第十五章轴对称单元知识能力提升检测卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称单元知识能力提升检测卷 （检测时间：100分钟 本卷满分：120分） 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确选项前的字母代号填写在括号内。） 1．（2024-2025八年级上·甘肃武威·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024-2025八年级上·江苏无锡·期末）已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024-2025八年级上·湖北荆州·期末）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为（   ） A． B． C． D． 4．（2024-2025八年级上·江西景德镇·期末）如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（   ）    A．1种 B．3种 C．5种 D．7种 5．（2024-2025八年级上·福建福州·期中）如图，中，是的中线，点在上，，则等于（　 　） A． B． C． D． 6．（2024-2025八年级上·山西大同·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（   ） A．22 B．20 C．18 D．16 7．（2024-2025八年级上·山东日照·期末）下列命题中，逆命题成立的有（   ） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③全等三角形的对应边相等； ④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.（2024-2025八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（2024-2025八年级上·全国·期末）社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　 　） A． B． C． D． 10．（2024-2025八年级上·上海·期末）如图，在等边中，、分别在、上，，连接、交于，连接．下列判断不正确的是（   ）． A．是等边三角形； B．； C．； D．． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。请把答案直接填写在横线上。） 11．（2024-2025八年级上·全国·期末）已知点与点关于y轴对称，则 ． 12．（2024-2025八年级上·江苏扬州·期末）若等腰三角形的一个角为，则顶角为 ． 13．（2024-2025八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为，，则的长为 ． 14．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）已知等边三角形的边长如图所示，那么 ． 15.（2024-2025七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ． 16．（2024-2025八年级上·甘肃武威·期末）如图所示，在等腰中，，将中的沿向下翻折，使点A落在点C处．若，则的长是 ．    17．（2024-2025八年级上·湖南湘西·期中）如图，等边中，于，，点P、Q分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 18．（2024-2025八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，以为边，作，满足，点为边上一点，连接，，连接．下列结论正确的是 （填序号）①；②；③若，则；④． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，其中第19-20题每小题6分，第21-24题每小题8分，第25题10分，第26题12分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（2024-2025八年级上·湖北十堰·期末）电信部门要修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求，发射塔 P 到两城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P 的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 20．（2024-2025八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，且．求的度数． 21.（2024-2025八年级下·宁夏银川·期中）如图，，．求证：． 22．（2024-2025八年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标（其中点与点，点与点分别是对应点）； (2)若点，画出，判断与是否成轴对称，若是，请画出对称轴；若不是，请说明理由． 23．（2023-2024七年级下·福建泉州·期末）如图，点在四边形的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求的度数． 24．（2023-2024八年级上·四川乐山·期末）如图，和都是等边三角形，连接与并延长交于点H． (1)证明：； (2)求的度数． 25．（2024-2025八年级上·北京朝阳·期中）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”． (1)①如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； ②如图2，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“等腰线段”． (2)如图3，，点在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 26.（2024-2025八年级上·湖北襄阳·期末） 问题初探 如图①，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图②，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则________．（直接写出答案，不写过程） 方法迁移 如图③，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，则、、之间有怎样的数量关系？答案：________（直接写出答案，不写过程）． 拓展创新 如图④，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，猜想的度数，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称单元知识能力提升检测卷 （检测时间：100分钟 本卷满分：120分） 班级： 姓名： 得分： 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把正确选项前的字母代号填写在括号内。） 1．（2024-2025八年级上·甘肃武威·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【解答】解：A．该图形是轴对称图形，符合题意； B． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； C． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； D． 该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 2．（2024-2025八年级上·江苏无锡·期末）已知与分别在直线的两侧且关于直线对称，点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点，下列线段被直线垂直平分的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质即可得线段、、都被直线垂直平分，进而可得答案． 【解答】解：∵点与点、点与点，点与点都是关于直线的对称点， ∴线段、、都被直线垂直平分． 故选：B． 3．（2024-2025八年级上·湖北荆州·期末）某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质，平面镜中的成像与现实中的事物恰好左右颠倒，并关于镜面对称，由此可得题中图形在现实中的样子. 【解答】根据镜面对称的性质可得，题中图形在现实中的图形为 故选：C. 【点评】本题考查了平面镜成像的特征，可以看成是数学里图形沿一条直线翻折后的变化. 4．（2024-2025八年级上·江西景德镇·期末）如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（   ）    A．1种 B．3种 C．5种 D．7种 【答案】B 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【解答】解：如图所示，    一共有3种涂法， 故选：B． 5．（2024-2025八年级上·福建福州·期中）如图，中，是的中线，点在上，，则等于（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形三线合一性质得到是中的角平分线，从而求出的度数，再由等边对等角得，然后由三角形内角和定理求出，再由邻补角求解即可得到答案． 【解答】解：∵是的中线， 是中的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点评】本题考查三角形中求角度，涉及等腰三角形三线合一性质、角平分线定义、等边对等角、三角形内角和定理、邻补角定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 6．（2024-2025八年级上·山西大同·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（   ） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键．先利用题中作法得出和垂直平分，再利用线段垂直平分线的性质得出，最后利用线段的和差即可解决． 【解答】解：由作图可知， 分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点． 垂直平分， ， 的周长为， ，， 的周长为， 故选：D． 7．（2024-2025八年级上·山东日照·期末）下列命题中，逆命题成立的有（   ） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③全等三角形的对应边相等； ④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了写出命题的逆命题，命题真假的判定，判断每个命题的逆命题是否正确，需先写出逆命题，再根据相关定理判断其真假． 【解答】解：①原命题：同旁内角互补，两直线平行． 逆命题：两直线平行，同旁内角互补． 根据平行线性质，两直线平行时同旁内角互补，逆命题成立． ②原命题：如果两个角是直角，那么它们相等． 逆命题：如果两个角相等，那么它们是直角． 相等的角不一定是直角（如角），逆命题不成立． ③原命题：全等三角形的对应边相等． 逆命题：对应边相等的三角形全等． 根据全等三角形判定定理，三边对应相等的三角形全等，逆命题成立． ④原命题：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 逆命题：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 根据垂直平分线判定定理，逆命题成立． 综上，逆命题成立的为①、③、④，共3个， 故选C． 8.（2024-2025八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论． 【解答】解：如下图所示，连接， 是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 在和中，， ， ， 设， 则，， ， 在中，． 故选：C． 9．（2024-2025八年级上·全国·期末）社区准备在红旗街道旁设立一个读书亭方便居民区A，B阅读交流，要使A，B两小区到读书亭的距离之和最小，则读书亭C的位置应该在（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【解答】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 10．（2024-2025八年级上·上海·期末）如图，在等边中，、分别在、上，，连接、交于，连接．下列判断不正确的是（   ）． A．是等边三角形； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的垂直平分线；根据等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的垂直平分线逐一判断即可． 【解答】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形；故A正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故D正确； ∴为中垂线上的点， ∵， ∴为中垂线上的点， ∴垂直平分； ∴；故B正确； 题中并没有说是的中点， ∴无法确定，故C错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。请把答案直接填写在横线上。） 11．（2024-2025八年级上·全国·期末）已知点与点关于y轴对称，则 ． 【答案】 【分析】此题考查对称点的特点，根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得，，进而可得a、b的值，然后可得的值． 【解答】解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得：，， 则， 故答案为：． 12．（2024-2025八年级上·江苏扬州·期末）若等腰三角形的一个角为，则顶角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分顶角为和底角为两种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：①顶角为； ②当底角为时，顶角的度数为； 故答案为：或． 13．（2024-2025八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知的周长为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，而，即可求出本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出． 【解答】解：垂直平分， ， 的周长， ， ． 故答案为：． 14．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）已知等边三角形的边长如图所示，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，二元一次方程组的解法，根据等边三角形的性质可得，再进一步求解即可． 【解答】解：等边三角形， ， ， ，， 故答案为：4． 15.（2024-2025七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及三角形的面积，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质得出及，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【解答】解：如图所示， ∵点D关于的对称点分别记作点E，F， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 16．（2024-2025八年级上·甘肃武威·期末）如图所示，在等腰中，，将中的沿向下翻折，使点A落在点C处．若，则的长是 ．    【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的判断与性质、折叠的性质、三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，由折叠的性质可知，再证明是等腰三角形即可得到，即可得出答案． 【解答】解：， ， ∵将中的沿向下翻折，使点A落在点C处， ， ， ∴， 故答案为：3． 17．（2024-2025八年级上·湖南湘西·期中）如图，等边中，于，，点P、Q分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称性质、等边三角形的判定和性质. 先由等边三角形的性质求出，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，求得，再证是等边三角形，得到即可． 【解答】解：∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 18．（2024-2025八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，以为边，作，满足，点为边上一点，连接，，连接．下列结论正确的是 （填序号）①；②；③若，则；④． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、三线合一、全等三角形的判定与性质，解题关键是作出正确的辅助线．延长到点，使，连接，和相交于点，结合垂直平分线的性质推得，再由三线合一可得，通过“边角边”即可证明，由全等三角形的性质可得，，可得②正确；通过线段的等量代换运算可推出④正确；设，则，由，推出，再用表示出，即可计算出，则③正确；当时，可证，否则无法说明，故①是不正确的． 【解答】解：延长到点，使，连接，和相交于点， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， 即，②正确； ， ， 平分， 当时，可证，则， 当时，，则无法说明， ①是不正确的； 设，则， ， ， ， ， ， ， ③正确； ， ， ， ， ④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，其中第19-20题每小题6分，第21-24题每小题8分，第25题10分，第26题12分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 19．（2024-2025八年级上·湖北十堰·期末）电信部门要修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求，发射塔 P 到两城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P 的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，以及线段垂直平分线和角平分线的判定定理，正确掌握尺规作图的方法是解题的关键． 根据线段垂直平分线和角平分线的判定定理可得点为的角平分线与线段的垂直平分线的交点，据此利用尺规作图即可． 【解答】解：如图，点即为所求 20．（2024-2025八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三线合一，三角形的内角和等知识点，解决此题的关键是合理利用三线合一；先根据三线合一得到是等腰顶角的角平分线，运用等边对等角和三角形内角和即可得到答案； 【解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21.（2024-2025八年级下·宁夏银川·期中）如图，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，证明是本题的关键． 利用“”可证，由全等三角形的性质可得出，利用等角对等边即可得出结论． 【解答】解：证明：∵， ∴和是直角三角形， ∵，， ∴； ∴， ∴． 22．（2024-2025八年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于轴对称的，并写出三个顶点的坐标（其中点与点，点与点分别是对应点）； (2)若点，画出，判断与是否成轴对称，若是，请画出对称轴；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析，，， (2)是，见解析 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，写出平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据关于轴对称的性质作图，再写出坐标即可； （2）先作出，再由轴对称的性质判断即可． 【解答】（1）解：如图所示，即为所画， 由图可得：，，； （2）解：如图所示，为所画， 与成轴对称，直线即为所画． 23．（2023-2024七年级下·福建泉州·期末）如图，点在四边形的内部，且点与点关于对称，交于点，点与点关于对称，交于点，分别交，于点，． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质，将的周长转变为的长． （2）由的度数得出的度数之和，再根据，即可解决问题． 【解答】（1）解：点与点关于对称，点与点关于对称， ，，，， ． （2）解：， ． 又，， ， ． 24．（2023-2024八年级上·四川乐山·期末）如图，和都是等边三角形，连接与并延长交于点H． (1)证明：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质可得，进而得到，再利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【解答】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得， ， ， ， ． 25．（2024-2025八年级上·北京朝阳·期中）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”． (1)①如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； ②如图2，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“等腰线段”． (2)如图3，，点在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 【答案】(1)①画图见解析；②不存在 (2)或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键是： （1）①作的平分线即可，然后根据角平分线的定义，三角形的内角和定理求解即可； ②根据“等腰线段”的定义和等边三角形的判定与性质判定即可； （2）分三种情况讨论：①；②；③三种情况讨论，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识求解即可． 【解答】（1）解：①如图，即为所求， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∴、是等腰三角形， ∴是的“等腰线段”； ②若等边三角形存在“等腰线段”，如图， 则，都是等腰三角形， 又是等边三角形， ∴， ∴，都是等边三角形， ∴D和A或D和C重合， 此时不存在或， ∴等边三角形不存在“等腰线段”， 故答案为：不存在； （2）解∶∵存在“等腰线段”， ∴、是等腰三角形， ①当时，如图， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； ②当时，如图， ∴ ∴， ∵是等腰三角形， ∴； ③当时，如图， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 综上，的度数为或或． 26.（2024-2025八年级上·湖北襄阳·期末） 问题初探 如图①，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 类比再探 如图②，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则________．（直接写出答案，不写过程） 方法迁移 如图③，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，则、、之间有怎样的数量关系？答案：________（直接写出答案，不写过程）． 拓展创新 如图④，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，猜想的度数，并说明理由． 【答案】问题初探：，理由见解析；类比再探：；方法迁移：；拓展创新：，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．本题的综合性较强，解题的关键是添加辅助线，构造手拉手全等模型，证明三角形全等． （1）根据题意可推出，然后利用边角边即可证明，即可推出； （2）过点作交于点，则，同（1）可证：，即可算出； （3）根据题意推出，然后利用边角边即可证明，推出，即可推出； （4）过点作交于点，得到是等边三角形，再证明，得到，根据，即可得解． 【解答】解：（1），理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ； （2）如图所示，过点作交于点， ， ， 在中， ， ， ， ， 同（1）可得：， ， ， 故答案为：； （3）和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （4），理由如下： 如图所示，过点作交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $