精品解析：河北省博野中学2025-2026学年高二创新班下学期7月期末质量检测数学试题

24级创新班期末质量检测高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围（不含直线与圆、圆锥曲线）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数z对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（ ） A. 1440 B. 2160 C. 4320 D. 5760 5. 已知10个样本数据的25%分位数为，若分别去掉其中最大的和最小的一个数，记剩下的8个样本数据的25%分位数为，则（ ） A. B. C. D. 6. 在某市2026年5月份的高二质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的全市学生有10000人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数据：，则， A. 8414名 B. 6827名 C. 3175名 D. 1588名 7. 某电影放映厅有15排座位，且从第二排起，每一排都比前一排多个座位，前5排，中5排，后5排分别称为甲区，乙区，丙区，若甲区，乙区的座位数分别是70，95，则此电影放映厅的座位总数为（ ） A. 120 B. 210 C. 285 D. 495 8. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率是负数 B. 变量与变量正相关 C. 相关系数 D. 若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 10. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共8项 B. 含项的系数为14 C. 无常数项 D. 所有项的二项式系数之和为1 11. 已知函数，实数，满足，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为_____. 13. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为______． 14. 已知函数的定义域为，，，且，则_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 16. 在数列中，. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. （1）已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； （2）已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求的单调区间； （3）若存在，使得，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24级创新班期末质量检测高二数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围（不含直线与圆、圆锥曲线）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用补集定义计算求解. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故选:C. 2. 在复平面内，复数z对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助复数的几何意义与复数乘法运算法则计算即可得. 【详解】由题知，所以. 故选：D. 3. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理计算即可. 【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得， 即，又与是不共线向量， 所以解得. 故选：B． 4. 某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（ ） A. 1440 B. 2160 C. 4320 D. 5760 【答案】C 【解析】 【详解】将甲、乙、丙3个手工艺品看作一个整体，内部排序有种方法，将其和剩余的5个工艺品进行全排，有种情况. 则不同的排法总数共有种. 5. 已知10个样本数据的25%分位数为，若分别去掉其中最大的和最小的一个数，记剩下的8个样本数据的25%分位数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用百分位数定义计算判断即可. 【详解】设10个样本数据从小到大排列为， 由，所以， 去掉最大和最小各一个数后剩下的8个样本数据为， 因为，所以剩下8个数据的25%分位数， 又，所以，即. 故选：B. 6. 在某市2026年5月份的高二质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的全市学生有10000人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）参考数据：，则， A. 8414名 B. 6827名 C. 3175名 D. 1588名 【答案】D 【解析】 【详解】因为学生的数学成绩服从正态分布，, 则， 而，所以该学生的数学成绩大约排在全市第1588名. 7. 某电影放映厅有15排座位，且从第二排起，每一排都比前一排多个座位，前5排，中5排，后5排分别称为甲区，乙区，丙区，若甲区，乙区的座位数分别是70，95，则此电影放映厅的座位总数为（ ） A. 120 B. 210 C. 285 D. 495 【答案】C 【解析】 【详解】设第排的座位数为，的前项和为， 由题意可知，数列是公差为的等差数列， 方法一：因为成等差数列，所以， 由题意知，所以，解得. 方法二：因为， 所以，解得， 所以. 8. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象求出的解析式，结合图象的平移变换可得的解析式，继而结合在区间上恰有两个零点，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由图可知，，函数的最小正周期满足， 可得，则，则， 又因为，可得， 因为，则，所以，可得， 所以． 将的图象向右平移个单位长度，得到函数， 当时，， 又在区间上恰有两个零点， 所以，解得，即的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率是负数 B. 变量与变量正相关 C. 相关系数 D. 若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数据的散点图，结合相关性、相关系数的概念与定义，逐项判定，即可得解. 【详解】对于A、B、C：由图可知直线的斜率是负数，所以变量与变量负相关，相关系数，故A、C正确，B错误； 对于D：若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值变大，又，所以相关系数变小，故D错误. 故选：AC. 10. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共8项 B. 含项的系数为14 C. 无常数项 D. 所有项的二项式系数之和为1 【答案】ABC 【解析】 【详解】二项式的展开式共有8项，A正确； 二项式展开式的通项为：, 令，得，则项的系数为，B正确； 令0，得，为非整数，所以的展开式中无常数项，C正确； 所有项的二项式系数之和为，D错误． 11. 已知函数，实数，满足，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据绝对值的性质、对数函数的图象与可得，，；结合不等式的性质与基本不等式即可判断. 【详解】 依题意，当时，；当时，； 当时，；当时，； 因为实数，且，所以；所以，故A正确； 由，得，即， 即，即，所以；同理； 所以，故D正确； 因为，当且仅当， 即，时等号成立，但此时不满足，所以等号不成立，故B错误； 因为，当且仅当， 即，时等号成立，故C正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得母线长与底面半径，利用侧面展开图是扇形可求侧面积. 【详解】由题意可得圆锥的母线长，底面半径为， 所以圆锥的侧面积为. 故答案为：. 13. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题知在上恒成立， 设，因为，，所以， 则， 在上恒成立，等价于在恒成立， 即在时恒成立，所以，即． 14. 已知函数的定义域为，，，且，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法，借助已知的，可求得，再利用递推思想赋值，从而可利用累加法来求得，从而可得到，即可求和. 【详解】因为，，令， 得，因为， 所以，即， 令，，得，即， 所以， 令，，得， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）由余弦定理求出、，再由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，即， 又，解得（负值已舍去）， 所以. 16. 在数列中，. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)利用等差数列的定义即可证明； (2)由（1）先写出数列的通项，即得数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 因为，所以，即， 所以数列是公差为1的等差数列. 【小问2详解】 因为数列是公差为1的等差数列，，所以， 所以于是 设数列的前项和为， 则. 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为是的中点，所以． 又，所以四边形是平行四边形，所以． 因为，所以． 因为平面平面，所以． 因为平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为， 则， 令，得，故， 所以点到平面的距离为， 解得，即平面的法向量． 设平面的法向量为，由， 得， 令，得，所以，即平面的法向量为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）. 方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）； 方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠. （1）已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率； （2）已知顾客恰好消费了500元， （i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）； （ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理. 【答案】（1） （2）（i） 0 100 200 400 ，190；（ii）顾客选择抽奖方案1更合理 【解析】 【分析】（1）求条件概率即可求出答案； （2）（i）设顾客所获得的优惠金额为元，的取值有，，，，分别求得概率，即可求出分布列，利用期望公式即可求出期望； （ii）求出，比较与的大小，即可求解. 【小问1详解】 设事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“能够享受优惠”， 在第一次摸到红球后，抽奖盒中还剩3个红球和3个蓝球，共6个球， 若享受优惠，则后两次摸出2个红球或摸出1个红球1个蓝球， 从6个球中不放回地摸2个球，总情况有种， 摸出两个红球的情况有种，摸出1红1蓝的情况有种， 所以，即能够享受优惠的概率为. 【小问2详解】 （i）设顾客选择抽奖方案1时，顾客所获得的优惠金额为元， 的取值有，，，， 从装有4个红球，3个蓝球的抽奖盒中摸一个球，摸到红球的概率为，摸到蓝球的概率为， 当摸出0个红球时，， 当摸出1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，. 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 100 200 400 所以选择方案1时，顾客所获得的优惠金额的期望为 . （ii）设顾客选择抽奖方案2时所获得的优惠金额为元， 的取值有，，， 当摸出0个红球或1个红球时，， 当摸出2个红球时，， 当摸出3个红球时，， 所以顾客所获得的优惠金额的分布列为 0 250 500 所以， 所以， 所以从获得优惠金额的期望值分析，顾客选择抽奖方案1更合理. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求的单调区间； （3）若存在，使得，求证：. 【答案】（1）； （2）单调递减区间为，单调递增区间为； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数，利用导数求出单调区间. （3）利用导数求得，确定函数单调性，由此可得，再按分类并构造函数，利用单调性证明不等式. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 依题意，的定义域为，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在上单调递增，而，则当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 函数，求导得， 则函数在上单调递减，又，则当时，；当时，， 由，得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且，则， 若存在，使得，则， 当时，，满足； 当时，，此时或， 当时，，不等式显然成立； 当时，要证，即证明，而，在上单调递增， 因此要证明，即证明，又，即证明. 令函数， 求导得，令， 求导得， 函数在上单调递减，，即，函数在上单调递增， 因此，即在区间上恒成立，则， 由，得， 由函数在上单调递增，得，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $