第十四章全等三角形单元测试卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学第十四章全等三角形单元测试卷，含选择、填空、解答题，覆盖全等图形识别、性质应用、判定推理等核心知识，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|全等图形识别、性质计算、判定条件|结合图形考查几何直观，如第5题尺规作图渗透空间观念| |填空题|6|全等性质应用、角平分线性质|注重推理意识，如第15题通过面积关系考查推理能力| |解答题|8|全等证明、动态问题、综合应用|体现层次性，如23题结合等腰直角三角形考查模型意识，24题多问设计提升创新意识|

第十四章全等三角形单元测试卷 一、单选题 1.下列图形中，是全等图形的是() 四YF西 A.a,b,c,dB.a与b C.b,c,d D.a与c 2.如图，己知△ABC≌△DEF,D,A,E,B四点在一条直线上，若BD=8,BE=2.5,则 AE的长为() D B A.2 B.3 C.3.5 D.4 3.如图，已知△ABC三△ABD兰△AEC,若∠I=130°，则∠2的度数为(). A.90° B.95 C.100° D.105° 4.如图，在四边形ABCD中，AB上AC,CD L AC,要根据HL证明△ABC≌△CDA,则需 要添加的条件是() D A.∠B=∠D B.∠ACB=∠CAD C.AB=CD D.AD=CB 试卷第1页，共3页 5.如图，在△ABC中，∠B=34°，∠A=74°，点D在边AB上，以点C为圆心，小于线段 CD长为半径画弧，分别交线段BC,DC于点E,F,连接EF；以点D为圆心，线段CF 长为半径画弧，交线段DC于点G以点G为圆心，线段EF长为半径画弧，该弧交以点D 为圆心，线段CF长为半径所画弧于点H,作射线DH交AC于点I,则∠AID的大小为 () A.36° B.54° C.62 D.72° 6.己知△ABC中，AB=6,AC=7,则中线AD的长可以是() A.6 B.7 C.8 D.9 7.如图，小敏将等腰直角三角板ABC放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示-1 的点重合，点B坐标为 2,1) 则点A的坐标为() 2 B A.（-2,3) B.(2,3) c.(3,3) D.（-2,-3) 8.如图，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACF的平分线交于点D,连接AD,若 ∠CAE=110°，则∠CAD=() E D A 70° B.65 C.60° D.55 试卷第2页，共3页 9.在锐角三角形ABC中AB=5,△ABC的面积为30，BD平分∠ABC交AC于点D,若 M、N分别是BD,BC上的动点，则CM+MN的最小值为() M A.10 B.6 C.12 D.9 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D是线段BC上一点，连接AD,过点 A作AE⊥AD,且AE=AD,连接EC交AB于点F,若BD=3.3,BF=2.5,则AB的长 度为() F A.8.3 B.8.5 C.8.7 D.9.1 二、填空题 11.如图，己知△ABC≌△CED,∠ACD=105°，∠D=25°，则∠BCD的度数为. 12.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,E是CD上一点.若△BDE≌△CDA,AB=7, AC=5,则△BDE的周长为 13.如图，己知PA⊥ON于点A,PB⊥OM于点B,且PA=PB,∠MON=50°， ∠OPC-20°，则∠PCA=°. 试卷第3页，共3页 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD=AC,DE⊥AB,交BC于点E,若∠B=32°， 则∠AEC的度数为 B 15.如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，AD平分∠BAC,CE=BF, ∠BFD+∠C=180° B是1C的中点，若△DC AC 3cm2 ABC 的面积为“，则 的面积为一 B D 16.如图，在△ABC中，AC=BC,AB=4,△ABC的面积为10，作AD⊥AC,且 AD=AC,连接BD,点E为射线AB上的动点，当DE的长度最短时，△BDE的面积为 三、解答题 17.t如图，△ABC≌△EFD,CE=3,CD=4,∠A=40°，∠FDE=45° 试卷第4页，共3页 D (I)求AC的长度： (2)求∠F的度数. 18.t如图，△ABD≌△EBC,AB=2cm,BC=5cm. D E B (I)求DE的长： (2)若A、B、C在一条直线上，求证：DB⊥AC, 19.点A,D,B,E共线，AD=BE,AC=DF,BC=EF.若∠A=5S°，∠E=45°，求 ∠F. B 20.如图，在△ABC中，∠C=90° A C五 B (I)尺规作图：作∠BAC的角平分线AD,交BC于点D: (2)应用与计算：若AC=6,BC=8,AB=10,求点D到AB的距离. 2L.如图，在△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=8,BC=5,点D为AB的中点，如果点P 试卷第5页，共3页 在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以每 秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t(秒)， D B (1)用含t的代数式表示PC的长度：一； (2)若△BPD与△CQP全等（其中∠B与∠C为对应角），求a的值. 22.已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=2a,点P是AB上的一点，过点P作PH⊥BC于 点H. 图1 图2 (1)如图1，∠BPH= (用含的式子表示) (2)如图2，CD是AB边上的高，点P为∠ACD的角平分线与AB的交点，PH交CD于点Q ①求证：PH=HC: ②连接DH,求∠HDC的度数. 23.如图，以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE, ∠BAD=∠CAE=90°，连接BE和CD相交于点O,AB交CD于点F,AC交BE于点G. 试卷第6页，共3页 D B (I)试说明：△DAC≌△BAE: (2)试说明：DC⊥BE: (3)试说明：点A到边CD,BE所在直线的距离相等 24.如图，在△ABC中，AB=BC=AC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°，D,E分别为AC,AB 边上的点，连接BD,CE交于点F,AD=BE G 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠ABD=∠BCE: (2)如图2，以AF为边作△AFH,AF=FH=AH,∠FAH=∠AFH=∠AHF=6O°，连接CH, G为BC中点，连接FG,求证：AF=2FG; (3)如图3，P为AB上一点，连接CP,H为CP中点，连接BH,MN分别为BC,BP上 的点，连接PM,CN交于点O,若BM=BN,∠MON=120°，BH=6.6,PM=5.4,直 接写出CN的长. 试卷第7页，共3页第十四章全等三角形单元测试卷 一、单选题 1.下列图形中，是全等图形的是() 囚YF玉 A.a,b,c,dB.a与b C.b,c,d D.a与c 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键.根据全等形的定义： 能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断. 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形a顺时针旋转l8O°可得到图形C, 因此，a与c是全等图形， 故选：D 2.如图，己知△ABC≌aDEF,D,A,E,B四点在一条直线上，若BD=8,BE=2.5,则 AE的长为() D A.2 B.3 C.3.5 D.4 【答案】B 【分析】因为△ABC≌aDEF,所以根据全等三角形对应边相等的性质，可得AB=DE,进 而得到AD=BE=2.5.由BD=8,即可得到AE的长度. 【详解】，△ABC≌△DEF, .AB=DE. AB=AE+BE,DE=AD+AE, ∴.AD=BE. BE=2.5, 试卷第1页，共3页 ∴.AD=2.5 :四点D,A,E,B共线，BD=AD+AE+BE,BD=8, ∴.AE=BD-AD-BE=8-2.5-2.5=3 3.如图，己知△ABC三△ABD三△AEC,若∠I=130°，则∠2的度数为(). E A.90° B.95 C.100° D.105° 【答案】C 【分析】先令EC与BD交于点M,根据三角形内角和性质结合题意求出∠ABC+∠ACB的 值，再根据全等的性质，求出∠DBC+∠ECB的值，最后根据∠2是△MBC的外角，得 ∠2=∠DBC+∠ECB,即可求解. 【详解】如图，EC与BD交于点M, E MD :△ABC的内角和为180°，∠1=130°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠1=50°， :'△ABC兰△ABD兰△AEC .∠ABC=∠ABD,∠ACB=∠ACE」 ∠DBC+∠ECB=∠ABC+∠ABD+∠ACB+∠ACE=2(∠ABC+∠ACB)=1OO° ,∠2是△MBC的外角， .∠2=∠DBC+∠ECB=100° 4.如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC,CD1AC,要根据HL证明△ABC≌△CDA,则需 要添加的条件是() 试卷第2页，共3页 A.∠B=∠D B.∠ACB=∠CAD C.AB=CD D.AD=CB 【答案】D 【详解】解：~AB⊥AC,CD⊥AC, ÷.∠BAC=∠ACD=90°， ..AC=AC, △ABC≌ACDA(HL) 若证明 则应该添加AD=CB】 5.如图，在△ABC中，∠B=34°，∠A=74°，点D在边AB上，以点C为圆心，小于线段 CD长为半径画弧，分别交线段BC,DC于点E,F,连接EF;以点D为圆心，线段CF 长为半径画弧，交线段DC于点G;以点G为圆心，线段EF长为半径画弧，该弧交以点D 为圆心，线段CF长为半径所画弧于点H,作射线DH交AC于点I,则∠AID的大小为 () A.36° B.54° C.62° D.72° 【答案】D 【分析】根据作图过程证 △DGIe△CFE(SS),从而得到∠CDH=∠BCD 进而判断 DI∥BC,最后利用平行线的性质和三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：由作图可知，CE=CF=DG=DH,EF=GH, 在△DGH和△CFE中， 试卷第3页，共3页 DH=CF EF=HG DG=CE' △DGH≌△CFE(SSS) ∴.∠GDH=LFCE,即∠CDH=∠BCD, .DI∥BC, ∠AID=∠ACB】 在△ABC中，∠B=34°，∠A=74° ∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-74°-34°=72°， ∴.∠AID=72° 6.己知△ABC中，AB=6,AC=7,则中线AD的长可以是() A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A 【分析】通过延长中线构造全等三角形，将已知边转化到同一个三角形中，再利用三角形 三边关系求出中线AD的取值范围，即可选出正确答案， 【详解】解：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE :AD是△ABC的中线， .BD=CD 又：∠ADC=∠EDB,AD=DE, △ADC≌△EDB(SAS) ∴.BE=AC=7 AE=AD+DE =2AD, 在△ABE中，由三角形三边关系得BE-AB<AE<AB+BE, 试卷第4页，共3页 代入AB=6,BE=7得： 7-6<2AD<6+7, 即1<2AD<13, .0.5<AD<6.5 只有选项A的6在该范围内 7.如图，小敏将等腰直角三角板ABC放置于直角坐标系中，直角顶点C与x轴上表示-1 2,1 的点重合，点B坐标为 ,则点A的坐标为（） A（2,3) B.(2,3) c.(3,3) D.（-2,-3) 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系、全等三角形的判定及性质，添加适当辅助线构造全 等三角形是解题的关键， 过点1，点B分别作D,BE垂直于轴，通过证明△1DC≌aCEB(1HS) 得到 AD=CE=3,CD=BE=1,即可得出点A的坐标. 【详解】解：如图，过点A,点B分别作AD,BE垂直于x轴， 则∠ADC=∠CEB=90°， .∠ACD+∠DAC=90°， :点C与x轴上表示-1的点重合，点B坐标为 2,1) 试卷第5页，共3页 OC=1,OE=2,BE=1, .CE=1+2=3 由题意可知AC=CB,∠ACB=90° ∴，∠ACD+∠ECB=90°， ∴.∠DAC=∠ECB, △ADC≌ACEB(AAS) ∴.AD=CE=3,CD=BE=1, ..OD=CD+OC=2, 点1的坐标为(23) 故选：A, 8.如图，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACF的平分线交于点D,连接AD,若 ∠CAE=110°，则∠CAD=() A.70° B.65 C.60° D.55 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，可得DM=DO=DN,从而得AD是∠EAC的平分线，计 算即可求解， 【详解】如图，过点D作DM⊥BE,DN⊥AC,DO⊥BF,垂足分别为M,N,O, A 是 的平分线， F.:BD ∠ABC DM⊥BEDO⊥BF .DM=DO 同理可得DN=DO. 试卷第6页，共3页 :DM DN DM⊥BE,DN⊥AC. .AD是∠EAC的平分线， ∠CAD=I∠CAE=55° 9.在锐角三角形ABC中AB=5,△ABC的面积为30，BD平分∠ABC交AC于点D,若 M、N分别是BDBC上的动点，则CM+MN的最小值为() A.10 B.6 C.12 D.9 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短，全等三角形的判定与性质，角平分线性质等知识： 过点C作CE⊥AB于点E,在BA上取点F,使BF=BN,连接MF,则△BMN≌△BMF, 有MF=MN,则CM+MN=CM+MF≥CE,当M、R、C三点共线且与CE重合时，取得 最小值，由面积关系可求得CE的长，从而求得最小值. 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E,在BA上取点F,使BF=BN,连接MF, :BD平分∠ABC, ∴.∠FBM=∠NBM, BM=BM, ∴.△BMN≌aBMF, .MF =MN. .CM+MW=CM+MF≥CE, 当M、F、C三点共线且与CE重合时，取得最小值， 4B:CE=30, 1 AB=5 CE=12, .CM+MN的最小值为12 试卷第7页，共3页 故选：C. 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D是线段BC上一点，连接AD,过点 A作AE⊥AD,且AE=AD,连接EC交AB于点F,若BD=3.3,BF=2.5,则AB的长 度为() A.8.3 B.8.5 C.8.7 D.9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键 过点E作EG⊥AB于点G,则∠AGE=∠EGB=9O°，先证明△AEG≌△DAB得到 EG=AB,AG=BD=3.3,则有EG=BC,进而推出△EFG≌aCFB,得到GF=BF=2.5 再利用线段的和差即可求解 【详解】解：如图，过点E作EG⊥AB于点G, 则∠AGE=∠EGB=90°， .∠EAG+∠AEG=90°. AE⊥AD, ∴.∠EAD=90°， .∠EAG+∠DAB=90°， 试卷第8页，共3页 .∠AEG=∠DAB 又∠AGE=∠DBA=90°，AE=AD, 、△AEG≌△DAB(AAS) ..EG=AB,AG=BD=3.3, ·AB=BC, ..EG=BC, 又：∠EGF=∠CBF=90°，∠EFG=∠CFB. ,△EFG≌aCFB(AAS) .GF=BF=2.5, ,AB=AG+GF+BF=3.3+2.5+2.5=8.3 故选：A. 二、填空题 11.如图，己知△ABC≌△CED,∠ACD=105°，∠D=25°，则∠BCD的度数为 B 【答案】80°/80度 【分析】根据全等三角形的对应角相等，可得∠ACB=∠D=25°，进而即可求解。 【详解】解：△ABC≌△CED,∠D=25°， ∴.∠ACB=∠D=25°. .∠ACD=105 ∴.∠BCD=∠ACD-∠ACB=105°-25°=80° 12.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,E是CD上一点.若△BDE≌aCDA,AB=7, AC=5,则△BDE的周长为 试卷第9页，共3页 【答案】12 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得DE=AD,BE=AC=5,进而得△BDE的周 长=BD+DE+BE=AB+BE,即可求解. 【详解】解：：△BDE≌aCDA,AC=5, ∴DE=AD,BE=AC=5, :AB=7, .△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BE=7+5=I2 13.如图，己知PA⊥ON于点A,PB⊥OM于点B,且PA=PB,∠MON=50, ∠OPC=20°，则∠PCA=°. 【答案】45 【分析】本题考查角平分线定理的判定，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识是关键 由题意可得，OP是∠MON的平分线，则∠POA=25°，根据三角形外角的性质进行计算即 可 【详解】解：，PA⊥ON,PB⊥OM, 又PA=PB, .OP是∠MON的平分线， ÷∠P0A=)∠MON=250 2 ∠PCA是△OCP的外角， .∠PCA=∠POA+∠OPC=25°+20°=45° 故答案为：45 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD=AC,DE⊥AB,交BC于点E,若∠B=32° 试卷第10页，共3页 则∠AEC的度数为 B D 【答案】61°161度 【分析】由题意易 Rt△ACE≌Rt△ADE(H)∠BAC=90°-∠B=58°，则有 ∠C4E=∠D1E,然后可得<CME=∠D1E=×58=29,进而问题可求解. 【详解】解：：DE⊥AB, ∴.∠ADE=90°， :∠C=90°，AD=AC,AE=AE, ,Rt△ACE≌Rt△ADE(HL) .∠CAE=∠DAE. ∠B=32°， .∠BAC=90°-∠B=58, &∠C4E=∠DMB=x58=29 ∴.∠AEC=90°-∠CAE=61° 15.如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，AD平分∠BAC,CE=BF, ∠BFD+∠C=180,B是4C的中点，若△DCE的面积为3Cm,则 AC 3cm2 ABC 的面积为： D 【答案】15cm2 【分析】如图：过点D分别作DG1AC于G,DH⊥AB于H,然后根据角平分线的性质 试卷第11页，共3页 可得DG=DH ，再根据三角形面积公式，即可得出 S.DBF =S.DCE=3 :利用三角形中线的 性质可得.c=2S.cs=6 ,再证 △ADF≌AADC(AAS ,则So=Soc6,最后根据 △ABC 的面积 SADe+S,c+S.0F即可解答。 【详解】解：如图：过点D分别作DG⊥AC于G,DH⊥AB于H, H :AD平分∠BAC, .DG=DH,∠FAD=∠CAD, Sam方BFxDH,Sm xCE×DG,CE=BF, S.DBF =S.DCE=3 ,E是AC的中点， S.ADC =2S.DCE=6 ·∠BFD+∠C=180°，∠BFD+∠AFD=180°， .∠AFD=∠C, ADAD, △ADF≌△ADC(AAS) S.ADF=S.4DC=6 ..ABC S.ADF+SDC+S.BDF=6+6+3=15 的面积为 16.如图，在△ABC中，AC=BC,AB=4,△ABC的面积为10，作AD⊥AC,且 AD=AC,连接BD,点E为射线AB上的动点，当DE的长度最短时，△BDE的面积为 试卷第12页，共3页 B 【答案】1 【分析】先结合垂线段最短，得DE上AB的延长线，再证明 CHA栏CHB(HL）,得 H=2,Sca=5.am=5,又因为4D=4C,正明C1H2a1DE(AS),故 DE=AH=2,S.ADE =S.CAH =5 最后把数值代入5e=5e-S计算，即可作答。 【详解】解：依题意，当DE的长度最短时，即DE⊥AB的延长线，如图所示： H BE D 过点C作CH⊥AB, ∴.∠CHA=∠CHB=90, .CH=CH,AC=BC. △CHA≌ACHB(HL) 1 =BH=ABA=2.S.cm=S.c 2c 2×10=5 AD⊥AC, ∴.∠CAH+∠DAE=90°， ,DE⊥AB的延长线， .∠AED=∠CHA=90°， .∠ADE+∠DAE=90°， 试卷第13页，共3页 .∠CAH=∠ADE, AD=AC △CAH≌△ADE(AAS) 故 DE=AH=2,S.ADE =S.CAH=5 则S.A6=×AB×DE=X4x2=4 1 2 S.BDE =S.ADE-S.ADB=5-4=1 三、解答题 17.如图，△ABC≌△EFD,CE=3,CD=4,∠A=40°，∠FDE=45°， B D (1)求AC的长度： (2)求∠F的度数. 【答案】(1)7 (2)950 【分析】(I)根据全等三角形的性质得到AC=ED=CE+CD即可求解： (2)根据全等三角形的性质得到∠A=∠E=40°，再根据三角形内角和定理即可求解。 【详解】(1)解：，△ABC≌△EFD, ∴.AC=ED .ED=CE+CD=3+4=7, .AC=7: (2)解：：，△ABC≌aEFD, ∴.∠A=∠E=40° 在△EFD中，∠F=180°-∠E-∠FDE=180°-40°-45°=95° 18.如图，△ABD≌△EBC,AB=2cm,BC=5cm. 试卷第14页，共3页 E B (1)求DE的长： (2)若A、B、C在一条直线上，求证：DB⊥AC, 【答案】(1)3cm (2)证明：△ABD≌△EBC, .∠ABD=∠EBC, ∠ABD+∠EBC=180°， ∴.∠ABD=∠EBC=90°， .DB⊥AC 【分析】(1)首先根据全等三角形的性质得到BE=AB=2cm,BD=BC=5cm,然后利 用线段的和差求解即可： (2)根据全等三角形的性质得到∠ABD=∠EBC,然后根据题意得到 ∠ABD+∠EBC=180°，进而可得到DB⊥AC. 【详解】(1)解：△ABD≌△EBC, .BE=AB =2cm,BD=BC=5cm, .DE=BD-BE =3cm: (2)略. 19.点A,D,B,E共线，AD=BE,AC=DF,BC=EF.若∠A=55°，∠E=45°，求 ∠F. 【答案】80° 【分析】利用SSS可证△ABC≌aDEF,根据全等三角形的性质可得：∠A=∠FDE=55 利用三角形内角和定理即可求出∠F的度数 试卷第15页，共3页 【详解】解：AD=BE, .AD+BD=BE+BD, 即AB=DE, △ABC和△DEF中， AB=DE AC=DF BC=EF' ∴.AABC≌△DEF(SSS) .∠A=∠FDE=55° ∴.∠F=180°-（∠FDE+∠E)=180°-(55°+45)=80° 20.如图，在△ABC中，∠C=90° C B (I)尺规作图：作∠BAC的角平分线AD,交BC于点D: (2)应用与计算：若AC=6,BC=8,AB=10,求点D到AB的距离. 【答案】(I)如图，AD即为所求， B D (2)3 【分析】1)利用尺规作图的基本方法，作∠BAC的角平分线AD (2)利用角平分线的性质，得点D到AB的距离等于DC,再通过面积法列方程求解. 【详解】(1)解：以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AC、AB于两点，再分 别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于一点， 作射线AD,交BC于点D,AD即为所求. 试卷第16页，共3页 (2)解：过点D作DE⊥AB于点E, 平分 D .·AD ∠BAC∠C=90°DE⊥AB :DE DC, 设DC=DE=x, S.4BC=S.ACD+S.48D CCCxDCAB DE. 1 1 1 即2×6x8=1x6xx+x10× 2 .24=3x+5x=8x, 解得x=3, ·点D到AB的距离为3 21.如图，在△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=8,BC=5,点D为AB的中点，如果点P 在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以每 秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t(秒)· D B (I)用含t的代数式表示PC的长度：一： (2)若△BPD与△CQP全等（其中∠B与∠C为对应角），求a的值. 【答案】(1)5-2t 16 2)5或2 试卷第17页，共3页 【分析】(I)根据题意，可知BP=2t,线段的和差关系表示出PC即可： (2)分△BDP≌aCQP和△BPD≌aCQP两种情况进行讨论求解即可 【详解】(1)解：由题意，BP=2t, .PC=BC-BP=5-2t. (2)解：：AB=8,点D为AB的中点， .BD=4 由题意可知BP=2t,PC=5-2t,CQ=at, 当△BPD与△CQP全等时，分以下两种情况： 当△BDP≌aCOP时，CQ=BD,CP=BP, ∴.at=4,5-2t=2t」 4,asl 5 16 解得1= 5 当△BPD≌aCOP时，CQ=BP,CP=BD, .at=2t,5-2t=4 1 解得a=2,1=2: 16 综上所述，a的值为5或2， 22.已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=2a,点P是AB上的一点，过点P作PH⊥BC于 点H. 图1 图2 (1)如图1，∠BPH= (用含的式子表示) 试卷第18页，共3页 (2)如图2，CD是AB边上的高，点P为∠ACD的角平分线与AB的交点，PH交CD于点Q ①求证：PH=HC: ②连接DH,求∠HDC的度数. 【答案】(I)a (2)0见解析；②45° 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形 的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键. (L)根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠B=∠ACB=180°-，∠B1C 90°-a 再根据直角三角形的性质即可求解： (2)①根据三角形内角和定理推出∠BPH=∠BCD=aα，利用角的和差得到 ∠ACD=∠4CB-∠BCD=90°-2a·根据角平分线的定义得到∠PCD=∠ACD=45°-a】 得到∠PCH=∠PCD+∠BCD=45°，推出△PCH是等腰直角三角形，即可证明： ②在CD上截取CE=PD,连接HE,先证明△PDH≌aCEH,得到DH=EH, ∠DHP=∠EHC,进而证出△DHE是等腰直角三角形，即可求解.。 【详解】1)解：：AB=AC,∠BAC=2a, ÷∠B=乙4CB=180-,∠81C=90°-a 2 PH⊥BC, .∠PHB=∠PHC=90°， ∠BPH=90°-∠B=90°-(90°-a)=a 故答案为：x: (2)①证明：，CD是AB边上的高， ∠CDP=90°， .∠CDP=∠PHC=90°， :∠DQP=∠HQC, ∴.∠BPH=∠BCD, 由(1)得，∠BPH=a,∠ACB=90°-a 试卷第19页，共3页 .∠BCD=a, ∴.∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-a-a=90°-2a, CP为∠ACD的角平分线， ∠PCD=2∠ACD=45-a, .∠PCH=∠PCD+∠BCD=45°-a+a=45°， ∴△PCH是等腰直角三角形， .PH=HC: ②解：如图，在CD上截取CE=PD,连接HE, 在△PDH和△CEH中， (PD=CE ∠DPH=∠ECH PH=CH △PDH≌ACEH(SAS) ∴，DH=EH,∠DHP=∠EHC, .∠DHP+∠PHE=∠EHC+∠PHE. 即∠DHE=∠PHC=90° .△DHE是等腰直角三角形， ∴.∠HDC=450 23.如图，以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE, ∠BAD=∠CAE=9O°，连接BE和CD相交于点O,AB交CD于点F,AC交BE于点G. 试卷第20页，共3页 D A (I)试说明：△DAC≌△BAE: (2)试说明：DC⊥BE: (3)试说明：点A到边CD,BE所在直线的距离相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=90°， 进一步利用SAS证明即可： (2)根据全等三角形的性质得到BE=DC,∠ABE=∠ADC,利用三角形内角和以及对 顶角相等得到∠ABE+∠BFO=90°，可得∠BOF=∠DAF=90°，即可证明； dd, (3)设点4到边CD,BE所在直线的距离分别为，4，根据全等三角形的性质可得 SADAC=S△BME 利用三角形面积公式可得 d=d 2,即可证明。 【详解】(I)解：证明：：△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， .AB=AD.AE=AC. 又∠BAD=∠CAE=90° ∴.∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠DAC=∠BAE. 在△ABE和△ADC中， AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE 试卷第21页，共3页 .△DAC≌△BAE(SAS) (2)△DAC≌△BAE, ,BE=DC,∠ABE=∠ADC, 又：∠BFO=∠DFA,∠ADF+∠DFA=90°， ∠ABE+∠BFO=90° .∠BOF=∠DAF=90°， 即BE⊥DC (3)设点A到边CD,BE所在直线的距离分别为4 dd ,△DAC≌△BAE, SADAC=SABAE 即2 xCDxd=)x BExd, 2 .CD=BE. :4=4,即点A到边CD,BE所在直线的距离相等。 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，熟练 掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 24.如图，在△ABC中，AB=BC=AC,∠A=∠ABC=∠ACB=60°，D,E分别为AC,AB 边上的点，连接BD,CE交于点F,AD=BE. 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠ABD=∠BCE: (2)如图2，以AF为边作△AFH,AF=FH=AH,∠FAH=∠AFH=∠AHF=60°，连接CH, G为BC中点，连接FG,求证：AF=2FG: (3)如图3，P为AB上一点，连接CP,H为CP中点，连接BH,M,N分别为BC,BP上 的点，连接PM,CN交于点O,若BM=BN,∠MON=120°，BH=6.6,PM=5.4,直 试卷第22页，共3页 接写出CN的长. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)CW=7.8 【分析】(I)证明△ABD≌aBCE(SAS)即可得出结论： (2)延长FG至点P,使得PG=FG,连接CP,则PF=2FG,证明 BFG≌aCPG(SAS) 得到∠6=∠7，BF=CP.由∠BAC=∠FAH=60°得到∠I=∠3，从而证明 a1BF≌a1CH(SAS),得到BF=CH,∠4=8，因tCP=CH.证明∠PCF=∠HCF,得 PCF≌aHCF(SAS),因此FP=FH,进而即可得出结论： 必 (3)延长BH至点K,使得HK=BH,连接CK,则BK=13.2,证明 △BPH≌KCH(SAS),得到∠PBH=∠K,BP=KC,得出MB∥CK,因此 ∠BCK=180°-∠ABC=120°.延长PM至点L,使得M=NC,连接BL,根据 ∠1+∠2=360°-（∠ABC+∠M0N)=180°，∠2+∠3=180°，得到∠1=3，从而证明 △BCN≌BLM(SAS),得到BC=BL,∠PBL=∠KCB.证明 PBL≌△KCB(SAS) 得到 PL=BK=13.2,求出ML=PL-PM=7.8,得到CN=ML=7.8. 【详解】(1)证明：在△ABD与△BCE中， AB=BC ∠A=∠CBE AD=BE △ABD≌△BCE(SAS) ∴.∠ABD=∠BCE (2)证明：延长FG至点P,使得PG=FG,连接CP, 试卷第23页，共3页 ∴.PF=PG+FG=2FG G为BC中点， ..BG=GC, 在△BFG与△CPG中， BG=CG ∠BGF=∠CGP FG=PG .aBFG≌aCPG(SAS) .∠6=∠7，BF=CP ,∠BAC=∠FAH=60° .∠BAC-∠2=∠FAH-∠2，即∠1=∠3 :在△ABF与△ACH中， AB=AC ∠1=∠3 AF=AH ∴.△ABF≌△ACH(SAS) .BF=CH,∠4=∠8 ..CP=CH 由(I)得△ABD≌△BCE. .∠4=∠5， ∠5=∠8 ∠ABC=∠ACB=60°， 试卷第24页，共3页 ∠4+∠6=60°，∠5+∠9=60° ∠5+∠7=60°，即∠PCF=60°， ∠8+∠9=60°，即∠HCF=60°， ∴.∠PCF=∠HCF ,在△PCF与△HCF中， CP=CH ∠PCF=∠HCF CF=CF :∴APCF≌△HCF(SAS) ∴FP=FH AF =FH ∴AF=FP ∴.AF=2FG (3)解：延长BH至点K,使得HK=BH,连接CK,则BK=2BH=2×6.6=13.2 B :点H是PC的中点， PH=CH, ,在△BPH和△KCH中， 「BH=KH ∠BHP=∠KHC PH=CH 试卷第25页，共3页 △BPH≌△KCH(SAS) ∴.∠PBH=∠K,BP=KC, .AB∥CK, ∴.∠BCK=180°-∠ABC=180°-60°=120° 延长PM至点L,使得ML=VC,连接BL, ·∠ABC=60°，∠M0N=120°， ∴在四边形BOM中，∠I+∠2=360-（∠ABC+∠MoN)=180 :∠2+∠3=180°， .∠1=∠3 ,在△BCN和△BLM中， BN=BM ∠1=∠3 NC=ML' △BCN≌aBLM(SAS) .BC=BL,∠MBL=∠NBC=60°， ∴.∠PBL=∠ABC+∠MBL=60°+60°=120°， ∴.LPBL=∠KCB 在△PBL和△KCB中， BP=CK ∠PBL=∠KCB BL=CB △PBL≌AKCB(SAS) .PL=BK=13.2, .ML=PL-PM=13.2-5.4=7.8. .CN=ML=7.8 试卷第26页，共3页