安徽省天长中学等校2025-2026学年高二上学期期末质量检测数学（北师大版）试题(A)

2024级高二上学期2月初期末质量检测 数学（北师大版）试题A 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的． 1. 现某学校自愿组成数学建模社团，其中高一年级3人，高二年级4人，高三年级6人，选其中一人为负责人，则不同的选法有（ ） A. 18种 B. 72种 C. 13种 D. 24种 2. 已知椭圆，则其离心率（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若四点共面，其中，则（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 6. 已知圆，圆，若与有且仅有2条公切线，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（ ） A. 0.42 B. 0.36 C. 0.35 D. 0.45 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，若成等比数列（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若随机变量，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，点，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 的最小值为10 C. 若，则 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线过点 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 11. 已知三棱锥中，平面的一个法向量为，若，则向量在法向量上的投影向量为____________． 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________． 13. 已知，且，记随机变量为中的最小值，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知圆，过原点引圆的两条切线，切点分别为，其中直线的倾斜角大于直线的倾斜角． （1）求的方程； （2）求四边形的面积． 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 16. 如图，在直三棱柱中，． （1）求证：为直角三角形； （2）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 17. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，连接交直线于点，过点作抛物线的切线． （1）若的斜率为1，求的值； （2）求的值； （3）若点在直线上，比较与的大小关系，并说明理由． 18. 某学校举办一项竞赛活动，首先每个班级选出7位候选人，然后在这7人中随机选出3人组成竞赛小组参加预赛，预赛通过后再进入决赛. （1）已知某班甲、乙、丙三人已经入围7位候选人之中，现从这7人中抽签随机选出3人组成竞赛小组去参加预赛，记甲、乙、丙3人中进入竞赛小组的人数为X，求X的分布列与数学期望； （2）预赛规则如下：竞赛小组每人相互独立同时做同一题，至少有两人做对该题方能进入决赛.若甲、乙、丙3人组成了竞赛小组，且甲、乙、丙能独立做对该题的概率分别为，，，求此竞赛小组能进入决赛的概率； （3）假如只有A组与B组进入决赛，胜者获得冠军.已知决赛规则如下：题库共有道题，两个小组同时做同一道题，假设每道题都能做出，且没有相同时间做出，先做对该题的小组得1分，另一组不得分.A组每道题先做对的概率都为，B组先做对的概率都为q，且，各题做题结果相互独立.现在有两种赛制可以供A组选择，赛制一：从题库中选出道题，这道题全部做完后，得分高的小组获得冠军；赛制二：做完道题，得分高的小组获得冠军.你认为A组应该选择哪种赛制更有利于胜出？请说明理由并写出推导过程. 2024级高二上学期2月初期末质量检测 数学（北师大版）试题A 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】ABD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【14题答案】 【答案】（1）的方程为；的方程为. （2） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3），理由见解析. 【18题答案】 【答案】（1） 0 1 2 3 ； （2） （3）组采用赛制二更有利于胜出，理由： 按照赛制一，设做完选定的题后，组的得分为，则， 组取得胜利的概率为； 按照赛制二，可以认为在赛制一的基础上再把剩下的两道题做完， 不妨设做完题，组取得胜利的概率为， 则， ， 已知，所以， 所以，因此组采用赛制二更有利于胜出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $