专题01 空间向量及其运算（十二大题型精练）-2025-2026学年高二数学上学期秋季讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1 空间向量及其运算 题型1 空间向量的概念 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 2．（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念、零向量与单位向量、判断命题的真假 【分析】根据空间向量的定义，逐个命题进行判断即可. 【详解】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，故②为真命题； 对于③，根据向量相等的定义，明显成立，故③为真命题； 对于④，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故④为假命题. 故选：B 3．（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 4．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）（多选题）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【难度】0.94 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 5．（24-25高二上·安徽合肥·期中）（多选题）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量共线的判定 【分析】根据共线向量以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 6．（23-24高二下·云南保山·开学考试）（多选题）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】空间向量的有关概念 【分析】根据相等向量的有关概念判断． 【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错， 故选：BCD． 题型2 空间向量的加法、减法运算 7．（24-25高二下·安徽六安·阶段练习）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量加法的法则、空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的加法法则判断． 【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 8．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量加减法法则计算． 【详解】由题意， 故选：C． 9．（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 10．（24-25高二上·陕西安康·期中）（多选题）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可逐项判断得解. 【详解】因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线性质可知，故A正确； 若可得，由图可知不共线，矛盾，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 11．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则 .    【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、空间向量的加减运算 【分析】利用空间向量的加减运算法则求解. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 题型3 空间向量的线性运算 12．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【详解】连接， 由题意，得． 故选：D 13．（24-25高二上·重庆·期末）在正四面体中，过点P作四面体的高PO，用向量，，表示（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】由正四面体的性质可得为重心，则有，再借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】在正四面体中，为正三角形，则点为重心， 故，故， 故. 故选：B. 14．（24-25高二上·天津·阶段练习）如图，在直三棱柱中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】由空间向量线性运算即可求解. 【详解】由题意可得 . 故选：B 15．（多选题）已知三棱锥分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、空间向量的数乘运算、空间向量加减运算的几何表示、空间向量的加减运算 【分析】根据三角形内中点的结论及向量加法、减法的三角形法则逐个分析选项即可得出答案. 【详解】如图，因为为的中点，所以，故选项A正确； ，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D正确. 故选：ABD. 16．（多选题）如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且：，设，则下列选项正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据向量的加法与减法运算计算即可. 【详解】因为是的中点， 所以， 因为点在上，且：， 所以 , 故选：AD 17．（23-24高二下·安徽·开学考试）（多选题）如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形计算即可求解. 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：， 又， 所以，故C错误； D：，故D正确． 故选：BD 题型4 由空间向量的线性运算求参数范围 18．（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解. 【详解】如图，， ， ，. 故选：C. 19．（24-25高二下·河南·阶段练习）（多选题）如图，在正方体中，，M为棱的中点，动点P满足，其中，，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为4 B．若，则点P在平面上 C．若，则点M到平面的距离为定值1 D．若点N为外接圆的圆心，则 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、空间共线向量定理的推论及应用、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】将用表示，再根据数量积的运算律即可判断A；根据平面向量共线定理的推论即可判断B；连接，证明平面，进而可判断C；取的中点，连接，再根据数量积的几何意义即可判断D. 【详解】对于A， ， 所以 ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为4，故A正确； 对于B，连接， 若，则三点共线， 因为，所以共面， 所以点P在平面上，故B正确； 对于C，连接，则，且互相平分， 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为， 因为M为棱的中点， 所以点M到平面的距离为，故C错误； 对于D，如图，取的中点，连接，则， 所以，故D正确. 故选：ABD. 20．（23-24高二上·广东·期末）（多选题）如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与平面的夹角正切值为 D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求线面角、线面垂直证明线线垂直、求空间向量的数量积、棱柱及其有关计算 【分析】对于A：直接求解判断；对于B：通过证明面来判断；对于C：为直线与平面的夹角，计算其正切值即可；对于D：分别求出，，然后利用公式计算即可. 【详解】对于A：因为， 所以， 则，A错误； 对于B：因为，为线段中点， 所以， 又面面，面面，面， 所以面，又面， 所以，B正确； 对于C：因为面， 所以面， 所以为直线与平面的夹角， 又，C正确； 对于D： ， 又， 所以，D错误. 故选：BC. 题型5 空间向量的平行（或共线） 21．（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量共线的判定 【分析】根据（）可得，进行判断. 【详解】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意. 故选：C 22．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 23．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】根据题意可得存在，使得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则存在，使得， 即， 则，解得，， 所以. 故选：B. 24．已知，，且，那么 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量共线的判定、由空间向量共线求参数或值 【分析】由已知中，，且，根据向量平行（共线）的充要条件，我们可得存在，使，构造方程组求出，x，y后，即可求出答案. 【详解】解：，，又， 则存在，使，即， 解得，，，， 故答案为：. 25．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知，若，则的值为 . 【答案】5 【难度】0.94 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】由向量平行的坐标表示计算可得，即可得答案. 【详解】由可知，因此， 即可得， 所以. 故答案为：5 题型6 由空间向量的共线求参数范围 26．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知两个向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】利用向量共线定理，可得的值，即可得到结果. 【详解】向量，且，则存在实数，使得， 即，所以,解得, 故， 故选：B 27．已知非零向量不共线，则使与共线的k的值是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】应用向量平行结合平面向量基本定理计算求参. 【详解】若与共线，则． 因为非零向量不共线，所以即，所以． 故答案为： 题型7 空间向量的共面 28．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案. 【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 29．已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量共线的判定、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误； 对于B，，，， 又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误； 对于C、D，若，，，四点共面， 则有， ，即，故， 故，，，四点共面，C错误，D正确. 故选：D. 30．已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】因为向量共面，所以存在实数使得， 即 所以，解得，. 故选：C． 31．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知，，，若，，三向量共面，则（    ） A．18 B． C． D．6 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用空间向量共面的条件建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意知，即， 故有，，， 解得，故B正确. 故选：B. 32．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】向量，，共面，存在实数，使得，即． ，． 故选：D． 33．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据空间向量共面定理列出方程组计算可得结果. 【详解】若，，三个向量共面，则存在实数满足， 即， 所以， 解得，，. 故答案为： 34．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】空间向量共面求参数、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】根据空间向量基本定理判断向量共面，可得解. 【详解】由题知， 即 又，，，四点共面， 所以，解得. 故答案为：. 35．（24-25高二上·天津滨海新·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间向量共面求参数 【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得. 【详解】在四面体中，不共面， 因为，所以， 若、、、四点共面，则, 所以. 故答案为：. 36．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】根据向量共面的性质来求解的值.若三个向量，，共面，则存在实数，使得，然后根据向量相等的性质列出方程组，进而求解. 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 题型8 求空间向量的数量积 37．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案. 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得. 故选：D. 38．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】依题意，有，，设， 则 ． 故选:B． 39．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、求空间向量的数量积 【分析】根据向量的线性运算和数量积的定义与运算法则求解. 【详解】如图所示，    . 故答案为： 40．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为， 又，，所以， 所以. 故答案为： 题型9 利用空间数量积求夹角、模 41．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 42．（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、求空间向量的数量积 【分析】由得到，由数量积的定义即可求解； 【详解】 由，得，所以，即， 于是， 所以． 故选：C 43．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积 【分析】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由题意可得，， 所以，向量两两夹角为， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得， 因为， 故 ， 因此，. 故选：D. 44．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求解. 【详解】如图： ， ． 故选：B． 45．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）如图，在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据空间向量加法的几何意义及数量积的运算律整理化简，即可得答案. 【详解】由题设，易知，且， . 故选：C 46．（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【详解】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 47．（24-25高二下·甘肃张掖·期中）若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】应用向量数量积的运算律求向量的模即可. 【详解】由. 故答案为：3 48．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且（）．则线段的长的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】面面垂直证线面垂直、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】结合面面垂直的性质定理与线线垂直的性质定理可得，则可设，，结合向量线性运算可得；结合向量模长与数量积的关系，计算可得. 【详解】因为四边形正方形，故，而平面平面， 平面平面，平面，故平面， 而平面，故． 设，则，其中， 由题设可得： ； ，故， 当且仅当即时等号成立，故 故答案为： 49．（23-24高一下·湖北十堰·阶段练习）已知空间向量、满足，，，则向量、的夹角为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】利用空间向量的垂直关系求出的值，再利用空间向量数量积求出，结合向量夹角的取值范围可求得结果. 【详解】因为空间向量、满足，，， 则，可得， 所以，， 因为，故， 所以，向量、的夹角为. 故答案为：. 50．（24-25高三上·贵州遵义·开学考试）在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/0.5 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】利用向量的数量积可求异面直线与所成角的余弦值. 【详解】设，则，且. 而，而， 故 ， 故 故答案为：. 51．（23-24高三上·四川成都·期末）已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间向量数量积的应用 【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【详解】， ， ， 底面ABCD为平行四边形，所以， 所以， . 所以， 故异面直线与的夹角的余弦值为:， 故答案为： 题型10 空间向量垂直的应用 52．（24-25高二上·上海·期中）已知，空间向量，．若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解. 故答案为： 53．已知向量，，且，则x的值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量数量积的应用 【分析】根据给定条件利用空间向量垂直的坐标表示计算作答. 【详解】因向量，，且，则有，解得， 所以x的值为. 故答案为： 54．（23-24高二上·天津武清·期中）已知空间向量且 与相互垂直，则实数λ的值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量数量积的应用 【分析】根据空间向量数量积公式表示向量垂直关系计算即可得出λ. 【详解】因为与相互垂直， 所以, 所以. 故答案为: 题型11 空间向量数量积的应用 55．如图，在长方体中，设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积 【分析】根据长方体的结构特征及，应用向量数量积的运算律求值. 【详解】由长方体的性质知，，，，， 所以． 故选：A 56．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、求空间向量的数量积 【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 故选：B. 57．（24-25高二上·浙江台州·开学考试）（多选题）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】利用向量数量积的定义分别求解即可. 【详解】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC. 58．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、求空间向量的数量积 【分析】设，连接，根据向量的线性运算法则，化简得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以. 故答案为：. 59．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知正方体的棱长为1，与平面的交点为，则 ． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积、空间向量的加减运算、证明线面垂直 【分析】由题意首先得而，三点共线，故只需分别求出即可. 【详解】由题意以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为正方体棱长为1，所以，， 所以， 所以， 又因为面， 所以面， 又因为面， 所以， 由正方体的性质容易得到， 而在直角三角形中，有， 所以由等面积法有， 所以，， 所以. 故答案为：1. 60．已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】先利用空间向量的数量积运算性质求得，，关于的表达式，再由两向量夹角为钝角得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为， 所以，，， 故， ， ， 因为向量与的夹角为钝角， 所以，即， 则， 解得，即. 故答案为：. 题型12 求空间向量的投影向量 61．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、求空间向量的数量积 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 因为为单位向量，，， 所以， 所以， 故选：B 62．（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、求空间向量的数量积 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 63．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据题意，求得，结合，代入即可求解. 【详解】直线l的方向向量为和， 可得， 则向量直线l上的投影向量的坐标为 . 故选：D. 64．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积 【分析】根据题意可得，根据数量积的运算律结合向量投影的定义运算求解. 【详解】因为与的夹角为，，，则， 则， 所以在方向上的投影为． 故答案为：1. 65．（20-21高二上·海南海口·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求投影向量、求空间向量的数量积 【解析】设向量在向量上的投影向量是，由题意可得，求得实数的值，即可得解. 【详解】设向量在向量上的投影向量是， 由题意可得，即，解得， 因此，向量在向量上的投影向量是. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 空间向量及其运算 题型1 空间向量的概念 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②在正方体中，必有； ③若空间向量满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等； 其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）（多选题）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 5．（24-25高二上·安徽合肥·期中）（多选题）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 6．（23-24高二下·云南保山·开学考试）（多选题）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 题型2 空间向量的加法、减法运算 7．（24-25高二下·安徽六安·阶段练习）如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·陕西安康·期中）（多选题）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 11．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，则 .    题型3 空间向量的线性运算 12．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·重庆·期末）在正四面体中，过点P作四面体的高PO，用向量，，表示（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·天津·阶段练习）如图，在直三棱柱中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 15．（多选题）已知三棱锥分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 16．（多选题）如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且：，设，则下列选项正确的为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·安徽·开学考试）（多选题）如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． 题型4 由空间向量的线性运算求参数范围 18．（2025·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 19．（24-25高二下·河南·阶段练习）（多选题）如图，在正方体中，，M为棱的中点，动点P满足，其中，，则下列结论正确的是（   ） A．的最小值为4 B．若，则点P在平面上 C．若，则点M到平面的距离为定值1 D．若点N为外接圆的圆心，则 20．（23-24高二上·广东·期末）（多选题）如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与平面的夹角正切值为 D． 题型5 空间向量的平行（或共线） 21．（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 23．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 24．已知，，且，那么 . 25．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知，若，则的值为 . 题型6 由空间向量的共线求参数范围 26．（24-25高二上·北京大兴·期末）已知两个向量，且，则（    ） A． B． C． D． 27．已知非零向量不共线，则使与共线的k的值是 ． 题型7 空间向量的共面 28．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 29．已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 30．已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．8 B．9 C．10 D．11 31．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）已知，，，若，，三向量共面，则（    ） A．18 B． C． D．6 32．（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．7 B．8 C．9 D．10 33．（24-25高二上·上海嘉定·期中）已知，，是不共面向量，，，，若，，三个向量共面，则实数 . 34．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知，，，三点不共线，为平面外任意一点．若．且，，，四点共面，则实数 ． 35．（24-25高二上·天津滨海新·期中）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ． 36．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 题型8 求空间向量的数量积 37．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 40．（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 题型9 利用空间数量积求夹角、模 41．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 42．（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．3 B． C． D． 44．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 45．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）如图，在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 46．（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25高二下·甘肃张掖·期中）若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 48．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且（）．则线段的长的最小值为 ． 49．（23-24高一下·湖北十堰·阶段练习）已知空间向量、满足，，，则向量、的夹角为 . 50．（24-25高三上·贵州遵义·开学考试）在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 51．（23-24高三上·四川成都·期末）已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 题型10 空间向量垂直的应用 52．（24-25高二上·上海·期中）已知，空间向量，．若，则 ． 53．已知向量，，且，则x的值为 . 54．（23-24高二上·天津武清·期中）已知空间向量且 与相互垂直，则实数λ的值为 . 题型11 空间向量数量积的应用 55．如图，在长方体中，设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 56．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 57．（24-25高二上·浙江台州·开学考试）（多选题）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 58．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 59．（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知正方体的棱长为1，与平面的交点为，则 ． 60．已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ． 题型12 求空间向量的投影向量 61．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 62．（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 63．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线的方向向量为，则向量在直线上的投影向量坐标为（    ） A． B． C． D． 64．已知向量与的夹角为，，，则在方向上的投影为 ． 65．（20-21高二上·海南海口·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$