河北承德市部分高中2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

高二数学 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知全集U=R,集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x3>8},则(CuA)∩B= A.(2,3) B.(2,3] C.[2,3) D.[2,3] 2.设a,6∈R,则“a>6>1"是1<”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知复数之 2一则之的共轭复数之= 1+i A+ 1-3 B.5-5 c-+ D-日 4.2026年5月13日，某高校科研团队发布“九章四号”量子计算原型机，其生成的光子样本 分为两类：4个高斯分布样本和3个均匀分布样本.从中抽取2个样本，则抽取的样本中， 两类样本都有的抽法有 A.7种 B.12种 C.21种 D.42种 5.某同学收集了某地区近5年的年降雨量x(单位：mm)与年蒸发量y(单位：mm)的数据， 计算得样本中心点为(800,600).若y与x的经验回归方程为y=0.7x十a,则a的值为 A.40 B.-40 C.60 D.-60 6项式- 的展开式中x2的系数为 A.-160 B.-60 C.60 D.160 7.2026年5月25日，国外某科技公司发布数学智能体，一次性破解9道悬而未决的Erdδs 数学难题.已知该智能体解答某难度数学题的正确率为p,随机变量X表示它解答道该 难度数学题的正确数.若E(X)=6,D(X)=1.5,则n= A.6 B.8 C.10 D.12 第1页（共4页） 8.定义：若存在实数s,使得函数f(x)和g(x)满足f(s)=g(s)且f'(s)=g'(s)同时成立， 则称f(x)和g(x)互为“亲密函数”，s称为它们的“亲密点”.已知f(x)=lnx,g(x)= ax十b,若存在实数b使得f(x)和g(x)有且仅有一个亲密点，则实数a的取值范围是 A.(-∞，0) B.(0,+∞) 得 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a>0,b>0,且a+b=1,则下列结论正确的有 Aab的最大值是号 B。十。的最小值是10 1 C。1十6十的取值范固是[台》 1 D(e+8)6+)≥ 10.实验室测试发现，某款手机的应用启动时间t(单位：ms)与系统资源占用率x(单位：%， 0≤x≤100)近似满足函数关系f(x)=x3一6x2十9x十1.下列关于函数f(x)的说法，正 确的有 A.函数f(x)在区间[0,100]上有2个极值点 B.函数f(x)在区间(3，十∞)上单调递增 C.函数f(x)的图象与直线y=1有3个不同的交点 D.直线y=5与函数f(x)的图象相切 11.现有6名选手参加赛前培训，则下列说法正确的有 A.将6名选手平均分成3个小组，有15种不同的分法 B.将6名选手平均分成3个小组同时参加三项不同的培训，有90种不同的分法 C.将6名选手分成3个小组，一组1人、一组2人、一组3人，有60种不同的分法 D将6名选手分成3个小组同时参加三项不同的培训，一组1人、一组2人、一组3人， 且选手甲不单独成组，有240种不同的分法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.变量y与x满足非线性关系y=ae,通过对数据做取自然对数处理后，得到经验回归 方程y'=0.5x十2（其中y'=1ny),则当x=2时，y的预测值为 13.若关于x的不等式ax2一4ax+3<0的解集为空集，则实数a的取值范围是 14.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(一x),且当x∈[0,1]时，f(x)=x2, 则区间[一2,4幻上满足f(x一1)十f(2x一3)≤0的所有整数x的和为 第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)是定义在（一3,3）上的奇函数，满足f(一1)=一1，当一3<x≤0 时，f(x)=ax+b x十3 (1)求实数a,b的值； (2)求函数f(x)的解析式； (3)若f(3m一2)+f(2m一1)>0，求实数m的取值范围. 16.(15分)已知函数f(x)=x3-3ax2+2,a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若a>0,求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值. 17.(15分)为了研究某新型护眼灯对预防青少年近视的效果，某教育机构在某校随机抽取 了200名学生进行为期一年的跟踪调查，得到如下2×2列联表： 预防效果 护眼灯 合计 近视加深 近视未加深 使用 12 88 100 未使用 28 72 100 合计 40 160 200 (1)根据小概率值α=0.01的独立性检验，分析使用该新型护眼灯是否会预防近视加深； (2)从使用护眼灯的100名学生中，按近视情况采用比例分配的分层随机抽样抽取10 人，再从这10人中随机抽取3人进行视力复查，求抽取的3人中至少有1人近视加深的 概率， 第3页（共4页） n(ad-bc)2 附：X2=a+bc+ia+c0+aDn=a+b+c+d. 0.05 0.01 0.001 x。 3.841 6.635 10.828 18.(17分)某商场举行抽奖活动，规则如下：顾客从装有3个红球和2个白球的盒子中不放 回地依次抽取2个球，若抽到的2个球都是红球，则获得一等奖，奖金100元；若抽到的2 个球是1个红球和1个白球，则获得二等奖，奖金50元；若抽到的2个球都是白球，则不 获奖。 (1)求顾客抽奖1次获得一等奖的概率； (2)若有3名顾客各抽奖1次，设这3名顾客获得的奖金总额为Y元，求Y的分布列和数 学期望； (3)商场为了控制成本，决定调整奖金规则：将一等奖奖金调整为m元，二等奖奖金调整 为n元，且要求调整后顾客抽奖1次获得的奖金期望不超过20元，同时一等奖奖金不低 于二等奖奖金的2倍，求m+2n的最大值. 19.17分)已知函数f)=lnx士+1， (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)证明：当x≥1时，f(x)≤x恒成立； 3)证明：ln1+n2+n3+…+1nn<”2+7 k(n∈N). 第4页（共4页）高二数学 参考答案及评分意见 1.B【解析】因为集合A={xx2-5.x+6>0}=(-∞，2)U(3,十∞)，所以CuA=[2,3]. 因为集合B={xx3>8}=(2,+∞)，所以(CuA)∩B=[2,3]∩(2，+∞)=(2,3].故选B. A【解析】因为a>b>1,所以0<<1，故充分性成立；当a<0,6>0时，不等式<成立，但a<6,成 a 必要性不成立棕上，。>6>1是日<古”的充分不必要条件放选A 3.B【解析】因为之 =+D2+-2++2+=1+3,所以2=1-3故选B. (2-i)(2+i) 4+1 5 55 4.B【解析】从4个高斯分布样本中抽取1个样本，有4种抽法；从3个均匀分布样本中抽取1个样本，有3种抽 法.由分步乘法计数原理，得符合题意的抽法有4×3=12种.故选B. 5.A【解析】经验回归直线y=0.7x十a必过样本中心点(800,600)，即600=0.7×800+a,解得a=40.故选A. 6.C 【解折】项武(-2)的展开式的通项为T,=c4(2=C5(-2x,=01,23,45,6 令6一2k=2,解得k=2,所以x2的系数为C(一2)2=15×4=60.故选C. 7.B【解析】由题意，得X~B(n,p),则E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=1.5,所以6(1-p)=1.5,解得p= 6 0.75.所以n一0.7行-8.故选B. 8.B【解析】由题意，得亲密点s需同时满足f(s)=g(s)和f'(s)=g'(s).因为f(x)=lnx,x>0,g(x)=ax十 6,所以f)-是g(x)=a.由题意，得=a,所以s->0,所以a>0.代入fs)=gs),得1n-a·+ b,即-lna=1+b,所以b=-lna一1.对于每个a>0,存在唯一的b(b=-lna-1)使得f(x)和g(x)恰好有一 个亲密点= ,因此实数a的取值范围是(0，十∞).故选B. 9.AcD【解桥]因为a>0,b>0,且a+6=1,所以曲基本不等式v5<士，得aw≤（士-，当且仅当a 2 6-2时，等号成立，所以ab的最大值是子，故A正确。 因为。+疗2得·-品0C<子所以品≥8当且仪当a-6一宫时，等号成之，质以时+京的是小位 是8，故B错误. 因为，+6+1=a8-b+3o行b20a6所以2a6+2是所以号b2 1(a+1)+(b+1)3 3 即。十+十的取值是[台，》放C正确 〔a+})儿+)-a6+6+2,令1=b,则0<1≤行函数f)=++2在0，]上单调递诚，所以0在 6,]上的最小值为/（日）=+4+2=空所以+8)0+)≥型，当且仅当a=6=2时，等号成立，放D 正确.故选ACD. 10.ABD【解析】因为f(x)=x3-6x2+9x+1,x∈R,所以f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).当x<1或 x>3时，f'(x)>0,当1<x<3时，f'(x)<0,所以函数f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在 数学答案第1页（共6页） (3,十∞)上单调递增，所以函数f(x)在x=1和x=3处取得极值.由以上分析，得函数f(x)在区间[0,100]上 有2个极值点，故A正确.函数f(x)在区间(3，十∞)上单调递增，故B正确.函数f(x)的图象与直线y=1的 交点个数即方程f(x)=1的实数根的个数.方程f(x)=1可化为x(x一3)2=0，方程只有2个不同的实数根 x=0和x=3,所以函数f(x)的图象与直线y=1只有2个交点，故C错误.因为f'(1)=f'(3)=0,f(1)=5, f(3)=1,所以曲线y=f(x)在点(1,5)处的切线方程为y=5,所以直线y=5与函数f(x)的图象相切，故D 正确.故选ABD 1.ABC【解析将6名选手平均分成3个小组，不同的分法有CCC-15种，枚A正确，先为第一项培训选人， A 从6人中选2人，有C%=15种选法；再为第二项培训选人，从剩下的4人中选2人，有C=6种选法；最后为第 三项培训选人，从剩下的2人中选2人，有C?=1种选法.由分步乘法计数原理，得不同的分法有15×6×1=90 种，故B正确.将6名选手分成人数分别为1,2,3的3组，不同的分法有CCC=60种，故C正确.将6名选手 分成人数分别为1,2,3且选手甲不单独成组的3组，不同的分法有CC?C=50种；将3组人分配到三项不同 的培训，有A=6种不同的分配方法.故符合题意的不同分法有50×6=300种，故D错误.故选ABC. 12.e3【解析】据题意，将y=aer取自然对数得lny=lna十bx,与给定的经验回归方程y'=0.5x+2对比，得 b=0.5,lna=2,所以a=e.因此原回归方程为y=e2·e5z=e5z+2.当x=2时，y=e0-5x2+2=e3, 【解析】因为不等式a.x2-4a.x十3<0的解集为空集，所以对任意实数x,ax2-4ax十3≥0恒成立 当a=0时，原不等式化为3<0，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件 当a≠0时，结合二次函数的性质，得抛物线y=ax2一4ax十3开口向上，与x轴最多有1个公共点，所以a>0, 且判别武4=16c-12a=4a(4u-3)≤0，解得0<a≤综上，实数a的取值范围是[0，] 14,7【解析】因为函数f(x)是奇函数且满足f(x十2)=f(-x),所以f(x十2)=-f(x), 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4. 因为当x∈[0,1]时，f(x)=x2,所以f(0)=0,f(1)=1,所以f(-1)=-f(1)=-1,f(-2)=-f(0)=0. 1,n=4k+1, 所以f(n)=0,n=4k,n=4k+2,k∈Z. -1,n=4k+3, 对于区间[-2,4]上的整数，逐一计算f(x一1)十f(2x一3)，并判断是否满足f(x一1)+f(2x一3)≤0. 当x=-2时，f(x一1)+f(2x-3)=f(-3)+f(-7)=1+1=2>0(不满足)； 当x=-1时，f(x-1)+f(2x-3)=f(-2)+f(-5)=0+(-1)=-1<0(满足)； 当x=0时，f(x-1)+f(2x-3)=f(-1)十f(-3)=(-1)十1=0=0（满足）； 当x=1时，f(x-1)+f(2x-3)=f(0)+f(-1)=0+(-1)=-1<0(满足)； 当x=2时，f(x-1)+f(2x-3)=f(1)+f(1)=1+1=2>0(不满足)： 当x=3时，f(x-1)+f(2x-3)=f(2)十f(3)=0+(-1)=-1<0(满足)； 当x=4时，f(x-1)+f(2x一3)=f(3)+f(5)=(-1)+1=0=0(满足). 综上，满足条件的整数为一1,0,1,3,4，其和为7. f(0)= 30, 15.解：(1)由题意，得 /(-1)-62a=-1 2 数学答案第2页（共6页） 解得a=2,b=0. …4分 (2)由1)可知，当-3<x<0时，fx)=2x x十3 当0<x<3时，-3<-x<0,所以f(-x)= 2(-x)_2x ……6分 -x+3x-31 因为f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，所以当0<x<3时，f(x)=一f(-x)=3-x 2x …7分 (2x x+3 ,-3<x≤0， 所以f(x)= …8分 2x 3-x ,0<x<3. (3)因为当-3<x≤0时，f(x)=2x t+32 6 x+3' 反比例函数y=在0，十∞)止单调通增， 所以函数f(x)在（一3,0]上单调递增.… …10分 因为f(x)是定义在（一3,3）上的奇函数，所以f(x)在（一3,3）上单调递增.…11分 由题意，得不等式f(3m-2)+f(2m-1)>0即f(3m-2)>f(1-2m), 所以-3<12m<3m-2<3.… …12分 部得<<号即实数的取值范程是（侣} …13分 16.解：(1)因为f(x)=x3-3a.x2+2,x∈R,所以f'(x)=3x2-6ax=3x(x-2a). ……1分 令f'(x)=0,獬得x=0或x=2a.…2分 当a=0时，f'(x)=3x2≥0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增， 当a>0时，2a>0,所以当x<0或x>2a时，f'(x)>0,当0<x<2a时，f'(x)<0, 所以函数f(x)在(-∞，0)和(2a,十∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减. 当a<0时，2a<0,所以当x<2a或x>0时，f'(x)>0,当2a<x<0时，f'(x)<0, 所以函数f(x)在（一oo,2a)和(0，十∞）上单调递增，在(2a,0)上单调递减.… …5分 综上，当a<0时，函数f(x)在(-∞，2a)和(0，十∞)上单调递增，在(2a,0)上单调递减；当a=0时，函数 f(x)在R上单调递增；当a>0时，函数f(x)在(-∞，0)和(2a,十∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减. …6分 (2)由(1)可知，当a>0时，函数f(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,十o∞)上单调递增.…7分 当a≥1时，2a≥2，所以函数f(x)在[0,2]上单调递减， 所以函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为f(0)=2. …9分 当0<a<1时，2a<2,所以函数f(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,2)上单调递增， 所以函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为f(0)和f(2)中的较大者.… …11分 因为f(2)=8-3a×4+2=10-12a,f(0)=2, 解10-12a≥2，得a<号，解10-12a<2,得a>号 3 所以当0<a≤号时，函数f)在区间0,2上的最大值为f2)=10-12a,当号<a<1时，函数fx)在区间 [0,2]上的最大值为f(0)=2.…14分 数学答案第3页（共6页） 综上，当0<a<号时，函数了)在区间[0,2上的最大值为10-12a:当。>号时，函数f)在区间[0,2上的 最大值为2.………15分 17.解：(1)零假设为H。:使用该新型护眼灯与预防近视加深无关联.…1分 由列联表中的数据，计算得X2=200×(12×72-88×28) 100×100×40×160 =8>6.635=x0.01.…5分 根据小概率值α=0.01的X2独立性检验，我们推断H。不成立，即使用该新型护眼灯会预防近视加深，此推断 犯错误的概率不大于0.01.…7分 (2)使用护眼灯的100名学生中，近视加深的有12人，近视未加深的有88人. 按比例分配的分层随机描样轴取10人，描取比例为品-0,1，做辅取的近视加深的人数为12×0,1-1.2，实际 取整数1，近视未加深的人数为9.…10分 从这10人中随机抽取3人，记这3人中近视加深的人数为X,则X的可能取值为0和1.…11分 因为P(X-1)=C4C363 C3。-12010’ …13分 事件：抽取的3人中至少有1人近视加深即事件X=1, 所以所求概率为0 …15分 18.解：(1)盒子中共有5个球，3红2白，不放回地依次抽取2个球. 由活动规则知，抽奖1次，获得一等奖即抽到2个红球，其概率P,-=3 C810 ……4分 (2)由(1)阅，抽奖1次获得-等奖的概率为号 由活动规则知，抽奖1次，获得二等奖即抽到1个红球1个白球，其概率P,=一亏 CC 3 不获奖即抽到2个白球，其概率P。=C10 C1 …6分 则每名顾客抽奖1次获得的奖金金额X元的分布列如下表. 0 50 100 P 3 3 10 所以X的数学期望E(X)=0X0+50 5 +100X3 0 =60. …7分 由题意，知3名顾客抽奖相互独立.设3名顾客获得的奖金分别为X1,X2,X?,则由题意，得总奖金Y=X1十 X2+X3,Y的可能取值为0,50,100,150,200,250,300. ……………………………8分 3 Y=0,即3名顾客获得的奖金均为0元，所以P(Y=0)=C× =1000 y-50,即3名顾客中，1人获得的奖金为50元，其余2人获得的奖金均为0元，所以P(Y-50)-C×号× Y=100,即3名顾客中，1人获得的奖金为100元，其余2人获得的奖金均为0元或2人获得的奖金为50元，其 数学答案第4页（共6页） 余1人袋得的奖金为0元所以P-1o)-C×品×)+c5×(得×品品 Y=150,即3名顾客中，1人获得的奖金为100元，1人获得的奖金为50元，1人获得的奖金为0元或3人获得 的奖金均为0元，所以PY=150)=×号×C×号×C×+cx()- 81 Y=200,即3名顾客中，1人获得的奖金为100元，其余2人获得的奖金均为50元或2人获得的奖金均为100 元，其余1人获得的奖金为0元，所以PY=20=G×号×（得}广+C×(信×日- Y=250,即3名顾客中，2人获得的奖金均为100元，其余1人获得的奖金为50元，所以P(Y=250)=C号× 周x品 3 Y=300,即3名顾客获得的奖金均为100元，所以P(Y=300)= 27 10 1000 所以Y的分布列如下表.……………12分 0 50 100 150 200 250 300 9 117 81 351 81 27 P 1000 500 1000 250 1000 500 1000 所以Y的数学期望E(Y)=0×1000 9 500+100X 117 351 +50× +150× +200× 250 +250 1000 1000 500+300X 81 之 7000=180(或EY）=3E(X）=3X60=180）.…13分 3 ,3 ③由题意及（②），得调整后顺客抽奖1次获得的奖金期望为mX。十nX十0X-3”十6” 10 .…14分 由题意，得3mt6m≤20，m≥2m,m>0,n>0,化简，得m+2≤20，m≥2m,m>0m>0. 200 10 所以m+2m的最大值为20. 3…0…………15 200 200 当m+2n= 3 时，令2n=t,则m= 3t. g-,得长9 取t=100 1g0则m1%- 3,满足m,n均为正数，故m+2n的最大值为200. …17分 19.1解：因为f)=1nx-1+1,x>0,所以f1)=1n1-1+1=0,f'(x)=+ x 所以f'(1)=1十1=2.… …3分 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y一0=2(x一1)，即2x一y一2=0.…4分 (2)证明：f),即ax-+1C. 令g)=lnx-是-x十1，x>0,则证当x≥1时，fx):恒成立转化为证当≥1时，gr)≤0.…5分 方法一因为g001gx)=2十-1=2十1 ……6分 x2 解g'(x)=0,得x=5+1, 2 数学答案第5页（共6页） 所以当x∈，5时g()≥0，函数g)在(0,5士上单递增； 当x,+时g)0数g在⑤，+j 上单调递减。 所以函数g(工)在工二5处取得极大值，也是最大但 只需证函数g(x)的最大值g W5+1≤0 …8分 2 5+1= g代2 n5+1-1-5+1+1=1n5+1-5+1, 25+1 2 2 2 因为5士<2所以n51.因为5>2所以1h625+1<0 2 2 所以g(x)<0恒成立，所以当x≥1时，f(x)≤x恒成立.…10分 方法二：设m(x)=lnx-x+1,x>0,则m'(x)=1-1. 因为函数m'(x)在(0，十∞)上单调递减，且m'(1)=0, 所以当x∈(1，十∞)时，m'(x)<0,函数m(x)在(1，十∞)上单调递减. 所以当x≥1时，m(x)≤m(1)=0,即1nx一x十1≤0，当且仅当x=1时，等号成立.…8分 肖z≥1时，<0，所以g(z)1nx--z十1=m(z)-<0.… x x 所以当x≥1时，f(x)≤x恒成立.…10分 (3)证明：由(2)知，对任意x≥1,1nx<z十1-1. x 取x=(k∈N),得lnk<k+一1.… …12分 分别取飞=1,2，…，n,n个不等式两边分别求和，得 ←+g小+含沿-a”+含站 2 n …15分 化简得空n<“》4名站 ……16分 即a1+h2+叶ian802》+含} 2 ……17分 数学答案第6页（共6页）