14.2 第4课时 尺规作图-【通成学典】2025年新教材七年级数学暑期升级训练（人教版2024）

21 与△BDE 的 面 积 之 和 =S△CAF +S△BDE =S△ABE + S△BDE=S△ABD.∵ CD=2BD,△ABC 的面积为21,∴ 易 得S△ABD= 1 3S△ABC=7 ,即△CAF 与△BDE 的面积之和 为7. 6. (1,-4) 解析:如图,过点C 作CD⊥y 轴于点D. ∴ ∠BDC =90°.∵ ∠AOB =90°,∠ABC =90°, ∴ ∠OAB+ ∠OBA =90°,∠OBA + ∠DBC =90°. ∴ ∠OAB = ∠DBC. 在 △OAB 和 △DBC 中, ∠AOB=∠BDC=90°, ∠OAB=∠DBC, AB=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OAB≌△DBC(AAS). ∴ AO=BD,OB=DC.∵ A(3,0),B(0,-1),∴ AO= BD=3,OB=DC=1.∴ OD=OB+BD=4.∴ 点C 的 坐标为(1,-4). 第6题 7. (1) ∵ BF∥AE,∴ ∠EAM=∠FBM.在△AME 和 △BMF 中, ∠EAM=∠FBM, ∠AME=∠BMF, EM=FM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AME≌△BMF (AAS).∴ AE=BF.(2) ∵ △AME≌△BMF,∴ AE= BF,∠AEM =∠BFM =90°.∴ ∠AEC=∠BFD= 90°.在 △AEC 和 △BFD 中, ∠AEC=∠BFD, AE=BF, ∠CAE=∠DBF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEC≌△BFD(ASA).∴ EC=FD.∴ EC-CF= FD-CF,即 EF=CD=4.∵ EM =FM,∴ EM = 1 2EF=2. 第3课时　“SSS” 知识梳理 1. 分别相等 边边边 SSS 2. AB=DE AC=DF BC=EF SSS 典例演练 典例1 在△ADB 和△BCA 中, AD=BC, BD=AC, AB=BA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADB≌ △BCA(SSS).∴ ∠D=∠C. 典例2 在△ABD 和△ACE 中, AB=AC, AD=AE, BD=CE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD ≌ △ACE(SSS).∴ ∠BAD =∠CAE=18°,∠ABD = ∠ACE=48°.∴ ∠ADE=∠BAD+∠ABD=66°. 预学训练 1. C 2. B 3. 100° 解析:在△BDA 和△BDE 中, BA=BE, BD=BD, DA=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDA≌△BDE(SSS).∴ ∠A=∠BED.∵ ∠A= 80°,∴ ∠BED=∠A=80°.∵ ∠CED+∠BED=180°, ∴ ∠CED=100°. 4. 合理.理由:∵ a=b,∴ DE=FG.在△BDE 和△CFG 中, BE=CG, BD=CF, DE=FG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE≌△CFG(SSS).∴ ∠B= ∠C.∴ 他的操作合理. 5. C 解 析:在 △ABC 和 △ADC 中, AB=AD, CB=CD, AC=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△ADC.∴ ∠ACB= ∠ACD,∠BAC= ∠DAC.∵ ∠BAD=46°,∴ ∠BAC= 12 ∠BAD = 23°.∴ ∠ACB=180°-∠BAC-∠B=180°-23°-30°= 127°.∴ ∠ACD=127°. 6. ①②④ 7. 如图,连接AC.在△ADC 和△CBA 中, AD=CB, AC=CA, CD=AB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌ △CBA.∴ ∠DCA = ∠BAC.∴ AB∥ CD.∴ ∠BAD+∠ADC=180°. 第7题 第4课时　尺规作图 知识梳理 1. 等于已知角 2. 内错角相等,两直线平行 3. ① 已 知三边作三角形 ② 已知两边及其夹角作三角形 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 ③ 已知两角及其夹边作三角形 典例演练 典例 D 预学训练 1. A 2. C 3. 2或-2 4. 如图,△ACD 即为所求作. 第4题 5. 作法不唯一.如图,∠ECM 即为所求. 第5题 6. 由 作 图,知 BD =CD.在 △ABD 和 △ACD 中, AB=AC, BD=CD, AD=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABD≌△ACD.∴ ∠BDA=∠CDA.在 △BDE 和△CDE 中, BD=CD, ∠BDE=∠CDE, DE=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE≌ △CDE.∴ BE=CE. 第5课时　“HL” 知识梳理 1. 一直角边 斜边、直角边 HL 2. A'B' A'C' HL 3. SAS,ASA,AAS,SSS,HL 典例演练 典例1 ∵ AB⊥CF,DE⊥CF,∴ ∠ABC=∠DEF= 90°. 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, AC=DF, AB=DE, ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴ BC=EF.∴ BC- BE=EF-BE,即CE=BF. 典例2 (1) ∵ BD,CE 是△ABC 的高,∴ ∠BEC= ∠CDB=90°.在Rt△BEC 和Rt△CDB 中, BC=CB, BE=CD, ∴ Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).(2) ∵ BD,CE 是△ABC 的高,∴ ∠AEC=∠ADB=90°.在△AEC 和△ADB 中, ∠AEC=∠ADB, AE=AD, ∠A=∠A, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEC≌△ADB(ASA).∴ AC= AB.∵ AD=AE,∴ AC-AD=AB-AE,即CD=BE. 预学训练 1. D 2. A 3. ABC DCB HL ABO DCO AAS 4. 59° 5. ∠ABC+∠DFE=90°.理由:由题意,得BC=EF, AC=DF,∠BAC = ∠EDF =90°.在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, BC=EF, AC=DF, ∴ Rt△ABC ≌ Rt△DEF (HL).∴ ∠ABC = ∠DEF.∵ ∠EDF = 90°, ∴ ∠DEF+∠DFE=90°.∴ ∠ABC+∠DFE=90°. 6. 55° 解析:∵ DE⊥AB,DF⊥BC,∴ ∠DEB= ∠FDC=∠FDB=90°.∵ ∠AFD=145°,∴ ∠CFD= 180°-145°=35°.在 Rt△BDE 和 Rt△CFD 中, BD=CF, BE=CD, ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CFD.∴ ∠BDE = ∠CFD=35°.∴ ∠EDF=90°-35°=55°. 7. ∵ AD 是△ABC 的高,∴ ∠BDF=∠ADC=90°.在 Rt△BDF 和Rt△ADC 中, BF=AC, FD=CD, ∴ Rt△BDF≌ Rt△ADC.∴ ∠DBF=∠DAC.∵ ∠DAC+∠C= ∠BDF =90°,∴ ∠AEB = ∠DBF + ∠C =90°. ∴ BE⊥AC. 14.3 角的平分线 知识梳理 1. 点 距离 PD=PE 2. 距离相等 点P 在∠AOB 的平分线上 3. 相等 4. (1) 已知 求证 (2) 已知 求证 典例演练 典例1 5 典例2 ∵ BF⊥AC,CE⊥AB,∴ ∠BED=∠CFD= 90°.在 △BDE 和 △CDF 中, ∠BED=∠CFD, ∠BDE=∠CDF, BE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BDE≌△CDF(AAS).∴ DE=DF.又∵ DE⊥ AE,DF⊥AF,∴ AD 平分∠BAC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 第4课时 尺规作图 1. 与“作一条线段等于已知线段”一样,“作一 个角 ”也是基本、常用的尺规 作图,利用它可以进一步完成其他尺规作图. 2. 我们知道,同位角相等,两直线平行,可以利 用这个结论,过直线外一点作已知直线的平 行线.还可以利用“ ”作图. 3. 利用基本的尺规作图作三角形,主要有三种 类型,分别是:① ; ② ; ③ . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例(长春中考改编)如图,在△ABC 中,O 是 边AB 的中点.按下列要求作图:① 以点B 为 圆心、适当长为半径画弧,交线段BO 于点D, 交BC 于点E;② 以点O 为圆心、BD 长为半径 画弧,交线段OA 于点F;③ 以点F 为圆心、 DE 长为半径画弧,交上一步作的弧于点G,点 G 与点C 在直线AB 的同侧;④ 作直线OG,交 AC 于点M.下列结论不一定成立的是 ( ) 典例图 A. ∠AOM=∠B B. ∠OMC+∠C=180° C. ∠BOM=∠A+∠C D. ∠C=2∠B 连接 DE,FG,根据作图过程,先判定 △DBE≌△FOG,得到全等三角形的对应角相 等,再判断直线 OM∥BC,由此对选项作出 判断. 解答: 解有所悟:根据全等三角形的判定可以“作一个角 等于已知角”,利用“同位角相等,两直线平行”或 “内错角相等,两直线平行”,可以过一点作一条直 线与另一条直线平行. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 [基础过关] 1. (北京中考)“作一个角使其等于∠AOB”的 尺规作图方法如下: (1) 如图,以点O 为圆心,任意长为半径画 弧,分别交OA,OB 于点C,D. (2) 作射线O'A',以点O'为圆心,OC 长为 半径画弧,交O'A'于点C';以点C'为圆心, CD 长为半径画弧,两弧交于点D'. (3) 过点D'作射线O'B'. 第1题 上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD 得到 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 74 ∠A'O'B'=∠AOB,其中判定△C'O'D'≌ △COD 的依据是 ( ) A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形 全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形 全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相 等的两个三角形全等 2. (武汉中考)如图,小美作四边形ABCD 的步 骤如下:① 画∠MAN;② 以点A 为圆心,任 意长为半径画弧,分别交AM,AN 于点B, D;③ 分别以点B,D 为圆心,AD 长为半径 画弧,两弧在∠MAN 的内部交于点C;④ 连 接BC,CD,BD.若∠A=44°,则∠CBD 的度 数为 ( ) 第2题 A. 64° B. 66° C. 68° D. 70° 答案讲解 3. 在平面直角坐标系中的x 轴、y 轴 上分别截取OA=OB,再分别以点 A,B 为圆心,大于12AB 的长为半 径画弧,两弧交于点P.若点P 的坐标为(a, 2),则a的值是 . 4. 如图,在6×6的网格中,△ABC 的三个顶点 都在格点上.请画出△ACD,使△ACD 与 △ABC 全等,且顶点D 在格点上. 第4题 [综合提升] 5. (河南中考)如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜 边AB 上的中线,BE∥DC,交AC 的延长线 于点E.请用直尺和圆规作图:作∠ECM,使 ∠ECM=∠A,且射线CM 交BE 于点F (保留作图痕迹,不写作法). 第5题 答案讲解 6. (苏州中考改编)如图,在△ABC 中,AB=AC,分别以点B,C 为圆 心,大于1 2BC 的长为半径画弧,两 弧交于点D,连接BD,CD,AD,AD 与BC 交于点E.求证:BE=CE. 第6题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 七年级数学(人教版)