2.3 有理数的乘法 培优测试 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 本练习以“有理数的乘法”为核心，分层设计从概念辨析到综合应用，通过基础巩固、能力提升、拓展探究三阶递进，培养运算能力与推理意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|有理数乘法法则、相反数、倒数概念|选择题1-6以概念辨析为主，如“倒数等于本身的数”，夯实抽象能力| |能力提升|符号判断、运算律应用|填空题11-15结合绝对值与符号推理，解答题17-19强化运算技能，体现运算能力| |拓展探究|综合运算与实际情境|综合题20-24通过多解法对比、数值转换机等，培养推理意识与模型意识，衔接阶段测评|

2.3 有理数的乘法 培优测试 一、选择题 1．以下五个结论：①符号相反的数互为相反数；②一个有理数不是整数就是分数；③倒数等于其本身的有理数只有；④一定是负数．其中错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若与互为相反数，与互为倒数，则的结果为（　　） A．6 B．6 C．-1 D．1 3．四个互不相等的整数 ，它们的积 ，那么 等于（　　） A．0 B．8 C．-8 D． 4．如图，数轴上有①②③④四部分，已知，，则原点所在的部分为（　　） A．① B．② C．③ D．④ 5．若，则的值可表示为（　　）. A． B． C． D． 6．下列说法中正确的是（　　） A．两数相加，和一定比加数大 B．互为相反数的两个数（0 除外）的商为－1 C．几个有理数相乘，若有奇数个负数，那么它们的积为负数 D．减去一个数等于加上这个数 7．下列各式中，积为负数的是（　　） A．(－5)×(－2)×(－3)×(－7) B．(－5)×(－2)×|－3| C．(－5)×2×0×(－7) D．(－5)×2×(－3)×(－7) 8．若有理数a，b，c满足，，则a，b，c中负数的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 9．（1.25+1.25+1.25+1.25）×25×8，最简便的计算方法是（　　） A．按顺序计算 B．（1.25×8）×（25×4） C．1.25×4×25×8 D．1.25×25×4×8 10．对于有理数a，b，c，它们的乘积是正数，它们的和是负数，则（　　） A．这三个数都为正数 B．这三个数中只有一个为负数 C．这三个数都为负数 D．这三个数中只有一个数为正数 二、填空题 11．已知：，，且，则　 　． 12．数轴上顺次有不重合的A，B，C三点，若A，B，C三点对应的数分别为a，-1，b，试比较大小：（a+1）（b+1）　 　0（填“＞”或“＜”或“＝”） 13．从、、、、几个数中任取三个数相乘，所得到的最大乘积是　 　. 14．如图，5张卡片分别写了5个不同的整数，同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为，则卡片上a表示的数为　 　.（写出一个即可） 15．一座两道环路的数字迷宫如图所示，外环两个路口的数字分别为－5，4，内环两个路口的数字分别为－3，2．要想进入迷宫中心需破解密码：两个路口的数相乘，若乘积最大，沿这两个路口就可到达迷宫中心，则乘积最大的值是　 　． 16．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． （1）当小明输入4，-2这两个数时，则两次输出的结果依次为 　 　，　 　； （2）有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，聪明的你判断一下，小明输入的正整数是 　 　． 三、解答题 17．已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于，则求的值． 18．若a与b互为相反数，c与d互为倒数（c，d不为0），|m|＝3，求4a+4b﹣2cd﹣m2的值． 19．a为最小的正整数，b为a的相反数的倒数，c为相反数等于本身的数，求 的值． 四、综合题 20．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算： ，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式＝ ； 小军：原式＝ ； （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ （2）受上面解法对你的启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； （3）用你认为最合适的方法计算： . 21．已知，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 22．阅读并解答问题：学习有理数的乘法后，老师南同学思考这样道题目：计算，看谁算得又快又对． 有三位同学的解法如下： 小方：原式； 小军： ； 小红：原式 ． （1）对于以上三种解法，你认为哪位同学的解法比较简单？ （2）根据上面解法对你的启示，请用你认为最合适的方法计算：． 23．学习了有理数的乘法之后，老师出了两道例题，下面是小方的计算过程，请认真阅读并完成相应任务： （1）任务一：例1，例2都用到的运算律是　 　； （2）任务二：请你参照上述例1，例2，用运算律简便计算： ① ； ② ． 24．请你认真阅读下列材料： 计算： 解法一：因为原式的倒数= ． 所以原式， 解法二：原式 ． （1）上述得出的结果不同，肯定有错误解法，你认为哪种解法是错误的？为什么？ （2）根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目：． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数；有理数及其分类 【解析】【解答】①符号相反的数互为相反数，说法不符合题意，只有符号不同的两个数叫做互为相反数； ②一个有理数不是整数就是分数，说法符合题意； ③倒数等于其本身的有理数只有1和-1，原说法不符合题意； ④一定是负数，说法不符合题意，当时，是正数；当a＝0时，＝0，0既不是正数，也不是负数． 所以错误的有3个． 故答案为：C． 【分析】格局有理数的相关概念逐个判断即可。 2．【答案】C 【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数 【解析】【解答】解：由题意知：，， 则原式 故答案为：C． 【分析】 由与互为相反数，与互为倒数，可得，，然后整体代入计算即可. 3．【答案】A 【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则 【解析】【解答】解： 故答案为：A． 【分析】由于 ，且 是整数，所以把9分解成四个不相等的整数的积，从而可确定 的值，进而求其和． 4．【答案】C 【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数的乘法法则 【解析】【解答】解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴原点所在的部分为③， 故答案为：C． 【分析】根据数轴上的点所表示的数的特点可知a＜b＜c，进而根据几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个的时候，积为负，当负因数的个数为偶数个的时候，积为正，据此并结合已知即可得出b＜0，c＞0，从而即可得出原点所在的区域. 5．【答案】B 【知识点】有理数的乘法运算律 【解析】【解答】解：∵（-12）×5=p， ∴（-12）×6=（-12）×（5+1）=（-12）×5-12×1=P-12. 故答案为：B. 【分析】将待求式子改写成（-12）×6=（-12）×（5+1），利用乘法分配律展开，再整体代入即可得出答案. 6．【答案】B 【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则 【解析】【解答】解：A、两数相加，和不一定比加数大，故A不符合题意； B、互为相反数的两个数（0 除外）的商为－1，故B符合题意； C、几个不为0的有理数相乘，若有奇数个负数，那么它们的积为负数，故C不符合题意； D、减去一个数等于加上这个数的相反数，故D不符合题意； 故答案为：B 【分析】两个数相加，和不一定比加数大，可对A作出判断；利用互为相反数的两数商为-1（0除外），可对B作出判断；利用多个不等于0的数相乘得法则，可对C作出判断；利用有理数的减法法则，可对D作出判断. 7．【答案】D 【知识点】有理数的乘法法则 【解析】【解答】解： A、(－5)×(－2)×(－3)×(－7)＞0，故A不符合题意； B、 (－5)×(－2)×|－3|=(－5)×(－2)×3＞0，故B不符合题意； C、 (－5)×2×0×(－7)=0，故C不符合题意； D、(－5)×2×(－3)×(－7)＜0，故D符合题意； 故答案为：D 【分析】利用几个非0数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个，则积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正，再对各选项逐一判断. 8．【答案】B 【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则 【解析】【解答】解：∵ ， ∴三数均为正，或两数为负，一数为正， 当三数均为正时：，不符合题意； ∴三数中有两数为负，一数为正. 故答案为：B. 【分析】根据几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个的时候，积为负，当负因数的个数为偶数个的时候，积为正，结合abc>0可得三数均为正，或两数为负、一数为正，再由有理数的加法法则并结合a+b+c=0可得可得两数为负、一数为正或两数为正、一数为负，据此判断. 9．【答案】B 【知识点】有理数的乘法运算律 【解析】【解答】解：（1.25+1.25+1.25+1.25）×25×8=4×1.25=（1.25×8）×（25×4）. 故答案为：B 【分析】将原式转化为4×1.25×25×8，由于4×25=100，8×1.25=10，因此利用乘法结合律和交换律进行计算，由此可得最简便的计算方法的选项. 10．【答案】D 【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则 【解析】【解答】解：有理数的乘积是正数， 这三个数都是正数或这三个数中只有一个数为正数， 又有理数的和是负数， 这三个数中只有一个数为正数， 故答案为：D． 【分析】根据有理数a、b、c，它们的乘积是正数，它们的和是负数，可以得到这三个数中是两负一正，从而可以判断出哪个选项符合题意。 11．【答案】 【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法；有理数的乘法法则 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， ∴， 故答案为：-35． 【分析】由得，由确定a值，继而得解. 12．【答案】＜ 【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数的加法；有理数的乘法法则 【解析】【解答】解：数轴上顺次有不重合的A，B，C三点， （1）数轴上从左到右依次为A、B、C，则a＜-1，b＞-1， 即：a+1＜0，b+1＞0， ∴（a+1）（b+1）＜0， （2）数轴上从右到左依次为A、B、C，则a＞-1，b＜-1， 即：a+1＞0，b+1＜0， ∴（a+1）（b+1）＜0， 故答案为：＜. 【分析】根据A、B、C三点在数轴上的位置，确定a、b与−1的大小关系，进而确定（a+1）、（b＋1）的符号，再确定乘积的符号即可． 13．【答案】30 【知识点】有理数大小比较；有理数的乘法法则 【解析】【解答】解：由题意得，最大乘积为， 故答案为：30. 【分析】选取三个绝对值较大且乘积为正数的数积即得结论. 14．【答案】1（答案不唯一） 【知识点】有理数的乘法法则 【解析】【解答】解：∵5张卡片分别写了5个不同的整数， ∴a不可能为：-4，0，2，6， ∵同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为-48，且， ∴3张卡片上各数之积最小为-48时，抽取的卡片是-4，2，6， ∴a可能是1，，，. 故答案为：1（或或或）. 【分析】根据题意可得a≠0，a≠2，a≠6，a≠−4，再根据同时抽取3张，若这3张卡片上各数之积最小为−48，可得同时抽取的3张卡片为：−4，2，6，即可解答． 15．【答案】15 【知识点】有理数大小比较；有理数的乘法法则 【解析】【解答】解：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，所以两个路口的数相乘，积为正数的有4×2=8，-5×（-3）15，而15＞8，故乘积最大的值是15. 故答案为：15. 【分析】两个有理数相乘，同号得正，异号得负，而正数大于负数，故找出两个路口的数相乘，积为正数的情况，再分别计算后比较大小即可得出答案. 16．【答案】（1）1； （2）2或7 【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数；有理数大小比较；有理数的加法 【解析】【解答】解：（1）当x=4时，4＞2， ∴4+（-5）=-1＜2 ∴-1的相反数是1 1的倒数为1 ∴输出的数为1； 当x=-2时 ∴-2的相反数为2＞0 ∴2的倒数为， ∴输出的数为. 故答案为：1， （2）当按照绝对值，输出的数是2时， |-2|=2，-2的相反数是2； |2|=2，2的相反数是-2，5-（-2）=7； ∴输入的数是2或7； 当按倒数，输出的数是2时，输入的数在小于10的正整数范围内无解. 故答案为：2或7 【分析】（1）由于4＞2，因此求出4与-5的和，它的和小于2，求出4与-5的和的相反数，它的相反数为正数，然后求出其倒数，可得到输出的数；根据-2＜2，因此求出-2的相反数，它的相反数大于0，然后求出-2的相反数的倒数，即可得到输出的数. （2）分情况讨论：当按照绝对值，输出的数是2时，倒推回去，可知|-2|=2，-2的相反数是2；|2|=2，2的相反数是-2，5-（-2）=7；可得到输入的数；当按倒数，输出的数是2时，输入的数在小于10的正整数范围内无解. 17．【答案】（1）当时，原式， ， ； （2）当时，原式， ， ； 故的值为或． 【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数 【解析】【分析】由互为相反数，互为倒数，的绝对值等于，可得m+n=0，ab=1，x=3或-3，（1）将m+n=0，ab=1，x=3代入即可求值；（2）将m+n=0，ab=1，x=-3代入即可求值. 18．【答案】解：根据题意得：a+b＝0，cd＝1，m2＝9， 则原式＝4（a+b）﹣2cd﹣m2 ＝4×0﹣2×1﹣9 ＝0﹣2﹣9 ＝﹣11． 【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数 【解析】【分析】先求出a+b＝0，cd＝1，m2＝9，再将其代入4a+4b﹣2cd﹣m2计算即可。 19．【答案】解： a为最小的正整数， b为a的相反数的倒数， c为相反数等于本身的数， 【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数；有理数及其分类 【解析】【分析】根据正整数、倒数及相反数的定义分别求出a、b、c的值，然后代入计算即可. 20．【答案】（1）解：小军的解法相对来说更简便一些，所以小军的解法较好； （2）解：还有更好的解法， ； （3）解： 【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘法法则 【解析】【分析】（1） 由于小军的解法相对来说更简便一些，所以小军的解法较好 ； （2）把 写成，然后利用乘法分配律进行计算即可； （3）把 写成，然后利用乘法分配律进行计算即可. 21．【答案】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ①当时，，则； ②当时，，． （2）解：∵，，， ∴①当时，，； ②当时，，． 【知识点】绝对值及有理数的绝对值；有理数的减法法则；有理数的乘法法则 【解析】【分析】（1）先求出，，再结合，分两种情况：①当时，，②当时，，再分别求解即可； （2）先求出，，再结合，分两种情况：①当时，，②当时，，再分别求解即可。 22．【答案】（1）解：利用乘法分配律进行计算，凑整计算较简单，小红解法比较简单 （2）解：..... 【知识点】有理数的乘法运算律 【解析】【分析】（1）利用有理数的乘法运算律计算即可； （2）将代数式变形为，再利用有理数的乘法运算律计算即可。 23．【答案】（1）分配律 （2）解：①999×（－26）＝（1000－1）×（－26）＝1000×（－26）－1×（－26）＝－26000＋26＝－25974； ② ＝ ＝ ＝ ＝ 【知识点】有理数的乘法运算律 【解析】【解答】（1）任务一：观察例1，例2可知，例1，例2都用到的运算律是分配律； 【分析】（1）乘法分配律； （2）①将999化为（1000-1），然后利用分配律计算即可； ②利用分配律变形为 ，然后先算括号里，再算乘法即可. 24．【答案】（1）解：解法二错误，因为除法没有分配律，他利用了除法分配律进行计算肯定出现错误． （2）解：因为原式的倒数为 ， ， ， ， ， 所以原式． 【知识点】有理数的倒数；有理数的乘法运算律 【解析】【分析】（1）利用除法没有分配律，可作出判断； （2）利用倒数法，将原式变形为，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，接着利用乘法分配律进行计算得出结果，最后再求倒数，可求出原式的结果. 1 学科网（北京）股份有限公司 $