2.1.2 椭圆的简单几何性质 基础题型训练-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

高二上学期北师大版数学选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 §1 椭圆-1.2 椭圆的简单几何性质 基础题型训练 题型一 由椭圆方程研究性质 1.（2025福建福州闽侯县第一中学月考）曲线与曲线 的( ) A.长轴长一定相等 B.短轴长一定相等 C.离心率一定相等 D.焦距一定相等 2.已知椭圆的标准方程为，则椭圆上的点到椭圆中心的距离 的取值 范围为( ) A. B. C. D. 3.（2024河南南阳一中月考）曲线和，则和 更 接近圆的是____. 题型二 椭圆对称性的应用 4.如图，把椭圆的长轴 分成10等 份，过每个分点作 轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点 ，， ，， 是左焦点，则 的值为( ) A.16 B.18 C.20 D.22 5.（2025重庆七中期中）已知椭圆的左、右焦点分别为,,为椭圆 上 一点，则满足为直角三角形的点 有( ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 题型三 利用几何性质求椭圆的标准方程 6.（2025北京期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲 线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面 是椭圆.若用面积为64的矩形截某圆锥得到椭圆 ，且 与矩形 的四边相切. 设椭圆 在平面直角坐标系中的方程为 ，下列选项中，满足题意 的方程为( ) A. B. C. D. 7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过 的 直线交于，两点.若的周长为，则 的方程为( ) A. B. C. D. 8.（2025江西学情检测）已知焦点在轴上的椭圆与椭圆 的 离心率相同，且的长轴长比其短轴长大4，则 的标准方程为( ) A. B. C. D. 题型四 椭圆离心率或范围的求解 题组一离心率硬算 9.（全国Ⅰ卷）已知椭圆的一个焦点为，则 的离心率为( ) A. B. C. D. 10.（2025甘肃临夏州期末）如图,,,分别为椭圆 的顶点与焦点, 若,则椭圆的离心率 _____. 11.（2025江西省三新协同教研共同体联考）已知椭圆 的右焦 点为，左、右顶点分别为，，过点且与轴垂直的直线交椭圆于点 ，若 ，直线与直线的交点在轴上，则椭圆 的离心率为___. 题组二 焦点三角形与离心率 12.（2025江西省鄱阳扬帆中学检测）已知,分别为椭圆 的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 13.已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上不存在点 ，使 得 是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 14.（2025湖南耒阳一中期中）设椭圆的焦点为，， 是椭圆 上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当 时， 椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 题型五 椭圆的焦半径与通径 15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点 的直线交椭圆于 ,两点，若的最大值为10，则 的值是( ) A. B. C. D. 16.（2025安徽亳州期中）已知椭圆的左焦点为，点 在上，的中点为,为坐标原点，且，，则 的离心率为( ) A. B. C. D. 17.设，为椭圆的左、右焦点，为 上一点且在第一象限.若 为直角三角形，则点 的坐标为_ _______________. 能力提升训练 18. （2025江西师范大学附属中学期中）已知椭圆，则“ ”是“椭圆的离心率为 ”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 19.（2025浙江杭州二中期中）已知点 满足方程，点,.若直线斜率为,直线 斜率为，则 的值为( ) A. B. C. D. 20.（2024江苏镇江中学期中）已知,分别是椭圆 的左、右焦点，,分别是椭圆的上、下顶点，是该椭圆上任意一点，若 的最大值与最小值之积为3，且四边形的内切圆半径为，则椭圆 的方程为( ) A. B. C. D. 21.（2025辽宁期中）已知椭圆的一个焦点为，点,是 上关于原点对称的两点，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 22.已知是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，点 是的内心，延长交线段于点，则 的值为( ) A. B. C. D. 23. （2025江西上饶四中测试）如图，已知半椭圆与半椭圆 组成的曲线称为“果圆”，其中, .“果圆” 与轴的交点分别为,，与轴的交点分别为,，点 （不与重合）为半椭圆上一点，若存在 ， 则半椭圆 的离心率的取值范围为( ) A. B. C. D. 24.（多选|2025江西上高二中月考）已知椭圆 的左、右焦点分别 为,，过的直线与交于,两点，若 ，则( ) A. B.的面积等于 C.的斜率为 D.的离心率为 25. （2025广东深圳中学期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为,,若椭圆上存在一点使 ,则该椭圆的离心率的取值范围为___________. 26.已知椭圆，四点，，， 中恰 有三点在椭圆 上. （1） 求 的方程； （2） 设点，点是椭圆上任意一点，求 的最大值. 27. （17分）（2025江西上进联考）定义:由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶 点（焦点与顶点在同一边）和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”， 如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似 比称为椭圆的相似比.下列问题中，,离心率为 ,对应图1， ,离心率为 ,对应图2. （1） 判断椭圆与椭圆 是否是“相似椭圆”?若是，求出相似 比；若不是，请说明理由. （2） 证明:两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等. （3） 已知与是“相似椭圆”，且与的相似比为，若的面积为 ，求 的面积（用，， 表示）. 参考答案 1.D【解析】 对于曲线,, , 对于曲线,, , 所以它们的长轴长不一定相等,短轴长不一定相等,离心率不一定相等,焦距一定相等. 2.C【解析】 坐标法.设点,则.由椭圆的范围,知 , 点在椭圆上,,则 , .,,即 . 3. 【解析】 分别将曲线和 的方程化为标准方程可得, ,.由椭圆的性质可得,曲线的离心率为,曲线 的离心率为 ,显然,因此曲线 更接近圆. 4.B【解析】 由题意设椭圆的右焦点为,且,可得 . 由椭圆的定义及椭圆的对称性,可得 ,,, ,所以 . 5.D【解析】 当为直角顶点时,根据椭圆的对称性,可得满足的点 有2个； 当为直角顶点时,根据椭圆的对称性,可得满足的点 有2个； 当为直角顶点时,设椭圆的上顶点为,由椭圆,可得, ,可得 ,,,则, ,所以 ,故,所以存在4个满足以 为直角顶点的 .故满足本题条件的点 共有8个. 6.B【解析】 由题意可得对于椭圆有 成立,由此一一验证各选项即可. 因为用面积为64的矩形截某圆锥得到椭圆 ,且 与矩形 的四边相切,所以 ,即 . ,,,不满足 ； ,,,满足, ； ,,,不满足 ； ,,,不满足 . 7.A【解析】 由题意知为 三角形,周长为 ,所以 . 又,所以,,则椭圆的方程为 . 8.C【解析】 设焦点在轴上的椭圆 , 由已知得,即 ①, 又椭圆的离心率为,所以 ②, ①②联立解得, , 所以椭圆的标准方程为 . 9.C【解析】 由题意知,,则,所以 （舍去负值）,所以离心率（分别求出 再代入公式）. 10. 【解析】 易知,,,则, , . 因为,, ,所以 ,又,则 ,即 （关于, 的齐次式）， 同除以可得,解得或 （舍去）. 11. 【解析】 如图,设直线与直线的交点为 , 因为,所以 , 所以（ 为半通径）， 又,所以 , 所以,即 , 所以 . 12.C【解析】由椭圆定义得,,又因为 , 所以, , 由于,,结合勾股定理可得（得到 的齐次 方程求解）,解得,所以椭圆的离心率为 . 13.A【解析】 如图,设点为短轴端点,连接, , 根据题意有（要使不为钝角,只需它的最大角 ,不为 钝角即可）， 所以,则,所以 . 14.B【解析】 利用正弦定理计算,根据余弦定理计算 ,根据等面积法列方程得出, 的关系,从而可求出椭圆的离心率. 椭圆的焦点为,, , 根据正弦定理可得 , , . 设,,则 , 由余弦定理得, , , , 又 , （等面积法）,则,即, . 15.D【解析】 因为,所以 ,根据椭圆的几何性质可知,当轴时,有最小值（椭圆的通径）,此时 取得最 大值,为10,在中,令,则,所以,所以 的值是 . 16.C【解析】 如图, 设的右焦点为,连接,因为,所以,所以,所以 , 设, , 因为,所以 , 所以 17.或 【解析】 ,为椭圆的左、右焦点,为 上一点且在第一象限,设 . 若为三角形的直角顶点,则在以原点为圆心、为半径的圆上,可得 因 为在第一象限,所以的横坐标与纵坐标都大于0,解得,,所以 ;若 点为直角三角形的直角顶点,椭圆的右焦点,此时 . 18.B【解析】 由可得椭圆,此时离心率为 ,充分性成立； 若椭圆的离心率为,当 时（注意对焦点位置进行讨论）,可得离心率 ,解得 ,必要性不成立. 综上可知,“”是“椭圆的离心率为 ”的充分不必要条件. 19.A【解析】 设,,则由 （表示点 与点 的距离之和等于4）,可得 ,即点在以,为焦点的椭圆上,且, , ,所以点的轨迹方程为,整理,得 .由题 意可知,,所以（ 关于坐标 原点对称,焦点在轴上,可考虑用第三定义结论公式 求解）. 20.A【解析】 因为的最大值与最小值之积为3,所以 （最大时点与右顶点重合,最小时点与左顶点重合）,四边形 的内 切圆半径为,所以点到直线的距离为,即 （等面积法） ,即,所以,解得,,椭圆 . 21.D【解析】 如图,取椭圆的另一个焦点为,连接, ,则 四边形 为平行四边形, 设, ,由椭圆的对称性得 , 其中（ 是焦半径,焦半径范围为 ）,即 , 所以 , 令, , 所以当时,,当或时, , 即的取值范围是 . 22.A【解析】 如图,点是椭圆上一点,过点 作 于点,过点作于点.连接, .设 的内切圆半径为,则 .由三角形面积相等即 ,得 . 又,故得,所以 ,由椭圆方程 得,,,所以.由与 相似, 可得,令,则,可求得 ,故 的值为 . 23.D【解析】 如图,设,（【易错】利用三角代换解题,一定要找准 的范 围）, 因为,,所以, . ,所以 . 因为,所以 . 因为,,所以即解得 . 因为,,所以, , 所以 . 因为,所以 . 因为存在,所以在 上有解. 因为 ,且 , 所以在 上有解, 即 . 因为,且,所以即 解得 . 24.BC【解析】 根据,设,, ,则 ,根据椭圆的定义可得,所以 , 则,所以 . 因为,所以点 在下顶点或上顶点（椭圆的对称性）,如图所示. , 所以 ,不能得到 ； 由A可得 ,所以 , ,因为,所以 ； 若点在下顶点,则该直线的倾斜角为 ,此时斜率为 , 若点在上顶点,则该直线的倾斜角为 ,此时斜率为 , 所以的斜率为 ； 由前面分析可知,, ,则 为等边三角形,所以在 中, , , , 所以,则离心率为 . 25. 【解析】 在中,由正弦定理,得.又已知 ,所 以,又,则,解得 .由于 （【易错】利用焦半径的范围求解,注意取等号时构不成三角形）, 即 . 又恒成立,则有,又,得 . 26.(1)【答案】因为,关于轴对称,所以,必在椭圆 上, 有,将代入椭圆方程得 , 所以不在椭圆上,在椭圆 上,所以, , 即椭圆的方程为 . (2)【答案】 点是椭圆的下顶点,设椭圆上的点 , 则,即 , 所以.又函数在上单调递增,在 上单调递减, 所以当时,取到最大值,且最大值为,故的最大值为 . 27.(1)【答案】 这两个椭圆是“相似椭圆”,相似比为 . （1分） 理由如下: 椭圆中,, , ;（2分） 椭圆中, , , ,（3分） 则 , 所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似,（4分） 则这两个椭圆是“相似椭圆”,且相似比为 .（5分） .(2)【答案】 必要性: 若两个椭圆是“相似椭圆”,则其焦顶三角形的三个对应角相等. 所以 , 则 , , 所以 ,（6分） 又因为 , , 所以 .（8分） 充分性: 若离心率相等,则,所以 , 则, , 则 ；（9分） 同理, , , 则 , 所以 , 所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似, 所以两个椭圆是“相似椭圆”.（10分） 故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等.（11分） (3)【答案】 因为椭圆的离心率为,椭圆与 相似, 所以椭圆的离心率也为 ,（12分） 因为 , ,（13分） 所以的面积与的面积之比为 , 又的面积为,所以的面积为 . （14分） 因为与的相似比为 , 所以的面积与的面积的比为 , （15分） 所以的面积为 .（17分） 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $