第十五章轴对称单元测试卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学轴对称单元复习卷，覆盖轴对称图形、垂直平分线、坐标对称等核心知识，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|轴对称图形识别、坐标对称、垂直平分线应用|结合剪纸艺术（第2题）考查对称性质，体现文化传承| |填空题|6题/18分|逆命题真假判断、角平分线性质、折叠角度计算|第13题结合角平分线与平行线，强化推理意识| |解答题|8题/52分|尺规作图（第17题）、最短路径（第20题）、光的反射应用（第22题）|综合题融入光反射、台球桌等现实情境，培养应用意识与空间观念|

第十五章轴对称单元测试卷 一、单选题 1．下列图形具有两条对称轴的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的对称轴，根据轴对称图形的性质逐一判断即可求解，掌握以上图形的性质是解题的关键． 【详解】解：、该图形只有一条对称轴，不合题意； 、该图形不是轴对称轴图形，不合题意； 、该图形有两条对称轴，不合题意； 、该图形由四条对称轴，不合题意； 故选：． 2．剪纸艺术是古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一个轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，那么的值为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关于轴对称的两点坐标规律：纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此列二元一次方程组求出、的值，再代入计算． 【详解】解：点与点关于轴对称， 根据关于轴对称的坐标特征： ， 整理方程组： ， 得：， 把代入②：， 解得， ， ． 3．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长为24，，则的周长是（     ）    A．12 B．19 C．16 D．14 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质得到，再根据的周长求出，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∴， ∴的周长． 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，易得点和点关于直线对称，即可得出结果. 【详解】解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴轴， ∵，且点在第四象限， ∴点和点关于直线对称， ∴. 5．如图，将三角形纸片，沿折叠后，点落在点的位置．若，且，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出 ，利用平角定义求出 ，再根据折叠的性质得到 ，最后利用周角定义列式计算即可求解． 【详解】解：， ， ∵折叠， ， . 6．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，周长，即当点、、在同一直线上时，周长最小． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ∴， ∴周长， ∴当点、、在同一直线上时，周长最小，为． 7．如图，在中，，平分，交于点，交于点，若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质求出和的度数，利用角平分线和平行线的性质证明、、均为等腰三角形，进而用a，b表示出的各条边长，最后合并化简即可． 【详解】解： ∴， 平分 ， ，， ，， ， ， ， ， ∴， ， 的周长． 8．如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，坐标与图形，过作轴于，过作交于，交轴于，先由翻折得到是等腰直角三角形，再证明，得到，，即可求出点C坐标． 【详解】解：如图，过作轴于，过作交于，交轴于， ∴， ∴，， ∵点A坐标为， ∴，， ∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴点C坐标为， 故选：A． 9．如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称--最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，求出的长可得结论． 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值， ， ， 故选：A． 10．如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（    ）． A．45° B．90° C．75° D．135° 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用． 根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点， ∴根据两点之间线段最短可得，的值最小， ∴四边形的周长最小值为：， ∵在中，，，即是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， 根据对顶角的性质可得，，， 根据对称的性质可得，，，，， ∴，， 在，中， ∵，， ∴ ， ∴当四边形的周长最小时，的大小是， 故选：． 二、填空题 11．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】先写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的三角形是全等三角形”，是假命题． 12．若点和点关于轴对称，则_____． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标规律，二元一次方程组的求解，掌握对称坐标规律是解题关键． 关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此列方程组，求出、的值，进而求出． 【详解】解：已知点和点关于轴对称， 可得， 解得， 则， 故答案为：． 13．如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 【答案】1 【分析】根据角平分线定义和平行线性质证得是等腰三角形，求出的长，过点作于点，求出，根据角平分线的性质得出点到的距离． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴,, ∴， 过点作于点， ∴， ∵平分，， ∴, 即点到的距离为1． 14．如图，是等腰三角形，，是的角平分线，于，若cm，那么的周长为______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的定义可得，，根据角平分线的定义得，证明得到，即可求解． 【详解】解：是等腰三角形，， ，， 是的角平分线，于， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 15．如图，将长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，若，则______． 【答案】75 【分析】由平角的定义得出，由折叠的性质得出，由角的和差关系得出，然后由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∵， ∴． 16．如图，是等腰直角三角形，，在的内部，，为射线上一点，当最大时，则的度数是_____． 【答案】120 【分析】作点关于直线的对称点，利用轴对称的性质将转化为，根据三角形两边之差小于第三边的原理，确定；由等腰直角三角形和角度的倍角关系求得，再结合轴对称性质与等腰直角三角形性质，证明为等边三角形，最终由平角关系算出的度数． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，，连接并延长交的延长线于点，当、、三点共线时，的值最大，，连接， 是等腰直角三角形， ，，． ，即， ， ，． 和关于直线对称，结合轴对称的性质可知， ，，． ， ， ， ． ， 是等边三角形，， ． 三、解答题 17．如图，在中，． (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)应用与计算：在（1）的条件下，将沿折叠，使点的对应点落在边上，在（1）所作图中标出点，连结，若，的面积为，求的长． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2)3 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）由折叠的性质得，利用面积法求出，然后由折叠的性质可得答案． 【详解】（1）略； （2）解：如图， 由折叠可知， ∵，， ∴． 由折叠可得，． 18．如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； (2)解：为等腰三角形，理由如下： 由（1）知， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】（1）根据等边对等角得到，根据即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，即可判断的形状． 【详解】（1）略 （2）略 19．如图，已知 (1)尺规作图：作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法，并标明字母） (2)在（1）的条件下，若交的延长线于点E，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作图-角平分线的作法作图即可； （2）先推导出，得到，证明出，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）证明：如图②， 由（1）知，平分， ， ∵， ， ， ， 是等腰三角形． 20．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 是的垂直平分线， ， ，是的中点， 是的垂直平分线 ， ； (2) 【分析】（1）连接，利用垂直平分线的性质得到，再结合、是中点，得到，进而证明； （2）证明，得到，根据三角形外角性质得到的度数，同理求出的度数，最后根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在图①中，点在格线上且是边上一点，作点关于的对称点； (2)在图②中，点是边上一点，在边上找点，使的值最小． 【答案】(1)如图①所示，点即为所作： (2)如图②所示，点即为所作 【分析】（1）根据网格的特点作出关于的对称线段，进而找到与网格线的交点，即可求解； （2）找到关于的对称点，连接交于点，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 22．光遇到镜面等许多物体的表面都会发生反射，如图1，在反射现象中，过入射点垂直于反射面的直线叫做法线．入射光线，反射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射光线与法线的夹角叫做入射角（），反射光线与法线的夹角叫做反射角（）；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．请你利用反射定律解决以下问题： (1)如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，则_____； (2)如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角的角度，保证点不与点重合（足够长）．请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（用含的式子表示）和的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②当时，的度数为；当时，的度数为 【分析】本题主要考查了三角形内角和、平角的定义、入射角和反射角等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据入射角等于反射角得，再由是直角可得结论； （2）①延长，交于点G，作，求出，由三角形内角和定理可得结论； ②当时，的度数为；当时，的度数为 【详解】（1）解：∵入射角等于反射角， ∴， ∵， ∴, 故答案为： （2）解：①延长，交于点G，作 ∴， ∵， ∴, 又， ∴， ∴, ∴ ②当时，， ∴，此时，与重合， 当时，， ∴ ∴， ∴， 即的度数为； 当时，如图， 同理可得， ∴ ∵， ∴， 即的度数为． 23．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1) 点，点即为所求：   ， (2) 点即为所求，路径即为所求：   ． 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求； （2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求． 【详解】（1）解：由勾股定可得：，，，，，， ，，， 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ； （2）略 24．如图1，在中，． (1)求证：； (2)如图2，，，点是平面内一个动点，连接，且，过点作射线，与射线交于点，射线交于点． ①当平分，求证：； ②如图3，延长交于点，作的角平分线交于，连接，连接，当，判断与的关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，关键是利用角的关系推导线段相等，通过全等三角形实现线段转化． （1）直接利用“等角对等边”的判定定理，由证得； （2）①先根据等腰直角三角形的性质求出，结合角平分线和已知角相等得到，证明为等腰直角三角形得到，再通过等角的余角相等证明，得到，从而证得； ②先利用角平分线和等腰直角三角形的角证明得到，再由得到，结合角的等量关系证明得到，进而证得． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②解：，理由如下： ∵，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章轴对称单元测试卷 一、单选题 1．下列图形具有两条对称轴的是（    ） A． B． C． D． 2．剪纸艺术是古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一个轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，那么的值为（  ）． A． B． C． D． 3．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长为24，，则的周长是（     ）    A．12 B．19 C．16 D．14 4．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．如图，将三角形纸片，沿折叠后，点落在点的位置．若，且，则的大小为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，垂直平分线段，是直线上的任意一点，则周长的最小值是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，在中，，平分，交于点，交于点，若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（    ） A． B． C． D． 9．如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 10．如图，在中，，，点D，E是边上的两个定点，点M，N分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是（    ）． A．45° B．90° C．75° D．135° 二、填空题 11．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 12．若点和点关于轴对称，则_____． 13．如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 14．如图，是等腰三角形，，是的角平分线，于，若cm，那么的周长为______． 15．如图，将长方形纸片沿折叠，点分别落在点处，若，则______． 16．如图，是等腰直角三角形，，在的内部，，为射线上一点，当最大时，则的度数是_____． 三、解答题 17．如图，在中，． (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)应用与计算：在（1）的条件下，将沿折叠，使点的对应点落在边上，在（1）所作图中标出点，连结，若，的面积为，求的长． 18．如图，在中，，点，在上，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 19．如图，已知 (1)尺规作图：作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法，并标明字母） (2)在（1）的条件下，若交的延长线于点E，求证：是等腰三角形． 20．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定网格中完成作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示． (1)在图①中，点在格线上且是边上一点，作点关于的对称点； (2)在图②中，点是边上一点，在边上找点，使的值最小． 22．光遇到镜面等许多物体的表面都会发生反射，如图1，在反射现象中，过入射点垂直于反射面的直线叫做法线．入射光线，反射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射光线与法线的夹角叫做入射角（），反射光线与法线的夹角叫做反射角（）；入射角等于反射角，这就是光的反射定律．请你利用反射定律解决以下问题： (1)如图2，入射光线经镜面反射后的光线与墙相交于点，若，则_____； (2)如图3，将支架平面镜（可调节角度）放置在水平地面上，激光笔发出的光束经过镜面反射后与天花板形成的点记为，激光笔与水平天花板所成的锐角为，支架平面镜与地面的夹角． ①若，求反射光束与天花板所形成的角的度数； ②调节支架平面镜与地面的夹角的角度，保证点不与点重合（足够长）．请直接写出反射光束与天花板所形成的角的度数（用含的式子表示）和的取值范围． 23．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 24．如图1，在中，． (1)求证：； (2)如图2，，，点是平面内一个动点，连接，且，过点作射线，与射线交于点，射线交于点． ①当平分，求证：； ②如图3，延长交于点，作的角平分线交于，连接，连接，当，判断与的关系，并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $