最大公因数与最小公倍数（课件）-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

该小学数学课件围绕倍数与因数、找因数、公因数与公倍数展开，通过回顾具体算式（如2×5=10）复习旧知，以拼12个小正方形的活动引入找因数，搭建从具体操作到抽象概念的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于注重数学眼光、思维与语言的培养，通过拼长方形活动发展几何直观，用乘法/除法算式找因数培养运算能力与推理意识，借助集合图呈现公因数与公倍数渗透模型意识。实例丰富如生活实践作业，帮助学生深化理解，也为教师提供系统教学流程与多样化方法。

03倍数与因数 找因数、公因数与公倍数 1.7.2013 同学们好！今天我们将继续探索倍数与因数的奥秘。在这节课里，我们不仅要学会如何找出一个数的所有因数，还要进一步探索如何找出两个数共同的因数和倍数，也就是公因数和公倍数。让我们一起开始今天的学习吧！ ‹#› 说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数。 回顾复习 2×5=10　　　　 3×9=27　　　　 3×1=3 10是2和5的倍数, 2和5是10的因数。 27是3和9的倍数, 3和9是27的因数。 3是1和3的倍数, 1和3是3的因数。 (教材P37)用12个小正方形拼成一个长方形，有哪几种拼法？在下面的方格纸上画一画，并与同伴交流。 探索新知 1×12＝12 2×6＝12 3×4＝12 探究新知：如何找出12的所有因数？ 🎯 课堂活动：用12个完全相同的小正方形拼成长方形，你能发现几种不同的拼法？ 01 拼法：一字排开 1 行 12 列 乘法算式：1 × 12 = 12 结论：1 和 12是12的因数 02 拼法：两行并列 2 行 6 列 乘法算式：2 × 6 = 12 结论：2 和 6是12的因数 03 拼法：三行对齐 3 行 4 列 乘法算式：3 × 4 = 12 结论：3 和 4是12的因数 汇总发现：12的所有因数为1, 2, 3, 4, 6, 12。 💡 知识点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 1.7.2013 现在，我们来思考一个问题：如何找出12的所有因数呢？我们可以通过一个拼图活动来理解。用12个小正方形拼长方形，能想出几种拼法？其实，每一种拼法对应的乘法算式，都告诉了我们12的一组因数。所以，12的因数有1, 2, 3, 4, 6, 12。 ‹#› 探索新知 如何有序找出12的全部因数？两种方法帮你忙！ 方法一：列乘法算式（成对找） 方法二：列除法算式（查整除） 12 = 1 × 12 12 = 2 × 6 12 = 3 × 4 12 ÷ 1 = 12 12 ÷ 2 = 6 12 ÷ 3 = 4 结论：12 的全部因数是 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 1.7.2013 通过刚才的活动，我们总结出了找一个数因数的两种方法。第一种是列乘法算式，想哪两个数相乘得这个数。第二种是列除法算式，用这个数去除以1, 2, 3……，如果能整除，除数和商就都是它的因数。这两种方法都能帮助我们不重复、不遗漏地找出所有因数。 ‹#› 探索新知 (教材P37)找出18的全部因数，并与同伴交流。 × ＝ 18 ÷ ＝ 18 2×9＝18 3×6＝18 18÷2＝9 18÷3＝6 18÷6＝3 18÷9＝2 18÷18＝1 18的全部因数有1、2、3、6、9、18。 1 18 1 18 观察与发现：因数的特征 📝 观察对象：12 的因数—— 列举结果为：1, 2, 3, 4, 6, 12。从这组数字中，我们能总结出因数的哪些共性特征？ 01 最小因数 所有非零自然数的最小因数恒定为1，这是因数的起点，也是所有数共有的特征。 02 最大因数 一个数的最大因数就是它本身。因数不会超过该数的数值大小，这构成了因数的上限边界。 03 个数特征 因数的个数是有限的。无论数有多大，我们总能通过列举法将其所有因数全部找出来。 💡 核心结论总结：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。这一规律适用于所有非零自然数。 1.7.2013 我们来观察一下12的因数，你有什么发现？我们发现，一个数的因数个数是有限的，其中最小的因数永远是1，而最大的因数就是它自己。这个规律适用于所有非零自然数。 ‹#› 想一想，怎样找出18的全部因数？ 方法一：列举法。 把18的因数按照从小到大的顺序排列，每两个因数之间用逗号隔开，全部写完用句号结束。具体表示如下： 18的因数有1，2，3，6，9，18。 探索新知 探索新知 方法二：集合法。 先画一个椭圆，在椭圆的下面 写上“18的因数”，再把18的 因数按照从小到大的顺序写在 椭圆内，每两个因数之间用逗 号隔开，全部写完后不再加标 点。具体表示如右图。 探索新知 ▍ 公因数与最大公因数 · 核心概念 01 什么是公因数？ 如果一个整数同时是几个整数的因数，这个整数就是它们的公因数。简单来说，就是几个数“共有的因数”。 02 什么是最大公因数？ 在两个或多个数的所有公因数中，数值最大的那个因数，就是它们的最大公因数。 03 实例解析：以 12 和 18 为例 12的因数：1, 2, 3, 4, 6, 12 | 18的因数：1, 2, 3, 6, 9, 18 它们的公因数为：1、2、3、6，其中最大的公因数是：6。 1.7.2013 现在我们来正式定义一下。几个数公有的因数，就叫做它们的公因数。在这些公因数中，最大的那个，就叫做它们的最大公因数。比如12和18的公因数是1、2、3、6，其中最大的是6，所以6就是它们的最大公因数。 ‹#› 探索新知 新知探究：什么是公倍数？密码是4和6相同倍数中最小的 线索提示：要找4和6相同倍数里最小的！先分别列出它们的倍数，再找共同的数。 4，8，12，16，20，24，… 6，12，18，24，30，… 4的倍数： 6的倍数： 共同倍数是12、24… 这就是公倍数！ 1.7.2013 认识了公因数，我们再来看看它的“兄弟”——公倍数。还是通过一个密码箱问题来引入。线索是：“密码是4和6相同倍数中最小的”。我们先分别写出4和6的一些倍数，然后找出它们共同拥有的倍数，比如12、24等等。这些共同的倍数，就叫做“公倍数”。 ‹#› 探索新知 📖 核心概念理解 1.公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 2.最小公倍数：公倍数中最小的一个（不为0），就是它们的最小公倍数。 💡 关键点：一个数的倍数无限，因此公倍数的个数也是无限的，只有最小公倍数，没有最大公倍数。 ⚡ 实例：4和6的公倍数有哪些？最小公倍数是几？ 12 第一个公倍数 24 第二个公倍数 36 第三个公倍数 12 最小公倍数 ➡ 公倍数的特点：数量无限，有最小值，无最大值 1.7.2013 同样，我们来定义一下。几个数公有的倍数，叫做公倍数。其中最小的一个，就叫做最小公倍数。比如4和6的公倍数有12、24等等，最小公倍数就是12。大家要记住，公倍数的个数是无限的，所以我们只能找到最小公倍数，找不到最大公倍数。 ‹#› 探索新知 方法学习：用集合图（韦恩图）直观呈现公因数与公倍数 集合图法 12的 因数 4,12 1,2,3,6 9,18 18的 因数 核心逻辑：相交部分是公有因数，两侧是独有因数 1.7.2013 除了列举法，我们还有一个更直观的方法——集合图法。我们用两个相交的圆圈来分别表示两个数的因数或倍数。相交的部分就是它们公有的，这样就能非常清晰地看到“公有”与“独有”的关系，从而找到最大公因数和最小公倍数。 ‹#› 巩固练习 找公因数：想一想，填一填 6的因数 8的因数 6和8的公因数 1 2 3 6 1 2 4 8 1 2 结论：6和8的公因数是 1 和 2，其中最大公因数是2 1.7.2013 现在我们来练习一下。请大家找出6和8的公因数。首先分别列出它们的因数，然后找出共同的。6和8的公因数是1和2，所以它们的最大公因数是2。大家都做对了吗？ ‹#› 巩固练习 1.想一想，填一填。 50以内 6的倍数 50以内 9的倍数 6 12 24 30 42 48 9 18 36 27 45 6和9的最小公倍数是18 1.7.2013 接下来是找公倍数的练习。请找出50以内6和9的公倍数。通过列举，我们发现它们的公倍数有18和36，所以最小公倍数是18。大家掌握了吗？ ‹#› 当堂检测 01.求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 3和6 8和10 2和7 规律速记 最大公因数： 3 2 1 取小 / 公有 最小公倍数： 6 40 14 取大 / 乘积 💡 解题锦囊：若两数是倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；若两数互质，最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积。 1.7.2013 我们来进行一次实战演练，快速求出这几组数的最大公因数和最小公倍数。大家要注意观察数字之间的关系，比如3和6是倍数关系，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。而2和7是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 ‹#› 当堂检测 题目：1路公交车每8分钟发车一次，3路公交车每6分钟发车一次。 若两路车同时发车，至少再过多少分钟会再次同时发车？ 分析：求再次同时发车的时间，即求发车时间间隔的最小公倍数。 计算：8和6的最小公倍数是24。 答：这两路公交车同时发车后，至少24分钟又会同时发车。 1.7.2013 数学知识可以帮助我们解决生活中的实际问题。比如这道题，求两路公交车再次同时发车的时间，其实就是求它们发车时间间隔的最小公倍数。8和6的最小公倍数是24，所以至少24分钟后它们会再次同时发车。 ‹#› 课堂小结 本节课核心收获：因数与公倍数的探索 01. 找一个数的因数 方法：列乘法算式（成对找）或除法算式；特征：因数个数有限，最小是1，最大是它本身。 02. 找两个数的公因数与最大公因数 方法：列举法（罗列后找公共数）、集合图法（韦恩图直观呈现）；最大公因数是公因数中最大的数。 03. 找两个数的公倍数与最小公倍数 方法：列举法、集合图法；特征：公倍数个数无限，只有最小公倍数，不存在最大公倍数。 1.7.2013 一节课很快就要结束了，让我们一起回顾一下今天的收获。我们学会了如何找一个数的因数，以及如何找两个数的公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数。希望大家能熟练掌握这些方法，并运用到实际问题中去。 ‹#› 课后作业 01 基础巩固：完成教材练习册中关于因数、公因数和公倍数的专项练习题，巩固核心概念。 02 生活实践：尝试找出家里固定电话号码的所有因数，把数学知识运用到生活观察中。 03 思维挑战：思考一个问题——如果两个数的最大公因数是1，那么它们的最小公倍数会是什么？请写出你的推理过程。 1.7.2013 最后，老师给大家留了几个课后作业。基础题帮助大家巩固知识，实践题让大家在生活中运用数学，思考题则需要大家动动脑筋。希望同学们课后积极探索，我们下节课再见！ ‹#› $