精品解析：湖南省邵阳市第二中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

邵阳市二中2024年上学期期末考试 高一年二期数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 2. 若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则m与n相交 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，根据线线平行和线面垂直的性质得到答案. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，若，，则与平行或异面，A错误； 对于B，若，，则与异面、平行或相交，B错误； 对于C，若，则存在直线，满足且， 若，则，而，则，C正确； 对于D，若，，则与相交或异面，D错误. 故选：C. 3. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（ ） A. 2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少 B. 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多 C. 2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增 D. 2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍 【答案】D 【解析】 【分析】利用题中所给的南丁格尔玫瑰图逐一考查所给选项，即可得解. 【详解】对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A错误； 对于BC，知识付费用户数量的逐年增加量分别为： 2016年，；2017年，； 2018年，；2019年，； 2020年，；2021年，； 2022年，； 则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多， 知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故BC错误； 对于D，由， 则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D正确. 故选：D. 4. 在中，若，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知条件边化角，再逆用二倍角正弦公式进行化简，即可求解． 【详解】解：在中， ， 由正弦定理，得，， ， ， ， 或， 或， 为等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 6. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D 7. 如图，正三棱柱的各棱长包括底面边长都是2，E，F分别是AB，的中点，则EF与侧棱所成的角的余弦值是　　 A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点F，取AC的中点G，连接FG，EG，∠EFG为EF与侧棱C1C所成的角，在直角三角形EFG中求出此角即可． 【详解】解：取AC的中点G，连接FG，EG 根据题意可知FG∥C1C，FG＝C1C； 而EG∥BC，EGBC； ∴∠EFG为EF与侧棱C1C所成的角， 在Rt△EFG，cos∠EFG 故选B． 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 8. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测量球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】数形结合求得，进而根据即可求解. 【详解】如图，设球的半径为， 则， 所以由题，又， 故 ， 所以，即该球体建筑物的高度约为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是依据已知条件数形结合得，进而由求出球的半径得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于斜二测画法，下列说法正确的是（ ） A. 在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B. 若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为 C. 一个梯形的直观图仍然是梯形 D. 在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据斜二测画法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确； 对于B，对于平面多边形，不妨以三角形为例， 如图①， 在中，，其面积， 在其直观图（图②）中， 作，则直观图的面积 ， 因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的， 故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为，B正确； 对于C，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等， 故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确； 对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误. 故选：ABC 10. 欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为1 B. C. D. 的共轭复数为 【答案】AD 【解析】 【分析】由，其虚部为1，可判断A；由，可判断B； 由，可判断C；先求得，结合共轭复数的概念即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，则，故C错误； 对于D，，故的共轭复数为，故D正确. 故选：AD. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． B. 若为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥． C. 设样本数据平均数和方差分别为2和8，若，则的平均数和方差分别为5和32 D. 高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图以及互斥事件和对立事件的概念即可判断AB，设样本数据的均值为，方差为，由已知得新样本的均值为，方差为即可判断C，先计算抽取的比例，再在高一高二两层内按比例抽取，求出高一高二的人数后再计算平均分即可判断D. 【详解】对于A，在频率分布直方图中，根据中位数的概念，可得中位数左边和右边的直方图的面积相等是正确的； 对于B，若A、B为互斥事件，根据互斥事件和对立事件的概念，可得则A的对立事件与B的对立事件不一定互斥，所以不正确； 对于C，设样本数据的均值为，则，方差为，则， 所以新样本的均值为，方差为，故C正确； 对于D，由题意，可得高一年级抽取的样本量为×450＝90， 高二年级抽取的样本量为×350＝70. 高一和高二数学竞赛的平均分约为×80＋×90＝84.375(分)，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得. 详解】依题意，， 所以向量在方向上的投影向量为. 故答案为： 13. 已知某艺术班共25人，其中有10名男生和15名女生，在期末作品展示中，该班男生每人作品数量的平均数为25，方差为1，女生每人作品数量的平均数为30，方差为2，则这25名学生每人作品数量的方差为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的平均数和方差的公式，准确计算，即可求解. 【详解】由题意得，这25名学生每人作品数量的平均数为， 所以方差为． 故答案为：. 14. 已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆台的体积公式，得到，求解答案即可. 【详解】由已知结合圆台的体积公式即可求解． 因为甲、乙两个圆台上下底面的半径均为和，母线长分别为和， 则两个圆台的体积之比． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设向量满足，且． （1）求与的夹角； （2）求的大小. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由已知得，展开求得，结合夹角公式即可求解； （2）由化简即可求解． 【详解】（1）设与的夹角为θ 由已知得，即，因此， 得，于是，故 θ=，即与的夹角为； （2）由． 16. 某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩均为整数分成六组：后得到如图所示频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求众数和第50百分位数； （2）用比例分配的分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为的样本，求在分数段抽取的人数； （3）若甲成绩在，乙成绩在，求在（2）的条件下，甲、乙至少一人被抽到的概率． 【答案】（1）众数为；第百分位数为 （2）人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程，即可求出，再根据频率分布直方图中众数、第百分位数计算规则计算可得； （2）首先求出抽样比，再计算分数段的人数，即可求出在分数段抽取的人数； （3）设甲被抽到的事件为，乙被抽到的事件为，即可得到，，再根据相互独立事件与对立事件的概率公式计算可得； 【小问1详解】 由题意可得， 解得， 根据频率分布直方图可知，分数段的频率最高，因此众数为， 设第百分位数为，则， 解得； 【小问2详解】 解：因为总体共名学生，样本容量为，因此抽样比为． 又在分数段共有（人）， 因此在分数段抽取的人数是（人）； 【小问3详解】 解：由分层随机抽样知分数段抽取人， 分数段抽取人， 设甲被抽到的事件为，乙被抽到的事件为， 则，． 于是甲，乙至少一人被抽到的概率为； 17. 在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件“与地面接触的面上的数字为奇数”，事件“与地面接触的面上的数字不大于4” （1）判断事件A与B是否相互独立，若是请证明，若不是请举例说明； （2）连续抛掷3次这个正八面体，求事件只发生1次的概率． 【答案】（1）是；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）列出样本空间，即可列出所对应的基本事件，求出所对应的概率，根据独立事件的概率公式判断即可； （2）利用独立事件的概率公式即可得解. 【小问1详解】 依题意，得样本空间为， 所以，，则， 故，，， 所以事件，相互独立. 【小问2详解】 依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立， 记为第次抛掷这个正八面体发生事件，则， 所以事件只发生1次的概率为 . 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【小问1详解】 因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 19. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角； （2）若，求面积的取值范围； （3）若，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）已知条件利用正余弦定理边化角，结合倍角公式化简得，求角； （2）由正弦定理有，由，得，所以可求取值范围； （3）由，可得，由，可求实数的取值范围． 【小问1详解】 由，得， 由余弦定理得， 再由正弦定理及倍角公式得 ， 得，即，在锐角中，有． 【小问2详解】 ，，则． 由正弦定理，有， ． 又是锐角三角形，有，得，则， 所以． 即的面积S的取值范围； 【小问3详解】 ，由正弦定理， 得，， ，即 又，且， ， 设，函数，， 任取，则， ，， 当，，，即， 当，，，即， 即在上单调递减，在上单调递增， ，， ，，则 实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛： 在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理实现“边化角”，出现边的二次式一般采用到余弦定理实现“角化边”．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 邵阳市二中2024年上学期期末考试 高一年二期数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 2. 若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则m与n相交 3. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale）设计，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（ ） A. 2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少 B. 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多 C. 2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增 D. 2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量10倍 4. 在中，若，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 如图，正三棱柱的各棱长包括底面边长都是2，E，F分别是AB，的中点，则EF与侧棱所成的角的余弦值是　　 A. B. C. D. 2 8. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测量球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于斜二测画法，下列说法正确的是（ ） A. 在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B. 若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为 C. 一个梯形的直观图仍然是梯形 D. 在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直 10. 欧拉公式（为虚数单位，）是由数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 的虚部为1 B. C. D. 的共轭复数为 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等． B. 若为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥． C. 设样本数据的平均数和方差分别为2和8，若，则的平均数和方差分别为5和32 D. 高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了容量为160的样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则高一和高二数学竞赛的平均分约为84.375分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为__________. 13. 已知某艺术班共25人，其中有10名男生和15名女生，在期末作品展示中，该班男生每人作品数量的平均数为25，方差为1，女生每人作品数量的平均数为30，方差为2，则这25名学生每人作品数量的方差为__________． 14. 已知甲、乙两个圆台上下底面半径均为和，母线长分别为和，则两个圆台的体积之比______. 四、解答题：本题共5小题，其中15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设向量满足，且． （1）求与的夹角； （2）求的大小. 16. 某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩均为整数分成六组：后得到如图所示频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求众数和第50百分位数； （2）用比例分配的分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为的样本，求在分数段抽取的人数； （3）若甲成绩在，乙成绩在，求在（2）的条件下，甲、乙至少一人被抽到的概率． 17. 在一个质地均匀的正八面体中，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，记事件“与地面接触的面上的数字为奇数”，事件“与地面接触的面上的数字不大于4” （1）判断事件A与B是否相互独立，若是请证明，若不是请举例说明； （2）连续抛掷3次这个正八面体，求事件只发生1次的概率． 18. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 19. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角； （2）若，求的面积的取值范围； （3）若，且，求实数取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$