精品解析：河北省保定市博野县实验中学等两校2024-2025学年高二下学期期末模拟考试数学试题

博野县两校高二下学期期末模拟考试 数学 一、单选题 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 2. 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法错误的是（ ） A. 残差平方和变小 B. 相关系数r变大 C. 决定系数变大 D. 解释变量x与响应变量y的相关性变弱 3 若，则（ ） A. B. C. D. 0 4. 若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （ ） A. B. C. D. 6 5. 投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列函数中，的最小值是2的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，且，则 B. 随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D. 在的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为32 10. 已知定义在上的函数满足，且.若时，，则（ ） A. 的最小正周期 B. 的图象关于对称 C. D. 函数在区间上所有零点之和为 11. (多选)已知函数f (x)是定义在R上偶函数，当x≥0时，f (x)＝x－x2，则下列说法正确的是（ ） A. f (x)的最大值为 B. f (x)在(－1，0)上是增函数 C. f (x)＞0的解集为(－1，1) D. f (x)＋2x≥0的解集为[0，3] 三、填空题 12. 如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有_________条． 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 14. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 四、解答题 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． （1）若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； （2）若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生概率； （3）若逐个抽选，求在第一次抽选到男生条件下第二次也抽到男生的概率； （4）若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值． 17. 已知函数，其中． （1）若，求函数的定义域； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知点在幂函数的图象上， . （1）求的解析式； （2）若，且方程有解，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若时，都有成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 博野县两校高二下学期期末模拟考试 数学 一、单选题 1. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 2. 有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法错误的是（ ） A. 残差平方和变小 B. 相关系数r变大 C. 决定系数变大 D. 解释变量x与响应变量y的相关性变弱 【答案】D 【解析】 【分析】利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和的变化情况． 【详解】从散点图可分析出，若去掉D点， 则解释变量x与响应变量y的线性相关性变强，且是正相关， 所以相关系数r变大，决定系数变大，残差平方和变小， 故选：D． 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，可得， 令，可得， 所以， 故选：A 4. 若曲线 在 处的切线的斜率为，则 （ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义和性质即可求解. 【详解】, 故选：D 5. 投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出、，由条件概率公式计算可得答案. 【详解】因为每枚骰子朝上的点数有奇数1，3，5三个，偶数有2，4，6三个， 所以3枚骰子朝上的点数之和为奇数的情况有奇数+奇数+奇数，偶数+偶数+奇数， 共两种情况，可得， 恰有1枚骰子朝上的点数为奇数的情况有偶数+偶数+奇数， 可得， 则. 故选：B. 6. 函数的部分图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性排除A，B，再根据得到D. 【详解】因为定义域为， ， 所以为偶函数，关于轴对称，排除A，B； 因为，，所以，故C错误，D正确， 故选：D. 7. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 8. 下列函数中，的最小值是2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：取特殊值，代入后否定结论； 对于B：取特殊值，代入后否定结论； 对于C：利用导数判断单调性，求出最小值； 对于D：根据基本不等式利用的条件“一正二定三相等”进行判断. 【详解】对于A：的定义域为.取特殊值，代入得y=-2<2.故A错误； 对于B：的定义域为.取特殊值，代入得y=e-1<2.故B错； 对于C：定义域为R. . 令，解得；令，解得；所以在上单减，在上单增，所以当时，y取得最小值2.故C正确； 对于D：.令，则. 所以，当，记时取最小值，但是，所以的最小值不能取得.故D错误. 故选：C 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，且，则 B. 随机变量Y服从两点分布，且，则 C. 对a，b两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对m，n两个变量进行相关性检验，得到相关系数为0.8278，则a与b负相关，m与n正相关，其中m与n的相关性更强 D. 在的展开式中，偶数项系数的二项式系数和为32 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正态分布的概率分布曲线的对称性即可计算判断A；运用两点分布的数学期望、方差的定义与性质即可判断B；利用两变量相关系数的意义即可判断C；利用二项展开式的二项式系数特点即可判断D． 【详解】对于A，由题意得，，， 则，故A正确； 对于B，因为两点分布的， 所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，且， 所以a与b负相关，m与n正相关，且a与b的相关性更强，故C错误； 对于D，由的展开式知，取，得， 取，得， 两式相减可得，，所以， 所以的展开式中偶数项的二项式系数和为32，故D正确. 故选：ABD． 10. 已知定义在上的函数满足，且.若时，，则（ ） A. 的最小正周期 B. 的图象关于对称 C. D. 函数在区间上所有零点之和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，且判断是奇函数且图象关于对称，进而确定周期和对称中心，判断A，B；计算得C错误；推导出在的图象关于对称且值域为确定D选项. 【详解】因为，所以是奇函数； 因为，所以的图象关于对称， 所以，则， 因而，所以的最小正周期，故A正确； 由，则的一个对称中心为，故B正确； ，故C错误； 当时，单调递增且值域为， 因为的图象关于对称，所以在单调递减且值域为， 又因为是奇函数，所以在的图象关于对称且值域为， 所以函数在区间上有两个零点，且所有零点之和为，故D正确. 故选：ABD. 11. (多选)已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f (x)＝x－x2，则下列说法正确的是（ ） A. f (x)最大值为 B. f (x)在(－1，0)上是增函数 C. f (x)＞0的解集为(－1，1) D. f (x)＋2x≥0的解集为[0，3] 【答案】AD 【解析】 【分析】对二次函数配方，分析二次函数的对称轴，求解二次函数的不等式逐一判断，可得选项. 【详解】∵x≥0时，f (x)＝x－x2＝－＋，∴f (x)的最大值为，A正确； f (x)在上是减函数，B错误； f (x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C错误； x≥0时，f (x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0，3]，x＜0时，f (x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确． 故选：AD 【点睛】本题考查二次函数的对称轴，最值，求解一元二次不等式，属于基础题. 三、填空题 12. 如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块，的最短路线有_________条． 【答案】150 【解析】 【分析】由分步乘法和分类加法计数原理及组合数的计算即可求解． 【详解】由题可知，的最短路线必经过两点， 则的最短路线有种，的最短路线有种； 的最短路线有种，的最短路线有种； 因为的最短路线有和， 所以的最短路线有种， 故答案为：150． 13. 若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________. 【答案】## 【解析】 【分析】法一：根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得；法二，根据题意假设随机变量，利用对立事件与独立事件的概率公式求得，进而利用数学期望的性质求得. 【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3， 总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式， 故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出， 由排列数可知事件的可能情有况种， 故， 所以 . 故答案为：. 法二：依题意，假设随机变量，其中： 其中，则， 由于球的对称性，易知所有相等， 则由期望的线性性质，得， 由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为， 由于抽取独立，三次均未取出球的概率为， 因此球至少被取出一次的概率为：， 故， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【小问1详解】 根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 16. 某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． （1）若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； （2）若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； （3）若逐个抽选，求在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽到男生的概率； （4）若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值． 【答案】（1） （2） （3） （4）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式计算求解； （2）判断所求为条件概率，利用条件概率公式即可求解； （3）采用缩小样本空间的方法，利用古典概型概率公式计算即得； （4）列出所有符合的组合情况，计算的分布列与均值即可. 【小问1详解】 若逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的概率为男生在成员总人数中所占的比率，即； 【小问2详解】 记事件为恰好抽选了 1名男生与1名女生，事件为这2人都是高二学生.由题知男生总共5人，女生总共7人. 则，由条件概率可得： . 【小问3详解】 对于“在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽到男生”的概率，可采用缩小样本空间的方法， 计算从去掉1个男生后的4个男生中抽取1人的方法数，除以从去掉1个男生后的11人中抽取1人的方法总数的比值， 即得其概率为. 【小问4详解】 因为恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，可能的情况包含“1名高一男学生与1名高二男学生” 、 “1名高一男学生与1名高二女学生”、 “1名高一女学生与1名高二男学生”、“1名高一女学生与1名高二女学生”. 抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，则的可能取值为0和2. 则，， 则的分布列为： 0 1 则均值为. 17. 已知函数，其中． （1）若，求函数的定义域； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由真数大于0列出不等式即可求解； （2）先根据函数为单调递增函数，将转化为，根据题意可转化为在上最小值大于0，然后结合二次函数的性质即可求得. 【小问1详解】 当时，， 由得， 故或， 得或， 故函数的定义域为； 【小问2详解】 由得， 得， 即， 设， 因，故， 所以当时，恒成立， 即为在上最小值大于0， 函数的对称轴为， 当即时，函数在上单调递增， 此时，得， 即满足题意； 当，即时，函数在对称轴取得最小值， 此时，得， 即满足题意； 故的取值范围为. 18. 已知点在幂函数的图象上， . （1）求的解析式； （2）若，且方程有解，求实数的取值范围； （3）当时，解关于的不等式. 【答案】（1） （2）或 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可求得解析式； （2）根据一元二次方程有解，，解出即可； （3）结合条件把不等式化为，分类讨论的取值范围，即可得到不等式的解集. 【小问1详解】 设幂函数， 由点在幂函数图象上， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 时，， 由方程有解， 可得， 解得或； 【小问3详解】 由得 ，即 ， 所以， 当即时，的解集为， 当即时，的解集为， 当即时，的解集为. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若时，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）1； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数分析单调性可得最小值； （2）当时，代入可得；当时，分离参数，构造，求导分析单调性和最值可得解. 【小问1详解】 当时，函数的解析式为，则， 时恒成立，函数在上单调递增；时，则函数在区间上单调递减， ∴函数的最小值为：． 【小问2详解】 当时，成立，此时； 当时，由，得． 令，则． 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 所以．因此，即． 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $