-1)、C(0,-2),将△ABC绕 C逆时针旋转90°后，A的对应点A的坐标为() A.(-1,2) B.(-2,2) c.(-3,0) D.(-3,-1) 【答案】D 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，画出图形，利用数形结合的思想进行求解 即可 【详解】解：由题意，画图如下： B 由图可知：A的对应点A的坐标为(-3，-1)： 故选：D. 【例2】在平面直角坐标系中，点(3，-1)绕点(1,1)顺时针旋转90°后的点的坐标是 【答案】(-1，-1) 42/55 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：利用旋转的性质得到旋转变化后的线段长度， 然后根据点的坐标的表示方法确定图形中特殊点的坐标 根据旋转的性质求解即可， 【详解】如图所示， -543-2012六345x 3 由图可得，点(3，-1)绕点(1,1)顺时针旋转90°后的点的坐标是(-1，-1) 故答案为：(-1，-1) 【例3】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到△ABC, 则点P的坐标是 5 2 123456 【答案】(4,4) 【分析】本题考查了旋转：根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中 心，据此可求解。 【详解】解：点P位置如图所示，则点P的坐标是(4,4)， 故答案为：(4,4) 6 3 2 123456 43/55 【变式1】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-2,5),B(-5,1),C(-2,1),将△ABC绕 点C按顺时针方向旋转90°，得到△DEC,则点D的坐标为() A.(1,2) B.(2,1) c.(3,1) D.(5,3) 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案 【详解】解：：A(-2,5),B(-5,1),C(-2,1), .AC=4,AClly轴， ,△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到△DEC, .∠DCE=∠ACB=90°，CD=AC=4, B,C,D三点在一条直线上， .D(2,1), 故选：B 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(3,0),B(5,3),C(3,4).将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，点B的对应点的坐标为() VA B A.(0,2) B.(2,0) C.(-1,0) D.(0,-1) 【答案】A 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，画出图形，利用数形结合的思想进行求解 即可 【详解】解：由题意，画图如下： 44/55 由图可知：点B的对应点B的坐标为(O,2): 故选A. 【变式3】直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△A0B绕点B旋转90，使点A 落到点C处，则点C的坐标为 【答案】(-3,7)或(3，-1) 【分析】先利用坐标轴上点的坐标特征求出A点和B点坐标，然后利用网格特征和旋转的性 质求出△AOB绕点B顺时针或逆时针旋转90°后A的对应点C的坐标. 【详解】解：当y=0时，子x+3=0,解得x=-4,则A(4,0), 当x=0时，y=三x+3=3,则B(0,3), 如图，△AOB绕点B顺时针旋转90°得到△CDB,C点坐标为(-3,7)， 当△AOB绕点B逆时针旋转90°得到△CDB,C'点坐标为(3，-1). 故答案为：(-3,7)或(3，-1) 【点睛】本题考查了坐标与图形变化~旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的 特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°. 【变式4】如图，将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段AB,则点A的对应点A的坐 标是 45/55 -2-10 234 【答案】(2,1) 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、旋转的性质，根据旋转的性质作图即可。 【详解】解：将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段AB如图所示， y本 1 234 点A的对应点A的坐标是(2,1). 故答案为：(2,1) 【变式5】如图，将△ABC绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△ABC,点A的对应点A 的坐标是 ◆y 【答案】(0,4) 【分析】本题涉及图形变换-旋转，体现了新课标的精神，应抓住旋转的三要素：旋转中心， 旋转方向，旋转角度，通过画图求解 解题的关键是应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解 【详解】解：由图知A点的坐标为(4,2)，根据旋转中心P,旋转方向逆时针，旋转角度90°， 画图，从而得A点坐标为(0,4). 故答案为：(0,4) 46/55 外y 6 7 B D -10 12345x 3 【变式6】在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，O),点B的坐标为(0,2)，若将点B绕 原点顺时针旋转60°得到点C,那么线段BC的长为 【答案】2 【分析】画出图形，证明△OBC是等边三角形解决问题即可. 【详解】解：如图， B B(0,2), .OB=2, 由旋转的性质可知，OB=OC,∠BOC=60°， ∴.△BOC是等边三角形， ..BC=OB=2, 故答案为：2. 【点睛】本题考查旋转变换，解题的关键是证明△OBC是等边三角形 巩固练习 1.(2025四川攀枝花，中考真题)已知直角坐标系x0y,点A在该坐标系中的坐标为(-1,2)， 现将直角坐标系xOy绕点O按逆时针方向旋转90°到xOy的位置，则点A在新坐标系x'Oy中的 坐标为() A.(-1,2) B.(2,1) C.(2,-1) D.(-2,-1) 47/55 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转，点的坐标；根据题意得到点A在新坐标系xOy中的第一象限， 且与原来横纵坐标互换，均为正数，即可求出。 【详解】解：将直角坐标系xOy绕点O按逆时针方向旋转90到xOy的位置， ∴.此时点A在新坐标系xOy中的第一象限，且原来横纵坐标互换均为正数， ∴.点A在新坐标系xOy中的坐标为(2,1)， 故选：B. 2.(2025·江苏南通.中考真题)在平面直角坐标系x0y中，将点A(3,1)绕原点0逆时针旋转90°， 得到点B,则点B的坐标为() A.(3,-1) B.(-1,3) C.(1,-3) D.(-3,1) 【答案】B 【分析】利用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90的坐标变换规律来求解点B的坐 标.本题主要考查了平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换，熟练掌握坐标 变换规律是解题的关键， 【详解】解：设点A(x,y)绕原点0逆时针旋转90°后的点为B(xy),则x=一y,y'=x. .A(3,1),即x=3,y=1. x=-1,y=3, ÷点B的坐标为(-1,3)， 故选：B, 3.(2026广东佛山三模)下列运动属于旋转的是（) A.国旗上升的过程 B.在笔直的公路上行驶的汽车 C.传输带运输的物品 D.工作中的风力发电机叶片 【答案】D 【详解】解：A.国旗上升的过程是沿竖直方向的平移，不属于旋转，不符合题意： B.在笔直公路上行驶的汽车整体沿水平方向移动，属于平移，不属于旋转，不符合题意： C.传输带运输的物品沿传输方向移动，属于平移，不属于旋转，不符合题意： D.工作中的风力发电机叶片绕中心定点转动，符合旋转的定义，属于旋转，符合题意 4.(2026·吉林.一模)如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△ABC,且点B刚好落在AB 上.若LABC=70°，则∠ACA的度数为() 48/55 A.25° B.30° C.35 D.40° 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得CB=CB,∠CBA=∠ABC=70°，由点B在AB上可知 ∠CBB=70°，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出旋转角∠BCB,再根据旋转 角相等得出∠ACA的度数。 【详解】解：由旋转的性质可知， CB=CB',∠CB'A'=∠ABC=70°，∠ACA'=∠BCB; 点B刚好落在AB上， ÷∠CBB=∠CBA'=70, CB CB', ∠CBB'=∠CBB=70°， 在△CBB中， ∠BCB'=180°-∠CBB'-∠CBB =180°-70°-70 =40°， ·∠ACA'=∠BCB'=40°. 5.(25-26六年级下.四川成都期中)下面()图形不是通过旋转得到的 .》米绿 【答案】B 【分析】旋转是绕着一个定点转动，平移是沿某个方向移动.据此逐项判断即可。 【详解】解：A、该图形可以看作由一个基本三角形绕中心旋转得到，属于旋转现象； B、该图形是由一个基本图形沿直线方向移动得到的，属于平移现象，不是通过旋转得到的： C、该图形可以看作由一个基本部分绕中心旋转得到，属于旋转现象； D、该图形可以看作由一个基本部分绕中心旋转得到，属于旋转现象。 49/55 6.(25-26七年级下河北保定·期中)踢正步是解放军战士的一门必修课.图1是一名解放 军战士踢正步的场景，图2是其简化示意图，∠DCF=60°，∠DBE=28°.若要使臂部与腿 部平行(BEWCF),则BE应绕点B逆时针旋转 A● 图1 图2 【答案】32 【分析】设BE绕点B逆时针旋转至BE时，BECF,再由两直线平行，同位角相等即可求解， 【详解】解：当BE绕点B逆时针旋转至BE时，BE CF, A○ B D 图2 ∠DCF=60°， ∠DBE=∠DCF=60°，又LDBE=28, ÷∠EBE=∠DBE'-∠DBE=60°-28°=32° 7.(25-26七年级下江苏连云港期中)如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，将△ABC 绕点B顺时针旋转得到△DBE,其中点A的对应点为点D,若旋转角为20°，则∠DBC的大 小是 【答案】70° 【分析】由旋转得∠ABD=20°，再根据∠DBC=∠ABC-∠ABD可得答案. 【详解】解：~将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE,旋转角为20°， ∠ABD=20°， 50/55 :.∠DBC=∠ABC-∠ABD=70° 8.(25-26八年级下·江西鹰潭.期中)如图，格点三角形甲逆时针旋转90°后得到格点三角形 乙，则其旋转中心是点 甲 P。 【答案】M 【分析】根据旋转的性质及勾股定理逆定理判断旋转中心 【详解】解：如图，点M是旋转中心 9.(25-26八年级下福建三明期中)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分 别为A(-1,4),B(-4,2),C(-3,5).(每个方格的边长均为1个单位长度) (1)平移△ABC得到△A1B1C1,若点A1的坐标为(2,2)，画出△A1B1C1,并写出点B1的坐标： (2)将△ABC绕点0逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2. 【答案】(1)B1(-2,0),见解析 (2)见解析 【分析】(1)根据A(-1,4)平移后的坐标为A1(2,2),得到是一个向右平移3个单位长度，向 51/55 下平移2个单位长度的平移变换，确定坐标后，画图即可； (2)根据旋转的性质，得A2(-4,-1),B2(-2,-4),C2(-5,-3),画图解答即可. 【详解】(1)解：根据A(-1,4)平移后的坐标为A1(2,2),得到是一个向右平移3个单位长度， 向下平移2个单位长度的平移变换， 由B(-4,2),C(-3,5) 故B1(-1,0),C1(0,3),画图如下： 则△A1B1C1即为所求； (2)解：因为A(-1,4),B(-4,2),C(-3,5). 根据旋转的性质，得A2(-4,-1),B2(-2,-4),C2(-5,-3), 画图如下： 则△A2B2C2即为所求 10.(25-26七年级下.江苏盐城期中)如图，在△ABC中，∠C=50°，将△ABC绕点A逆时 针旋转60°得到△ADE,ED I AB. 52/55 (1)求LB的度数： (2)求LCAD的度数. 【答案】(1)60° (2)10° 【详解】(1)解：由题意知：∠BAD=60, .'ED II AB, ∴∠D=∠BAD=60°， 由旋转得：∠B=∠D=60°； (2)在△ABC中，∠C+∠CAB+∠B=180°， ∠B=60°，∠C=50°， .∠CAB=180°-∠C-∠B=180°-50°-60°=70°， 因为∠CAB=∠CAD+∠BAD 所以∠CAD=∠CAB-∠BAD=70°-60°=10°. 11.(25-26八年级下.河南开封期中)如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐 标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A(3,2)、B(1,3): (1)将△A0B向下平移3个单位后得到△A1B1C1,则点B1的坐标为 (2)画出△A0B关于y轴对称的△A2B20; (3)画出将△A0B绕点0逆时针旋转180°后的△A30B3 【答案】(1)B1(1,0) (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】(1)根据纵坐标上移加下移减的规律即可得出结果； (2)根据轴对称的性质先确定点A2,B2的位置，再顺次连接即可； (3)根据旋转的性质先确定点A3,B3的位置，再顺次连接即可. 53/55 【详解】(1)解：，△A0B向下平移3个单位后得到△A1B1C1,B(1,3), ∴，点B1的坐标为(1,0)： (2)解：如图所示，△A2B20即为所求， (3)解：如图所示，△A3OB3即为所求， YA 4> B A: 12.(25-26八年级下.江西抚州期末)课本再现： 已知△ABC为等边三角形，其边长为4，点P是AB边上一动点，连接CP. D 图1 图2 (1)如图1，点E在AC边上且AE=BP,连接BE交CP于点F. ①求证：BE=CP; ②LBFC的度数为· 变式提升： (2)如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ,连接BQ交AC于点D.设BP=x,CD= y,求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围， 【答案】(1)①证明：~△ABC是等边三角形， ∴AB=BC,∠A=∠ABC=60°， AE=BP ∴.△ABE≌△BCP(SAS), BE=CP; ②120% (2y=2-;x(0≤x≤4) 2 54/55 【分析】(1)①根据SAS证明△ABE兰△BCP即可； ②利用全等三角形的性质结合三角形的外角性质求解即可； (2)如图2，在AC上截取AG=BP=x,连接BG,QG,证明四边形BCQG是平行四边形， 推出CD=CG,可得结论. 【详解】(1)①略 ②解：由①知，△ABE兰△BCP, ∴∠ABE=∠BCP, ∴∠CFE=∠CBE+∠BCP=∠CBE+∠ABE=∠ABC=6O°， ÷∠BFC=180°-∠CFE=120, (2)解：如图，在AC上截取AG=BP=x,连接BG,QG,BG交CP于点F, 图2 同(1)①的方法知，△ABG兰△BCP(SAS), ∴.BG=CP, 由旋转知，∠PCQ=120°，CP=CQ, :BG CQ, 由(1)②知，∠BFC=120°， ÷LBFC=∠QCP, :BG l CQ. 四边形BCQG是平行四边形， .CD=CG. :等边△ABC的边长为4， AC=4, ÷CG=AC-AG=4-x, CD=(4-)=2-x,即y=2-x(0≤x≤4). 55/55 第二十三章 旋转 01讲 图形的旋转 题型归纳 【知识点1 旋转 1】 【知识点2 旋转的性质 2】 【知识点3 旋转作图 2】 【题型1. 生活中的旋转 2】 【题型2. 旋转中心、旋转角、对应点 4】 【题型3. 旋转的概念与性质辨析 5】 【题型4. 由旋转的性质证明 6】 【题型5. 由旋转的性质求角度 7】 【题型6. 由旋转的性质求长度 9】 【题型7. 根据旋转的性质综合求解 10】 【题型8. 画旋转图形 12】 【题型9. 求绕原点旋转90度的点的坐标 13】 【题型10. 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 15】 【题型11. 求绕非原点旋转的点的坐标 16】 【巩固练习 17】 知识清单 知识点1 旋转 1. 旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转. 2. 旋转的元素：这一点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角，图形上点P经过旋转变为点P’，这两点叫作这个旋转的对应点. 【提示】 ① 旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置； ② 每一点都饶旋转中心沿相同方向转动了相同的角度； ③ 任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角. 知识点2 旋转的性质 1. 旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等. 【提示】 旋转中心的情况 判断哪点是旋转中心 在图形上 在旋转过程中位置没有改变的点 不在图形上 对应点所连线段垂直平分线的交点 【易错点】对于有公共顶点的两个图形，有时会将公共顶点误认为是旋转中心 知识点3 旋转作图 1.具体步骤为：（1）连：连接图形中每一个关键点与旋转中心； （2）转：把连线按要求饶旋转中心饶过一定角度（作旋转角）； （3）截：在角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各点的对应点； （4）连：连接所得到的各对应点； （5）写出结论，说明作出的图形. 题型专练 题型1. 生活中的旋转 【例1】升旗时国旗的运动是（    ），钟面上时针、分针的运动是（    ）． A．平移；旋转 B．旋转；对称 C．对称；旋转 D．旋转；平移 【例2】以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【变式1】有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式2】下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【变式3】新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 【变式4】2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②，这次运动可以是（   ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以 题型2. 旋转中心、旋转角、对应点 【例1】如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 【变式1】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则旋转中心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【变式2】如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【变式3】如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【变式4】如图，将经过旋转得到，则旋转中心是点________，此时，________，________，________． 题型3. 旋转的概念与性质辨析 【例1】一个图形经过旋转有以下说法，其中正确的说法是（   ）． ①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1】将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转，所得图形一定能与原图形重合的是（   ） A．平行四边形 B．长方形 C．正六边形 D．正方形 【变式2】在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是（    ） A．对应点所连线段都平行 B．对应线段都平行 C．对应点所连线段都相等 D．对应线段都相等 【变式3】在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【变式4】图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是（    ） A．形状不变，大小可能改变 B．大小不变，形状可能改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都可能改变 题型4. 由旋转的性质证明 【例1】如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作的平分线交于点．求证：． 【例2】如图，点E与F分别在正方形的边、上，．求证：．    【变式1】如图，在等腰中，，把绕点旋转到的位置，连接、．求证：． 【变式2】如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． (1)写出相等的角：________，________________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【变式3】如图，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．求证：． 【变式4】如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且． (1)求证：； (2)求证：． 题型5. 由旋转的性质求角度 【例1】如图，在中， ．将绕点A顺时针旋转至使得点C恰好落在BC上的处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置．若，则的度数为______． 【变式1】如图，将绕点按顺时针方向旋转后得到．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则_____°． 【变式4】如图，将在平面内绕点 A 逆时针旋转到的位置，点 C 与点 D 对应，当时，则的度数为_____________． 【变式5】如图，绕顶点A逆时针旋转至，，，则_______°． 题型6. 由旋转的性质求长度 【例1】将绕点A逆时针旋转得到，若，则的长度为（    ） A．3 B． C． D．6 【例2】如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，，则的长为__________． 【变式1】如图，把绕点顺时针旋转一定角度到的位置，若，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式2】如图，将绕点顺时针旋转得到，若，连接，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，延长交的延长线于点，则的长为__________． 【变式4】已知：如图，在中，，．将绕顶点O，按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点D恰好为的中点，则线段__________． 【变式5】如图，是等边外的一点，若将绕点A顺时针旋转到，若，则的长为_____ ． 题型7. 根据旋转的性质综合求解 【例1】如图，等边的边长为4，P是边上的一动点，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，D是边的中点，连接． (1)求的度数． (2)点P在边上运动的过程中，求的最小值． 【变式1】如图，将绕点B顺时针旋转到，分别连接， ．    (1)求的度数： (2)若，求的长． 【变式2】如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上． (1)若，求的大小； (2)若，的周长为9，求的长． 【变式3】点D是等边内一点，连接，，，将绕点C顺时针旋转得到，连接． (1)若，，求点C到的距离． (2)在（1）的条件下，若，求的长度． 题型8. 画旋转图形 【例1】在图中，把向右平移6个方格，再绕点B顺时针方向旋转，请画出平移和旋转后的图形． 【例2】如图，在平面直角坐标系中，点，，，请解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； (2)将绕点按顺时针方向旋转得到，请作出； 【变式1】如图，在每小格边长均为1的正方形网格图中完成下列各题（用直尺画图）： (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)再将向下平移2个单位得，并计算扫过的面积是______（直接填答案）； (3)将绕点A顺时针旋转得． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为：、、． (1)画出先向右平移2个单位，再向下平移4个单位后得到的； (2)画出绕坐标原点逆时针旋转后得到的； (3)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标． 【变式3】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)画出将向左平移8个单位长度得到的； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的． 题型9. 求绕原点旋转90度的点的坐标 【例1】以原点为中心，把点顺时针旋转，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，将绕点O逆时针旋转得到，若，则点坐标为 _______ ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，若将绕点逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，将线段绕原点O逆时针旋转，记点的对应点为，则的坐标为（      ） A． B． C． D． 【变式3】如图，点A的坐标为，点C的坐标为，B的坐标为，将沿y轴向下平移，使点A平移至坐标原点O，再将绕点O逆时针旋转，此时B的对应点为，点C的对应点为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式4】在平面直角坐标系中，已知点，那么将点M绕原点O逆时针旋转后与点N重合，那么点N的坐标是_________． 题型10. 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例1】以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ___________． 【变式1】将点绕原点旋转，再向右平移2个单位长度得点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，正方形的边长为，将正方形绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式4】将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为______． 【变式5】如图，已知点A的坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转150°得点A′，则此时点A′的坐标为_____________． 题型11. 求绕非原点旋转的点的坐标 【例1】如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕C逆时针旋转后，A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后的点的坐标是______． 【例3】在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是______． 【变式1】如图，三个顶点的坐标分别为，，，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，则点D的坐标为（　  ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．将绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】直线与轴交于点，与轴交于点，将绕点旋转，使点落到点处，则点的坐标为_____． 【变式4】如图，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是______． 【变式5】如图，将绕点P按逆时针方向旋转，得到，点A的对应点的坐标是________． 【变式6】在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)，若将点B绕原点顺时针旋转60°得到点C，那么线段BC的长为_____． 巩固练习 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东佛山·三模）下列运动属于旋转的是（    ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．传输带运输的物品 D．工作中的风力发电机叶片 4．（2026·吉林·一模）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级下·四川成都·期中）下面（   ）图形不是通过旋转得到的 A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·河北保定·期中）踢正步是解放军战士的一门必修课．图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是其简化示意图，，．若要使臂部与腿部平行（），则应绕点逆时针旋转__________°． 7．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，在直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点，若旋转角为，则的大小是_____． 8．（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点_____． 9．（25-26八年级下·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度） (1)平移得到，若点的坐标为，画出，并写出点的坐标：______； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的． 10．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，． (1)求的度数； (2)求的度数． 11．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系， 的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是、． (1)将向下平移3个单位后得到，则点的坐标为 ； (2)画出关于y轴对称的； (3)画出将绕点逆时针旋转后的. 12．（25-26八年级下·江西抚州·期末）课本再现： 已知为等边三角形，其边长为4，点P是边上一动点，连接． (1)如图1，点E在边上且，连接交于点F． ①求证：； ②的度数为______． 变式提升： (2)如图2，将线段绕点C顺时针旋转得线段，连接交于点D．设，，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 1 / 116 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 旋转 01讲 图形的旋转 题型归纳 【知识点1 旋转 1】 【知识点2 旋转的性质 2】 【知识点3 旋转作图 2】 【题型1. 生活中的旋转 2】 【题型2. 旋转中心、旋转角、对应点 5】 【题型3. 旋转的概念与性质辨析 8】 【题型4. 由旋转的性质证明 10】 【题型5. 由旋转的性质求角度 14】 【题型6. 由旋转的性质求长度 18】 【题型7. 根据旋转的性质综合求解 23】 【题型8. 画旋转图形 27】 【题型9. 求绕原点旋转90度的点的坐标 32】 【题型10. 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 37】 【题型11. 求绕非原点旋转的点的坐标 42】 【巩固练习 47】 知识清单 知识点1 旋转 1. 旋转的定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫作图形的旋转. 2. 旋转的元素：这一点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角，图形上点P经过旋转变为点P’，这两点叫作这个旋转的对应点. 【提示】 ① 旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置； ② 每一点都饶旋转中心沿相同方向转动了相同的角度； ③ 任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角. 知识点2 旋转的性质 1. 旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等. 【提示】 旋转中心的情况 判断哪点是旋转中心 在图形上 在旋转过程中位置没有改变的点 不在图形上 对应点所连线段垂直平分线的交点 【易错点】对于有公共顶点的两个图形，有时会将公共顶点误认为是旋转中心 知识点3 旋转作图 1.具体步骤为：（1）连：连接图形中每一个关键点与旋转中心； （2）转：把连线按要求饶旋转中心饶过一定角度（作旋转角）； （3）截：在角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各点的对应点； （4）连：连接所得到的各对应点； （5）写出结论，说明作出的图形. 题型专练 题型1. 生活中的旋转 【例1】升旗时国旗的运动是（    ），钟面上时针、分针的运动是（    ）． A．平移；旋转 B．旋转；对称 C．对称；旋转 D．旋转；平移 【答案】A 【详解】解：∵升旗过程中，国旗任意两点间的相对方向和距离不变，整体沿直线移动，符合平移的定义， ∴升旗时国旗的运动是平移， ∵钟面上时针、分针都绕钟面中心定点转动，各点到中心的距离不变，符合旋转的定义， ∴钟面上时针、分针的运动是旋转． 【例2】以下生活现象中，属于旋转变换的是（   ） A．钟表的指针和钟摆的运动 B．站在电梯上的人的运动 C．汽车沿笔直的公路行驶 D．地下水位线逐年下降 【答案】A 【分析】本题是考查图形的平移、旋转的意义，掌握图形平移与旋转的区别是解题的关键． 根据平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；根据旋转的意义，在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．由此进行判定即可． 【详解】解：A、钟表的指针和钟摆的运动，钟表指针绕中心旋转，钟摆绕悬挂点摆动，两者均属于旋转运动，故该说法正确，符合题意； B、站在电梯上的人的运动，是平移，不符合题意； C、汽车沿笔直的公路行驶，是平移，不符合题意； D、地下水位线逐年下降，不是旋转，不符合题意； 故选：A． 【变式1】有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为数学问题． 根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可． 【详解】∵ ①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转； ②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转； ③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转； ④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转． ∴ 属于旋转的是①和④． 故选：D． 【变式2】下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的定义， 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义． 【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动， ∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象； 选项A中汽车飞驰主要是平移运动； 选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主； 选项D中升降电梯是垂直平移运动． 故选：B． 【变式3】新情顶旅游产业发展大会主会场活动在邢台举办，大会吉祥物“太行山家族”包含“山宝”“水灵”“葫娃”“栗仔”4个角色，其中“葫娃”形似葫芦，意在传递扁鹊中医药文化底蕴．通过将如图所示的“葫娃”旋转，可以得到（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题图形旋转的性质：根据图形旋转的性质，判断原图形旋转后得到的图形，需明确旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系． 【详解】解：将如图所示的“葫娃”逆时针旋转九十度可得到选项A， 旋转不改变图形的形状、大小和各部分的相对位置关系，其他选项的“葫娃”和题干的不一样，故不能由题干所示图形旋转得来． 故选：A． 【变式4】2025年苏超联赛火爆全网，图①是苏超联赛标志图，经过一次运动得到图②，这次运动可以是（   ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．以上都可以 【答案】C 【分析】本题考查了几何变换的类型，熟记各种变换的定义并准确识图是解题的关键．根据翻折、旋转、平移的定义进行判断即可． 【详解】解：由图可知，图绕图案中心点旋转后可得到图，通过平移或者翻折不可以得到， 这次运动可以是旋转， 故选：C． 题型2. 旋转中心、旋转角、对应点 【例1】如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（   ） A．旋转中心是O，旋转角是 B．旋转中心是O，旋转角是 C．旋转中心是C，旋转角是 D．旋转中心是C，旋转角是 【答案】A 【分析】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质．观察图形，根据网格的特征可得答案． 【详解】解：由图可知，点B绕点O逆时针旋转90°可得点C，点A绕点O逆时针旋转可得点D， ∴旋转中心是点O，旋转角是； 故选：A． 【变式1】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则旋转中心是（   ） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，根据图形旋转的性质，旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等即可解决问题． 【详解】解：由图可得， 令正方形网格的边长为1， 则， ， ， 所以点F为旋转中心． 故选：C． 【变式2】如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．根据旋转的性质可得． 【详解】解:∵绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．， ∴． 【变式3】如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 【变式4】如图，将经过旋转得到，则旋转中心是点________，此时，________，________，________． 【答案】 A D DE 3 【分析】本题考查了旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； 根据旋转的性质，确定旋转的中心，找出对应角和对应边． 【详解】解：观察图片可知旋转中心为A， 在旋转过程中，对应角相等，对应边相等； ∴，， ∴ 故答案为：A，D，DE，3 ． 题型3. 旋转的概念与性质辨析 【例1】一个图形经过旋转有以下说法，其中正确的说法是（   ）． ①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【详解】解：∵旋转是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小， ∴旋转后对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都不发生变化，即②③④正确； 旋转后对应线段不一定平行，可能相交，因此①错误； 故正确的说法是②③④，选D． 【变式1】将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转，所得图形一定能与原图形重合的是（   ） A．平行四边形 B．长方形 C．正六边形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，进而可得出答案． 【详解】解：根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形． 故选：D 【变式2】在图形的平移和旋转变换中，下列说法正确的是（    ） A．对应点所连线段都平行 B．对应线段都平行 C．对应点所连线段都相等 D．对应线段都相等 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质，旋转的性质，掌握平移和旋转的性质是解题关键．根据平移和旋转后的对应线段都相等解答即可． 【详解】解：平移的性质：对应点所连线段平行（在同一直线上）、对应点所连线段相等、对应线段平行（在同一直线上）、对应线段相等、对应角相等； 旋转的性质：对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心的距离相等． 故选D． 【变式3】在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】根据平移和旋转的定义，依次进行判断即可得． 【详解】解：A、图形由经过平移得到，选项说法正确，不符合题意； B、图形不能由经过旋转或平移得到，，是由翻折得到的，选项说法错误，符合题意； C、图形由经过旋转得到，选项说法正确，不符合题意； D、图形由经过旋转和平移得到，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平移，旋转，解题的关键是掌握平移，旋转的定义． 【变式4】图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是（    ） A．形状不变，大小可能改变 B．大小不变，形状可能改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都可能改变 【答案】C 【分析】根据平移、旋转及翻折的性质可进行求解． 【详解】解：图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是形状和大小都不变； 故选C． 【点睛】本题主要考查平移、旋转及翻折的性质，熟练掌握平移、旋转及翻折的性质是解题的关键． 题型4. 由旋转的性质证明 【例1】如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作的平分线交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由旋转可得，，即得为等边三角形，进而根据等边三角形的性质即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：由旋转可得，，， ∴为等边三角形， ∵平分， ∴． 【例2】如图，点E与F分别在正方形的边、上，．求证：．    【答案】见解析 【分析】把绕点逆时针旋转至，首先证明，进而得到问题即可解决． 【详解】解：证明：， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合，如图： ， ，， ， ， ， ，点、、共线， 在和中， ， ， ， 即．    【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定及其性质为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 【变式1】如图，在等腰中，，把绕点旋转到的位置，连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得，，，利用等量代换可得，，推出，即可得出结论． 【详解】证明：∵绕点旋转到， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，点A的对应点为D，点B的对应点E恰好落在上，延长交于点F． (1)写出相等的角：________，________________； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，证明见解析 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键： （1）根据旋转前后，对应角相等，结合对顶角相等，即可得出结果； （2）根据角度之间的关系，结合三角形的内角和定理，推出，即可． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∵， ∴； （2）． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定，根据等边三角形的性质，得到，旋转的性质，得到，利用证明即可． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴． 【变式4】如图，将绕点逆时针旋转得到，的延长线与相交于点，连接、，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明；由旋转的性质可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，则可证明是等边三角形，进而可得，据此可证明结论； （2）由等边三角形的性质得到，，再证明垂直平分，则，进而可证明． 【详解】（1）略 （2）略 题型5. 由旋转的性质求角度 【例1】如图，在中， ．将绕点A顺时针旋转至使得点C恰好落在BC上的处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 根据旋转的性质得，再根据等腰三角形的性质得， 再根据三角形内角和定理得，则此题可解． 【详解】解：根据旋转的性质，得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置．若，则的度数为______． 【答案】/40度 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，根据可得． 【详解】解：∵将在平面内绕点旋转到的位置，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，将绕点按顺时针方向旋转后得到．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键．先根据旋转的性质求出，再结合，最后求解即可． 【详解】解：∵绕点按顺时针方向旋转后得到， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 由旋转的性质和正方形的性质可得． 【详解】解：正方形绕着点O逆时针旋转得到正方形， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则_____°． 【答案】52 【分析】本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，熟练掌握平行线的性质及旋转的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为52． 【变式4】如图，将在平面内绕点 A 逆时针旋转到的位置，点 C 与点 D 对应，当时，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解： ∵将在平面内绕点 A 逆时针旋转到的位置， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5】如图，绕顶点A逆时针旋转至，，，则_______°． 【答案】 【分析】本题考查图形旋转性质，三角形内角和，角的和差，掌握图形旋转性质，三角形内角和，角的和差是解题关键．根据图形旋转可得，，进而可求的度数． 【详解】解：∵绕顶点逆时针旋转至， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为95． 题型6. 由旋转的性质求长度 【例1】将绕点A逆时针旋转得到，若，则的长度为（    ） A．3 B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的旋转，勾股定理．根据旋转的性质可得，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图：将绕点A逆时针旋转得到， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【例2】如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，，则的长为__________． 【答案】6 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出，，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解∶∵将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．，， ∴，， ∴， 故答案为：6． 【变式1】如图，把绕点顺时针旋转一定角度到的位置，若，则的长是（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，掌握旋转中对应边相等是关键． 根据旋转图形对应边相等即可求解． 【详解】解：把绕点顺时针旋转一定角度到的位置，若， ∴， 故选：D． 【变式2】如图，将绕点顺时针旋转得到，若，连接，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质及等边三角形的判定与性质，由旋转得，，可证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：由旋转得，， 是等边三角形， ， 故选：D． 【变式3】如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，延长交的延长线于点，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 如图所示，过点作于点，则，根据旋转的性质可得，在中，可得，，，由等腰三角形的性质可得，，，则有，是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， 在中，， ∴，， 则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式4】已知：如图，在中，，．将绕顶点O，按顺时针方向旋转到处，此时线段与的交点D恰好为的中点，则线段__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，直角三角形的性质，利用勾股定理求出的长，则可求出的长，再由旋转的性质得到，据此由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 故答案为：． 【变式5】如图，是等边外的一点，若将绕点A顺时针旋转到，若，则的长为_____ ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质以及旋转的性质，由旋转的性质和等边三角形的性质得出，，从而得出为等边三角形，进而可求出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， 由旋转的性质，得旋转角，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：1． 题型7. 根据旋转的性质综合求解 【例1】如图，等边的边长为4，P是边上的一动点，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，D是边的中点，连接． (1)求的度数． (2)点P在边上运动的过程中，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． （1）根据旋转的性质及等边三角形的性质即可得到的度数； （2）当时，的长最小，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：绕点A按逆时针方向旋转，得到， ． 是等边三角形， ， ． （2）解：由（1），可知， 点Q在射线上运动， 当时，的长最小． D是边的中点， ． ， ． 在中， ， 的最小值是． 【变式1】如图，将绕点B顺时针旋转到，分别连接， ．    (1)求的度数： (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，可得是等边三角形，从而得到，即可求解； （2）由旋转的性质可得，根据等边三角形的性质可得，在中，根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵将绕点B顺时针旋转到， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【变式2】如图，四边形中，，，连接，将四边形绕着点逆时针旋转至四边形，使落在边上． (1)若，求的大小； (2)若，的周长为9，求的长． 【答案】(1)20度 (2)3 【分析】本题考查平行线的性质，图形旋转的性质，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的关系，以及根据旋转性质和已知条件计算线段长度． （1）先根据平行线的性质得出角的关系，再结合旋转性质求． （2）先根据已知条件求出长度，再利用旋转性质得到线段等量关系，最后根据三角形周长计算的长． 【详解】（1）解： ， ， 将四边形绕着点逆时针旋转至四边形， ， ， ； （2）解： ， ， 将四边形绕着点逆时针旋转至四边形， ， ， ，即， ． 【变式3】点D是等边内一点，连接，，，将绕点C顺时针旋转得到，连接． (1)若，，求点C到的距离． (2)在（1）的条件下，若，求的长度． 【答案】(1)点C到的距离为1； (2)． 【分析】（1）由旋转性质得到，，证明是等边三角形得到，过C作延长线于F，则有，根据含30度角的直角三角形的性质可求解； （2）利用旋转性质和勾股定理可求得，，进而可求得，再根据等边三角形的性质得到可求解． 【详解】（1）解：∵绕点C顺时针旋转得到，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 过C作延长线于F， 则， ∴， 即点C到的距离为1； （2）解：由旋转性质得， 由（1）知， 在中，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质是解答的关键． 题型8. 画旋转图形 【例1】在图中，把向右平移6个方格，再绕点B顺时针方向旋转，请画出平移和旋转后的图形． 【答案】如图，和即为所求． 【详解】略 【例2】如图，在平面直角坐标系中，点，，，请解答下列问题： (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，请作出； (2)将绕点按顺时针方向旋转得到，请作出； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据点和点的坐标，可得平移方式为向右7个单位长度，再向下6个单位长度，分别画出点的对应点为，再顺次连接即可得到； （2）根据旋转的方式，分别画出点的对应点为，再顺次连接即可得到． 【详解】（1）解：点经过平移后的对应点的坐标为， 的平移方式为向右7个单位长度，再向下6个单位长度， 如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求． 【变式1】如图，在每小格边长均为1的正方形网格图中完成下列各题（用直尺画图）： (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)再将向下平移2个单位得，并计算扫过的面积是______（直接填答案）； (3)将绕点A顺时针旋转得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；4 (3)见解析 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可． （2）根据平移的性质找出点、、向下平移后的对应点、、，然后顺次连接即可，然后再根据平行四边形的性质求面积即可． （3）根据旋转的性质结合网格结构找出点B、C绕点A顺时针旋转后的对称点、，顺次连接可得； 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求．扫过的面积是． （3）解：如图，即为所求． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为：、、． (1)画出先向右平移2个单位，再向下平移4个单位后得到的； (2)画出绕坐标原点逆时针旋转后得到的； (3)在轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】（1）根据网格结构找出、、平移后的对应点，顺次连接各点即可； （2）根据网格结构找出、、绕坐标原点逆时针旋转后的对应点，顺次连接各点即可； （3）作点关于轴对称的点，连接，交轴于点，此时的值最小，写出坐标． 【详解】（1）如图所示， （2）如图所示， （3）如图所示，作点关于轴对称的点，连接，交轴于点，此时的值最小，． 【变式3】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． (1)画出将向左平移8个单位长度得到的； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-旋转变换，平移变换． （1）利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点、即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求： 题型9. 求绕原点旋转90度的点的坐标 【例1】以原点为中心，把点顺时针旋转，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转．利用旋转变换的性质作出图形，可得结论． 【详解】解：如图，点绕原点O顺时针旋转后得到的点的坐标为， 故选：A． 【例2】如图，将绕点O逆时针旋转得到，若，则点坐标为 _______ ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化． 利用旋转的性质得，，，，然后利用第二象限内点的坐标特征写出点坐标． 【详解】解：∵， ∴，， ∵绕点O逆时针方向旋转，得到， ∴，，，， ∴点坐标为． 故答案为：． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，若将绕点逆时针旋转，得到，那么的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的判定和性质，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键．过B作于C，过作轴于D，构建，即可得出答案． 【详解】解：如图，过B作于C，过作轴于D， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ； 在和中， ， 又 ，即，， ， ． 故选C． 【变式2】在平面直角坐标系中，将线段绕原点O逆时针旋转，记点的对应点为，则的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作轴于点B，过点轴于点C，根据旋转的性质得出，证明，得出，即可求解，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边夹角等于旋转角． 【详解】解：过点A作轴于点B，过点轴于点C， ∵， ∴， ∵线段绕原点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的坐标为， 故选：A． 【变式3】如图，点A的坐标为，点C的坐标为，B的坐标为，将沿y轴向下平移，使点A平移至坐标原点O，再将绕点O逆时针旋转，此时B的对应点为，点C的对应点为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平移的性质和旋转变换以及全等三角形的判定和性质，根据点A平移后至坐标原点O，得到平移变换是向下平移3个单位，从而得到坐标，再根据旋转变换得到，即可求得点． 【详解】解：根据点A的坐标为，平移后点A平移至坐标原点O，则向下平移3个单位，那么，得到， ∵将绕点O逆时针旋转得到，过点作交y轴于点M，过点作交x轴于点N，如图， 由旋转性质得，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴所以点的坐标为， 故选：C． 【变式4】在平面直角坐标系中，已知点，那么将点M绕原点O逆时针旋转后与点N重合，那么点N的坐标是_________． 【答案】 【分析】分别过点M，点N作x轴的垂线，垂足为B，A，证明，得到，，从而可得点N的坐标． 【详解】解：如图，分别过点M，点N作x轴的垂线，垂足为B，A， 由旋转可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了点的旋转问题，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，解题关键在于能正确画出图形，构造全等三角形． 题型10. 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例1】以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一个点绕原点旋转后对应的点的坐标，根据以原点为中心逆时针旋转，得到的点与该点关于原点对称，即可求得答案． 【详解】解：依题意，点关于原点的对称点为， 即把点逆时针旋转，得到点B，点B的坐标为， 故选：B． 【例2】在平面直角坐标系中，点A坐标是，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，点A在旋转后的坐标系中的坐标是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转．根据题意画出图形，连接，作轴于点B，当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转，可得点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 【详解】解：如图所示：连接，作轴于点B， ∵点A坐标是． ∴，， ∴， ∴， 当把坐标系绕点O顺时针旋转时，相当于把绕点O逆时针旋转， ∴点A在旋转后的坐标系中的坐标是． 故答案为：． 【变式1】将点绕原点旋转，再向右平移2个单位长度得点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用绕原点旋转的点的坐标性质得到旋转后的点坐标，再根据平移的坐标变化规律计算得到最终点的坐标即可． 【详解】解：∵点绕原点旋转， ∴ 旋转后点的坐标为， ∵ 再向右平移个单位长度得点， ∴． 【变式2】将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化和旋转求出旋转后与轴夹角为，然后求出点的横坐标与纵坐标，从而得解． 【详解】如图， 三角板绕原点顺时针旋转， 旋转后与轴夹角为， ， ， 点的横坐标为 ， 纵坐标为 ， 所以，点的坐标为． 故选：C． 【变式3】如图，正方形的边长为，将正方形绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，根据旋转的性质可得旋转后与重合，即点在线段，线段与轴重合，点在轴上，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，正方形绕原点顺时针旋转得正方形，    ∵四边形是正方形， ∴平分，且，， ∴， ∴， ∵正方形绕原点顺时针旋转得正方形， ∴旋转后与重合，即点在线段，线段与轴重合，点在轴上， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运算，旋转的性质是解题的关键． 【变式4】将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，先由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理推出，由旋转的性质可得，再求出，进而得到点在y轴上，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴点在y轴上， ∴点的坐标为， 故答案为． 【变式5】如图，已知点A的坐标为，将线段绕原点O顺时针旋转150°得点A′，则此时点A′的坐标为_____________． 【答案】 【分析】画出图形，根据旋转方向和角度可知点A′落在第三象限，利用全等找到点的坐标即可． 【详解】解：过A作轴于M，过A′作轴于N， 则， ， 因为在第三象限， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的全等，旋转，理解旋转形成的直角三角形的全等是解题的关键． 题型11. 求绕非原点旋转的点的坐标 【例1】如图，的三个顶点的坐标分别为、、，将绕C逆时针旋转后，A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 由图可知：A的对应点的坐标为； 故选：D． 【例2】在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后的点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转：利用旋转的性质得到旋转变化后的线段长度，然后根据点的坐标的表示方法确定图形中特殊点的坐标． 根据旋转的性质求解即可． 【详解】如图所示， 由图可得，点绕点顺时针旋转后的点的坐标是． 故答案为：． 【例3】在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转；根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此可求解． 【详解】解：点P位置如图所示，则点P的坐标是， 故答案为：． 【变式1】如图，三个顶点的坐标分别为，，，将绕点C按顺时针方向旋转，得到，则点D的坐标为（　  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质．直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，轴， ∵绕点C按顺时针方向旋转，得到， ∴，， ∴B，C，D三点在一条直线上， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．将绕点逆时针旋转后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与旋转，根据旋转的性质，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：由题意，画图如下： 由图可知：点的对应点的坐标为； 故选A． 【变式3】直线与轴交于点，与轴交于点，将绕点旋转，使点落到点处，则点的坐标为_____． 【答案】或 【分析】先利用坐标轴上点的坐标特征求出点和点坐标，然后利用网格特征和旋转的性质求出绕点顺时针或逆时针旋转后的对应点的坐标． 【详解】解：当时，，解得，则， 当时，，则， 如图，绕点顺时针旋转得到，点坐标为， 当绕点逆时针旋转得到，点坐标为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，． 【变式4】如图，将线段AB绕点B顺时针旋转，得到线段，则点A的对应点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转、旋转的性质，根据旋转的性质作图即可． 【详解】解：将线段AB绕点B顺时针旋转得到线段如图所示， 点A的对应点的坐标是 故答案为： 【变式5】如图，将绕点P按逆时针方向旋转，得到，点A的对应点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题涉及图形变换-旋转，体现了新课标的精神，应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解． 解题的关键是应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解． 【详解】解：由图知点的坐标为，根据旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度，画图，从而得点坐标为． 故答案为：． 【变式6】在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(0，2)，若将点B绕原点顺时针旋转60°得到点C，那么线段BC的长为_____． 【答案】2 【分析】画出图形，证明△OBC是等边三角形解决问题即可． 【详解】解：如图， ∵B（0，2）， ∴OB=2， 由旋转的性质可知，OB=OC，∠BOC=60°， ∴△BOC是等边三角形， ∴BC=OB=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查旋转变换，解题的关键是证明△OBC是等边三角形． 巩固练习 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转，点的坐标；根据题意得到点在新坐标系中的第一象限，且与原来横纵坐标互换，均为正数，即可求出． 【详解】解：将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置， ∴此时点在新坐标系中的第一象限，且原来横纵坐标互换均为正数， ∴点在新坐标系中的坐标为， 故选：B． 2．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律来求解点的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换，熟练掌握坐标变换规律是解题的关键． 【详解】解：设点绕原点逆时针旋转后的点为，则，． ∵，即，． ， 点的坐标为， 故选： ． 3．（2026·广东佛山·三模）下列运动属于旋转的是（    ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．传输带运输的物品 D．工作中的风力发电机叶片 【答案】D 【详解】解：A．国旗上升的过程是沿竖直方向的平移，不属于旋转，不符合题意； B．在笔直公路上行驶的汽车整体沿水平方向移动，属于平移，不属于旋转，不符合题意； C．传输带运输的物品沿传输方向移动，属于平移，不属于旋转，不符合题意； D．工作中的风力发电机叶片绕中心定点转动，符合旋转的定义，属于旋转，符合题意． 4．（2026·吉林·一模）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可得，，由点在上可知，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出旋转角，再根据旋转角相等得出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可知， ，，； 点刚好落在上， ， ， ， 在中， ， ． 5．（25-26六年级下·四川成都·期中）下面（   ）图形不是通过旋转得到的 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】旋转是绕着一个定点转动，平移是沿某个方向移动．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形可以看作由一个基本三角形绕中心旋转得到，属于旋转现象； B、该图形是由一个基本图形沿直线方向移动得到的，属于平移现象，不是通过旋转得到的； C、该图形可以看作由一个基本部分绕中心旋转得到，属于旋转现象； D、该图形可以看作由一个基本部分绕中心旋转得到，属于旋转现象． 6．（25-26七年级下·河北保定·期中）踢正步是解放军战士的一门必修课．图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是其简化示意图，，．若要使臂部与腿部平行（），则应绕点逆时针旋转__________°． 【答案】32 【分析】设绕点逆时针旋转至时，，再由两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】解：当绕点逆时针旋转至时，， ， ，又， ． 7．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，在直角三角形中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点，若旋转角为，则的大小是_____． 【答案】 【分析】由旋转得，再根据可得答案． 【详解】解：将绕点B顺时针旋转得到，旋转角为， ， ． 8．（25-26八年级下·江西鹰潭·期中）如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点_____． 【答案】 【分析】根据旋转的性质及勾股定理逆定理判断旋转中心． 【详解】解：如图，点Ｍ是旋转中心 9．（25-26八年级下·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度） (1)平移得到，若点的坐标为，画出，并写出点的坐标：______； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移后的坐标为，得到是一个向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度的平移变换，确定坐标后，画图即可； （2）根据旋转的性质，得，，，画图解答即可． 【详解】（1）解：根据平移后的坐标为，得到是一个向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度的平移变换， 由，． 故，，画图如下： 则即为所求； （2）解：因为，，． 根据旋转的性质，得，，， 画图如下： 则即为所求． 10．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知：， ∵， ∴， 由旋转得：； （2）在中，， ∵，， ∴， 因为， 所以． 11．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系， 的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是、． (1)将向下平移3个单位后得到，则点的坐标为 ； (2)画出关于y轴对称的； (3)画出将绕点逆时针旋转后的. 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据纵坐标上移加下移减的规律即可得出结果； （2）根据轴对称的性质先确定点的位置，再顺次连接即可； （3）根据旋转的性质先确定点的位置，再顺次连接即可. 【详解】（1）解：∵向下平移3个单位后得到，， ∴点的坐标为； （2）解：如图所示，即为所求， （3）解：如图所示，即为所求， 12．（25-26八年级下·江西抚州·期末）课本再现： 已知为等边三角形，其边长为4，点P是边上一动点，连接． (1)如图1，点E在边上且，连接交于点F． ①求证：； ②的度数为______． 变式提升： (2)如图2，将线段绕点C顺时针旋转得线段，连接交于点D．设，，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)①证明： 是等边三角形， ，， ， ， ； ② (2) 【分析】（1）①根据证明即可； ②利用全等三角形的性质结合三角形的外角性质求解即可； （2）如图2，在上截取，连接，，证明四边形是平行四边形，推出，可得结论． 【详解】（1）①略 ②解：由①知，， ， ， ； （2）解：如图，在上截取，连接，，交于点， 同（1）①的方法知，， ∴， 由旋转知，，， ， 由（1）②知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 等边的边长为4， ， ， ，即． 1 / 116 学科网（北京）股份有限公司 $