课时作业16 直线与圆锥曲线的交点（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册高中同步学案（北师大版）

课时作业(十六)　直线与圆锥曲线的交点 [基础达标练] 1．已知椭圆＋＝1，直线l：x＋my－m＝0(m∈R)，直线l与椭圆的位置关系是(　　) A．相离　　　　　　　　B．相切 C．相交 D．不确定 解析：选C　由题意知，x＋my－m＝0(m∈R)恒过点(0，1)， ∵＋<1， ∴点(0，1)在椭圆内部，∴直线l与椭圆相交． 2．过点(0，1)且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有(　　) A.1条 B．2条 C．3条 D．无数条 解析：选C　∵点(0，1)在抛物线的外部，∴过点(0，1)且与抛物线只有一个公共点的直线有2条切线，1条交线． 3．若直线l过点(3，0)，且与双曲线－＝1只有一个公共点，则这样的直线共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：选C　点(3，0)恰为双曲线的右顶点，由数形结合可知有3条与双曲线只有一个公共点的直线，分别是过点(3，0)且垂直于x轴的直线及与两条渐近线平行的直线． 4．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　) A．m＞1 B．m＞1且m≠3 C．m＞3 D．m＞0且m≠3 解析：选B　由 得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0. 由Δ＞0，且m≠3得m＞1或m＜0且m≠3， 又m＞0，∴m＞1且m≠3. 5．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________． 解析：联立方程消y得：ax2－x＋1＝0(a≠0)， 由题意：Δ＝1－4a＝0，∴a＝. 答案： 6．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________． 解析： 由题意知F(4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知，－≤k≤ . 答案： 7．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B. 求：(1)B点坐标； (2)△AFB的面积． 解：(1)双曲线－＝1的右顶点A(3，0)，右焦点F(5，0)，渐近线方程为y＝±x. 不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)， 代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9， 解得x＝，y＝－， ∴B. 由双曲线的对称性知B或. (2)∵B， ∴S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝. 8．已知直线l经过点A，且与抛物线y2＝2px(p＞0)只有一个公共点，求直线l的方程． 解：①当直线与抛物线相切时，显然其斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为y－p＝k. 由消去x并整理，得ky2－2py＋(2＋3k)p2＝0. ∵直线与抛物只有一个公共点，∴Δ＝4p2－4k(2＋3k)p2＝0，解得k＝或k＝－1. ∴直线l的方程为2x－6y＋9p＝0或2x＋2y＋p＝0. ②当直线与x轴平行时，直线与抛物线也只有一个公共点，此时y＝p. 故满足条件的直线有三条，它们的方程是2x－6y＋9p＝0或2x＋2y＋p＝0或y＝p. [能力提升练] 9．对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y＜4x0的点M(x0 ，y0)在抛物线的内部，若点M(x0 ，y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y＝2(x＋x0)与抛物线C(　　) A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．可能有一个公共点也可能有两个公共点 D．没有公共点 解析：选D　将抛物线C的方程与直线l的方程联立，得y0y＝2，即y2－2y0y＋4x0＝0，Δ＝4y－16x0. ∵y＜4x0，∴Δ＜0，∴直线与抛物没有公共点，故选D. 10．(多选)如果双曲线－＝1(a＞0，b＞0)右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值可以是(　　) A．2 B．3 C．－2 D．2023 解析：选BD　设双曲线右支任意一点坐标为(x，y)，则x≥a， ∵到右焦点的距离和到中心的距离相等， 由两点间距离公式： x2＋y2＝(x－c)2＋y2得x＝， ∵x≥a，∴≥a，得e≥2， 又∵双曲线的离心率等于2时，右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以不能等于2. 11．在椭圆＋＝1上找一点P，使P点到直线2x－4y－31＝0的距离最小，则取得最小值时点P的坐标是________，最小值为________． 解析：设过点P与直线2x－4y－31＝0平行的切线方程为直线2x－4y＋m＝0， 联立整理，得4x2＋mx＋m2－48＝0， 则Δ＝m2－4×4＝0， 解得m＝±16， 当m＝16时，2x－4y＋16＝0， 4x2＋mx＋m2－48＝0，可整理得x2＋4x＋4＝0， 解得x＝－2，则y＝3， P(－2，3)到直线2x－4y－31＝0的距离d＝＝， 当m＝－16时，2x－4y－16＝0，4x2＋mx＋m2－48＝0可整理得x2－4x＋4＝0，解得x＝2，则y＝－3， P(2，－3)到直线2x－4y－31＝0的距离d＝＝. ∴P(2，－3)到直线2x－4y－31＝0的距离最小，最小值为. 答案：(2，－3)　352 12．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是________． 解析：由 得(1－k2)x2－4kx－10＝0. 由题意，得 解得－＜k＜－1. 答案： 13．已知椭圆＋＝1，直线l：4x－5y＋40＝0，椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？若不存在，请说明理由；若存在，求最小距离是多少？ 解：由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交．设直线m与椭圆相切且平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0， 由方程组消去y， 得25x2＋8kx＋k2－225＝0.令Δ＝0， 得64k2－4×25×(k2－225)＝0. 解得k1＝25或k2＝－25. 由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的交点到直线l距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0. 直线m与直线l间的距离d＝＝，∴最小距离是. [素养拓展练] 14．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，焦点距为2. (1)求椭圆C的方程； (2)已知椭圆C与直线x－y＋m＝0相交于不同的两点M，N，且线段MN的中点不在圆x2＋y2＝1内，求实数m的取值范围． 解：(1)由题意知e＝＝，2c＝2， 解得a＝，c＝1，又a2－b2＝c2，所以a2＝2，b2＝1. 故椭圆的方程为＋y2＝1. (2)联立得消去y可得3x2＋4mx＋2m2－2＝0. 则Δ＝16m2－12(2m2－2)＞0⇒－＜m＜. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－， 则y1＋y2＝. 所以MN中点坐标为， 因为MN的中点不在圆x2＋y2＝1内， 所以＋≥1⇒m≥或m≤－， 综上，可知－＜m≤－或≤m＜. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$