第十四章 全等三角形单元测试考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练2026-2027学年八年级数学上册（人教版）

**基本信息** 聚焦全等三角形单元核心知识，通过基础辨析、情境应用及综合探究，分层考查全等形概念、判定与性质，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|全等形识别（1题）、全等三角形性质（2题）、判定定理应用（4题）|结合图形辨析，考查空间观念| |填空题|8/24|对应边计算（11题）、实际测量（12题）、角平分线性质（13题）|联系生活情境，体现应用意识| |解答题|8/66|尺规作图（20题）、动态全等探究（26题）、综合证明（25题）|梯度设计，发展推理能力与创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第十四章 全等三角形 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小是（     ） A． B． C． D． 4．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 5．如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（    ） A． B． C． D． 6．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A．27 B．12 C．24 D．36 9．如图，是的角平分线，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（     ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．如图，已知，和，和是对应顶点．如果，，，那么_____． 12．如图，小明想测量池塘两岸上A、B两点的距离．他在平地上取一点C，使测量者能从C直线走到A和B两点，在平地上延长至点D，使，延长BC至点E，使，连接．若测得米，则A，B两点间的距离为________米． 13．如图，在中，，平分，，，则点到的距离为______． 14．如图，于点，且，点在上，连接、，若要用“”直接证明，则需添加的条件是________． 15．在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 16．如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 17．如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为_______． 18．如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）如图：已知，．求证：． 20．（6分）如图，已知，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 21．（6分）如图，是的平分线，．求证：． 22．（8分）如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．（8分）如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． (1)求证：； (2)求的长． 24．（10分）如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 25．（10分）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】 (1)小红看到图1后，很快发现了与间的数量与位置关系，它们的关系为 ___________． 【探究二】 (2)小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】 (3)小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 26．（12分）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小是（     ） A． B． C． D． 4．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 5．如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（    ） A． B． C． D． 6．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A．27 B．12 C．24 D．36 9．如图，是的角平分线，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（     ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．如图，已知，和，和是对应顶点．如果，，，那么_____． 12．如图，小明想测量池塘两岸上A、B两点的距离．他在平地上取一点C，使测量者能从C直线走到A和B两点，在平地上延长至点D，使，延长BC至点E，使，连接．若测得米，则A，B两点间的距离为________米． 13．如图，在中，，平分，，，则点到的距离为______． 14．如图，于点，且，点在上，连接、，若要用“”直接证明，则需添加的条件是________． 15．在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 16．如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 17．如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为_______． 18．如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）如图：已知，．求证：． 20．（6分）如图，已知，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 21．（6分）如图，是的平分线，．求证：． 22．（8分）如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．（8分）如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． (1)求证：； (2)求的长． 24．（10分）如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 25．（10分）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】 (1)小红看到图1后，很快发现了与间的数量与位置关系，它们的关系为 ___________． 【探究二】 (2)小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】 (3)小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 26．（12分）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $第十四章全等三角形单元测试 总分：120分（参考答案) 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分 3 5 6 7 8 9 10 C B B C B C A A B 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11.512.2013.4 14.AB=DE 15.在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上16.317.61°161 度18.3 三、解答题：本题共8小题，共66分 19.(6分) 【答案】见解析 【分析】根据已知由SAS可得△ADB≌aCDB,故∠A=∠C. 【详解】证明：在△ADB和△CDB中， AD=CD ∠ADB=∠CDB DB=DB ∴△ADB≌ACDB(SAS) ∠A=C.(6分) 20.(6分) 【答案】解：如图所示：点D即为所求 【分析】以A为顶点，BA为一边，与点C在AB的同侧作射线AD使得∠BAD=∠C,交BC于点D,则 1/10 点D即为所求 【详解】略(6分) 21.(6分) 【答案】见解析 【分析】作DE⊥BC于点E,DF⊥BA于点F,则∠BED=∠BFD=9O°，由角平分线的性质定理可得 DE=DF,证明 tADF≌RCDE(HL）,得出∠ECD=∠FHD,即可得证. 【详解】证明：如图，作DE⊥BC于点E,DF⊥BA于点F,则∠BED=∠BFD=9O° F D BD是∠ABC的平分线， :DE=DF, 在RIAADF和RtACDE中， DF=DE AD=CD, RteADF≌RtACDE(HL) .∠ECD=∠FAD ,∠DAB+∠FAD=180° :∠DAB+∠ECD=180°，即∠DAB+∠BCD=180°.(6分) 22.(8分) 【答案】(1) 证明：，AC|DF, .∠ACB=∠DFE. 在△ABC和△DEF中， 2/10 ∠ACB=∠DFE AC=DF ∠A=∠D △ABC≌△DFE(ASA) (2)8m 【分析】(I)根据平行线的性质得∠ACB=∠DFE,再根据ASA即可证得结论； (2)结合(1)利用线段的和差即可解决问题. 【详解】(1)略(4分) (2)解：：△ABC≌aDFE, .BC=EF, 即BF+CF=CE+CF, .BF=CE .BE =20m,BF =6m, CF=BE-CE-BF=BE-BF-BF=20-6-6=8(m) (8分) 23.(8分) 【答案】(1)证明：：B0⊥C0, ∠BOD+∠COE=90°， .CE⊥OA, ∴∠0CE+∠C0E=90°， ∴∠BOD=LOCE: (2)AD的长为lm 【分析】(1)利用余角的性质即可证明： (2)易得△COE≌aOBD,则有OD=CE=2m,由AD=OA-OD即可求解. 【详解】(1)证明：略；(4分) (2)解：由题意知，秋千的绳长不变，即OB=OC, 由(1)知∠BOD=∠OCE .∠BD0=∠0OEC=90°， △COE≌AOBD(AAS) 3/10 ..OD=CE=2m, AD=OA-OD=3-2=1(m) 答：AD的长为lm.(8分) 24.(10分) 【答案】(I)∠BAC的平分线AD如图所示： B (2)3 【分析】(1)根据尺规作角平分线的方法和步骤解答即可； (2)作DE⊥AC于点E,如图，根据角平分线的性质可得DB=DE,再根据三角形的面积公式求出DE 即可 【详解】(1)略；(5分) (2)解：作DE⊥AC于点E,如图， :AD平分∠BAC,∠B=90°， .DB=DE, .AC=8 S.uDc=12 2×8DE=12 1 解得DE=3, ∴DB=3 B D (10分) E 25.(10分) 【答案】(I)AD=BC (2)证明：如图1，过点C作CE⊥AO于点E,过点D作DF⊥BO,交BO的延长线于点F, 4/10 D B 图1 则∠DF0=LCE0=90°】 ∠AOB=90°」 .∠AOF=90°， :∠DOF=∠COD-∠COF=90°-∠COF,∠COE=∠AOF-∠COF=90°-∠COF ∠DOF=∠COE, 在△DOF和△COE中， I∠DFO=∠CEO, ∠DOF=∠COE, OD=OC, ∴△DOF≌aCOE(AAS) :DF =CE. SMoc= CE.OA,SAROD= LDF.OB 2 .SA40c=S△BoD (3)2 【分析】(1)证明△10D≌aB0C(SAS) 即可得证： (2)过点C作CE1A0于点E,过点D作DF1B0,交BO的延长线于点R,证明 DOF≌ACOE(AAS) 得到DF=CE,根据三角形的面积公式，即可得出结论； (3)过点D作DH⊥AE,交AE的延长线于点H,先证明△AOC≌△HD0,求出OA的长，再证明 △DHE≌△BOE,根据线段的和差关系以及全等三角形的性质，即可得出结果。 【详解】(1)解：∠AOB=∠COD, 5/10 .∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC,即∠AOD=∠BOC」 在△AOD和△BOC中， OA=OB, ∠AOD=∠BOC, OD=OC, ∴.△AOD≌△BOC(SAS) .AD=BC.(3分) (2)略(6分) (3)解：如图2，过点D作DH⊥AE,交AE的延长线于点H. D B 图2 .∠DH0=90° .∠DOH+∠ODH=90° ∠C0D=90°. .∠AOC+∠DOH=90° ∴.∠AOC=∠ODH 又：∠CA0=∠DH0=90°，OC=OD, ,△AOC≌△HDO(AAS) .AC=OH,OA=DH 1 :Sam=204DH=8, 0A2=16, .OA=4(负值舍去)， .OA=OB. :.OB=DH, 又：∠BOE=∠H=90°，LDEH=∠BEO 6/10 △DHE≌ABOE(AAS) .EH=OE, AE=5, .OE=AE-OA=5-4=1. .OH=20E=2, :AC=OH=2, 即AC的长为2.(10分) 26.(12分) 【答案】(1)8 1119 (2)t= =4或4 16 19 80 )5cm1s或5cm/s或5cm/s或9cm/s 【分析】(1)当t=2时，点P在线段AC上，则点P的运动距离即为AP的长： (2)先求出 S.ABC =24cm2 ,进而得出 S.APC =12cm2 分两种情况讨论：当点P在BC上时， CP=(4t-8)c ”,利用三角形面积公式求解即可：当点P在AB上时，过点C作CD1AB于点D,此时 1P=(24-4)cm,先利用等面积法求出CD-24。 cm,再利用三角形面积公式求解即可； (3)根据题意分情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点P、Q所走的路程，进而可求出P的运动 时间，即Q的运动时间，再利用速度=路程时间求解即可. 【详解】(1)解：由题意可知，当t=2时，点P的运动距离为2×4=8cm, AC=8cm. ,当t=2时，点P在点C处，此时AP=8Cm.(4分) (2)解：在RiABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm, 5.4c=2×6x8=24cm2 .△APC的面积等于△ABC面积的一半， 7/10 S.APC =12cm2 如图，当点P在BC上时， CP=(4t-8)cm A P 5c84-8到=12cm,解得1= 4 如图，当点P在AB上时，过点C作CD⊥AB于点D, AP=6+8+10-4t=(24-4t)cm 此时 D D S.AnC 24B-CD= X10CD=24cm2,CD=24。 -cm Se=24-44-12am,解得1= 4· 1119 综上所述，当A4PC的面积等于△ABC面积的一半，t=4或4，(8分) (3)解：设点Q的运动速度为xcm/s, ①当点P在AC上，点O在AB上时，△APO≌aDEF, E 8/10 .AP=DE=4cm AO=DF=5cm ∴.x=5÷(4÷4)=5 ②当点P在AC上，点O在AB上时，△AQP≌△DEF, .AP=DF =5cm AO=DE =4cm =454利=5 ③当点P在AB上，点O在AC上时，△APO≌△DEF, D .AP=DE =4cm AO=DF=5cm ∴.t=(6+8+10-4)÷4=5s x=(6+8+10-5)5=19 5· ④当点P在AB上，点Q在AC上时，△AQP≌aDEF, D B 9/10 ..AO=DE =4cm AP=DF=5cm 二点p的运动时间=(6+8+10-5)÷4= 4 ·x=(6+8+10-4)19-80 419· 16 19 80 综上可知，点Q的运动速度为5cm1s或5cm/s或了cm/s或9cm/s时，在两点运动过程中的某时刻， 恰好△APO与△DEF全等.(I2分) 10/10 第十四章 全等三角形 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 2．如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 3．如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点．若分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，则由作图可得，，证明，再根据全等三角形性质求解． 【详解】解：如图，连接，，， 由作图可得，，， ∵， ∴， ∴． 4．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即亮亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等． 5．如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定对各选项进行判断即可． 【详解】解：已知，， 选项A：若，根据即可证明，不符合题意； 选项B：若，根据即可证明，不符合题意； 选项C：若，其相关关系为，不可证明，符合题意； 选项D：若，根据即可证明，不符合题意． 6．如图为9个边长相等的正方形的组合图形，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，证明，推出，根据网格特点，可知，即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 由图可知，， ∴. 7．如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点C，D；以点O为圆心，大于长为半径画弧，分别交边，于点E，F；连接，，交点为G，作射线．则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题关键在于根据作图步骤提取出相等的线段（，），进而证明和，最终利用证明，从而得出平分的结论． 【详解】∵由作图可知，， ∴， 在和中， ∵ ∴（）， ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴； 在和中， ∵ ∴（） ∴， ∴， ∴选项正确． 8．如图，在中，，，D是的中点，，交的延长线于点E，与的延长线交于点F，若，则的面积为（　　） A．27 B．12 C．24 D．36 【答案】A 【分析】先证，再求出长，根据面积公式可得的面积． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， ， ， 又点为中点 ， ， ， ． 9．如图，是的角平分线，若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作于点E，于点F．由是的平分线，根据角平分线定理得到，再根据三角形的面积公式表示出与的面积之比，代入数值即可求出面积之比． 【详解】解：过点D作于点E，于点F． ∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴ ． 10．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为（     ）． A．3或 B．2或 C．2或3 D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质及动点问题，设运动时间为，表示出、、的长，根据，分和两种情况，利用全等三角形对应边相等列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，点的运动速度为cm/s， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况讨论： ①当时， ，， ∴，， 解得， ∴； ②当时， ∴，， ∴，， 解得， ∴； 综上所述，点的运动速度为或． 故选B． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．如图，已知，和，和是对应顶点．如果，，，那么_____． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴． 12．如图，小明想测量池塘两岸上A、B两点的距离．他在平地上取一点C，使测量者能从C直线走到A和B两点，在平地上延长至点D，使，延长BC至点E，使，连接．若测得米，则A，B两点间的距离为________米． 【答案】 20 【分析】根据题意利用“边角边”证明与全等，再根据全等三角形对应边相等即可求解； 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ． 13．如图，在中，，平分，，，则点到的距离为______． 【答案】4 【分析】过点D作于点E，再根据角平分线的性质“角平分线上的点到两边的距离相等”，即可进行解答． 【详解】解：过点D作于点E， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴，即点到的距离为4． 14．如图，于点，且，点在上，连接、，若要用“”直接证明，则需添加的条件是________． 【答案】 【详解】解：∵于点，且，点在上， ∴若要用“”直接证明，则需添加的条件是． 15．在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________． 【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 【详解】 解：两个完全一样的三角尺， 且， 根据角的平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上， 平分． 16．如图，的网格中，有格点．除点外有一个格点，使得与全等，这样的点最多有________个． 【答案】 【分析】借助网格作出与全等的三角形，一共可以作出三个三角形，所以符合条件的点最多有个． 【详解】解：如下图所示， 一共可以作出三个三角形与全等， 符合条件的点最多有个． 17．如图，在中，，，，交于点E，若，则的度数为_______． 【答案】/61度 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 【答案】3 【分析】如图，过作交的延长线于，证明，再证明，利用分割法和三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：如图，过作交的延长线于，   ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）如图：已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据已知由可得，故． 【详解】证明：在和中， ， ， ．（6分） 20．（6分）如图，已知，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】解：如图所示：点即为所求. 【分析】以为顶点，为一边，与点在的同侧作射线使得，交于点，则点即为所求. 【详解】略（6分） 21．（6分）如图，是的平分线，．求证：． 【答案】见解析 【分析】作于点，于点，则，由角平分线的性质定理可得，证明，得出，即可得证． 【详解】证明：如图，作于点，于点，则， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即．（6分） 22．（8分）如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可证得结论； （2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）略（4分） （2）解：∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴．（8分） 23．（8分）如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)的长为 【分析】（1）利用余角的性质即可证明； （2）易得，则有，由即可求解． 【详解】（1）证明：略；（4分） （2）解：由题意知，秋千的绳长不变，即， 由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：的长为．（8分） 24．（10分）如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 【答案】(1)的平分线如图所示： (2)3 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和步骤解答即可； （2）作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求出即可. 【详解】（1）略；（5分） （2）解：作于点E，如图， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴. （10分） 25．（10分）综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】 (1)小红看到图1后，很快发现了与间的数量与位置关系，它们的关系为 ___________． 【探究二】 (2)小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】 (3)小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)证明：如图1，过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F， 则． ∵， ∴， ， ， 在和中， ． ． ，， ； (3)2 【分析】（1）证明，即可得证； （2）过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，得到，根据三角形的面积公式，即可得出结论； （3）过点D作，交的延长线于点H，先证明，求出的长，再证明，根据线段的和差关系以及全等三角形的性质，即可得出结果． 【详解】（1）解：， ，即． 在和中， ． ．（3分） （2）略（6分） （3）解：如图2，过点D作，交的延长线于点H． ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ， ， ， （负值舍去）， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， 即的长为2．（10分） 26．（12分）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______； (2)如图①，当的面积等于面积的一半，求运动时间的值； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出点的运动速度． 【答案】(1)8 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点、所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， ∴当时，点在点处，此时．（4分） （2）解：在中，，，，， ∴． ∵的面积等于面积的一半， ∴． 如图，当点在上时，， ∴，解得． 如图，当点在上时，过点作于点， 此时， ∵， ∴． ∴，解得． 综上所述，当的面积等于面积的一半，或．（8分） （3）解：设点的运动速度为， ①当点在上，点在上时，， ，， ． ②当点在上，点在上时，， ，， ． ③当点在上，点在上时，， ，， ， ∴． ④当点在上，点在上时，， ，， ∴点的运动时间， ∴． 综上可知，点的运动速度为或或或时，在两点运动过程中的某时刻，恰好与全等．（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $