课时作业17 直线与圆锥曲线的综合问题（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十七)　直线与圆锥曲线的综合问题 [基础达标练] 1．椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为(　　) A．　　　　　　　　　　B． C． D． 解析：选C　PQ为过F1且垂直于x轴的弦，则Q(－c，)，△PF2Q的周长为36. 所以4a＝36，a＝9. 由已知得＝5，即＝5. 又a＝9，解得c＝6，所以＝，即e＝. 2．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝(　　) A．　　　　　　　B．6 C．12 D．7 解析：选C　∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点， ∴F， ∴AB的方程为y－0＝tan 30°，即y＝x－.联立 得x2－x＋＝0. ∴xA＋xB＝－＝. 由于|AB|＝xA＋xB＋p， 所以|AB|＝＋＝12. 3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　) A． B． C． D． 解析：选B　椭圆的方程可化为＋＝1， ∴F(－，0). 又∵直线AB的斜率为， ∴直线AB的方程为y＝x＋. 由得7x2＋12x＋8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1·x2＝， ∴|AB|＝＝. 4．已知双曲线E的中心为坐标原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：选B　设双曲线E的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式作差，得＝＝＝. 又因为直线AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线E的标准方程是－＝1. 5．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2，2)，则△ABF的面积等于________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1·y＝4x2.又∵y1＋y2＝4，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，且x1≠x2，∴＝＝1，∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.将其代入y2＝4x，得A(0，0)，B(4，4)， ∴S△AFB＝×4×1＝2. 答案：2 6．已知双曲线x2－y2＝m(m≠0)与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则m＝________． 解析：联立方程组得y2＝， 由此得m>0，y＝±， 故x＝±2， |AB|＝2|OA|＝2＝2， 解得m＝9. 答案：9 7．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程． 解：把直线方程y＝x＋m代入椭圆方程4x2＋y2＝1， 得4x2＋(x＋m)2＝1，即5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*) 则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20>0， 解得－<m<. 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2. 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 根据弦长公式，得 ·＝， 解得m＝0. 因此，所求直线的方程为y＝x. 8．已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； (2)若＝3 ，求|AB|. 解：设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2). (1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋. 又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝. 由 可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0， 则x1＋x2＝－. 从而－＝，得t＝－. 所以l的方程为y＝x－. (2)由＝3 可得y1＝－3y2. 由可得y2－2y＋2t＝0， 所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2， 故y2＝－1，y1＝3. 代入C的方程得x1＝3，x2＝. 故|AB|＝. [能力提升练] 9．若直线y＝x＋t与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，当t变化时，|AB|的最大值为(　　) A．2 B． C． D． 解析：选C　由得5x2＋8tx＋4t2－4＝0. 由Δ＝(8t)2－20(4t2－4)＝－16t2＋80＞0， 得t∈(－，). 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝ ＝ ， 当t＝0时，|AB|max＝.故选C. 10．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)、与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4.则以下结论正确的是(　　) A.p＝2 B．F为AD中点 C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2 解析：选ABC　 如图，F，直线l的斜率为，则直线方程为y＝， 联立 得12x2－20px＋3p2＝0 解得xA＝p，xB＝p， 由|AF|＝p＋＝2p＝4，得p＝2. ∴抛物线方程为y2＝4x. xB＝p＝，则|BF|＝＋1＝； |BD|＝＝＝， ∴|BD|＝2|BF|， |BD|＋|BF|＝＋＝4，则F为AD中点． ∴综上结论正确的是A，B，C.故选ABC. 11．已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________． 解析：设直线AB的方程为x＝my＋4， 代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ>0， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16， 所以y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32， 当m＝0时，y＋y的最小值为32. 答案：32 12．双曲线－＝1(a>b>0)的左焦点为F(－，0)，点A的坐标为(0，2)，点P为双曲线右支上的动点，且△PAF周长的最小值为8，则双曲线的离心率e＝________． 解析：由|AF|＝＝3，三角形APF的周长的最小值为8，可得|PA|＋|PF|的最小值为5， 设F′为双曲线的右焦点，可得|PF|＝|PF′|＋2a， 当A，P，F′三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值，且为|AF|＝3，即有3＋2a＝5，即a＝1，c＝，可得e＝＝. 答案： 13． 如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°. (1)证明直线AB必过一定点； (2)求△AOB面积的最小值． 解：(1)证明　设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－x.由解得或即A点的坐标为. 同样由解得B点的坐标为(2k2，－2k). ∴AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)， 化简并整理，得y＝x－2. 不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0，故直线过定点P(2，0). (2)由于AB所在直线过定点P(2，0)，所以可设AB所在直线的方程为x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由消去x并整理得y2－2my－4＝0. ∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4. 于是|y1－y2|＝＝＝＝2. S△AOB＝×|OP|×(|y1|＋|y2|)＝|OP|·|y1－y2|＝×2×2＝2. ∴当m＝0时，△AOB的面积取得最小值为4. [素养拓展练] 14．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M. (1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)； (2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由． 解：(1)由题意得解得a2＝2. 故椭圆C的方程为＋y2＝1. 设M(xM，0). 因为m≠0，所以－1＜n＜1. 直线PA的方程为y－1＝x， 所以xM＝，即M. (2)存在．因为点B与点A关于x轴对称， 所以B(m，－n). 设N(xN，0)，则xN＝. “存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ” 等价于“存在点Q(0，yQ)使得＝”，即yQ满足y＝|xM|·|xN|. 因为xM＝，xN＝，＋n2＝1， 所以y＝|xM|·|xN|＝＝2. 所以yQ＝或yQ＝－. 故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，点Q的坐标为(0，)或(0，－). 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$