精品解析：重庆市求精中学校2025—2026学年度下期期末考试八年级数学试题

2025—2026学年度下期期末考试八年级数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1、试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个正八边形窗户的图片，它的每一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 水稻研究小组从两块试验田分别抽取了200株稻穗进行单株称重，现要选出稻穗生长更均衡的试验田，需要关注样本的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 函数（k为常数，）的图象过点，则k的值是（ ） A. B. C. D. 2 6. 某城市9月份空气质量指数的箱线图如图所示，这个月空气质量指数的上四分位数是（ ） A. 40 B. 50 C. 80 D. 110 7. 已知中，，点D是的中点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 8. 在平面直角坐标系中，一束光线沿直线经点反射后与y轴交于点C，再反射后与直线重合，则直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，为延长线上一点，点是点关于的对称点，连接，，若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某茶叶专卖店春茶上市后连续七天的销量（盒）为：43，50，46，53，50，56，50，这组数据的众数为______． 12. 已知n为整数，且，则______． 13. 某公司招聘考试分笔试和面试两部分，某应聘者的笔试成绩为90分，面试成绩为80分．若笔试成绩和面试成绩按计算，则该应聘者的成绩为______． 14. 如图是刘徽证明勾股定理的“青朱出入图”，利用将图形分割后再拼接，面积不变的性质，这是我国古代“出入相补法”的基本思想．已知图中四边形，四边形，四边形均为正方形．若，，则______． 15. 菱形中，与交于点O，于点E，交于点F，且，则______；G在上，，若，则______． 16. 如图1，矩形中，，点E在上，点F由点B出发沿方向运动到点D．设点F的运动路程为x，．图2是y随x变化的函数图象，由此可得______；______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2） 18. 小红在学习菱形的过程中，发现可以利用等腰三角形构造菱形．请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，用尺规在的下方作，在上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：中，，，． 求证：四边形是菱形． 证明：∵， ∴① ． ∵， ∴② ． ∴． ∵③ ， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，已知该汽车平均每千米耗油． （1）该问题中的常量与变量分别是什么； （2）直接写出与的函数关系式及自变量x的取值范围； （3）汽车行驶时，油箱中还剩多少汽油？ 20. 如图，中，点E在边上，，点F在上，． （1）求证：； （2）若，，平分，求的长． 21. 2025年两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．目前，国际上常用身体质量指数（）来衡量人体肥胖程度以及是否健康，其计算公式是（）．中国成人的分类标准如下： 中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）本次共抽查______人，并补全条形统计图； （2）抽取的员工肥胖程度的中位数属于______类别； （3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划，员工小张身高，值为，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉多少？（结果四舍五入，精确到） 22. 如图，点O为矩形的对角线的中点，，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度沿方向运动：同时点Q从点D出发以每秒个单位长度沿向点A运动，连接，．设运动时间为x秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，瞭望台A与三个观察点B，C，D在同一平面内，点B在点A的正南方向16千米处，点D在点A的南偏东方向16千米处，点D与点C相距10千米，点在点的正东方向．（参考数据：） （1）求点B与点C之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）某时刻，甲、乙两无人机分别在观察点B和C处结束任务后准备分别沿和方向返回瞭望台．已知乙无人机的速度是甲的2倍．当两无人机相距5千米时，它们开始相互传送信号，求此时甲无人机离B处多少千米．（结果保留小数点后一位）？ 24. 如图，直线（k是常数，）与直线交于点，点F在线段上． （1）求直线的函数表达式； （2）若的面积为6，求点F的坐标： （3）在（2）的条件下，将直线向下平移后经过点F，并且与y轴交于点G，点P在直线上，且，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 25. 已知：四边形中，，，，，点E为的延长线上一动点，交于点F． （1）如图1，若平分，求证：； （2）如图2，于点H，交于点G，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，点P在上，点Q是线段的中点，若，，直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下期期末考试八年级数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1、试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴二次根式的被开方数需满足非负条件，即， 解得． 2. 如图是一个正八边形窗户的图片，它的每一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式  求出正八边形的内角和，再除以边数即可得到每个内角的度数． 【详解】解：正八边形的内角和为， ∴每个内角的度数为 ． 3. 下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于自变量的每一个确定的值，因变量都有唯一确定的值与其对应． 【详解】解：A、对于自变量的每一个确定的值，因变量的值不唯一，不符合题意； B、对于自变量的每一个确定的值，因变量的值不唯一，不符合题意； C、对于自变量的每一个确定的值，因变量的值唯一，符合题意； D、对于自变量的每一个确定的值，因变量的值不唯一，不符合题意 ． 4. 水稻研究小组从两块试验田分别抽取了200株稻穗进行单株称重，现要选出稻穗生长更均衡的试验田，需要关注样本的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了统计量的选择，掌握方差的意义是解题的关键．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义判断即可． 【详解】解：要选出稻穗生长更均衡的实验田， 需要关注数据的方差． 故选：D． 5. 函数（k为常数，）的图象过点，则k的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入正比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：∵ 正比例函数的图象过点， ∴ 点满足解析式， 将，代入解析式，得， 解得． 6. 某城市9月份空气质量指数的箱线图如图所示，这个月空气质量指数的上四分位数是（ ） A. 40 B. 50 C. 80 D. 110 【答案】C 【解析】 【分析】由箱线图的概念求解即可． 【详解】解：由箱线图可得，上四分位数（又称第三四分位线）为． 7. 已知中，，点D是的中点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由勾股定理得到． 【详解】解：在中，，点D是的中点，， ∴， ∴ ． 8. 在平面直角坐标系中，一束光线沿直线经点反射后与y轴交于点C，再反射后与直线重合，则直线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用点坐标求出直线的解析式，根据光的反射原理，即入射光线与反射光线关于反射面所在直线对称，依次求出点与点的坐标，从而确定直线的表达式． 【详解】解：延长交y轴于点E，延长交x轴于点F，如图， ∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即点， ∵光线在x轴上的点处反射得到直线， ∴直线与直线关于x轴对称， ∴点， ∵光线在y轴上的点处反射得到直线， ∴直线与直线关于y轴对称， ∴点， 设直线的函数表达式为， 将点与点代入， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为． 9. 如图，正方形中，为延长线上一点，点是点关于的对称点，连接，，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据正方形性质和轴对称性质可得，利用等腰三角形的性质和三角形内角和求出，再根据对称的性质求出，最后得出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，，  ∵为延长线上一点， ∴，  ∵点是点关于的对称点， ∴，，，，  ∴，  ∴，  在中，，  ∵，  ∴，  ∴，  ∵，  ∴，  ∴，  ∵，  ∴，  在中，， ∴，  在中，，  ∴． 10. 已知代数式，，且，，其中a，b，c，d，m，n，x均为正整数，且x是开方开不尽的数，下列说法： ①若，则； ②若，，则存在两组m，n满足条件； ③当时，存在满足条件的a，b，c，d使． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的性质，等式中整数与无理数的系数对应相等，逐项推导即可判断． 【详解】①，，若， ，整理得， 均为正整数，开方开不尽，是无理数， ，即 ，， ，可得， 故不存在正整数同时满足和，故①错误． ②若，，代入得，整理得， 左边是正整数乘无理数，结果为无理数，右边是正整数的和，结果为有理数， 无理数不等于有理数， 不存在满足条件的，故②错误． ③当时，，展开得， ， ， 是正整数， ，得，同理， ，不存在正整数满足等式，故③错误． 综上，三个说法均错误，正确个数为． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 某茶叶专卖店春茶上市后连续七天的销量（盒）为：43，50，46，53，50，56，50，这组数据的众数为______． 【答案】 【解析】 【分析】统计每个数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可得到结果． 【详解】解：根据题意，统计各数据出现次数： 出现次，出现次，出现次，出现次，出现次， 因此这组数据的众数为． 12. 已知n为整数，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出的结果，再估算所得无理数的大小，即可得到整数的值. 【详解】解：， ，即， n为整数，且， ． 13. 某公司招聘考试分笔试和面试两部分，某应聘者的笔试成绩为90分，面试成绩为80分．若笔试成绩和面试成绩按计算，则该应聘者的成绩为______． 【答案】84 【解析】 【分析】由加权平均数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，该应聘者的成绩为． 14. 如图是刘徽证明勾股定理的“青朱出入图”，利用将图形分割后再拼接，面积不变的性质，这是我国古代“出入相补法”的基本思想．已知图中四边形，四边形，四边形均为正方形．若，，则______． 【答案】34 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，，利用同角的余角相等证明，再结合证明，从而得出，求出正方形的边长，最后在中利用勾股定理求出即可得到正方形的面积． 【详解】解：四边形，四边形，四边形为正方形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，， ． 15. 菱形中，与交于点O，于点E，交于点F，且，则______；G在上，，若，则______． 【答案】 ①. ##60度 ②. 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，平分和，结合平行线的性质和已知条件，求出的度数，进而求出；根据菱形的性质和判定为等边三角形，利用三线合一求出的长，在中求出的长，进而求出和的长，过点作于点，构造，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：四边形是菱形， ，，平分和， ，， ， ， ． ， ， ， 又， ∴， ∴， ； 四边形是菱形，， ，，，， ，， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ，是等边三角形， ， 在中，， ， ∴ 解得（负值舍去）， ∴． ． ， ． 过点作于点，如图， 在中，， ，， ． 在中，． 16. 如图1，矩形中，，点E在上，点F由点B出发沿方向运动到点D．设点F的运动路程为x，．图2是y随x变化的函数图象，由此可得______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由图2可知，当点F与点B重合时，，即，据此可得；当点F与点D重合时，，即；由矩形的性质得到，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由图2可知，当时，， ∴当点F与点B重合时，，即， ∵， ∴； 由图2可知，当时，， ∴当点F与点D重合时，，即； ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴，即． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照先算乘方、乘除，再算加减的顺序，以及二次根式化简计算即可； （2）运用二次根式化简、完全平方公式、单项式乘多项式法则即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 小红在学习菱形的过程中，发现可以利用等腰三角形构造菱形．请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，用尺规在的下方作，在上截取，连接（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知：中，，，． 求证：四边形是菱形． 证明：∵， ∴① ． ∵， ∴② ． ∴． ∵③ ， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴四边形是菱形． 【答案】（1） （2）；；， 【解析】 【分析】（1）根据要求，尺规作图即可； （2）根据等边对等角，等量代换，进行作答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少，已知该汽车平均每千米耗油． （1）该问题中的常量与变量分别是什么； （2）直接写出与的函数关系式及自变量x的取值范围； （3）汽车行驶时，油箱中还剩多少汽油？ 【答案】（1）常量为汽车油箱中汽油，平均每千米耗油，变量为行驶路程，油箱中剩余的油量 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据常量与变量的定义求解； （2）根据油箱中的油量耗油量列函数关系式即可； （3）将代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， ∴汽车行驶时，油箱中还剩汽油． 20. 如图，中，点E在边上，，点F在上，． （1）求证：； （2）若，，平分，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，得到，利用，即可得证； （2）根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，再根据线段的和差关系进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 21. 2025年两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略．国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动．目前，国际上常用身体质量指数（）来衡量人体肥胖程度以及是否健康，其计算公式是（）．中国成人的分类标准如下： 中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了两幅不完整的统计图． 根据以上信息回答下列问题： （1）本次共抽查______人，并补全条形统计图； （2）抽取的员工肥胖程度的中位数属于______类别； （3）基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划，员工小张身高，值为，他想通过健身减重使自己的值达到正常，则他的体重至少需要减掉多少？（结果四舍五入，精确到） 【答案】（1）20；如图， （2）偏胖 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图，先计算出样本的容量，再计算抽取的员工中偏胖的人数，最后补充图形即可； （2）根据求中位数的方法，计算即可； （3）根据计算公式，代入计算即可． 【小问1详解】 解：抽取员工总人数为（人）， 则抽取的员工中偏胖的人数为（人）； 条形图略． 【小问2详解】 解：抽取的员工的肥胖程度按照从偏瘦至肥胖排列，则中位数落在第10，11个人的类别，而第10，11个人均为偏胖类别，故中位数属于偏胖类别； 【小问3详解】 解：（）， 则他的体重至少需要减掉． 22. 如图，点O为矩形的对角线的中点，，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度沿方向运动：同时点Q从点D出发以每秒个单位长度沿向点A运动，连接，．设运动时间为x秒，的面积为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）函数，的图象如图所示 由图可知函数∶在时，y随x增大而增大；在时，y随x增大而减小；当时，y有最大值3． 函数∶在0<x<7时，y随x增大而增大． （3） 【解析】 【分析】（1）分为点P在边和边两种情况讨论得出的面积，结合三角形面积公式得出的面积； （2）根据两个函数的表达式画图象，再根据图象说出函数，的性质即可； （3）观察图象可得结论． 【小问1详解】 解：当点P在边上时，在上作， 点O为矩形的对角线的中点， ，． 为的中位线． ． ． ， ． 当点P在边上时，在上作， 点O为矩形的对角线的中点， ，． 为的中位线． ．． ． ， ． ． 点Q从点D出发以每秒个单位长度沿向点A运动， ． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：由图可知，两个函数相交时， 即，解得． 时，x的取值范围． 23. 为加强森林防火，某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况．如图，瞭望台A与三个观察点B，C，D在同一平面内，点B在点A的正南方向16千米处，点D在点A的南偏东方向16千米处，点D与点C相距10千米，点在点的正东方向．（参考数据：） （1）求点B与点C之间的距离（结果保留小数点后一位）； （2）某时刻，甲、乙两无人机分别在观察点B和C处结束任务后准备分别沿和方向返回瞭望台．已知乙无人机的速度是甲的2倍．当两无人机相距5千米时，它们开始相互传送信号，求此时甲无人机离B处多少千米．（结果保留小数点后一位）？ 【答案】（1）点B与点C之间的距离为千米 （2）此时甲无人机离B处千米 【解析】 【分析】（1）易得为等边三角形，得到，进而得到，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可； （2）设甲无人机离B处千米时，两无人机相距5千米，设两架无人机所处位置分别为，则，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可. 【小问1详解】 解：由图和题意，可知，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 过点作于点E，则， 在中，由勾股定理得， ∴； 答：点B与点C之间的距离为千米； 【小问2详解】 解：如图，设甲无人机离B处千米时，两无人机相距5千米，设两架无人机所处位置分别为，则， ∵乙无人机的速度是甲的2倍， ∴， ∴， 作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， 整理，得， ∴， ∴， 解得或； 当时，，不符合题意，舍去； 答：此时甲无人机离B处千米. 24. 如图，直线（k是常数，）与直线交于点，点F在线段上． （1）求直线的函数表达式； （2）若的面积为6，求点F的坐标： （3）在（2）的条件下，将直线向下平移后经过点F，并且与y轴交于点G，点P在直线上，且，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）； （2）； （3）解：设平移后的直线的解析式为，由（2）知：， ∴，解得， ∴， ∴当时，，当时，， ∴， 设直线与轴的交点为，则， 由（2）可知：， ∴， ∴，， 作交于点，交轴于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴当时，解得， ∴； 设直线的解析式为， 则，解得， ∴， ∴当时，， 则直线与轴的交点为， 将沿着轴翻折，点的对称点为，则， ∴当点为直线和直线的交点时，也满足题意， 同法可得直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 综上：或. 【解析】 【分析】（1）先求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，进行求解即可； （3）先求出平移后的直线的解析式，进而求出点的坐标，作交于点，交轴于点，8字型图，得到，等积法求出的长，作，等积法求出的长，即可得到点纵坐标，代入解析式求出点坐标，将直线沿轴翻折后，可得到另一个点的坐标. 【小问1详解】 解：把点代入，得， ∴， 把代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，，当时，； ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，， ∴； 【小问3详解】 略 25. 已知：四边形中，，，，，点E为的延长线上一动点，交于点F． （1）如图1，若平分，求证：； （2）如图2，于点H，交于点G，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在（2）的条件下，点P在上，点Q是线段的中点，若，，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）证明：∵平分，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，，， ∴， 延长，交于点，则， ∵于点H， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，即可得出结果； （2）延长，交于点，证明，得到，证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换，即可得出结论； （3）取的中点，连接，根据斜边上的中线求出的长，取的中点，连接，，得到，进而得到当三点共线时，线段的值最小，作，三角形的中位线定理求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 由（2）可知，， 又∵， ∴， 取的中点，连接， ∵于点H， ∴， 取的中点，连接，， 则，， ∴当三点共线时，线段的值最小， ∵点Q是线段的中点， ∴， 作， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $