专题04平方根与立方根暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026年北师大版八年级数学上册

专题04平方根与立方根暑假预习讲义 1.理解算术平方根、平方根的定义，分清两者区别与联系，会用符号、表示； 2.掌握平方根的性质，明确只有非负数才有平方根，负数没有平方根，0 的平方根与算术平方根都是 0； 3.理解立方根的概念与符号，知道任意实数都有唯一立方根，掌握立方根正负性规律； 4.熟练求解简单数的平方根、算术平方根、立方根，能进行基础开方计算； 5.掌握平方根、立方根相关简单等式化简，区分()2与； 6.能利用开方比较实数大小，初步运用开方知识解决简单实际问题； 7.建立开方运算与乘方运算互逆的认知，培养分类讨论、数形结合思想，为学习实数打好基础。 预习必备 知识梳理 1.平方根 2.开平方运算 3.立方根 4.立方根与平方根区别 5.开平方与开立方的区别 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.求一个数的算术平方根 2..由算术平方根的非负性解题 3.估计算术平方根的取值范围 4.无理数整数部分的有关计算 5.与算术平方根有关的规律题 6.算术平方根的实际应用 7.平方根概念理解 8.求一个数的平方根 9.求代数式的平方根 10.由一个数的平方根求这个数 11.利用平方根解方程 12.立方根概念理解 13.求一个数的立方根 14.由一个数的立方根求这个数 15.与立方根有关的规律题 16.立方根的实际应用 17.算术平方根与立方根综合应用 18.计算器-平方根与立方根 19.程序设计与实数运算 强化题型 解答题10题 知识点01：平方根 1. 算术平方根 定义：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x叫做a的算术平方根。 符号：记作，读作 “根号a”，a称为被开方数。 特殊规定：0 的算术平方根是 0，即=0。 双重非负性（核心考点） ① 被开方数非负：a0，负数没有算术平方根，无意义； ② 算术平方根结果非负：0。 基础公式 2. 平方根 定义：若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫做a的平方根（二次方根）。 符号：，读作 “正负根号a”。 平方根的性质 1 正数有两个平方根，互为相反数；例：16的平方根是； 2 0 只有一个平方根，就是 0 本身； 3 负数没有平方根。 3. 平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ± 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号 一正一负 结果一定是非负数(0) 取值范围 被开方数 a0 被开方数 a0 联系 1. 算术平方根是平方根中的正根； 2. a=0 时的平方根和算术平方根都是 0 知识点02:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 知识点03：立方根 1. 立方根定义 若x3=a，则x叫做a的立方根（三次方根），记作，读作 “三次根号a”。 2. 立方根核心性质 （1）任意实数都有唯一立方根，正数、0、负数都能开立方； （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0； （3）重要公式：=-，可把负号提到根号外； （4）恒等式： 3.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点04:立方根与平方根的区别 知识点05：开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点06：高频易错点 1.混淆平方根与算术平方根：16 的平方根是4，算术平方根只有 4； 2.忽略算术平方根双重非负性：出现，隐含x； 3.直接等于a，忘记加绝对值； 4.认为负数没有立方根，实际负数有负的立方根； 5.化简时不会把负号移出根号； 6.根指数 2 可省略，但立方根根指数 3 不能丢，写成不是立方根。 。 题型1.求一个数的算术平方根 【典例】计算：________． 【答案】2 【详解】解： 【跟踪专练1】的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题需要先计算出的值，再根据算术平方根的定义求解，注意明确需要求算术平方根的对象是的运算结果． 【详解】解：，， ∴的算术平方根等于2． 【跟踪专练2】的算术平方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根．先计算出的值，再对计算结果求算术平方根即可． 【详解】解：，的算术平方根是， 故的算术平方根是， 故答案为：． 【跟踪专练3】两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，较小的数等于的平方，则较大的数是较小数加，再求算术平方根即可． 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 题型2.由算术平方根的非负性解题 【典例】已知有理数a，b满足，则的值是_________． 【答案】16 【分析】本题主要考查算术平方根与绝对值的非负性，熟练掌握算术平方根与绝对值的非负性是解题的关键；根据算术平方根和绝对值的非负性，得出和，即可求解． 【详解】解：∵，且，， ∴，即且， ∴，， ∴ ； 故答案为16． 【跟踪专练1】已知三角形的三边长满足，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据非负数的性质可知的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形． 【详解】解：由题意得：， 解得， 满足， ∴该三角形是直角三角形． 【跟踪专练2】已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为_____．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较、算术平方根和绝对值的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 根据平方、算术平方根和绝对值的非负性，三个非负数的和为0，则每个数都为0，求出a，b，c的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴ ，，， ∴ ，，， ∴ ，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，则的平方根为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用算术平方根的非负性解题，求一个数的平方根，相反数的定义，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据绝对值和算术平方根的非负性，它们互为相反数时只能同时为零，从而求出c和d的值，再计算3c-2d的值，最后求其平方根。 【详解】解：∵与互为相反数， 且，， ∴且， ∴，解得， 代入，得， 即，解得， ∴， ∴的平方根为． 故选：D． 题型3.估计算术平方根的取值范围 【典例】设为正整数，且，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴ 【跟踪专练1】在，0，3， 这四个数中，最大的数是（      ） A． B．3 C．0 D． 【答案】B 【分析】先对进行估算，再根据实数的大小比较法则比较即可． 【详解】解：，则， ∴， ∴最大的数为． 【跟踪专练2】观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的估算，解题的关键是将被开方数与表格中的数值对应，确定其对应的的范围． 将转化为，结合表格中的数值找到1269对应的范围，进而得到的范围． 【详解】解：， 由表格知，，且， 故， 两边除以10得 故答案为：． 【跟踪专练3】设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，先估算的值，确定其范围，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型4.无理数整数部分的有关计算 【典例】已知，且m为整数，则m的值为____． 【答案】4 【分析】本题主要考查无理数的估算，先估算出，即可求出整数的值． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，且为整数， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再通过估算无理数的大小得到，最后计算得到结果． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵y是的整数部分， ∴， ∴． 【跟踪专练2】因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 【答案】/ 【分析】本题考查无理数的估算，通过比较立方数确定整数部分，再求小数部分． 【详解】解：， ， ， 的整数部分为4， 的小数部分为， 故答案为：． 【跟踪专练3】实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算． 先通过估算无理数的范围，确定的整数部分和小数部分，再代入式子计算结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴． 故选：A． 题型5.与算术平方根有关的规律题 【典例】观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【分析】本题考查与算术平方根有关的规律探索题．根据已知等式总结规律，然后化简并计算即可． 【详解】解：， ， ， … ， ． 原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正， 因为是奇数， 所以第个数是负数． 将改写成可发现， 分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2， 所以第2023个数的分母是； 分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2， 所以第2023个数的分子上的被开方数是2024， 所以第2023个数是． 故选：D． 【跟踪专练2】如图所示的图形是由一连串的直角三角形拼合而成的，其中，若把图中的直角三角形继续作下去，则的长为______． 【答案】3 【分析】本题考查勾股定理运用，规律探索；运用勾股定理求解线段长是解题的关键．根据勾股定理求解，相应的，进一步可得答案． 【详解】解：如图，； 相应的，． ∴； 故答案为：3 【跟踪专练3】若，，，，……，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根和数字的变化类规律问题，分别计算出的值是解本题的关键． 先计算的值，找到规律，并进行化简即可． 【详解】解：，； ， ， ，， ……， 由此发现，， ∴， ∴ ． 故选：C 题型6.算术平方根的实际应用 【典例】如图，小正方形的边长为1，剪开，并拼成一个正方形，这个正方形的边长是_____． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，由图可知每个小正方形的边长为1，面积为1，得出拼成的正方形的面积为6，进一步开方得出拼成的正方形的边长为． 【详解】解：∵小正方形的边长为1， ∴六个小正方形的面积和为， ∴拼成一个正方形，这个正方形的边长是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图所示，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧），且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，先根据正方形的性质，得出，则，因为点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧），故点所表示的数为，即可作答． 【详解】解：∵正方形的面积为5 ， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧）， ∴点所表示的数为，即 故选：D 【跟踪专练2】已知a、b、c都是正实数，且，则_____________． 【答案】10 【分析】先将三个式子相乘求出，再结合已知条件分别求出a，b，c，则此题可解． 【详解】解：∵， ∴， 则， 即． ∵，∴； ∵，∴； ∵，∴， ∴． 【跟踪专练3】如图所示的图形由一个大正方形、一个小正方形和一个长方形不重合无缝隙得拼接在一起，已知长方形的面积是6，正方形和正方形的面积之和为69，那么长方形的周长是（    ） A．12 B．18 C．16 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，完全平方公式的运用，结合图形面积公式与完全平方公式进行展开变形是解题的关键． 设，由题意得，，那么，即可求出，那么周长即可求解． 【详解】解：设， 由题意得，， ∴， ∴（舍负）， ∴长方形的周长是， 故选：B． 题型7.平方根概念理解 【典例】一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______． 【答案】25 【分析】本题主要考查了根据一个数的平方根求这个数，平方根的概念，一个正数的两个平方根互为相反数，则，解方程求出x的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴这个正数是， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列说法中，正确的是（   ） A．已知中，，，则 B．已知点，，则直线轴 C．平方根等于本身的数有0和1 D．所有的无限小数都是无理数 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的边长关系、坐标与图形、平方根的性质以及无理数的定义；根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：选项A：在中，，，但c不一定是斜边，不符合题意； 选项B：点和的横坐标相同，则直线轴，符合题意； 选项C：平方根等于本身的数只有0，1的平方根是，不符合题意； 选项D：无限循环小数是有理数，不是所有无限小数都是无理数，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】若一个正数的两个平方根是和，则的值为 __________． 【答案】49 【分析】本题重点考查​平方根的性质​，特别是“一个正数的两个平方根互为相反数”这一概念，​利用这一性质列出方程并求解参数，进而求出的值是解题的关键​． 根据一个正数的两个平方根互为相反数列式求出，计算即可． 【详解】解：，， ∴，， 故答案为：49． 【跟踪专练3】若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，该正数的两个平方根分别是和， 得 解得：， 将代入与中得，两个不同的平方根分别是和，符合题意， ， 故选：B． 题型8.求一个数的平方根 【典例】16的平方根是_____． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，若一个数的平方等于 ，则就是 的平方根，据此求解即可． 【详解】解：， 的平方根是． 【跟踪专练1】的平方根是（     ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题需先计算出的值，再根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵， ∴根据平方根的定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，3的平方根为． 【跟踪专练2】已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根和算术平方根的定义，分别求出和的值，再计算的平方根． 【详解】解：因为且的立方根是它本身，所以． 因为的算术平方根是4，所以，解得． 因此， 所以的平方根为． 故答案为：． 【跟踪专练3】若，则的值为（   ） A．7 B．-7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值．熟练掌握平方差公式，开平方，是解题的关键． 运用平方差公式展开，移项合并同类项，开平方，即得． 【详解】解：∵， 用平方差公式展开，得． 移项合并同类项，得． 开平方，得． 故选：C． 题型9.求代数式的平方根 【典例】若，则= _______ ． 【答案】 【分析】因为，所以直接开平方求解即可，注意舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵， ∴，或， ∵，， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查开平方的运算，一个正数的有两个平方根，互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，本题开平方后注意是非负的形式，所以要舍去负值，此为易错点，也是解题关键． 【跟踪专练1】若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 【跟踪专练2】已知，则______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，计算平方根，熟练掌握公式，准确计算平方根是解题的关键． 【跟踪专练3】已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 题型10.由一个数的平方根求这个数 【典例】正数的两个平方根分别是和，则正数_________． 【答案】100 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　） A．9 B．8 C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，进行求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 则平方根为：和， ∴ 这个正数为． 故选：A． 【跟踪专练2】一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为________． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根的性质及立方根的计算，根据平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，列方程求解x，再求a，进而计算的立方根． 【详解】解：由题意知，一个正数的两个平方根互为相反数， ∴，即，解得， 则一个平方根为， ∴， ∴，8的立方根为2， 故答案为：2． 【跟踪专练3】若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案． 【详解】解：与是同一个数的两个不等的平方根， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故选：D． 题型11.利用平方根解方程 【典例】若，则的值为 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的定义，如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根或二次方根，正数的两个平方根互为相反数，其中正的平方根是它的算术平方根，负的平方根是它的算术平方根的相反数． 【详解】因为， 所以等于的平方根，即． 【跟踪专练1】若，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质和代数式求值，正确进行开方是解题的关键．先对进行开方，得到，再根据的非负性，即可得出结论． 【详解】， ， 或， 不论、为何值，， ， 故选． 【跟踪专练2】已知将代数式展开后得，则的值为______． 【答案】或5 【分析】本题考查了完全平方公式：、利用平方根解方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据完全平方公式可得，则可得，再利用平方根解方程可得，然后求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：， ∵将代数式展开后得， ∴， ∴， 当时，，则； 当时，，则； 综上，的值为或5， 故答案为：或5． 【跟踪专练3】两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了图形面积，平方根的运用，理解图示，正确表示出图形面积，平方根的计算是关键，根据题意设,，由此列式得到，根据周长的计算即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴设,， ∴， 整理得，， 解得，或（负值舍去）， ∴， ∴， 故选：C ． 题型12.立方根概念理解 【典例】立方根等于的实数是________． 【答案】 【分析】本题考查立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．根据立方根的定义，若一个实数的立方根为 ，则该实数为 ，计算可得结果． 【详解】解：∵， ∴立方根等于的实数是． 故答案为 ． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的基本概念，需根据相关定义逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根， ∴4的平方根是，选项A错误； ∵负数没有平方根，0只有一个平方根， ∴选项C错误； ∵正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴1的立方根是1，选项B错误， 任何实数都有一个立方根，选项D正确； 故选：D． 【跟踪专练2】若和都是的立方根，则 ___________， ___________． 【答案】 6 1 【分析】本题考查了立方根的定义和解一元一次方程．先根据立方根的定义确定根指数，求出b的值，再利用两个立方根相等得到被开方数相等，求出a的值． 【详解】解：和都是的立方根， ，． 解得∶，． 故答案为∶6；1 【跟踪专练3】课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．15 B．16 C．17 D．19 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根、数字规律等知识点，读懂题意、发现规律是解题的关键． 根据题意给出的规律，并结合数的立方根的定义确定每位数，然后再确定即可． 【详解】解：∵根据题意可知为两位数， ∴的个位上的数是9， ∵，， ∴的十位上的数是7， ∴可以断定， ∴的每位数上的数字之和为16． 故选：B． 题型13.求一个数的立方根 【典例】8的立方根是________． 【答案】2 【分析】立方根的定义：如果一个数满足，那么叫做的立方根． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2． 【跟踪专练1】，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用绝对值和算术平方根的非负性求解a，b的值，再代入计算立方根即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ，， ∴，， 解得，， ∴． 【跟踪专练2】数的两个平方根是和，则的立方根为______． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的混合运算，平方根，立方根，熟练掌握相关定义是解题的关键．根据平方根的性质求出b的值，进而得出a的值，再代入求出，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：数的两个平方根是和， ，即， 解得：， ， ， ， 则的立方根为， 故答案为：3． 【跟踪专练3】一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根与立方根．根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出的值，再求出这个正数，最后求其立方根． 【详解】∵ 正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 即 ， 解得 ． ∴ 平方根分别为 和， ∴ 这个正数为， ∴ 64 的立方根为（因为 ）． 故选：C． 题型14.由一个数的立方根求这个数 【典例】．_____的立方根是2． 【答案】 8 【分析】本题考查立方根定义，解题关键是要知道如何求一个数的立方根．根据立方根定义解答即可． 根据立方根的定义，一个数的立方根是2，则这个数是2的立方． 【详解】解：， ∴，即的立方根是2； 故答案为：8． 【跟踪专练1】立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根是的数，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴立方根是的数是， 故选：B． 【跟踪专练2】若，，则b的值为________． 【答案】1000000 【分析】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 根据立方根的性质，由可得，由可得，然后通过代数运算求b的值． 【详解】解：， ． ， ． ． ． 故答案为：1000000． 【跟踪专练3】若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 【答案】A 【分析】本题考查立方根的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据立方根的性质，由已知条件得到、的值，即可求解． 【详解】∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 题型15.与立方根有关的规律题 【典例】已知，那么________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的性质．根据立方根的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为： ． 【跟踪专练1】已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 【跟踪专练2】观察．推测：若，则_____． 【答案】0 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．通过比较已知近似值中小数点的移动规律，推断出 x 和 y 的值与 6.137 相关，进而计算． 【详解】解：由已知和， 可得， 因此， 故， 同理，由和， 可得， 因此， 故， 于是， 所以， 故答案为 0． 【跟踪专练3】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 题型16.立方根的实际应用 【典例】古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______． 【答案】 【分析】本题考查立方根的实际应用．根据题意求作的这个正方体的体积为2，根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：∵已知正方体的棱长是1， ∴已知正方体的体积是， ∵求作的正方体的体积等于已知正方体的体积的2倍， ∴求作的这个正方体的体积为， ∴求作的这个正方体的棱长为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先求出大正方体的棱长，即可求出每个小正方体的棱长． 【详解】解：根据题意得几何体的边长为， 每个小正方体的棱长为， 故选：B． 【跟踪专练2】已知，则的值是_____． (结果用含字母 的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向右(或向左)移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右(或向左)移动1位． 根据被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪专练3】小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的定义的应用，正方体的体积等知识点，根据正方体的体积公式计算出这个正方体的体积，再根据立方根的定义解答，熟练掌握立方根的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】∵小华制作了一个棱长为的正方体，小夏制作的正方体体积是小华制作的正方体体积的8倍， ∴小夏制作的正方体体积是， ∴小夏制作的正方体的棱长为， 故选：C． 题型17.算术平方根与立方根综合应用 【典例】若的算术平方根是5，则的立方根是__________． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根，立方根．根据的算术平方根是5可得，从而求出a的值，进而求出，即可求出它的立方根． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根是2． 故答案为：2 【跟踪专练1】已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的计算，熟练掌握计算规则是解题关键． 先通过算出的值，再算出，进而可得到最后结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， ∴ ∴ 故选：B ． 【跟踪专练2】一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是______． 【答案】0 或 64 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，比较难，要想同时去掉二次根号和三次根号，必须在方程的两边同时6次方，即2和3的最小公倍数．在运算过程中要细心，防止在去根号时把指数弄错． 设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可． 【详解】解：设这个数是， 则． 两边同时6次方，得， 即， ∴或， 或． 故答案为：0 或 64． 【跟踪专练3】已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 题型18.计算器-平方根与立方根 【典例】用计算器求的近似值时，显示结果为，则____（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，根据计算器显示的结果，使用四舍五入法将其精确到，需看小数点后第四位数字（即万分位）为0，由于，故小数点后第三位（即千分位）数字8不变，即可求解． 【详解】解：计算器显示结果为0.61803399，精确到0.001时， 看小数点后第四位数字是0，， ∴舍去， ∴第三位数字8不变， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】利用计算器求的值，其按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了计算器—平方根和立方根，根据无理数运算中计算器的使用法则可知，是先是，再按8，是先按键，再按，再按6，即可作答． 【详解】解：利用计算器求的值，其按键顺序正确的是， 故选：A． 【跟踪专练2】用计算器比较大小（填“”“”或“”）：______；______． 【答案】 【分析】本题考查了计算器的使用，实数比较大小，利用计算器计算各数结果，然后比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【跟踪专练3】小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 【详解】解：右图可知：， ∴， ∴； 故选D． 题型19.程序设计与实数运算 【典例】根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，读懂题意是解题的关键．根据流程图逐步求解即可． 【详解】解：∵当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵是无理数，退出循环， ∴输出． 故答案为：． 【跟踪专练1】小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键．根据流程图分别代入计算，根据计算结果判断即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴的倒数为， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】如图所示的是小明用计算机设计的计算小程序，当输入的值为时，输出的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键．将代入程序进行计算即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，，输出， 故答案为： 【跟踪专练3】在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可． 【详解】解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，， 是有理数，则取立方根，可得， 是有理数，则取算术平方根，可得， 为无理数，则输出， 即． 解答题 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用求一个数的算术平方根进行求解； （2）利用求一个数的算术平方根以及立方根进行求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 2．已知是的立方根，的算术平方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) ， (2) 的平方根为 【分析】（1）根据立方根的定义和算术平方根的定义得到关于、的方程，解方程求出、的值； （2）把、的值代入求值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：是的立方根， ， ， ， 的算术平方根是， ， ， ； （2）解：，， ， 的平方根为，即． 3．解方程： 【答案】或． 【分析】整理后，利用平方根的性质求解即可． 【详解】解：整理得， 开方得， 解得或． 4．已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根，平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据的算术平方根是4，的立方根是3，得，，求出，，即可作答． （2）理解题意，把，代入进行计算，再求出的平方根，即可作答． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是4，的立方根是3， ∴，， ∴，， 解得，． （2）解：由（1）得，， 则． 故的平方根为． 5．已知的算术平方根是 (1)求的值． (2)判断以为边长的三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1), , (2)直角三角形 【分析】本题考查了偶次方、绝对值、算术平方根的非负性，勾股定理逆定理，根据题意得出a、b、c的值是解本题的关键． （1）根据偶次方的非负性，绝对值的非负性，算术平方根的非负性得出a、b、c的值即可； （2）根据勾股定理逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， 解得：． （2）解：以为边长的三角形是直角三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴以为边长的三角形是直角三角形． 6．在综合实践课上，小明用铁丝围成一个面积为正方形区域后，打算重新弯折铁丝，围成一个面积为的长方形区域，且长与宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长及铁丝的总长度； (2)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1)正方形区域的边长为，铁丝的总长度为 (2)铁丝不够用 【分析】本题考查算术平方根，掌握正方形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）求出长方形的长、宽，周长，再比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：∵正方形面积为， ∴边长为， ∴周长为，即铁丝总长度； （2）解：设长方形长为，宽为，则面积为， 解得， ∴长为，宽为， ∴周长为，铁丝总长度为， ∵，，， ∴，故铁丝不够用 7．观察下表： 0．0001 1 100 10000 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知． 则___________，___________； ②若，则___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位； ①已知，则___________； ②已知，则___________． 【答案】(1)2，算术平方根，1 (2)①；；② (3)3，1；①；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． （1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）①利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案；②利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解；②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【详解】（1）解：由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：2，算术平方根，1 （2）解：①∵． ∴，； 故答案为：； ②∵， ∴； 故答案为： （3）解：被开方数的小数点向左或向右每移动3位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动1位； 故答案为：3；1 ①∵， ∴； 故答案为： ②∵， ∴． 故答案为： 8．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 【答案】(1) (2)2或3或1 (3)的负整数值为或 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，3不是无理数， 再求算术平方根，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）解：∵算术平方根是它本身的数为，而且为有理数， ∴当或时，始终输不出y值， ∴或或； 故答案为：2或3或1； （3）解：若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值为或． 9．【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 【答案】(1)9.22 (2)②的形式精确度更高，理由见解析 (3)或． 【分析】本题考查完全平方公式的应用及无理数近似值的估算． （1）先通过夹逼法确定的整数范围：，因此设（），和题干的对应；利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项（因为，远小于一次项，对结果影响可忽略），把二次方程降为一次方程求解；最后计算近似值，结果精确到0.01． （2）这一问是误差分析，本质是比较两种近似方法的误差大小：两种方法的误差都来自“忽略的二次项”：形式①忽略，形式②忽略；误差的大小由和的大小决定：、越小，、就越小，忽略带来的误差就越小，精确度越高；计算两种形式的、，对比大小即可得出结论。 （3）先找相邻的两个完全平方数，确定的整数范围；结合的要求，选择“整数”或“整数”的形式；注意：更接近，因此优先设（也可设）． 【详解】（1）解：因为，所以 即 因为比较小，所以将忽略不计， 所以，即 得， 故 （2）解：②的形式精确度更高 理由： ∵更接近 ∴②的形式精确度更高 （答案不唯一）比如： ∵85更接近81 ∴②的形式精确度更高 （3）解：因为，，且， 所以， 又，因此可设或（二者均可以） 【点睛】这道题完整呈现了古代开平方近似算法的核心逻辑： 夹逼定界：先确定无理数的整数范围，把开平方转化为“整数±小量”的形式； 平方降次：利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项，把二次方程转化为一次方程求解； 误差分析：通过比较忽略的小量大小，判断近似值的精确度； 方法迁移：将方法推广到任意无理数的近似计算． 易错点： （1）中展开完全平方公式时符号错误，或忽略的合理性； （2）中混淆误差来源，错误认为、越大精确度越高； （3）中设式错误，未满足的要求，或选错整数基准． 10．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04平方根与立方根暑假预习讲义 1.理解算术平方根、平方根的定义，分清两者区别与联系，会用符号、表示； 2.掌握平方根的性质，明确只有非负数才有平方根，负数没有平方根，0 的平方根与算术平方根都是 0； 3.理解立方根的概念与符号，知道任意实数都有唯一立方根，掌握立方根正负性规律； 4.熟练求解简单数的平方根、算术平方根、立方根，能进行基础开方计算； 5.掌握平方根、立方根相关简单等式化简，区分()2与； 6.能利用开方比较实数大小，初步运用开方知识解决简单实际问题； 7.建立开方运算与乘方运算互逆的认知，培养分类讨论、数形结合思想，为学习实数打好基础。 预习必备 知识梳理 1.平方根 2.开平方运算 3.立方根 4.立方根与平方根区别 5.开平方与开立方的区别 6.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.求一个数的算术平方根 2..由算术平方根的非负性解题 3.估计算术平方根的取值范围 4.无理数整数部分的有关计算 5.与算术平方根有关的规律题 6.算术平方根的实际应用 7.平方根概念理解 8.求一个数的平方根 9.求代数式的平方根 10.由一个数的平方根求这个数 11.利用平方根解方程 12.立方根概念理解 13.求一个数的立方根 14.由一个数的立方根求这个数 15.与立方根有关的规律题 16.立方根的实际应用 17.算术平方根与立方根综合应用 18.计算器-平方根与立方根 19.程序设计与实数运算 强化题型 解答题10题 知识点01：平方根 1. 算术平方根 定义：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x叫做a的算术平方根。 符号：记作，读作 “根号a”，a称为被开方数。 特殊规定：0 的算术平方根是 0，即=0。 双重非负性（核心考点） ① 被开方数非负：a0，负数没有算术平方根，无意义； ② 算术平方根结果非负：0。 基础公式 2. 平方根 定义：若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫做a的平方根（二次方根）。 符号：，读作 “正负根号a”。 平方根的性质 1 正数有两个平方根，互为相反数；例：16的平方根是； 2 0 只有一个平方根，就是 0 本身； 3. 平方根与算术平方根区别与联系 对比项目 平方根 算术平方根 符号 ± 个数 正数有两个，互为相反数 正数有一个，为正数 取值符号 一正一负 结果一定是非负数(0) 取值范围 被开方数 a0 被开方数 a0 联系 1. 算术平方根是平方根中的正根； 2. a=0 时的平方根和算术平方根都是 0 知识点02:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 知识点03：立方根 1. 立方根定义 若x3=a，则x叫做a的立方根（三次方根），记作，读作 “三次根号a”。 2. 立方根核心性质 （1）任意实数都有唯一立方根，正数、0、负数都能开立方； （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0； （3）重要公式：=-，可把负号提到根号外； （4）恒等式： 3.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点04:立方根与平方根的区别 知识点05：开平方与开立方的区别. 维度 开平方 (平方根) 开立方 (立方根) 根指数 2 (通常省略不写) 3 (绝对不能省) 被开方数 必须是非负数 (≥0) 可以是任意实数 (正、负、0) 结果个数 正数有 2 个 (互为相反数) 任何数只有 1 个 结果符号 一正一负 / 0 与原数同号 (正得正，负得负) 知识点06：高频易错点 1.混淆平方根与算术平方根：16 的平方根是4，算术平方根只有 4； 2.忽略算术平方根双重非负性：出现，隐含x； 3.直接等于a，忘记加绝对值； 4.认为负数没有立方根，实际负数有负的立方根； 5.化简时不会把负号移出根号； 6.根指数 2 可省略，但立方根根指数 3 不能丢，写成不是立方根。 。 题型1.求一个数的算术平方根 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】的算术平方根等于（     ） A．4 B． C． D．2 【跟踪专练2】的算术平方根是___________． 【跟踪专练3】两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 题型2.由算术平方根的非负性解题 【典例】已知有理数a，b满足，则的值是_________． 【跟踪专练1】已知三角形的三边长满足，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【跟踪专练2】已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系为_____．（用“＜”连接） 【跟踪专练3】在数轴上有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，则的平方根为（    ） A．9 B． C． D． 题型3.估计算术平方根的取值范围 【典例】设为正整数，且，则的值为______． 【跟踪专练1】在，0，3， 这四个数中，最大的数是（      ） A． B．3 C．0 D． 【跟踪专练2】观察表格中的数据： x 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知在_________之间． 【跟踪专练3】设，则m的取值为（   ） A． B． C． D． 题型4.无理数整数部分的有关计算 【典例】已知，且m为整数，则m的值为____． 【跟踪专练1】已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【跟踪专练2】因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理，的小数部分为______． 【跟踪专练3】实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． 题型5.与算术平方根有关的规律题 【典例】观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【跟踪专练1】有一列数按如下规律排列：，，，，，…则第个数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示的图形是由一连串的直角三角形拼合而成的，其中，若把图中的直角三角形继续作下去，则的长为______． 【跟踪专练3】若，，，，……，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型6.算术平方根的实际应用 【典例】如图，小正方形的边长为1，剪开，并拼成一个正方形，这个正方形的边长是_____． 【跟踪专练1】如图所示，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧），且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知a、b、c都是正实数，且，则_____________． 【跟踪专练3】如图所示的图形由一个大正方形、一个小正方形和一个长方形不重合无缝隙得拼接在一起，已知长方形的面积是6，正方形和正方形的面积之和为69，那么长方形的周长是（    ） A．12 B．18 C．16 D．14 题型7.平方根概念理解 【典例】一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是______． 【跟踪专练1】下列说法中，正确的是（   ） A．已知中，，，则 B．已知点，，则直线轴 C．平方根等于本身的数有0和1 D．所有的无限小数都是无理数 【跟踪专练2】若一个正数的两个平方根是和，则的值为 __________． 【跟踪专练3】若一个正数的两个不同的平方根分别是与，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 题型8.求一个数的平方根 【典例】16的平方根是_____． 【跟踪专练1】的平方根是（     ） A． B．9 C． D． 【跟踪专练2】已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 【跟踪专练3】若，则的值为（   ） A．7 B．-7 C． D． 题型9.求代数式的平方根 【典例】若，则= _______ ． 【跟踪专练1】若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【跟踪专练2】已知，则______． 【跟踪专练3】已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 题型10.由一个数的平方根求这个数 【典例】正数的两个平方根分别是和，则正数_________． 【跟踪专练1】若一个正数的两个不同的平方根分别为与，则这个正数为（　　） A．9 B．8 C．3 D．1 【跟踪专练2】一个正数a的两个不同的平方根分别是和，则的立方根为________． 【跟踪专练3】若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 题型11.利用平方根解方程 【典例】若，则的值为 ______． 【跟踪专练1】若，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 【跟踪专练2】已知将代数式展开后得，则的值为______． 【跟踪专练3】两个完全相同的长方形如图放置，每个长方形的面积为32，图中阴影部分的面积为24，则每个长方形的周长为（   ） A．12 B．18 C．24 D．36 题型12.立方根概念理解 【典例】立方根等于的实数是________． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（   ） A．4的平方根是2 B．1的立方根是 C．任何一个实数都有两个平方根 D．任何一个实数都有一个立方根 【跟踪专练2】若和都是的立方根，则 ___________， ___________． 【跟踪专练3】课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．（提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．15 B．16 C．17 D．19 题型13.求一个数的立方根 【典例】8的立方根是________． 【跟踪专练1】，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【跟踪专练2】数的两个平方根是和，则的立方根为______． 【跟踪专练3】一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的立方根是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 题型14.由一个数的立方根求这个数 【典例】．_____的立方根是2． 【跟踪专练1】立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，，则b的值为________． 【跟踪专练3】若，则b等于（    ） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 题型15.与立方根有关的规律题 【典例】已知，那么________． 【跟踪专练1】已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【跟踪专练2】观察．推测：若，则_____． 【跟踪专练3】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型16.立方根的实际应用 【典例】古希腊著名的三个几何作图难题，其中一个为“立方倍积”问题，即求作一个正方体，使它的体积等于已知正方体的体积的2倍．若已知正方体的棱长是1，则求作的这个正方体的棱长是______． 【跟踪专练1】如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体．如果这个几何体的体积为，那么每个小正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则的值是_____． (结果用含字母 的代数式表示) 【跟踪专练3】小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 题型17.算术平方根与立方根综合应用 【典例】若的算术平方根是5，则的立方根是__________． 【跟踪专练1】已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 【跟踪专练2】一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是______． 【跟踪专练3】已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 题型18.计算器-平方根与立方根 【典例】用计算器求的近似值时，显示结果为，则____（精确到）． 【跟踪专练1】利用计算器求的值，其按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】用计算器比较大小（填“”“”或“”）：______；______． 【跟踪专练3】小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 题型19.程序设计与实数运算 【典例】根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 【跟踪专练1】小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为（   ） A． B． C．3 D． 【跟踪专练2】如图所示的是小明用计算机设计的计算小程序，当输入的值为时，输出的值是___________． 【跟踪专练3】在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 解答题 1．计算： (1)； (2)． 2．已知是的立方根，的算术平方根是． (1)求与的值； (2)求的平方根． 3．解方程： 4．已知的算术平方根是4，的立方根是3． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 5．已知的算术平方根是 (1)求的值． (2)判断以为边长的三角形的形状，并说明理由． 6．在综合实践课上，小明用铁丝围成一个面积为正方形区域后，打算重新弯折铁丝，围成一个面积为的长方形区域，且长与宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长及铁丝的总长度； (2)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 7．观察下表： 0．0001 1 100 10000 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知． 则___________，___________； ②若，则___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动____位； ①已知，则___________； ②已知，则___________． 8．如图是一个数值转换器（） (1)当输入的为时，输出的值是________； (2)若输入实数后，始终输不出值，则所有满足要求的的值为________； (3)若输出的是，求的负整数值． 9．【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 10．已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $