2.1 圆的标准方程+2.2 圆的一般方程 能力提升训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第一章 直线与圆 §2 圆与圆的方程-2.1 圆的标准方程 2.2 圆的一般方程 能力提升训练 1.（2024贵州师大附中月考）已知曲线的方程为 ，则“ ”是“曲线 是圆”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2025河南郑州期中）已知，是方程 的两个不等实数根，则点 与圆 的位置关系是( ) A.在圆内 B.在圆上 C. 在圆外 D.无法确定 3.（2025安徽阜阳三中调研）已知圆 上的所有点都 在第二象限，则实数 的取值范围是( ) 4.（2025江西南昌十九中月考）已知是边长为 的正三角形， 点是所在平面内的一点，且满足，则 的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D. 5.若抛物线,与坐标轴分别交于三个不同的点，， ， 则 的外接圆恒过的定点坐标为______. 6.（多选|2025江西鹰潭余江区第一中学开学考试）已知圆及点 ，则下列说法正确的是( ) A.圆心的坐标为 B.若点在圆上，则直线的斜率为 C.点在圆 外 D.若是圆上任一点，则的取值范围为 7.（多选|2025安徽合肥一中期中）已知曲线的方程为 ，则( ) A.曲线围成的图形面积为 B.若点在曲线上，则 C.若圆包含曲线，则的最小值为 D.若点在曲线上，点，则的最大值为 8. （2024广州育才中学期中）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）若点,是的边上的两个定点，是 边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时， 最大.在平面直角坐标系中，已知点，，点是轴负半轴上的一个动点，当最大时， 的外接圆的方程是( ) A. B. C. D. 9.（2024哈尔滨三中期中）圆 的半径的最大值为___. 10.（2025四川南充期中）已知圆的圆心在直线上，且圆 过点，，若圆与圆关于直线对称，则圆 的标准方程为_____________________. 11.（2025江苏扬州检测）已知,,三点在圆上， 的重心为坐标原点，则 周长的最大值为____________. 12.某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于 地面的平面截的断面洞口边缘是一个半圆，如图所示，已知圆的直 径是 米，建立如图所示的平面直角坐标系. （1） 写出点 的坐标，并求出这个半圆的方程. （2） 若一个大型载重卡车宽6米，高4.2米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由. 13.（2025四川成都双流区月考）已知为原点，线段的端点 在圆 上运动. （1） 求线段 长度的取值范围； （2） 点在线段上，且，求动点 的轨迹方程. 14.（17分）（2024新余一中开学考试）已知圆过点，，且圆心 在直线 上. （1） 求圆 的方程； （2） 若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆 的圆周，求反射光线所在直线 的一般方程； （3） 若点在直线上运动，求 的最小值. 15. （2025山西联考）对于勾股定理的证明，我国历史上有多位数学家创造了利用面积出入相补证明勾股定理的不同的证法，如后汉时期的赵爽、三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、 华蘅芳等.如图是华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，其中 为直角三角形，分别以,, 为边长作3个正方形，通过出入 相补证明两个较小的正方形面积之和等于大正方形面积，从而可以证明勾股定理.若,，以 中点为圆心作圆，使得三个正方形的所有顶点中只有2个在圆外，则满足题意的一个圆的标准方程为 ___________________________________________________ ________________________________________________________________. 参考答案 1.A【解析】 ,即（一定要将, 的系数化为1,再用求解）,所以曲线 是圆,所以“”是“曲线 是圆”的必要不充分条件. 2.C【解析】 由,是方程的两个不等实数根，得, ， 则 ， 所以点在圆 外. 3.A【解析】 由，化简可得 ， 则该圆圆心为，半径为3，由题意可得 （圆心到两坐标轴的距离小于 3）解得 ，故实数的取值范围是 ． 4.C【解析】 设的重心为，连接,,, ,则 ， ，, 点的轨迹是以 为圆心， 1为半径的圆（定义法），如图1，又 ，的最小值是 . （定点在圆外,定点到圆上动点距离的最小值为定点到圆心的距离减去半径） 5. 【解析】 如图所示，抛物线交轴于点，交 轴 于点， .设,,,,,,则, 为 的两个解，由相交弦定理可知过,, 三点的圆也 过点，且有，即，即 ， 可得（韦达定理），解得 . 则就是 的外接圆过的定点坐标. 6.ACD【解析】 将圆转化为标准方程： , 则, ，如图所示， 圆心的坐标为 ； 当点在圆上，则有 ， 化简得，解得，即，所以直线的斜率为 ； 因为，所以点在圆 外； 连接，则， ， 所以，即 . 7.AB【解析】 因为点在曲线上，点，也都在曲线 上， 则曲线关于轴， 轴对称， 当，时，曲线的方程为，表示以点为圆心， 为半径的圆在直线 上方的半圆（含端点），（先画出第一象限的图形,再由对 称性得到剩余部分） 因此，曲线是四个顶点为，，， 的 正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图， 所以曲线 围成的图形面积是 ; 点在曲线上，则 等价 于 ， 则有，，解得 ; 曲线上的点到原点距离最大值为 ， 圆能覆盖曲线，则 ； . （最大值为点 到第三象限的圆心的距离加半径） 8.A【解析】 如图，由米勒定理知当最大时,的外接圆与轴负半轴相切于点 , 此时圆心位于第四象限,因为点,,所以圆心在直线上，又圆与 轴负半 轴相切于点,所以圆的半径为3.设圆心为,,连接,则 ,解 得，又,所以,所以 的外接圆的方程是 . 9. 【解析】 由 可得 （求圆半径的最大值,将圆的一般方程转化为标准方 程）, 当（半径的平方大于0）时表示圆,解得的取值范围是 ,半径为 ,曲线 是开口向下，对称轴为直 线的抛物线,在上单调递增,在上单调递减,所以 时， ,即半径的最大值为 . 10. 【解析】 方法一 设圆的方程为 ， 已知圆的圆心在直线上（圆心坐标为，满足直线方程），且圆 过点， ， 则解得 即圆的方程为 ， 所以圆的标准方程为 ． 圆的圆心，半径 ， 设圆的圆心坐标为，因为圆与圆关于直线 对称， （圆心关于该直线对称,半径相等） 则有解得即, ． 所以圆的标准方程为 . 方法二 设圆的方程为,则 ①,点， 的中点 为，,则,即 ②， 联立①②解得, , 所以 , 所以圆的方程为 . 下同方法一. 11. 【解析】 由圆，得圆心,半径 . 如图,不妨设点在 轴的正半轴上（无论三角形在何位置,都可以 通过旋转使一个顶点在轴正半轴上）,由于 的重心为坐 标原点,且,所以为圆 的直径,所以 , ,所以 （基本不等式求最值）,当且 仅当时取等号,所以周长的最大值为 . 12.(1)【答案】 因为,所以,由圆心, ,则这个半圆的方程是 . (2)【答案】 当时, （可容卡车边缘通过的最高值）,因此该卡车能顺 利通过这个涵洞. 13.(1)【答案】 圆的圆心为点,半径 , 则.（点在圆外时,点到圆上一点距离的最大值为 , 最小值为 ） 由于 , 所以 . (2)【答案】 设,,由点在线段上,且,可得 , 则有可得 由点在圆上,代入得 , 整理可得点的轨迹方程为 . 14.(1)【答案】连接,由,,得直线的斜率为 , 线段的中点,连接 ， 所以,直线的方程为,即 ,（3分） 联立得解得即 , 所以半径 ,（4分） 所以圆的方程为 .（5分） (2)【答案】 由恰好平分圆的圆周,得经过圆心 .（6分） 设点关于直线的对称点为,连接 , 则直线与直线垂直,且线段的中点在直线 上, 即解得所以 ,（9分） 所以直线即为直线,且 ,（10分） 直线的方程为,即 .（11分） (3)【答案】 由已知点在直线 上,设 ,（12分） 则 ,（15分） 所以当时, 取最小值20.（17分） 15. （答案不唯一，形如 , 的方程都可以）【解析】 求出线段中点 到三个正方形各个顶点的距离即可得 解.如图，为的中点，则点,,, , ,, ， 连接,,,,,,, , , ， 线段的中点到三个正方形顶点的距离最大为，其次为 ， 所以以 中点为圆心作圆，使得三个正 方形的所有顶点中只有2个在圆外的圆的方程为 ,，取 ，得该圆的一 个标准方程为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $