精品解析：湖南岳阳市平江县2025-2026学年下学期期末教学质量监测高一数学试题

平江县2026年上学期教学质量监测 高一数学 考生注意：所有答案请务必填写在答题卡上，时量120分钟，满分150分． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. ，既不垂直也不平行 D. ，的位置关系不确定 3. 使式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. ，且 4. 已知，是第三象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 等边三角形的边长为，如果，，，那么（ ） A. B. C. D. 6. 一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 某单位职工进行了体检，其中体重（单位：）体检结果统计如下表格： 男性 女性 单位职工 人数 30 18 48 平均数 64 56 n 方差 151 m 169 则（ ） A. 157 B. 159 C. 162 D. 165 8. 的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设复数（为虚数单位，），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，为纯虚数 B. 一定是实数 C. 的最小值为2 D. 在复平面内对应点的轨迹是圆 10. 已知向量，，满足，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 11. 在体积为的正四棱锥中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（ ） A. B. 二面角的余弦值为 C. 正四棱锥的外接球的表面积为 D. 直线BC与平面PCD所成角的正切值为2 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一组数据如下：10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，则该组数据的第80百分位数是____________． 13. 已知，则的最大值为__________. 14. 若为偶函数，则________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，，设. （1）用表示； （2）若，则当时，求的值. 16. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 17. 如图，四棱锥中，为正三角形，，，，为线段的中点． （1）在平面内，找到过点与平面平行的直线并证明； （2）若，证明：平面平面． 18. 在中，内角、、所对的边分别为、、，． （1）求； （2）若外接圆的面积为，求面积的最大值． 19. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）设函数，若不等式对任意的恒成立.求实数的取值范围； （3）设，当为何值时，关于的方程有实根？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平江县2026年上学期教学质量监测 高一数学 考生注意：所有答案请务必填写在答题卡上，时量120分钟，满分150分． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】集合， 集合，故． 2. 若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. ，既不垂直也不平行 D. ，的位置关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行与垂直的性质直接判断. 【详解】因为，，所以，又，所以. 3. 使式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的定义得到不等式组解得. 【详解】 解得，即且. 故选：D 4. 已知，是第三象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】， ，又是第三象限角，． 从而. 故选：B 5. 等边三角形的边长为，如果，，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及数量积的运算公式直接计算. 【详解】在正三角形内， ，，， ，即， 即，则 ． 6. 一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥的高与母线、半径的关系，求出母线长和底面半径，进而得到轴截面周长为6. 【详解】设圆锥的母线长为，则底面半径为， 侧面积，解得， 则，故圆锥轴截面的周长为． 7. 某单位职工进行了体检，其中体重（单位：）体检结果统计如下表格： 男性 女性 单位职工 人数 30 18 48 平均数 64 56 n 方差 151 m 169 则（ ） A. 157 B. 159 C. 162 D. 165 【答案】B 【解析】 【分析】先根据分层平均数公式算出单位职工体重的平均数 ，再利用分层方差的合并公式，代入已知的总方差，解出女性体重的方差 . 【详解】计算单位职工体重的平均数 ：. 已知单位职工体重方差为 ， 则,化简得： . 故选：B 8. 的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而得，再由余弦定理即可求解. 【详解】由 ， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 又，， 所以，所以， 又是的中点，所以， 由余弦定理有：， 又， 所以， 当时，，即. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设复数（为虚数单位，），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，为纯虚数 B. 一定是实数 C. 的最小值为2 D. 在复平面内对应点的轨迹是圆 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的分类判断A，特殊值法计算判断B，结合模长公式判断C，根据复数在复平面内对应点的轨迹判断D. 【详解】因为复数， 当时，为纯虚数，A选项正确； 当时，不是实数，B选项错误； ，所以的最小值为2，C选项正确； 设在复平面内对应点为， 所以在复平面内对应点的轨迹是直线，D选项错误. 故选：AC. 10. 已知向量，，满足，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A：利用向量的数量积求向量的模；选项B：利用向量平行的条件求解当时，是否正确即可；选项C：利用数量积求解当两个向量垂直时是否成立即可；选项D：利用数量积求解一个向量在另一个向量上的投影向量即可. 【详解】选项A： ，故A错误. 选项B：当 时，存在实数 使得 且，得 ， 代入得：，，故选项B正确. 选项C：当与垂直时，. ，化简得，即， 故项C正确. 选项D： ， ， 投影向量为，与选项中的( )不符，故D错误. 故选：BC. 11. 在体积为的正四棱锥中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（ ） A. B. 二面角的余弦值为 C. 正四棱锥的外接球的表面积为 D. 直线BC与平面PCD所成角的正切值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断A；根据二面角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断B；利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式计算即可判断C；根据直线与平面所成角的定义，先找到角的位置，再求解即可判断D. 【详解】取的中点，设为正方形的中心，连接，，则. 因为，所以异面直线与所成的角即，则. 设，则，，，则， 所以正四棱锥的体积为， 解得，所以，故A错误. 在正方形中，由于，为的中点， 所以，则为二面角的平面角， 所以，故B正确. 设正四棱锥的外接球的球心为，且，又， 由，得，解得， 所以正四棱锥的外接球的表面积为，故C正确. 因为，所以直线与平面所成的角即直线与平面所成的角. 过点作，垂足为， 因为平面，且平面， 所以，又，且平面， 所以平面，又平面， 所以，又，且平面， 所以平面， 则为直线与平面所成的角， 则，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求解立体几何中空间角的问题，往往有两种方法，一种是利用定义先找到角的位置，再求解；另一种是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一组数据如下：10，12，15，11，15，20，17，18，13，21，则该组数据的第80百分位数是____________． 【答案】19 【解析】 【详解】解：将该组数据从小到大排列：10，11，12，13，15，15，17，18，20，21， 该组数据共有10个，， 则该组数据的第80百分位数为． 13. 已知，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】运用基本不等式求解即可. 【详解】∵， ∴（当且仅当即时，等号成立）， ∴（当且仅当即时，等号成立）， 所以，，则的最大值为. 故答案为：. 14. 若为偶函数，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，，设. （1）用表示； （2）若，则当时，求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形，利用向量加，减，数乘的运算法则，即可求解； （2）利用已知可得，进而可得，求解即可. 【小问1详解】 因为，， ， 因为，所以， . 【小问2详解】 当时，， 即， 所以， 所以， 因为， 所以， 故. 16. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 【答案】（1） （2）300人 （3） 【解析】 【分析】（1）由所有频率之和为1求解； （2）由年龄在内的频率计算求解； （3）由频率分布直方图的平均数计算公式计算求解. 【小问1详解】 由题可知组距为， 则： 解得：. 【小问2详解】 这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为： 所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人. 【小问3详解】 估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为： . 17. 如图，四棱锥中，为正三角形，，，，为线段的中点． （1）在平面内，找到过点与平面平行的直线并证明； （2）若，证明：平面平面． 【答案】（1）如图，连接，直线即为所求直线， 证明：取的中点E，连接，则，， 因为，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）证明：由，且，得， 又为正三角形，则， 又，， 因为，所以， 而，，所以， 因为，，平面， 所以直线平面， 因为平面， 所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）利用中位线和平行四边形推出线线平行，进而证明线面平行； （2）利用勾股定理证明线线垂直，找出垂直于目标平面的直线，再由线面垂直推面面垂直． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，内角、、所对的边分别为、、，． （1）求； （2）若外接圆的面积为，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解； （2）由面积公式可得外接圆半径，即可根据正弦定理求解，由基本不等式即可求解的最大值，由面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. 【小问2详解】 设的外接圆半径为，所以，所以， 由正弦定理得，则， 由（1）可得：，即， 当且仅当时，等号成立， 故面积的最大值为. 19. 已知函数是偶函数. （1）求的值； （2）设函数，若不等式对任意的恒成立.求实数的取值范围； （3）设，当为何值时，关于的方程有实根？ 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据函数为偶函数，列式求解，即得答案； （2）分离参数，将不等式对任意的恒成立转化为,利用换元，即，可得的最小值，即可求得答案； （3）利用换元，即，将有实根转化为的根的问题，继而转化为的零点问题，分类讨论，结合二次函数的零点分布，即可求得答案. 【小问1详解】 由函数是定义域在上的偶函数， 则对于，都有，即， 即对于，都有，即， 由于不恒等于0，故，得. 【小问2详解】 结合（1）可得， 则， 令， 由在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，得， 则不等式对任意的恒成立等价于在上恒成立， 所以即可， 又， 由对勾函数的性质可得当时，取得最小值， 所以的最小值为，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 令，由对勾函数的性质可得当时，取得最小值2， 所以，当且仅当时取等号，则， 令，则， 则原问题转化为关于的方程的根的问题， 由于，令，则的图象为开口向上的抛物线在y轴右侧部分（含y轴）， ， ①当时，或，此时对称轴， 函数在有唯一零点； ②当且在有唯一零点时， ，可得：或； ③当在有两个不相等零点时，设零点为， 则，可得：. 综上：或. 【点睛】关键点睛：本题综合考查了函数奇偶性、不等式恒成立以及方程的解的问题，综合性较强，解答的关键是（3）中要将方程有解问题转化为函数零点问题，然后分类讨论，结合二次函数零点的分布，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $