13.1 三角形的概念 暑期预习导学案 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

13.1 三角形的概念 一、学习目标 1、熟记三角形的严谨定义，分清三角形的边、顶点、内角三个基本组成元素； 2、掌握三角形的符号写法、读法，学会用小写字母表示三角形的三边、区分对边与对角； 3、掌握三角形两种分类标准：按角分类、按边长分类，明确等边三角形属于特殊的等腰三角形。 4、通过画图观察、概念辨析、小组讨论，学会把文字语言转化为几何符号语言，建立几何直观。 5、体会几何定义的严谨性，培养分类讨论思想，能辨别生活与图形中真正的三角形。 二、学习重难点 重点：三角形的概念、符号表示方法、三角形的两种分类方式 难点：理解定义中 “不在同一直线上、首尾顺次相接” 两个必要条件；区分等腰三角形各部分名称（腰、底边、顶角、底角） 三、学法指导 1、先独立自学课本内容，完成【自主预习区】； 2、画出三角形草图，结合图形理解概念，杜绝死记硬背； 3、易混的几何概念做好标记，小组合作纠错。 第一部分：课前自主预习（独学，10 分钟） 温故旧知 1、线段的定义：直线上两点间的部分叫做 ，线段有 个端点，可以度量长度。 2、角的定义：由具有公共端点的两条 组成的图形叫做角。 新知自学 知识点 1：三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫做三角形。 ⚠️ 两个必备条件，缺一不可： ① 三条线段不能在同一直线；② 必须首尾依次相接，形成封闭图形。 知识点 2：三角形的三个组成要素 1、边：围成三角形的三条线段； 2、顶点：相邻两条边的公共端点； 3、内角（简称角）：两条邻边组成的角。 知识点 3：三角形的表示方法 三个顶点标记为 A、B、C 的三角形，记作：，读作：三角形 ABC。 补充习惯写法： 在中，顶点 A 的对边 BC，用小写字母表示； 顶点 B 的对边 AC，用小写字母表示； 顶点 C 的对边 AB，用小写字母表示。 知识点 4：三角形的分类（两大标准） 分类 1：按照内角的大小划分 1、锐角三角形：三个内角全部都是锐角（小于 90°） 2、直角三角形：有且只有一个内角是直角（90°），直角的对边称为斜边 3、钝角三角形：有且只有一个内角是钝角（大于 90° 小于 180°） 分类 2：按照边长的相等关系划分 1、不等边三角形：三条边长度全都不相等； 2、等腰三角形：有两条边长度相等； 相等的两条边叫做腰，剩下的一条边叫做底边； 两条腰的夹角叫做顶角，腰与底边形成的两个角叫做底角（两个底角大小相等）； 3、等边三角形（正三角形）：三条边全部相等； ⚠️ 重要结论：等边三角形是一种特殊的等腰三角形。 第二部分：课堂合作探究 探究活动 1：概念辨析（判断对错，并说明理由） 1、三条线段相接组成的图形就是三角形。（）理由： 2、在同一条直线上的三条线段首尾相接，可以构成三角形。（）理由： 3、也可以写成、，是同一个三角形。（）理由： 探究活动 2：看图认元素 画出，标注：顶点、三条边、三个内角，标出∠A 的对边，边 AB 的对角。 探究活动 3：分类实战 把下列三角形归类： ① 三边长 3、4、5；② 三边都长 6；③ 两边长 5，底边长 7； 1、按边分： 不等边三角形：\\\\ 等腰三角形：\\\\ 等边三角形：\\\\ 2、若其中有一个角 90°，则它属于\\__三角形。 探究总结（小组归纳） 1、判断三角形的核心口诀：三线不共线，首尾紧相连； 2、三角形字母顺序可以任意调换，不改变图形本身； 3、分类不能重复、不能遗漏，等边⊂等腰。 第三部分：课堂小结与思维导图 本节课知识框架 1、三角形定义（两大条件）→ 边、顶点、内角三个元素 → △XXX 符号表示 2、两种分类方式：按角（锐、直、钝）；按边（不等边、等腰、等边） 易错点整理（必记） 1、漏掉 “不在同一直线”，是概念最常见错误； 2、等边三角形属于等腰三角形，不能把二者并列分开； 3、区分对边与对角：角对着不经过它的那条边。 课后作业布置 1、教材课后习题第一、二题，写在作业本上； 2、自己画出 3 种不同类型的三角形，标注所有元素； 3、预习下一课：三角形的三边关系。 同步作业 一．选择题 1．长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（　　） A．2米 B．4米 C．13米 D．15米 2．在△ABC中，若∠A＝90°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 3．如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别在直线AB，CD上，EF＝FG，若∠E＝∠CGF＝50°，则∠EFB的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E＝35°，则∠BAC的度数为（　　） A．40° B．45° C．60° D．70° 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（　　） A．40° B．36° C．30° D．25° 6．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 7．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40° 8．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 9．将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　） A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形 C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形 10．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD＝CD＝CE，∠ADC+∠ACD＝114°，则∠DFC的度数为何？（　　） A．114 B．123 C．132 D．147 二．填空题 1．如图，AB∥CD，CD＝DE，若∠A＝40°，则∠C的度数为 　 　 ． 2．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD为底边上的高．点E在线段AD上，连接BE．若△ABE是等腰三角形，则∠ABE＝　 　 °． 3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为　 　 ． 4．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为　 　 （度）． 5．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝　 　 度． 三．解答题 1．如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D． 2．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE． 3．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F． （1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数； （2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD∠B． 4．观察以下图形，回答问题： （1）图②有　 　 个三角形；图③有　 　 个三角形；图④有　 　 个三角形；…猜测第七个图形中共有　 　 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有　 　 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 参考答案与试题解析 一．选择题 1．【解答】解：设第三根木料的长度为x米， 根据三角形的三边关系，得8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 2．【解答】解：∵∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故选：B． 3．【解答】解：∵EF＝FG， ∴∠EGF＝∠E＝50°， ∵∠CGF＝50°， ∴∠CGH＝∠CGF+∠EGF＝100°， ∵AB∥CD， ∴∠GHF+∠CGH＝180°， ∴∠GHF＝80°， ∴∠EFB＝∠GHF﹣∠E＝80°﹣50°＝30°． 故选：A． 4．【解答】解：∵AE∥BD， ∴∠CBD＝∠E＝35°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBA＝70°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠CBA＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°． 故选：A． 5．【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵CD＝DA， ∴∠C＝∠DAC， ∵BA＝BD， ∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B， 设∠B＝α， 则∠BDA＝∠BAD＝2α， 又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°， ∴α+2α+2α＝180°， ∴α＝36°， ∴∠B＝36°， 故选：B． 6．【解答】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角． 故选：D． 7．【解答】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）65°； 当50°是底角时亦可． 故选：C． 8．【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG， ∴∠CGD+∠CDG＝60°． ∵CG＝CD， ∴∠CGD＝∠CDG＝30°． ∵∠CDG＝∠DFE+∠E， ∴∠DFE+∠E＝30°． ∵DF＝DE， ∴∠E＝∠DFE＝15°． 故选：C． 9．【解答】解：如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形． 如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形． 如图，直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形． 因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形． 综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形． 故选：C． 10．【解答】解：∵BD＝CD＝CE， ∴∠B＝∠DCB，∠E＝∠CDE， ∵∠ADC+∠ACD＝114°， ∴∠BDC+∠ECD＝360°﹣114°＝246°， ∴∠B+∠DCB+∠E+∠CDE＝360°﹣246°＝114°， ∴∠DCB+∠CDE＝57°， ∴∠DFC＝180°﹣57°＝123°， 故选：B． 二．填空题 1．【解答】解：AB∥CD，∠A＝40°， ∴∠D＝∠A＝40°， 在△DCE中，CD＝DE， ∴∠C＝∠DEC， 由三角形内角和定理得：∠C+∠DEC+∠D＝180°， ∴2∠C+40°＝180°， ∴∠C＝70°． 故答案为：70°． 2．【解答】解：如图： ∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD为底边上的高， ∴∠BAE∠BAC＝40°， ∵∠AEB＞∠BDE＝90°，△ABE是等腰三角形， ∴∠AEB是等腰三角形的顶角， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠BAE＝40°． 故答案为：40． 3．【解答】解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D． ①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°， 底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°； ②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°， 此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°． 所以等腰三角形底角的度数是63°或27°． 故答案为：63°或27°． 4．【解答】解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y． ∵AE＝AC， ∴∠ACE＝∠AEC＝x+y， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y． 在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°， ∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°， 解得x＝45°， ∴∠DCE＝45°． 故答案为：45． 5．【解答】解：∵AC＝AD＝DB， ∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C， 设∠ADC＝α， ∴∠B＝∠BAD， ∵∠BAC＝102°， ∴∠DAC＝102°， 在△ADC中， ∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°， ∴2α+102°180°， 解得：α＝52°． 故答案为：52． 三．解答题 1．【解答】证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD， ∴∠ABC＝∠CBD+∠D， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠D， ∴∠ABC＝∠D+∠D＝2∠D， 又∵∠C＝∠ABC， ∴∠C＝2∠D． 2．【解答】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P． ∵AB＝AC， ∴BP＝PC； ∵AD＝AE， ∴DP＝PE， ∴BP﹣DP＝PC﹣PE， ∴BD＝CE． 3．【解答】解：（1）∵∠AFD＝155°， ∴∠DFC＝25°， ∵DF⊥BC，DE⊥AB， ∴∠FDC＝∠AED＝90°， 在Rt△FDC中， ∴∠C＝90°﹣25°＝65°， ∵AB＝BC， ∴∠C＝∠A＝65°， ∴∠EDF＝360°﹣65°﹣155°﹣90°＝50°． （2）连接BF ∵AB＝BC，且点F是AC的中点， ∴BF⊥AC，∠ABF＝∠CBF∠ABC， ∴∠CFD+∠BFD＝90°， ∠CBF+∠BFD＝90°， ∴∠CFD＝∠CBF， ∴∠CFD∠ABC． 4．【解答】解：（1）图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）∵图②有3个三角形，3＝2×2﹣1； 图③有5个三角形，5＝2×3﹣1； 图④有7个三角形，7＝2×4﹣1； ∴第n个图形中有（2n﹣1）个三角形． 故答案为3，5，7，13，（2n﹣1）． 学科网（北京）股份有限公司 $