2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题同步练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 一、基础巩固 1.(探究点二(角度2))已知椭圆=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　) A.- B. C.-2 D.2 2.(探究点二(角度2))已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(　　) A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2 3.(探究点一)直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是(　　) A.,- B.- C.,- D.- 4.(探究点二(角度1))过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,且|AB|=8,那么抛物线方程为(　　) A.y2=2x B.y2=4x C.y2=8x D.y2=6x 5.(探究点四)过双曲线=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为　　　　　　.  6.(探究点三)已知动圆过定点A(0,2),且在x轴上截得的弦长为4. (1)求动圆圆心M的轨迹方程C; (2)设不与x轴垂直的直线l与轨迹C交于不同两点P(x1,y1),Q(x2,y2).若=2,求证:直线l过定点. 二、能力提升 7.若椭圆=1的弦AB的中点为(-1,-1),则弦AB的长为(　　) A. B. C. D. 8.设F1,F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过点F2作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则双曲线C的离心率为(　　) A. B.2 C. D. 9.已知椭圆G:=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则G的方程为(　　) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 10.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,过左焦点且与实轴垂直的弦长为1,A,B分别是双曲线的左、右顶点,点P为双曲线右支上位于第一象限的动点,若PA,PB所在直线的斜率分别为k1,k2,则k1+k2的取值范围是(　　) A.,+∞ B.,+∞ C.(1,+∞) D.(,+∞) 11.已知F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且满足=2,||=||,则该椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 12.(多选题)已知B1,B2分别是椭圆=1(a>b>0)的下顶点和上顶点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个说法中正确的是(　　) A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值- B.>0 C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为 D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线 13.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,且点P(2,1)在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程; (2)斜率为-1的直线与椭圆C相交于A,B两点,求|AB|的最大值. 三、素养创新 14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|+|DE|的最小值为　　　　　.  15.在直角坐标系xOy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2. (1)求点M的轨迹C的方程; (2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点. 参考答案 1.A　2.B 3.B　由消去y,整理得x2+2(x+1)2-4=0,即3x2+4x-2=0,则弦的中点的横坐标为-=-,纵坐标为-+1=,即-,故选B. 4.B　∵直线AB过焦点F,0,∴|AB|=x1+x2+p=6+p=8,∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x. 5.(1,) 6.(1)解 设动圆圆心为M(x,y),则x2+(y-2)2-4=y2,化简得x2=4y. (2)证明 易知直线l的斜率存在,设l:y=kx+b, 联立直线l与轨迹C的方程得消去y,整理得x2-4kx-4b=0,Δ=16k2+16b>0,即k2+b>0.由根与系数的关系得x1+x2=4k,x1x2=-4b.由=2,得x1+x2=2x1x2,即4k=-8b,则b=-k,则直线l:y=kx-k=kx-,故直线l过定点,0. 7.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),由中点为(-1,-1)可得x1+x2=-2,y1+y2=-2.因为点A,B在椭圆上,所以两式相减整理,得=0,解得弦AB所在直线的斜率为-,所以弦AB所在直线的方程为y=-(x+1)-1,联立椭圆方程消去y得到3x2+6x+1=0,根据弦长公式得|AB|= 8.C　不妨设该渐近线的方程为bx-ay=0,则直线PF2的方程为ax+by-ac=0,联立可得P.由F1(-c,0)及|PF1|=|OP|,得,化简可得3a2=c2,则e= 9.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减并化简,得-,即-=-,所以,即a2=2b2,由于a2=b2+c2且c=3,因此可得a2=18,b2=9,故椭圆G的方程为=1. 10.C　根据题意,知e==1,解得a=2,b=1,c=,双曲线方程为-y2=1,则A(-2,0),B(2,0).设P(x0,y0),x0>0,y0>0,则=1,k1+k2=,根据双曲线的几何性质,知0<,即0<<1,两边同时取倒数,可得>1,故k1+k2=>1. 11.B 12.BC　设P(x0,y0),代入椭圆方程得=1,则=-,因此A不正确;∵点P在圆x2+y2=b2外,-b2>0,=(-x0,-b-y0)(-x0,b-y0)=-b2>0,B正确;当点P在长轴端点上时,∠B1PB2最小且为锐角,设椭圆的右顶点为A,△PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=r,∴△PB1B2的外接圆半径的最大值为,C正确;直线PB1的方程为y+b=x,直线QB2的方程为y-b=x,两式相乘可得y2-b2=x2,化简得=1,由于点P不与B1,B2重合,∴M的轨迹为双曲线的一部分,∴D不正确. 13.解 (1)由题意得 ∴椭圆C的方程为=1. (2)设直线AB的方程为y=-x+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得3x2-4mx+2m2-6=0,Δ=16m2-12(2m2-6)=-8m2+72>0,即-3<m<3.则x1+x2=,x1x2=|AB|=|x1-x2|=,当m=0时,满足Δ>0,|AB|max=4. 14.24　抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0).设直线l1:y=k1(x-1),l2:y=k2(x-1),由题意可知=1.联立消去y,整理得x2-(2+4)x+=0,Δ>0显然成立.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2+设D(x3,y3),E(x4,y4),同理可得x3+x4=2+由抛物线的性质可得|AB|=x1+x2+p=4+,|DE|=x3+x4+p=4+,所以|AB|+|DE|=8+=8+=8+8+=24,当且仅当时,等号成立,所以|AB|+|DE|的最小值为24. 15.(1)解 设M(x,y),又A(-2,2),B(2,2),则kAM-kBM==-2,可得点M满足方程x2=2y(x≠±2),则M的轨迹C的方程为x2=2y(x≠±2). (2)证明 设Pm,,Qn,,m≠±2,n≠±2,又A(-2,2),可得kAP·kAQ==-2,即有mn-2(m+n)=-12,即mn=2(m+n)-12,直线l的斜率为kPQ=,可得直线l的方程为y-(x-m),化为y=x-,可得y-6=(x-2),可得直线l恒过定点(2,6). 2 学科网（北京）股份有限公司 $$