1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定（知识点+3题型+过关检测）讲义-2025-2026学年新高一暑假数学自学课

1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 模块一 筑·知能要点 一、全称量词命题的否定 1.全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x).也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. 2.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. 3.全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. (2)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词并明确结论是关键. 二、存在量词命题的否定 1.存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x).也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题. 2.存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定. (2)存在量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x). 三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为假的问题，通常转化为存在量词命题“∃x∈M，a≤y(或a≥y)”为真的问题. (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为假的问题，通常转化为全称量词命题“∀x∈M，a≤y(或a≥y)”为真的问题. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 全称量词命题的否定 1．命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定形式判断即可. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定是，， 故选：D 3．下列是全称量词命题的否定的有（   ） A．存在一个能被2整除的整数不是偶数 B．存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上 C．存在实数不是方程的根 D．没有一个平行四边形是菱形 【答案】ABC 【详解】对于A，“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的整数不是偶数”，故A是；对于B，“每一个三角形的三个顶点在同一个圆上”的否定是“存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上”，故B是；对于C，“任何实数都是方程的根”的否定是“存在实数不是方程的根”，故C是；对于D，“有些平行四边形是菱形”的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形，是存在量词命题的否定，故D不是． 方法总结 全称量词命题和存在量词命题是互为否定的关系1．总结起来就是“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，的范围没有变，只是对结论进行了否定． 2．一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 4．“对于任意a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根”的否定是(    ) A．对于任意a≤0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根 B．对于任意a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根 C．存在a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根 D．存在a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根 【答案】D 【分析】全称量词命题的否定，先否定量词，再否定“至多有三个实数根”得解. 【详解】选D.全称量词“任意”改为存在量词“存在”，另一方面“至多有三个”的否定是“至少有四个”. 故选：D 二、题型二 存在量词命题的否定 5．命题“”的否定是（    ） A．， B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据存在性命题的否定为全称命题，可得命题“”的否定为“”. 故选：B. 6．已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在性量词的否定直接得出结果． 【详解】由题意知，为：． 故选：B 7．命题“”的否定形式是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】直接根据特称命题的否定为全称命题，写出答案. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“”的否定是：或， 故选：D． 8．写出命题“存在实数x、y、z，使或.”的否定：_______. 【答案】对任意的实数，有. 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解. 【详解】命题“存在实数，使或”的否定为： 对任意的实数，有. 故答案为：对任意的实数，有. 三、题型三 命题的否定求参数 9．若命题“，”为假命题，则a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出命题的否定，然后求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 因为当时， 所以. 故选：B 10．命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】是假命题，则为真命题，即有实数根，分类讨论与时的情况即可. 【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求； 当时，即有，解得且； 综上所述，. 故选：B. 11．命题“存在，使”是假命题，求得m的取值范围是，则实数a的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意知命题的否定是真命题，结合二次函数性质求解参数范围即可. 【详解】命题“存在，使” 是假命题， 命题的否定：“，有”是真命题． 由，解得， 由已知m的取值范围是，所以. 故选：B. 12．若“，”为假命题，则实数的最小值为___________. 【答案】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题，可得“，”为真命题，然后转化为恒成立问题求解. 【详解】因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以对恒成立，即. 故答案为：. 13．设，命题p：，命题q：. （1）若命题p是真命题，求的取值范围； （2）若命题¬p与q至少有一个为假命题，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据命题为真转化为，即可求解； （2）由题意转化为命题¬p与q不能同时为真，先求命题¬p与q同时为真时的范围，再求其补集即可. 【详解】（1）若命题p是真命题时，， 即， 所以， （2）若命题q：为真时， 则， 解得， 若命题¬p与q至少有一个为假命题， 即命题¬p与q不能同时为真， 若命题¬p与q同时为真时， 则，解得， 所以命题¬p与q不能同时为真时，或， 【点睛】本题主要考查了含量词命题的真假判定，考查了命题的否定，属于中档题. 模块三 巩·过关检测 一、单选题 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定判断即可. 【详解】命题“，”的否定是，. 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由特称命题否定定义可得答案. 【详解】由题可得命题“”的否定是“”. 故选：D 3．命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，结合已知命题求出其否定命题，进而判断选项． 【详解】存在量词命题的否定形式为全称量词命题， 命题的否定为，故D正确． 故选：D． 4．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可直接得到答案. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是： ，. 故选：C 5．下列命题的否定既是全称量词命题又是真命题的是（   ） A．所有的矩形都是正方形 B．是偶数 C． D．存在一个整数不是质数 【答案】C 【分析】根据各项描述判断命题的类型并写出对应的否定命题，进而判断真假，即可得. 【详解】A，B：原命题均为全称量词命题，其否定是存在量词命题，不符合题意； C：原命题为存在量词命题，否定是，是全称量词命题， 又，故为真命题，符合题意； D：原命题为存在量词命题，否定是所有整数都是质数，是假命题，不符合题意． 故选：C 6．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】C 【分析】由判别式的正负可判断，由可判断； 【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题； ， 因为，所以成立，即为真命题，为假命题， 故选：C 7．设命题三角形的内角和为，则p的否定为（   ） A．所有三角形的内角和都不为 B．有的三角形的内角和为 C．存在三角形的内角和不为 D．三角形的内角和不为 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可判断正确选项. 【详解】命题：所有三角形的内角和都是， 所以命题的否定为：存在三角形的内角和不为. 故选：C 8．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原命题为假命题则它的否定为真命题，由二次函数的性质得到判别式小于0，建立不等式求得实数的取值范围. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以命题的否定“，”是真命题， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 9．下列说法中正确的有（  ） A．命题，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D. 【详解】命题p的否定是，，故A正确； 不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 当时，，故C错误； 若关于x的方程有一正一负根，则， 所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：AD. 10．给定命题：，都有．若命题为假命题，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC 【分析】先写出命题的否定，由题意知其为真命题.法一：根据和分类讨论，分别求出参数的范围，再合并并检验选项即可；法二：根据各选项的的值，分别检验是否符合题意即可判断. 【详解】法一：命题为假命题，则命题的否定“，使得成立”为真命题，所以的最小值小于10. 当时，的最小值为，所以，即； 当时，的最小值为0，恒成立，即． 综上，实数的取值范围是． 选项A，B，C都在该范围内．选项D不在范围内. 故选：ABC. 法二：命题为假命题，则命题的否定“，使得成立”为真命题，将各选项代入验证即可． 对于A，当时，使得成立，故A正确； 对于B，当时，使得成立，故B正确； 对于C，当时，使得成立，故C正确； 对于D，当时，不存在使得成立，故D错误． 故选：ABC. 11．下列说法正确的有 （  ） A．“，使得”的否定是“，都有” B．命题“”是真命题 C．若命题为假命题，则实数的取值范围是 D．若命题为真命题，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【分析】对于A，根据特称命题的否定形式进行判断即可； 对于B，根据命题真假相关知识判断即可； 对于C，根据特称命题为假命题，结合二次方程相关知识判断即可； 对于D，根据全称命题为假命题，结合二次不等式相关知识进行判断即可. 【详解】对于A，“，使得”的否定是“，都有”，故A正确； 对于B，由恒成立，则命题“”是真命题，故B正确； 对于C，若命题“”为假命题，则无实根， 则，得，则实数的取值范围是，故C正确； 对于D，命题为真命题，又函数开口向上， 则无实根，则，解得， 则实数的取值范围是，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题设是真命题，利用判别式符号列不等式求参数范围. 【详解】原命题的否定是“”，且是真命题， 则，即，解得. 故的取值范围是. 故答案为： 13．已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据是真命题、是真命题求出实数的取值范围，再由若命题是假命题、是真命题可得答案. 【详解】若是假命题，则：，是真命题， 则，解得． 若命题：，是真命题， 则，解得，此时是假命题， 若是真命题，可得或， 若命题是假命题，是真命题， 则实数的取值范围为. 故答案为：． 14．已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为______；若p为假命题，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【详解】若p为假命题，则其否定命题“”为真命题.当时，集合，符合；当时，因为，所以由，得对于任意恒成立，所以，则.综上，当p为假命题时，. 五、解答题 15．写出下列命题的否定： (1)任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交； (2)有； (3)某箱产品中至少有一件次品； (4)方程有一个根是偶数； (5)使. 【答案】(1)存在一个一元二次函数，它的图象与x轴不相交； (2)有； (3)某箱产品都是正品； (4)方程的每一个根都不是偶数； (5)有. 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据全称量词命题、存在量词命题的否定分别为特称命题、全称命题，依次写出各命题的否定即可. 【详解】（1）“任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交”的否定是“存在一个一元二次函数，它的图象与x轴不相交”； （2）“有”的否定是“有”； （3）“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是合格品”； （4）“方程有一个根是偶数”的否定是“方程的每一个根都不是偶数”； （5）“使”的否定是“有”. 16．已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）化简得到p：，q：，根据p是q的充分不必要条件，由p⫋q求解； （2）先得到：或．根据是q的必要不充分条件，由q⫋求解；. 【详解】（1）解：由题意可得p：，q：． 因为p是q的充分不必要条件，所以，等号不同时成立， 解得． （2）因为p：， 所以：或． 因为是q的必要不充分条件， 所以或， 解得或． 17．已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：． (1)若为假命题，求实数m的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意为真命题，则有即可求解； （2）由p，q中一真一假，分真，假和假，真，两种情况分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意有：为假命题，所以为真命题， 又由方程有两个不相等的实数根， 所以， 所以实数m的取值范围为； （2）由（1）有为真命题，则， 因为p，q中一真一假， 所以当真，假时，有， 当假，真时，有， 综上所述，， 所以实数m的取值范围为. 18．已知命题．命题． (1)写出两个命题的否定； (2)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）结合含有量词的命题的否定即可求解； （2）结合含有量词的命题的真假，列出不等式即可求解． 【详解】（1）因为， 所以非， 因为， 所以； （2）因为，所以， 又，故，故， 命题． 即，又，故． 综上，当两个命题都是真命题时，的取值范围为． 19．已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据为真命题分析出，由此求解出的范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果； （2）考虑命题均为假命题时的取值范围，然后取对应范围在实数集下的补集即为结果. 【详解】（1）若为真命题，则， 所以，所以， 所以命题为假命题时，的取值范围为. （2）当为假命题时，即“”为真命题， 所以，所以的取值范围为， 所以当均为假命题时的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时的取值范围为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 模块一 筑·知能要点 一、全称量词命题的否定 1.全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x).也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. 2.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. 3.全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. (2)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词并明确结论是关键. 二、存在量词命题的否定 1.存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x).也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题. 2.存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定. (2)存在量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x). 三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为假的问题，通常转化为存在量词命题“∃x∈M，a≤y(或a≥y)”为真的问题. (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为假的问题，通常转化为全称量词命题“∀x∈M，a≤y(或a≥y)”为真的问题. 模块二 破·题型攻坚 一、题型一 全称量词命题的否定 1．命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．下列是全称量词命题的否定的有（   ） A．存在一个能被2整除的整数不是偶数 B．存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上 C．存在实数不是方程的根 D．没有一个平行四边形是菱形 4．“对于任意a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根”的否定是(    ) A．对于任意a≤0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根 B．对于任意a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根 C．存在a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根 D．存在a>0，关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根 二、题型二 存在量词命题的否定 5．命题“”的否定是（    ） A．， B． C． D． 6．已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 7．命题“”的否定形式是（    ） A． B． C．或 D．或 8．写出命题“存在实数x、y、z，使或.”的否定：_______. 三、题型三 命题的否定求参数 9．若命题“，”为假命题，则a的范围是（   ） A． B． C． D． 10．命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 11．命题“存在，使”是假命题，求得m的取值范围是，则实数a的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 12．若“，”为假命题，则实数的最小值为___________. 13．设，命题p：，命题q：. （1）若命题p是真命题，求的取值范围； （2）若命题¬p与q至少有一个为假命题，求的取值范围. 模块三 巩·过关检测 一、单选题 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．命题，则命题的否定为（    ） A． B． C． D． 4．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．下列命题的否定既是全称量词命题又是真命题的是（   ） A．所有的矩形都是正方形 B．是偶数 C． D．存在一个整数不是质数 6．已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 7．设命题三角形的内角和为，则p的否定为（   ） A．所有三角形的内角和都不为 B．有的三角形的内角和为 C．存在三角形的内角和不为 D．三角形的内角和不为 8．已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法中正确的有（  ） A．命题，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10．给定命题：，都有．若命题为假命题，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．下列说法正确的有 （  ） A．“，使得”的否定是“，都有” B．命题“”是真命题 C．若命题为假命题，则实数的取值范围是 D．若命题为真命题，则实数的取值范围是 三、填空题 12．若命题“”的否定是真命题，则实数的取值范围是______． 13．已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为______． 14．已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为______；若p为假命题，则实数a的取值范围是______. 四、解答题 15．写出下列命题的否定： (1)任意一个一元二次函数的图象都与x轴相交； (2)有； (3)某箱产品中至少有一件次品； (4)方程有一个根是偶数； (5)使. 16．已知p：；q：． (1)若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围； (2)若是q的必要不充分条件，求m的取值范围． 17．已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：． (1)若为假命题，求实数m的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数m的取值范围． 18．已知命题．命题． (1)写出两个命题的否定； (2)若两个命题都是真命题，求实数的取值范围． 19．已知集合，集合，命题，命题，． (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $