2.1 第一课时　圆的标准方程 同步练 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，实现从圆的标准方程概念到综合应用的递进，培养数学思维与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|圆的概念、点与圆位置关系、方程求解|以选择（含多选）、填空为主，如方程表示的图形辨析题，强化概念理解| |综合运用|对称点在圆上、轨迹问题、圆心位置确定|结合多选与解答题，如圆上点关于直线对称问题，培养逻辑推理| |拓展提高|直线与圆综合应用|含实际背景的解答题，如直线与坐标轴围成三角形的内切圆问题，提升应用意识|

第一课时　圆的标准方程 一、基础巩固 1.方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的是(　　) A.以(a,b)为圆心的圆 B.以(－a,－b)为圆心的圆 C.点(a,b) D.点(－a,－b) 2.点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝3的位置关系为(　　) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.与m的值有关 3.圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的方程为(　　) A.x2＋(y－4)2＝25 B.x2＋(y＋4)2＝25 C.(x－4)2＋y2＝25 D.(x＋4)2＋y2＝25 4.已知a,b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 5.(多选)已知圆M:(x－4)2＋(y＋3)2＝25,则下列说法正确的是(　　) A.圆M的圆心为(4,－3) B.圆M的圆心为(－4,3) C.圆M的半径为5 D.圆M截y轴所得的线段长为6 6.(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的标准方程可能为(　　) A.x2＋(y－4)2＝20 B.(x－4)2＋y2＝20 C.x2＋(y－2)2＝20 D.(x－2)2＋y2＝20 7.与y轴相切,且圆心坐标为(－5,－3)的圆的标准方程为　　　　　　　　.  8.与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心,且过点P(－1,1)的圆的标准方程是　　　　.  9.点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是　　　　.  10.已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程. 二、综合运用 11.(多选)圆上的点(2,1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上,且圆的半径为,则圆的标准方程可能是(　　) A.x2＋y2＝5 B.(x－1)2＋y2＝5 C.x2＋(y＋1)2＝5 D.(x－1)2＋(y＋1)2＝5 12.大约在2 000多年前,我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”,意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆上的各点的距离都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足|OP|＝2,其中O为坐标原点,若M,则|PM|的最小值为　　　　.  13.已知圆C的圆心到x轴的距离是到y轴的距离的2倍,且经过点A(1,0),B(3,0),求圆C的方程. 三、拓展提高 14.已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0,并且与两坐标轴围成的△OAB的面积为24. (1)求直线l的方程； (2)求△OAB的内切圆的标准方程. 第一课时　圆的标准方程 一、基础巩固 1.方程(x－a)2＋(y－b)2＝0表示的是(　　) A.以(a,b)为圆心的圆 B.以(－a,－b)为圆心的圆 C.点(a,b) D.点(－a,－b) 答案　C 解析　由(x－a)2＋(y－b)2＝0,解得因此它只表示一个点(a,b),故选C. 2.点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝3的位置关系为(　　) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.与m的值有关 答案　A 解析　因为(m－2)2＋(3－1)2＝(m－2)2＋4>3,所以P(m,3)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝3外,故选A. 3.圆心为(0,4),且过点(3,0)的圆的方程为(　　) A.x2＋(y－4)2＝25 B.x2＋(y＋4)2＝25 C.(x－4)2＋y2＝25 D.(x＋4)2＋y2＝25 答案　A 解析　由题意可得,圆心坐标为(0,4),圆的半径r＝＝5,故其标准方程为x2＋(y－4)2＝25,故选A. 4.已知a,b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根,则点P(a,b)与圆C:x2＋y2＝8的位置关系是(　　) A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 答案　A 解析　由题意,得a＋b＝1,ab＝－,∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8,∴点P在圆C内. 5.(多选)已知圆M:(x－4)2＋(y＋3)2＝25,则下列说法正确的是(　　) A.圆M的圆心为(4,－3) B.圆M的圆心为(－4,3) C.圆M的半径为5 D.圆M截y轴所得的线段长为6 答案　ACD 解析　由圆M:(x－4)2＋(y＋3)2＝52,得圆心为(4,－3),半径为5,则AC正确；令x＝0,得y＝0或y＝－6,线段长为6,故D正确. 6.(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的标准方程可能为(　　) A.x2＋(y－4)2＝20 B.(x－4)2＋y2＝20 C.x2＋(y－2)2＝20 D.(x－2)2＋y2＝20 答案　AD 解析　令x＝0,得y＝4；令y＝0,则x＝2. 所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4),B(2,0), |AB|＝＝2,以A为圆心,过B点的圆的标准方程为x2＋(y－4)2＝20. 以B为圆心,过A点的圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝20. 7.与y轴相切,且圆心坐标为(－5,－3)的圆的标准方程为　　　　　　　　.  答案　(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 解析　∵圆心坐标为(－5,－3),又与y轴相切,∴该圆的半径为5,∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. 8.与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心,且过点P(－1,1)的圆的标准方程是　　　　.  答案　(x－2)2＋(y＋3)2＝25 解析　圆心为(2,－3),设所求圆的半径为r,则r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25,所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 9.点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是　　　　.  答案　在圆外 解析　由圆的方程x2＋y2＝24,得 圆心为原点O(0,0),半径r＝2. 点P与圆心O的距离d＝. ∵m4≥0,∴>2. ∴点P在圆外. 10.已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程. 解　如图,由题设知|AC|＝r＝5,|AB|＝8,∴|OA|＝4. 在Rt△AOC中, |OC|＝ ＝＝3. 设点C的坐标为(a,0),则|OC|＝|a|＝3, ∴a＝±3. 故所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. 二、综合运用 11.(多选)圆上的点(2,1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上,且圆的半径为,则圆的标准方程可能是(　　) A.x2＋y2＝5 B.(x－1)2＋y2＝5 C.x2＋(y＋1)2＝5 D.(x－1)2＋(y＋1)2＝5 答案　AD 解析　因为圆上的点A(2,1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在这个圆上,所以圆心在直线x＋y＝0上.设圆心坐标为(a,－a),则由(2－a)2＋(1＋a)2＝5,解得a＝0或a＝1,故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5. 12.大约在2 000多年前,我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”,意思是说,圆有一个圆心,圆心到圆上的各点的距离都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足|OP|＝2,其中O为坐标原点,若M,则|PM|的最小值为　　　　.  答案　1 解析　动点P的轨迹是以O为圆心,2为半径的圆,即x2＋y2＝4,而|OM|＝＝1<2,故点M在圆内,所以当O,M,P三点共线时,|PM|最小,即|PM|min＝2－|OM|＝2－1＝1. 13.已知圆C的圆心到x轴的距离是到y轴的距离的2倍,且经过点A(1,0),B(3,0),求圆C的方程. 解　由圆心到x轴的距离是到y轴的距离的2倍可知,圆心必在直线y＝2x或y＝－2x上. 又因为圆过点A(1,0),B(3,0), 所以圆心必在线段AB的垂直平分线x＝2上. 从而可知圆心C的坐标为(2,4)或(2,－4). 又r2＝|AC|2＝17, 所以圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝17或(x－2)2＋(y＋4)2＝17. 三、拓展提高 14.已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0,并且与两坐标轴围成的△OAB的面积为24. (1)求直线l的方程； (2)求△OAB的内切圆的标准方程. 解　(1)设l:3x＋4y＋m＝0(m≠－7). 当y＝0时,x＝－； 当x＝0时,y＝－. ∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24, ∴··＝24. ∴m＝±24. ∴直线l的方程为3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0. (2)∵直线l的方程为＝±1, △OAB的直角边长分别为6和8,斜边长为10, △OAB的内切圆半径r＝＝2,圆心为(2,2)或(－2,－2), ∴△OAB的内切圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4或(x＋2)2＋(y＋2)2＝4. 学科网（北京）股份有限公司 $