专题01 空间向量及其运算（七大考点精讲）-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01 空间向量及运算 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、空间向量的基本概念 2 知识点2、空间向量的线性运算 3 知识点3、空间向量的数量积运算 4 三、探究重点难点 5 重难点题型1 空间向量的有关概念 5 重难点题型2 空间向量的加法、减法与数乘 7 重难点题型3 空间向量的线性运算 9 重难点题型4 空间向量的共线或共面 12 重难点题型5 空间向量的数量积 15 重难点题型6 平行的应用 17 重难点题型7 垂直的应用 19 四、突破热点题型 23 知识点1：空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或． （2）零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为单位向量． （3）相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 知识点2：空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点3：空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 重难点题型1 空间向量的有关概念 例1.（24-25高二上·辽宁·周测）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念、判定空间向量共面 【分析】根据零向量、单位向量、相等向量、共面向量的概念及性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误； 对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误； 对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误； 对于D，若空间中的四点不共面，则向量不共面，故是空间的一组基底，故D正确. 故选：D. 例2.（24-25高二上·安徽合肥·期中）（多选题）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量共线的判定 【分析】根据共线向量以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 1.下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 2.（24-25高二上·陕西汉中·周测）（多选题）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 重难点题型2 空间向量的加法、减法与数乘 例3.（24-25高二上·四川成都·周测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】. 故选：C. 例4.如图，在正六棱柱中.    （1）化简： ； （2）化简： . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】由题意，根据空间向量的线性运算分别计算即可求解. 【详解】（1） . （2） 故答案为： 1.运算的结果是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】利用向量加减、数乘运算律化简即可. 【详解】. 故答案为： 2.（24-25高二下·安徽六安·月考）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量加法的法则、空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的加法法则判断． 【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 重难点题型3 空间向量的线性运算 例5.（24-25高二下·江苏南京·期末）在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用空间向量的线性运算，分析即得解. 【详解】 由题意，. 故选：D. 例6.（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得： ． 故选：D 1.（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果. 【详解】∵点为中点， ∴， ∴. 故选：B. 2.（24-25高二上·山西大同·期中）如图，在四面体中，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】根据空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】由题意得，， ， ∴. 故选：C. 重难点题型4 空间向量的共线或共面 例7.（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 例8.下列条件中，使点与点一定共面的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】利用空间共面向量定理以及其推论，看等式右边系数和是否为1，可判断A,B,C;根据空间向量共面定理即可判断D,得出正确答案． 【详解】对于可得，，由空间共面向量定理知，M、A、B、C一定共面，故A正确， 对于可知，系数和不为1，故M、A、B、C不共面，故B错； 对于，系数和 ，故M、A、B、C不共面，故C错； 对于，可得，系数和不为1，根据空间向量共面的推论可知M、A、B、C不共面，故D错； 故选：A. 例9.（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量共线的判定 【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误； 对于B，，，， 又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误； 对于C、D，若，，，四点共面， 则有， ，即，故， 故，，，四点共面，C错误，D正确. 故选：D. 1.与向量共线的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间向量共线的判定 【解析】直接利用空间向量共线的性质判断即可. 【详解】因为不存在实数使得 ，，， 所以，，都不与共线， 因为， 所以与向量共线的向量是， 故选：D. 2.在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】法一：根据空间向量运算结合共面向量定理即可得到相关方程组，解出即可；法二：利用四点共面的结论即可. 【详解】法一：由题意， ，， 因为，，共面， 所以存在实数唯一实数对，使得， 即， 所以，解得． 法二：由，，共面得四点共面， 则根据四点共面的充要条件可得，，即． 故答案为：. 3．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【详解】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 重难点题型5 空间向量的数量积 例10.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、求空间向量的数量积 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 因为为单位向量，，， 所以， 所以， 故选：B 例11.（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案. 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得. 故选：D. 1.（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 2.已知，在方向上的投影为，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】由投影向量的计算公式可得，再由数量积的定义即可得出答案. 【详解】在方向上的投影为， ， ． 故答案为：. 重难点题型6 平行的应用 例12.空间向量共线的充要条件对任意两个空间向量，的充要条件是存在实数，使 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量共线的判定 【详解】由题可知： 例13.（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则 . 【答案】/22.5 【难度】0.94 【知识点】空间向量共线的判定 【分析】利用向量平行，计算即可求解. 【详解】因为向量，分别是直线的方向向量，且， 所以， 所以，解得：， 所以， 故答案为：. 1.（23-24高二上·安徽·周测）已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据空间向量共线求解即可； 【详解】因为，所以， 解得：， 所以. 故选：B. 2.已知，，若向量，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据向量，共线的坐标表示计算即可求解. 【详解】向量， ， 解得：或. 故答案为：或. 重难点题型7 垂直的应用 例14.（24-25高二上·上海·期末）在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点满足，则 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】由题意可得，，利用计算即可. 【详解】因为平面，平面，所以，， 所以，， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 例15.（24-25高二上·江西宜春·月考）如图，在三棱锥中，平面，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解. 【详解】因为平面，面， 所以，所以， 又，所以， . 故答案为：. 1.（24-25高二下·福建宁德·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求空间向量的数量积 【分析】由题意设为为中点，，故问题转换为求的最大值即可. 【详解】 设三棱锥的外接球的球心为， ，，两两垂直，且，则； 三棱锥的外接球的半径为 为的中点，为的中点，，设为为中点，则 ，   ， 要使取到最大值，则必须达到最大，则、、三点要共线， 且满足，故 故选：D. 2.（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为为6. 故选：B. 1．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 2．（24-25高二上·北京·周测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量加减法法则计算． 【详解】由题意， 故选：C． 3．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用空间向量的加法运算，结合平行六面体计算即得. 【详解】在平行六面体中，==. 故选：C 4．（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用向量的线性运算法则，，进而可得答案. 【详解】由已知得，， . 故 故选：A 5．（24-25高二上·江西抚州·期末）如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】利用空间向量的运算法则求解即可. 【详解】如图所示： . 故选：C. 6．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理及体积法求点到平面距离求解. 【详解】由，且，得点在平面内， 因此的最小值即为点到平面的距离，即三棱锥底面上的高， 长方体中，，， 等腰底边上的高，， 由，得，即，解得， 所以的最小值为. 故选：D 7．（24-25高二上·安徽铜陵·月考）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 8．已知空间向量满足，则与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据已知有，应用向量数量积的定义及运算律求夹角即可. 【详解】由题设，则，故， 所以，，可得. 故选：C 9．（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【详解】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 10．（24-25高三下·重庆·周测）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】由平面向量基本定理可得，再由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2， 则， 所以 . 故选：D 11．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】依题意，有，，设， 则 ． 故选:B． 12．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量共线的判定、判定空间向量共面 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 13．（21-22高二上·福建三明·开学考试）若向量与不共线且，，，则（    ） A．，，共线 B．与共线 C．与共线 D．，，共面 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量共线的判定、判定空间向量共面 【分析】利用空间向量共线定理和共面定理判断. 【详解】因为，即，即， 又与不共线，所以共面，故D正确A错误； 因为，所以与不共线，与不共线，故BC错误； 故选：D 14．设是空间不共面的四点，且满足，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、垂直关系的向量表示 【分析】利用余弦定理证明的内角都为锐角即可. 【详解】设， 因为， 所以， 因此 从而， 即的三个内角都为锐角，因此是锐角三角形， 故选：. 15．（23-24高二下·云南保山·开学考试）（多选题）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据相等向量的有关概念判断． 【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错， 故选：BCD． 16．（多选题）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即可. 【详解】A：，如下图，，    由的关系不定，则不一定在面上，满足； B：，如下图，此时满足上式，      此时，M与A，B，C不共面，满足； C：因为，所以，所以M，A，B，C共面，不满足. D：，如下图，      此时，M与A，B，C不共面，满足； 故选：ABD 17．（多选题）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用 【分析】方法一：根据向量共面定理可得存在唯一一组数，使得，可得，根据选项依次列方程组求解可判断. 方法二：根据共面定理的推论可得. 【详解】方法一：若，，，四点共面，则存在唯一一组数，使得， 则， 整理可得， 对A，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故A错误； 对B，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故B正确； 对C，若，则，解得，符合，可以得到，，，四点共面，故C正确； 对D，若，则，方程组无解，不能得到，，，四点共面，故D错误. 故选：BC. 方法二：根据共面定理的推论可得，若，，，四点共面， 则对于空间中任意一点，有，且满足， 则由选项可得只有BC满足. 故选：BC. 18．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则 .    【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量数乘运算的几何表示 【分析】利用空间向量的加减运算法则求解. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 19．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、求空间向量的数量积 【分析】根据向量的线性运算和数量积的定义与运算法则求解. 【详解】如图所示，    . 故答案为： 20．（2025·全国·模拟预测）在空间四边形中，，，且，平面，则棱的长为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、空间向量数量积的应用 【分析】根据题意可得，且，结合数量积的运算律求模长. 【详解】因为平面，平面，则，， 且，，， 可得， 又因为，则， 可得，所以. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量及运算 目录 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、空间向量的基本概念 2 知识点2、空间向量的线性运算 3 知识点3、空间向量的数量积运算 4 三、探究重点难点 5 重难点题型1 空间向量的有关概念 5 重难点题型2 空间向量的加法、减法与数乘 6 重难点题型3 空间向量的线性运算 7 重难点题型4 空间向量的共线或共面 8 重难点题型5 空间向量的数量积 9 重难点题型6 平行的应用 10 重难点题型7 垂直的应用 11 四、突破热点题型 12 知识点1：空间向量及其加减运算 （1）空间向量 在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的 或 ．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作 ，其模记为 或． （2）零向量与单位向量 规定长度为 的向量叫做零向量，记作 ．当有向线段的起点与终点重合时，． 模为1的向量称为 ． （3）相等向量与相反向量 方向 且模 的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量． 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为． （4）空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， 知识点2：空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向 ；当时，向量与向量方向 ．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做 向量或 向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使 ． （5）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 知识点3：空间向量的数量积运算 （1）两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作 ． （2）数量积定义 已知两个非零向量，，则 叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． （3）空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． 重难点题型1 空间向量的有关概念 例1.（24-25高二上·辽宁·周测）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 例2.（24-25高二上·安徽合肥·期中）（多选题）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 1.下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2.（24-25高二上·陕西汉中·周测）（多选题）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 重难点题型2 空间向量的加法、减法与数乘 例3.（24-25高二上·四川成都·周测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 例4.如图，在正六棱柱中.    （1）化简： ； （2）化简： . 1.运算的结果是 ． 2.（24-25高二下·安徽六安·月考）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 重难点题型3 空间向量的线性运算 例5.（24-25高二下·江苏南京·期末）在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 例6.（24-25高二下·广东·期中）已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 1.（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 2.（24-25高二上·山西大同·期中）如图，在四面体中，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 重难点题型4 空间向量的共线或共面 例7.（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 例8.下列条件中，使点与点一定共面的为（    ） A． B． C． D． 例9.（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 1.与向量共线的向量是（    ） A． B． C． D． 2.在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ． 3．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 重难点题型5 空间向量的数量积 例10.（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 例11.（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 1.（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 2.已知，在方向上的投影为，则 ． 重难点题型6 平行的应用 例12.空间向量共线的充要条件对任意两个空间向量，的充要条件是存在实数，使 ． 例13.（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知向量，分别是直线，的方向向量，若，则 . 1.（23-24高二上·安徽·周测）已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．9 D． 2.已知，，若向量，则实数的取值范围为 ． 重难点题型7 垂直的应用 例14.（24-25高二上·上海·期末）在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点满足，则 . 例15.（24-25高二上·江西宜春·月考）如图，在三棱锥中，平面，则 ． 1.（24-25高二下·福建宁德·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2.（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 1．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 2．（24-25高二上·北京·周测）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平行六面体（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·福建漳州·期中）如图在平行六面体中，、相交于，为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江西抚州·期末）如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽铜陵·月考）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 8．已知空间向量满足，则与的夹角为（   ） A．30° B．45° C．60° D．90° 9．（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三下·重庆·周测）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 11．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 13．（21-22高二上·福建三明·开学考试）若向量与不共线且，，，则（    ） A．，，共线 B．与共线 C．与共线 D．，，共面 14．设是空间不共面的四点，且满足，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 15．（23-24高二下·云南保山·开学考试）（多选题）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 16．（多选题）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 17．（多选题）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 18．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则 .    19．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 20．（2025·全国·模拟预测）在空间四边形中，，，且，平面，则棱的长为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$