14.1 全等三角形及其性质暑期预习导学案（附同步练习）2026-2027学年八年级上册数学人教版

14.1 全等三角形及其性质 一、学习目标 1、精准理解全等形、全等三角形的完整定义，能区分全等图形，明白平移、翻折、旋转不改变图形的形状与大小。 2、熟记对应顶点、对应边、对应角三个核心概念，掌握全等三角形标准书写格式，规范使用全等符号「≌」。 3、牢固掌握全等三角形的基础性质与延伸性质，能写出严谨的几何符号语言。 4、总结出寻找对应边、对应角的 5 种常用方法，可利用性质完成边长、角度的计算与简单几何说理。 二、重难点 重点：全等三角形的概念、规范表示方法；全等三角形对应边、对应角相等的性质及符号表达。 难点：在平移、翻折、旋转后的复杂图形中，快速准确找出对应元素；避免写错全等三角形的字母顺序。 三、课前知识链接（预习填空） 1、三角形一共有 个顶点， 条边， 个内角。 2、图形的三种变换方式：平移、、；这三种变换只会改变图形的位置，不会改变图形的形状和大小。 3、思考：两张一模一样的相片、同版邮票，叠放在一起可以完全重合，这类图形叫什么？ 四、自主探究・核心知识点精讲 知识点 1：全等形的定义与判定条件 1、定义：能够完全重合的两个图形，叫做全等形。 2、必备的两个条件（缺一不可）： ① 形状完全相同；② 大小完全相等。 3、易错辨析： ①只形状相同、大小不一样（放大缩小），不是全等形； ②全等图形和摆放角度、位置没有任何关系； ③周长相等的图形不一定全等，面积相等的图形也不一定全等。 知识点 2：全等三角形、对应元素（本节最核心概念） 1、全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 2、三组对应元素概念： ①对应顶点：两个三角形重合时，互相重合的顶点； ②对应边：两个三角形重合时，互相重合的边； ③对应角：两个三角形重合时，互相重合的内角。 3、全等三角形的书写规范（必考易错点） 符号：，读作：全等于。 例：△ABC 和 △DEF 全等，必须把对应顶点的字母按顺序对应书写 正确写法： 含义：A 对应 D，B 对应 E，C 对应 F，根据字母顺序可以直接找出所有对应边、对应角。 禁止写法：（字母顺序错乱，对应关系全部错误） 知识点 3：寻找对应边、对应角的 5 种万能方法（详细总结） 1、字母顺序法（最准确，首选方法） 根据全等式的字母顺序，一一对应找边和角； 例：，则 AB 对应 MN，∠B 对应∠N。 2、边长大小法 最长的边一定对应最长的边，最短的边对应最短的边； 最大的内角对应最大的内角，最小角对应最小角。 3、公共边 / 公共角法 两个三角形重合拼接时，公共边一定是对应边；公共角一定是对应角。 4、对顶角法 图形中出现对顶角，这一组对顶角必然是全等三角形的对应角。 5、重合位置法 图形经过平移、翻折、旋转后，贴合重合的边、角就是对应元素（平移型、对折型、旋转型三大经典全等模型）。 知识点 4：全等三角形的全部性质（分基础性质、拓展性质） 1、基础核心性质（课本原文） ① 全等三角形的对应边相等； ② 全等三角形的对应角相等。 标准几何符号语言（答题固定格式，必须背诵） 已知： 可得： （对应边相等） （对应角相等） 2、延伸推论性质（做题经常使用） ①全等三角形的周长相等； ②全等三角形的面积相等； ③全等三角形对应边上的高相等； ④全等三角形对应边上的中线相等； ⑤全等三角形对应角的角平分线相等。 ⚠️ 反向误区：周长相等的两个三角形，不一定全等；面积相等的三角形，也不一定全等。 知识点 5：图形变换规律 一个三角形经过平移、翻折（轴对称）、旋转之后，得到的新三角形与原三角形全等；位置改变，边长、角度全部保持不变。 五、合作探究・典型例题精讲 例 1 基础题（对应元素辨认） 已知：，写出所有对应顶点、对应边、对应角。 解： 对应顶点：O 与 O，A 与 C，B 与 D 对应边：OA=OC，OB=OD，AB=CD 对应角：∠A=∠C，∠B=∠D，∠AOB=∠COD 例 2 计算题（利用性质求边长和角度） ，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=60°； 求：EF 的长度，∠EFG 的度数。 解：根据全等三角形对应边、对应角相等 例 3 易错题辨析（判断对错） 1、面积相同的两个三角形全等（ × ） 2、两个全等的三角形，周长一定相等（ √ ） 3、写全等时，字母顺序可以随便写（ × ） 4、有公共边的两个全等三角形，公共边是对应边（ √ ） 六、当堂巩固练习题（分层，含填空、选择、简答） （一）填空题 1、能够完全重合的两个三角形叫作 ，符号记作 。 2、若，则∠P 的对应角是 ，MN 的对应边是 。 3、全等三角形除了对应边、对应角相等之外，对应中线、 、角平分线全部相等。 （二）选择题 1、下列图形一定属于全等形的是（） A. 两个长方形 B. 两张一模一样的正方形纸片 C. 大小不同的两个圆 D. 任意两个等腰三角形 2、，若∠A=50°，∠B=70°，则∠F 的度数为（） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° （三）简答说理题 把△ABC 沿 BC 向右平移得到△DEF，求证：AB=DE，∠B=∠DEF。 七、课堂小结（背诵版框架） 1、全等看两点：形状同、大小同，和位置无关； 2、全等书写准则：对应字母按顺序，不可随意调换； 3、找对应元素五法：看字母、比长短、公共边角、对顶角、看图形变换； 4、性质口诀：对应边角全相等，周长面积都相同，高线中线平分线，全部对应都相等。 八、课后拓展思考 1、两个三角形周长、面积全部都相等，能不能判定这两个三角形一定全等？举例说明。 2、一个等边三角形，通过翻折得到新的三角形，二者是否全等？为什么？ 导学案参考答案 课前填空 1. 3、3、3；2. 翻折、旋转 当堂练习答案 填空： 1. 全等三角形、≌；2. ∠S、QR；3. 高 选择：1.B 2.B 简答：平移后的三角形与原三角形全等，，所以 AB=DE，∠B=∠DEF。 同步作业 一．选择题 1．已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（　　） A．72° B．60° C．58° D．50° 2．如图，△ABC≌△ADE，连接BD，若∠CAE＝90°，AB＝4，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．16 3．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（　　） A．70° B．68° C．65° D．60° 4．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　） A．150° B．180° C．210° D．225° 5．如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 6．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　） A．72° B．60° C．50° D．58° 7．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 8．如图，已知△ABC≌△CDE，其中AB＝CD，那么下列结论中，不正确的是（　　） A．AC＝CE B．∠BAC＝∠ECD C．∠ACB＝∠ECD D．∠B＝∠D 9．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（　　） A．90° B．135° C．150° D．180° 10．长为l的一根绳，恰好可围成两个全等三角形（无公共边），则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二．填空题 1．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝6，BD＝17，则AB的长为　 　 ． 2．如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝70°，则∠CBC′＝　 　 ． 3．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为　 　 ． 4．如图，已知△ABE≌△ACF，∠E＝∠F＝90°，∠CMD＝70°，则∠2＝　 　 度． 5．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝　 　 ． 三．解答题 1．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F， （1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为 　 　 ； （2）已知∠D＝35°，∠C＝60°， ①求∠DBC的度数； ②求∠AFD的度数． 2．如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB＝∠DFB＝90°，∠D＝28°，求∠GBF的度数． 3．如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明： （1）BD＝DE+CE； （2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？ 4．如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于F，交ED于G，且∠CAD＝30°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝130°，求∠DFB和∠DGB的度数． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：∵图中的两个三角形全等， ∴∠1＝180°﹣50°﹣72°＝58°． 故选：C． 2．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠CAE＝90°，AB＝4， ∴AD＝AB＝4，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∵∠CAE＝90°， ∴∠BAD＝90°， ∵S△ABC＝S△ADE， ∴S阴影部分＝S△ABD4×4＝8， 故选：C． 3．【解答】解：∵△ABC≌△AED， ∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD， ∴∠1＝∠BAE＝40°， ∵AE＝AB， ∴△ABE是等腰三角形， ∴△ABE中，∠B70°， ∴∠AED＝70°， 故选：A． 4．【解答】解：在△ABC与△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（SAS）， ∴∠BAC＝∠1， ∠1+∠2＝180°． 故选：B． 5．【解答】解：在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10 设∠A＝3x°，则∠ABC＝5x°，∠ACB＝10x° 3x+5x+10x＝180 解得x＝10 则∠A＝30°，∠ABC＝50°，∠ACB＝100° ∴∠BCN＝180°﹣100°＝80° 又△MNC≌△ABC ∴∠ACB＝∠MCN＝100° ∴∠BCM＝∠NCM﹣∠BCN＝100°﹣80°＝20° ∴∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4 故选：D． 6．【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°． ∵图中的两个三角形全等，b边的对角∠1和∠2是对应角， ∴∠1＝∠2＝58°． 故选：D． 7．【解答】解：∵△AOB≌△ADC， ∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠OAD＝α， 在△ABC中，∠ABC（180°﹣α）， ∵BC∥OA， ∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°， ∴β（180°﹣α）＝90°， 整理得，α＝2β． 故选：B． 8．【解答】解：∵△ABC≌△CDE，AB＝CD ∴∠ACB＝∠CED，AC＝CE，∠BAC＝∠ECD，∠B＝∠D ∴第三个选项∠ACB＝∠ECD是错的． 故选：C． 9．【解答】解：如图，∠ABC＝∠DEA＝90°， 在△ABC和△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（SAS）， ∴∠1＝∠4， ∵∠3+∠4＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， 又∵∠2＝45°， ∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°． 故选：B． 10．【解答】解：设另外两边分别为y，z． ∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等 ∴x+y+z， ∵y+z＞x ∴x， 又∵x为最长边大于等于 ∴x 综上可得x． 故选：A． 二．填空题 1．【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴BC＝DE＝6，AB＝CD， ∵BD＝17， ∴CD＝BD﹣BC＝11， ∴AB＝11． 故答案为：11． 2．【解答】解：∵AA′∥BC， ∴∠A′AB＝∠ABC＝70°， ∵△ABC≌△A′BC′， ∴BA＝BA′，∠A′BC′＝∠ABC＝70°， ∴∠A′AB＝∠AA′B＝70°， ∴∠A′BA＝40°， ∴∠ABC′＝30°， ∴∠CBC′＝40°， 故答案为：40°． 3．【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴AE＝AC， ∵AB＝7，AC＝3， ∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣AC＝7﹣3＝4． 故答案为：4． 4．【解答】解：∵∠AME＝∠CMD＝70° ∴在△AEM中∠1＝180﹣90﹣70＝20° ∵△ABE≌△ACF， ∴∠EAB＝∠FAC， 即∠1+∠CAB＝∠2+∠CAB， ∴∠2＝∠1＝20°． 故填20． 5．【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C＝∠C′＝24°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°， 故答案为：120°． 三．解答题 1．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5， ∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5， ∴AE＝AB﹣BE＝8﹣5＝3， 故答案为：3； （2）①∵△ABC≌△DEB ∴∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝60°， ∵∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°； ②∵∠AEF是△DBE的外角， ∴∠AEF＝∠D+∠DBE＝35°+60°＝95°， ∵∠AFD是△AEF的外角， ∴∠AFD＝∠A+∠AEF＝35°+95°＝130°． 2．【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB＝∠DFB＝90°， ∴BC＝BF，BD＝BA， ∴CD＝AF， 在△DGC和△AGF中， ， ∴△DGC≌△AGF（AAS）， ∴GC＝GF，又∠ACB＝∠DFB＝90°， ∴∠CBG＝∠FBG， ∴∠GBF＝（90°﹣28°）÷2＝31°． 3．【解答】（1）解：∵△BAD≌△ACE， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE， 即BD＝DE+CE． （2）解：△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE， 理由是：∵△BAD≌△ACE， ∴∠E＝∠ADB＝90°（添加的条件是∠ADB＝90°）， ∴∠BDE＝180°﹣90°＝90°＝∠E， ∴BD∥CE． 4．【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠EAB＝130°， ∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝130°， ∵∠CAD＝30°， ∴∠BAC（130°﹣30°）＝50°， ∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝80°， ∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝80°+25°＝105°； ∵∠DFB＝∠D+∠DGB， ∴∠DGB＝105°﹣25°＝80°． 学科网（北京）股份有限公司 $