1.5 两条直线的交点坐标 能力提升训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高一上学期数学人教（A）版必修第一册 第一章 直线与圆 §1 直线与直线的方程-1.5 两条直线的交点坐标 能力提升训练 1.（2025浙江台州期中）经过两条直线, 的交点，且 一个方向向量为 的直线的方程为( ) A. B. C. D. 2.（2025华中师大一附中期中）设为实数，若直线 ，， 两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，， 有( ) A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 3.已知与是直线为常数上两个不同的点，则关于和 的方程组 的解的情况是( ) A.无论，， 如何，方程组总是无解 B.无论，， 如何，方程组总有唯一解 C.存在，， ，使得方程组无解 D.存在，， ，使得方程组有无穷多解 4. （多选|2025江苏江都中学期末）已知集合 ，集合 ，且 ，则 ( ) A.2 B. C. D. 5. 已知平面上三点坐标为，，，小明在点 处休息，一只小狗沿 所在直线跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为( ) A. B. C. D. 6.（2025四川成都十二中期中）已知点， 和直线 ，直线与线段有公共点，则 的取值范围是 ____________________. 7.（2025上海市控江中学检测）若关于，的方程组 有无 穷多组解，则 的值为___. 8.（2025安徽泗县二中月考）若与方程 所确定的曲线有两个交 点，则 的取值范围是______. 9. 已知两直线 ， . （1） 求直线与的交点 的坐标； （2） 求过直线，的交点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （3） 若直线与直线，能构成三角形，求实数 的取值范围. 10.（2025安徽阜阳一中期中）已知直线，，， . （1） 证明：与的交点不在 轴上； （2） 已知与交于点，，分别与轴交于，点，记的面积为，求 的 取值范围. 11.（2025广东深圳高级中学诊断）我们知道关于, 的二元一次方程表示直线，但有的二元二次方程也能表示直线，比如表示的就是 和 两条直线. （1） 方程表示的直线与 轴围成的面积为__； （2） 若方程表示的是两条直线，则 ___. 参考答案 1.D【解析】 联立得解得所以直线， 的交 点为，又直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为 ，故该直线方 程为，即 . 2.B【解析】 以哪两条直线的交点为直角顶点分类讨论. 由题设，,,的方向向量分别为， ， （利用方向向量解直线垂直问题可避免讨论斜率是否存在）， 若，则 ， 此时，， ，它们交于一点 ，不符合，舍去. 若，则 或 或 ， 当时，， ， ，如图1，满足题设； 当时，，， ，如图2，满足题设； 当时，， ，重合，不符合，舍去. 若，则 或 ， 当时，， ， ，如图3，满足题设； 当 时，同上分析，不符合，舍去. 综上，，， 时满足要求，故有3组. 3.B【解析】 已知与是直线为常数 上两个不同的点，即 , 所以,并且, ， . 对于 得，即 , 所以方程组有唯一解. 4.AD【解析】 因为集合，集合 ，且 ， 所以直线与直线平行或交于点 （易遗漏）， 当两直线平行时， ； 当两直线交于点时，，解得 . 综上，或 . 5.C【解析】 因为，所以直线的方程为，即 . 设小狗的位置为点，当 时，小狗距离小明最近（小狗在定直线上运动,小明位 置是定点B,则过定点作直线的垂线段最短）， 此时直线的方程为，联立得解得 因此，小狗距离小明最近时所在位置的坐标为 . 6. 【解析】 首先求直线所过的定点，再求边界直线的斜率，利用数形结合写出范围. ，得 （将直线方程写成过定点的直线系方程,求出直线所过的定点），所以直线过定点 ， 如图，连接,,， ， （求出边界直线的斜率，当直线由直线逆时针扫射到直线 时，均符合题意） 因为直线与线段有公共点，所以直线斜率的取值范围是 . （ ,直线斜率满足“内分”取两边） 7.4 【解析】 方程组 有无穷多组解，即两条直线重合,即 ，所以,，则 . 8. 【解析】 曲线由两条射线构成，它们分别是射线, 及射线 , . 因为的解为，，故射线,与直线 有 一个交点，若曲线与有两个交点，则 必有一组解， 故，因此 . 9.(1)【答案】由 解得所以点的坐标为 . (2)【答案】 设所求直线为 ， 当直线 在两坐标轴上的截距不为零时， 设直线方程为，则，解得 ， 所以直线的方程为 ， 即 . 当直线 在两坐标轴上的截距为零时（易遗漏）， 设直线方程为，则 ， 解得 ， 所以直线的方程为 ， 即 . 综上，所求直线的方程为或 . (3)【答案】 当三条直线交于一点或其中两条直线平行时，三条直线不能构成三角形. 当 与平行时,不能构成三角形，此时，解得 . 当与平行时，不能构成三角形，此时，解得 . 当过，的交点时,不能构成三角形，此时 ， 解得 . 综上，当且且 时，能构成三角形. 10.(1)【答案】 联立得可得 ，又 ， ， 所以，即与的交点不在轴上.（若交点在 轴上,则纵坐标为0） (2)【答案】 由（1）知， ， 由，令，有 ， 由，令，可得 ， 则 ， 所以，故 ， 令 ， 则 ， 对于 ， 当且仅当，即 时取等号， 所以 ， 故 ， 则 . 所以 . 11.(1)【解析】 表示的直线为 和 ，如图， 联立得得两直线交点为，两直线与 轴交点分别 为和 ， 两直线与轴围成的三角形面积为 . (2)【解析】 由方程特点设 ，比较系 数可得答案. 若方程 表示两条直线， 则该方程必能表示为两个二元一次方程的乘积，设 ， 则 . . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $