精品解析：北京市昌平区2025－2026学年第二学期初一年级期末质量抽测 数学（第一组）

昌平区2025—2026学年第二学期初一年级期末质量抽测 数学（第一组） 本试卷共6页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下图中，和互为对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有C中属于对顶角. 2. 下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ） A. 调查某班全体同学的身高情况 B. 调查某型号手机的使用寿命 C. 调查某水库中鱼的种类情况 D. 调查市场上销售的某种蔬菜农药残留情况 【答案】A 【解析】 【分析】解题思路是根据调查的范围，操作难度，是否有破坏性，判断适宜的调查方式，全面调查适合容量小，易实施，无破坏性的调查． 【详解】解：A选项调查某班全体同学的身高，调查范围小，易操作，无破坏性，适宜全面调查； B选项调查手机使用寿命，调查具有破坏性，不适宜全面调查； C选项调查某水库中鱼的种类，调查范围大，难以完成全面调查，不适宜全面调查； D选项调查市场蔬菜农药残留情况，调查范围大，不适宜全面调查． 3. 某超市统计了三类商品某天的销售金额占比分别为：食品，日用品，文具，在绘制扇形统计图过程中，计算各部分对应圆心角的度数如下，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各部分所占的百分比得到对应部分所得的扇形圆心角的度数即可得到答案． 【详解】解：根据食品所占百分比为，得对应圆心角的度数为； 日用品所占百分比为，得对应圆心角的度数为； ∴选项D正确，故选D． 4. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去同一个整式，不等号方向不变， ∴由可得，A选项正确； ∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴由可得，B选项错误； ∵当且时，但， ∴不一定成立，C选项错误； ∵不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变， ∴由可得，D选项错误． 5. 若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则，得到关于和的方程，解方程即可得到结果. 【详解】解：，且， ， 解得， ，且， ， 解得， ∴，. 6. 某种新型纳米涂层的厚度为米．将5层这样的涂层叠加，总厚度用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】先计算5层涂层的总厚度，再将结果整理为符合规范的科学记数法，科学记数法的标准形式为，要求满足. 【详解】解：∵ 一层涂层厚度为米， ∴ 5层涂层总厚度为：， 即总厚度用科学记数法表示为米. 7. 已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】两个方程组解相同，说明公共解满足所有方程，先利用第一个方程组消元求出x，再代入第二个方程组的第二个方程求出y，最后计算得到n的值． 【详解】解： 得， ∵关于x，y的二元一次方程组和的解相同， ∴把代入得， 解得， ∴． 8. 某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（ ） A. 甲是后卫，乙年龄最小 B. 乙是后卫，丙年龄最小 C. 甲是后卫，丙年龄最小 D. 乙是后卫，乙年龄最小 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干给出的条件，逐步排除得到每个人的位置和年龄大小关系即可判断选项． 【详解】解：∵ 甲、乙、丙对应中锋、前锋、后卫三个不同位置，已知条件： 1. 后卫比丙年龄大，可得后卫不是丙； 2. 中锋和乙不同岁，可得中锋不是乙； 3. 乙比前锋年龄小，可得乙不是前锋； ∴ 乙既不是中锋也不是前锋，因此乙是后卫。 ∵ 乙是后卫，后卫比丙年龄大， ∴ 乙的年龄大于丙的年龄； 又∵ 乙比前锋年龄小， ∴ 前锋年龄大于乙的年龄； 得到年龄关系：前锋乙丙，因此丙年龄最小． 综上，乙是后卫，丙年龄最小，选项B正确． 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 用不等式表示“m的2倍大于7”为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据题意表示出的2倍，再结合不等关系列出不等式即可. 【详解】解：的2倍可表示为，题目要求表示出该式大于7， 因此可得不等式. 10. 如图，请添加一个条件，使得，这一条件可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理进行求解即可． 【详解】解：添加条件，可以由同位角相等，两直线平行得到， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 命题“若，那么”的逆命题是：_____；该逆命题是一个 _____命题（填真或假）． 【答案】 ①. 若，那么 ②. 真 【解析】 【分析】根据逆命题的概念写出逆命题，再根据绝对值的性质判断真假． 【详解】解：命题“若，那么”的逆命题是： “若，那么”， 该逆命题是一个真命题， 故答案为：若，那么，真． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，逆命题，解题的关键是掌握利用绝对值的性质判断命题真假． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 已知，用含y的代数式表示x，得______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 14. 王清同学将11个数据录入表格并排序，计算中位数为，平均数为，事后核对发现，他将其中一个数据“22”错录成了“33”，修正后得到的中位数，平均数，则有______（用“>”“=”或“<”填空）______（用含的式子表示）. 序号 数据 1 16 2 17 5 21 6 21 10 27 11 33 中位数 平均数 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据中位数的定义，11个已排序数据的中位数为第6个数据，修正错误数据不改变第6个数据的值，可得到中位数的关系，再根据平均数的定义计算修正后的平均数即可. 【详解】解： 共有个已排序的数据， 中位数为排序后的第个数据，将错录的修正为后，数据排序不改变第个数据的值， ，原数据总和为， 修正后总和为， . 15. “今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱一百，乙得甲太半（即）而钱亦一百．问甲、乙持钱各几何？”意思是：甲、乙两人各有一些钱，如果甲得到乙所有钱的，那么甲共有100钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有100钱．设甲持有x钱，乙持有y钱，根据题意可列二元一次方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱100．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱100”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲持有x钱，乙持有y钱， 根据题意，得． 16. 阅读材料，并填空： 索菲·杰曼是18世纪法国著名女数学家，被誉为“数学花木兰”． 她猜想并证明了“（，且m为自然数）一定是合数”．为了纪念她的发现，后人称为杰曼合数．她的证明过程就是对二项式进行因式分解．此二项式既没有公因式可提，也不能直接利用公式．她发现该二项式可化为平方和形式：，与完全平方式“”对比，缺少了中间项“”．于是原式加上，为了不改变原式的值再减去，原式变为，化简得到（______），最后利用平方差公式再进行一次因式分解，可得______，由此得证：当且为自然数时，一定能化为两个非“1”整数乘积的形式，所以一定是合数． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，利用完全平方公式把前面三项分解因式即可；第二空，利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 三、解答题（共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算乘方，负整数指数幂，零次幂，绝对值，再合并即可. 【详解】解： . 18. 先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 19. 解不等式，并把解集表示在数轴上． 【答案】，画图如下： 【解析】 【分析】根据题意先移项，再合并同类项，未知数系数化为1，即可得到解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 画图略． 20. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解方程即可. 【详解】解：， ，得， 解得：， 将代入①，得 解得， ∴方程组的解为． 21. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 22. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点均为小正方形的顶点．现将三角形平移，使的中点平移到点，点，，的对应点分别是点，，． （1）画出平移后的三角形； （2）连接，，这两条线段之间的位置关系是______，数量关系是______； （3）平移过程中线段所扫过的面积为______． 【答案】（1） （2）平行，相等 （3）27 【解析】 【分析】（1）根据题意，确定平移的方向和距离，结合平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质可得答案； （3）由平移的性质，利用割补法计算即可． 【小问1详解】 解：由题意知，是向右平移5个单位长度，向上平移1个单位长度得到的， 作图：略； 【小问2详解】 解：由平移的性质得：，． 【小问3详解】 解：线段所扫过的面积为：． 23. 昌平区某校新增了甲、乙、丙三门校本课程，为了解学生对这三门课程的满意度，从每门课程的学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（分值为0~10的整数），并对数据进行了整理，描述和分析．下面给出了部分信息． a．课程乙的学生满意度评分统计图： b．课程丙的学生满意度评分： 9 8 7 7 10 7 x 7 10 8 c．三门课程的满意度评分的平均数和中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 6.6 7 乙 8.0 m 丙 8.0 7.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全信息a中的统计图； （2）信息c中m的值为______，信息b中x的值为______； （3）按照如下方法评估这三门课程： 首先比较平均数，平均数较大者学生满意度更高； 若平均数相等，则比较中位数，中位数较大者学生满意度更高； 若平均数和中位数均相等，则比较高于平均分人数，高于平均分人数较多者学生满意度更高． 按照这种评估方法，三门课程中满意度最低的是课程______，最高的是课程______（用“甲”“乙”或“丙”填空）． 【答案】（1）在统计图中8分位置补画高度为1的条形即可。 （2）7.5；7 （3）甲；乙 【解析】 【分析】（1）补全课程乙的统计图：因为总抽取人数为10人，所以用总人数减去已知分值对应的人数，得到分值8分的人数，即可补全统计图． （2）求课程乙的中位数：先将课程乙的10个评分从小到大排列，因为数据个数为偶数，所以中位数是第5个和第6个数据的平均数，计算得到．求课程丙的：先根据丙的平均数为8.0，利用平均数公式列方程，计算的数值；再结合丙的中位数为7.5，验证的取值是否符合中位数的定义． （3）评估三门课程满意度：首先比较三门课程的平均数，找出平均数最小的课程即为满意度最低的；如果平均数相等，再比较中位数，中位数大的满意度更高；若中位数也相等，统计两门课程高于平均分的人数，人数多的满意度更高． 【小问1详解】 解：乙课程共抽取10名学生，现有各分值人数和为 ， 因此分值为8分的人数为 ． 【小问2详解】 解：求：将乙的10个评分从小到大排序，第5个数是7，第6个数是8，中位数 ． 求：丙课程平均数为8，总评分为 ， ∵9个评分和为 ， 因此 ． 故，． 【小问3详解】 解：根据规则：比较平均数： 甲平均数 ，因此甲满意度最低。 乙和丙平均数相等，比较中位数： 乙中位数丙的中位数7.5， 继续比较高于平均分（8分）的人数： 乙：高于8分的是9分1人、10分3人，共人； 丙：高于8分的是9分1人、10分2人，共人； 乙高于平均分的人数更多，因此乙满意度最高． 故满意度最低的是，最高的是． 24. 如图，点，分别在线段，的延长线上，直线与，交于点，，，，求证：． 证明：∵直线交于点， ______． ， ______． ______（______）．（填推理的依据） （______）．（填推理的依据） ， ______． ． 【答案】；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；． 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质，补充各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】略 25. 某种植园需要Ⅰ、Ⅱ两种型号的化肥．Ⅰ型化肥需用原料A，B按进行配制；Ⅱ型化肥需用原料A，C按进行配制，原料A现有200千克，需要购入原料B，C，完成配制任务，若购入原料B，C共计470千克，配制完成后所有原料刚好用完．求购入的原料B，C各多少千克． 【答案】购入的原料B为千克，原料C为千克． 【解析】 【分析】设购入的原料B为x千克，原料C为y千克，根据购入原料B，C共计470千克可得方程，根据Ⅰ型化肥需用原料A，B按进行配制；Ⅱ型化肥需用原料A，C按进行配制可得方程，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设购入的原料B为x千克，原料C为y千克， 由题意得，， 解得， 答：购入的原料B为千克，原料C为千克． 26. 通常用表示不大于x的最大整数，如：，，，． （1）______； （2）在解关于x的方程时，张宏同学的思考过程如下： 设不大于x的最大整数为a，即；，可得b的取值范围：______． 则原方程可以改写为： 整理得： 变形为： ， ． 解得：． 为整数， ______，，即______． （3）仿照（2）中张宏同学的解法，解关于x的方程． 【答案】（1） （2） ；； （3） 或. 【解析】 【分析】（1）根据新定义作答即可； （2）根据新定义，不等式组的整数解，解一元一次方程，进行作答即可； （3）仿照（2）的方法，进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：b的取值范围：； ∵，且为整数， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设，为整数，，其中， 将其代入方程得， 整理得，变形得， ， ， 解得， 为整数， ∴或， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上：或. 27. 如图，，射线交，于点E，G，点P是射线上一点，连接，． （1）如图1，点在线段上，求证：； （2）与的平分线分别是和， ①如图2，点在线段上，和交于点，猜想与的关系，并证明； ②点在何处时，，并证明． 【答案】（1）证明：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． （2）①，证明如下： 由（1）得，， 同理可证：， ∵与的平分线分别是和， ∴，， ∴． ②如图，当点为射线与射线的交点时，，证明如下： ∵， ∴， ∵与的平分线分别是和， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点作，则，由平行线的性质可得，，再根据即可得证； （2）①由（1）得，，同理可证，再根据角平分线的定义可得；②当点为射线与射线的交点时，，由平行线的性质得，再根据角平分线的定义得，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 对于数轴上的点和线段，线段上存在点使得，则称点对应的数为线段的“邻数”．点，在数轴上对应的数分别为和． （1）对于， ①线段，，中，是线段______的邻数； ②当，是线段的邻数时，求的取值范围； （2）当，且关于的方程的解是线段的邻数时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）① ② （2）或 【解析】 【分析】（1）①直接根据定义逐一验证三条线段：计算到每条线段上所有点的最小距离，最小距离小于或等于的线段就满足邻数要求，直接得到结果． ②先根据写出线段的数的取值范围，将邻数条件转化为距离等于的两个候选点至少有一个落在该范围内，列不等式组求解后得到的范围． （2）先解给定的一元一次方程得到关于的表达式，再结合写出线段的取值范围，将邻数条件转化为两个候选点至少一个落在取值范围内，分别列不等式组求解得到最终的的取值范围． 【小问1详解】 解：① ②解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为， 因为是线段的邻数，所以线段上存在点使得， 在数轴上，距离为的点有和， 所以线段必须包含或， 若线段包含，则 解得， 若线段包含，则 解得， 综上，的取值范围为； 【小问2详解】 解：由得， ， ， ，所以线段表示的数为到， 因为是线段的邻数， 所以线段上存在点使得到距离为1， 即线段包含或， 即线段包含或， 当线段包含时， 解得，， 当线段包含时， 解得，， 综上，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平区2025—2026学年第二学期初一年级期末质量抽测 数学（第一组） 本试卷共6页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下图中，和互为对顶角的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ） A. 调查某班全体同学的身高情况 B. 调查某型号手机的使用寿命 C. 调查某水库中鱼的种类情况 D. 调查市场上销售的某种蔬菜农药残留情况 3. 某超市统计了三类商品某天的销售金额占比分别为：食品，日用品，文具，在绘制扇形统计图过程中，计算各部分对应圆心角的度数如下，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 某种新型纳米涂层的厚度为米．将5层这样的涂层叠加，总厚度用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则n的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（ ） A. 甲是后卫，乙年龄最小 B. 乙是后卫，丙年龄最小 C. 甲是后卫，丙年龄最小 D. 乙是后卫，乙年龄最小 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 用不等式表示“m的2倍大于7”为______． 10. 如图，请添加一个条件，使得，这一条件可以是________． 11. 命题“若，那么”的逆命题是：_____；该逆命题是一个 _____命题（填真或假）． 12. 因式分解：______． 13. 已知，用含y的代数式表示x，得______． 14. 王清同学将11个数据录入表格并排序，计算中位数为，平均数为，事后核对发现，他将其中一个数据“22”错录成了“33”，修正后得到的中位数，平均数，则有______（用“>”“=”或“<”填空）______（用含的式子表示）. 序号 数据 1 16 2 17 5 21 6 21 10 27 11 33 中位数 平均数 15. “今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱一百，乙得甲太半（即）而钱亦一百．问甲、乙持钱各几何？”意思是：甲、乙两人各有一些钱，如果甲得到乙所有钱的，那么甲共有100钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有100钱．设甲持有x钱，乙持有y钱，根据题意可列二元一次方程组为______． 16. 阅读材料，并填空： 索菲·杰曼是18世纪法国著名女数学家，被誉为“数学花木兰”． 她猜想并证明了“（，且m为自然数）一定是合数”．为了纪念她的发现，后人称为杰曼合数．她的证明过程就是对二项式进行因式分解．此二项式既没有公因式可提，也不能直接利用公式．她发现该二项式可化为平方和形式：，与完全平方式“”对比，缺少了中间项“”．于是原式加上，为了不改变原式的值再减去，原式变为，化简得到（______），最后利用平方差公式再进行一次因式分解，可得______，由此得证：当且为自然数时，一定能化为两个非“1”整数乘积的形式，所以一定是合数． 三、解答题（共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：已知，求代数式的值． 19. 解不等式，并把解集表示在数轴上． 20. 解方程组： 21. 解不等式组： 22. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点均为小正方形的顶点．现将三角形平移，使的中点平移到点，点，，的对应点分别是点，，． （1）画出平移后的三角形； （2）连接，，这两条线段之间的位置关系是______，数量关系是______； （3）平移过程中线段所扫过的面积为______． 23. 昌平区某校新增了甲、乙、丙三门校本课程，为了解学生对这三门课程的满意度，从每门课程的学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（分值为0~10的整数），并对数据进行了整理，描述和分析．下面给出了部分信息． a．课程乙的学生满意度评分统计图： b．课程丙的学生满意度评分： 9 8 7 7 10 7 x 7 10 8 c．三门课程的满意度评分的平均数和中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 6.6 7 乙 8.0 m 丙 8.0 7.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全信息a中的统计图； （2）信息c中m的值为______，信息b中x的值为______； （3）按照如下方法评估这三门课程： 首先比较平均数，平均数较大者学生满意度更高； 若平均数相等，则比较中位数，中位数较大者学生满意度更高； 若平均数和中位数均相等，则比较高于平均分人数，高于平均分人数较多者学生满意度更高． 按照这种评估方法，三门课程中满意度最低的是课程______，最高的是课程______（用“甲”“乙”或“丙”填空）． 24. 如图，点，分别在线段，的延长线上，直线与，交于点，，，，求证：． 证明：∵直线交于点， ______． ， ______． ______（______）．（填推理的依据） （______）．（填推理的依据） ， ______． ． 25. 某种植园需要Ⅰ、Ⅱ两种型号的化肥．Ⅰ型化肥需用原料A，B按进行配制；Ⅱ型化肥需用原料A，C按进行配制，原料A现有200千克，需要购入原料B，C，完成配制任务，若购入原料B，C共计470千克，配制完成后所有原料刚好用完．求购入的原料B，C各多少千克． 26. 通常用表示不大于x的最大整数，如：，，，． （1）______； （2）在解关于x的方程时，张宏同学的思考过程如下： 设不大于x的最大整数为a，即；，可得b的取值范围：______． 则原方程可以改写为： 整理得： 变形为： ， ． 解得：． 为整数， ______，，即______． （3）仿照（2）中张宏同学的解法，解关于x的方程． 27. 如图，，射线交，于点E，G，点P是射线上一点，连接，． （1）如图1，点在线段上，求证：； （2）与的平分线分别是和， ①如图2，点在线段上，和交于点，猜想与的关系，并证明； ②点在何处时，，并证明． 28. 对于数轴上的点和线段，线段上存在点使得，则称点对应的数为线段的“邻数”．点，在数轴上对应的数分别为和． （1）对于， ①线段，，中，是线段______的邻数； ②当，是线段的邻数时，求的取值范围； （2）当，且关于的方程的解是线段的邻数时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $