18.5 分式方程 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦分式方程，涵盖概念、解法（去分母转化整式方程及检验增根）与实际应用。课堂以章引言问题（如江水流速）导入，衔接整式方程，构建“实际问题-概念-解法”学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点是问题驱动与素养融合，通过合作探究解分式方程，渗透转化思想培养推理意识，如去分母后检验增根；实际应用中行程、工程问题引导用数学语言建模，发展模型意识。资料含典例、检测与小结，助力学生提升思维与应用能力，便于教师高效教学。

18.5 分式方程 第1课时 解分式方程 1. 理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法，会检验一个数是不是分式方程的解.（重点） 2. 体会分式方程通过去分母转化为整式方程中的转化思想.（难点） 学 习 目 标 为解决章引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程 方程①的分母中含有未知数，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程 . 我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中. ① 新 课 导 入 分式方程的特征: 分母中含有未知数的方程叫作分式方程. (1)是方程； (2)方程中含有分母； (3)分母中含有未知数. 分式方程的概念: 讲 授 新 课 如何解分式方程①呢？ 利用去分母将分式方程转化为整式方程求解. 我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中含未知数，因此解分式方程是一个新的问题. 能否将分式方程化为整式方程呢? 我们自然会想到通过“去分母”实现这种转变. 思 考 分式方程①中各分母的最简公分母是(30+v)(30－v). 把方程①的两边乘最简公分母可化为整式方程，得 90(30－v)=60(30+v). 解得 v =6 检验：将v=6代入①中，左边= ，右边= ，这时左、右两边的值相等，因此v=6是分式方程①的解. 由此可知，江水的流速为6 km/h. “利用最简公分母去分母” 将方程①化成 整式方程的关键 步骤是什么？ 合 作 探 究 运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程 你发现了什么问题？ 类似于解分式方程①，在分式方程②的两边乘最简公分母(x－5)(x+5)，去分母得整式方程 x＋5=10. 解得 x=5. , ② 合 作 探 究 将x=5代入②，分母x－5和x2－25的值都为0，相应的分式无意义. 因此，x=5虽然是整式方程x+5=10的解，但不是分式方程 = 的解. 实际上，这个分式方程无解. 合 作 探 究 比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢? 分式方程 = 中隐含条件x2－25≠0，当将分式方程转化为整式方程时，这一条件就不存在了，实际上，在将方程 = 转化为整式方程时，将原来分式方程的解的范围扩大了，会产生所得整式方程的解不是分式方程的解的情况，也就是分式方程无解. 思 考 解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子 (最简公分母). 方程①两边乘 (30＋v) (30－v)，得到整式方程，它的解为v=6. 当v=6时，最简公分母(30＋v) (30－v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同. 合 作 探 究 方程②两边乘(x－5)(x+5)，得到整式方程，它的解为x=5. 当x=5时，最简公分母(x－5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0，因此这样的解不是②的解. 将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫作原分式方程的增根. 合 作 探 究 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 新 知 小 结 1.在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成 整式方程； 2.解这个整式方程； 3.把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母 的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解, 否则需舍去； 4.写出原方程的解. 简记为:“一化二解三检验”. “去分母法”解分式方程的步骤: 新 知 小 结 例1 解方程. 解：方程两边乘 x(x-3)，得 2x = 3x-9. 解得x = 9. 检验：当x = 9时， x(x-3) ≠ 0. 所以，原分式方程的解为x = 9. 检验是必不可少的一步. 典 例 精 析 例2 解方程. 解:方程两边乘(x-1)(x+2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验:当 x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此 x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 典 例 精 析 解方程: 解: （1） 方程两边乘2(x－1),得 2x+4(x－1)=3. 解得 x=. 检验:当x=时,2(x－1)≠0. 因此x=是原分式方程的解. 针 对 练 习 解方程: 解: （2） 方程两边乘(x－3),得 2-x=-1+6(x－3). 解得 x=. 检验:当x=时,x－3=0. 因此x=不是原分式方程的解. 所以原方程无解. 针 对 练 习 解分式方程的一般步骤如下： 分式方程 去分母 整式方程 解整式方程 x=m 最简公分母为0 x=m是分式方程的解 最简公分母不为0 x=m不是分式方程的解 目标 检验 新 知 小 结 D 2.要把方程化为整式方程,方程两边可以同乘以( ) A.3y-6 B.3y C.3(3y-6) D.3y(y-2) 1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　) A. B. C. D. D 随 堂 检 测 3.解方程: (1); (2). 解:(1)方程两边乘x(x-2),得 2x=3x-6. 解得 x=6. 检验:当x=6时,x(x-2)≠0. 所以,原分式方程的解为x=6. (2)去分母，得 解得x=. 检验:把x=代入x(x+1)=. 所以原方程的解为x=. x2+(x+1)(x-1)=2x(x+1). 随 堂 检 测 4.若关于x的方程无解，求m的值. 解：方程两边同乘以x-2,得 2-x+m=2x-4. 合并同类项，得3x=6+m， ∴m=3x-6. ∵该分式方程无解， ∴x=2， ∴m=0. 随 堂 检 测 5.若关于x的方程解为正数，求m的取值范围. 解：方程两边同乘以（x-2）,得2-x+m=2x-4. 合并同类项，得3x=6+m， ∴x=. 由题意得，该分式方程有解，且解为正数， ＞0且. ∴m＞-6且m≠0. 随 堂 检 测 定义 分式方程 分母中含有未知数的方程叫作分式方程 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（解整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） 解法 课 堂 总 结 18.5 分式方程 第2课时 分式方程的实际应用 1.理解数量关系正确列出分式方程.（难点） 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式程解决实际问题.（重点） 学 习 目 标 1.解分式方程：； 解：方程两边都乘以2(x-2)，得 2+2（x-2）=x+1 解得：x=3 检验：当x=3时，2（x-2）=2≠0， ∴x=3是原方程的解. 2.列方程解决实际问题的步骤： ； 审、设、列、解、答 复 习 导 入 3.我们所学过的应用题类型： (1)行程问题：基本公式： ； (2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法； (3)工程问题：基本公式： ； (4)顺水逆水问题：顺水速度＝ ， 逆水速度＝ ； (5)利润问题：基本公式： . 路程=速度×时间以及它的两个变式 工作量=工时×工效以及它的两个变式 船速+水速 船速-水速 利润率= 利润=售价-进价， 复 习 导 入 问题：一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流速度为3千米/时，求轮船在静水中的速度. 分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，则顺水航行的速度为____千米/时，逆水航行的速度为____千米/时， 顺水航行的时间为____时，逆水航行的时间为_______时，根据题意，可得方程_______________. (x+3) (x-3) 合 作 探 究 解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意列方程得 解这个方程得：x=21. 检验：当x=21时，（x+3）（x-3）≠0，并且也符合题意. 答：轮船在静水中的速度为21千米/时. 检验是必须的一步，而且是两方面的检验. 合 作 探 究 列分式方程解应用题的一般步骤: 1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系. 2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整. 3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程. 4.解:认真仔细解这个分式方程. 5.验:检验. 6.答:注意单位和语言完整. 新 知 小 结 例1 两个工程队共同参加一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？ 分析：甲队1个月完成总工程的 ,设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 ,那么甲队半个月完成总工程的_____,乙队半个月完成总工程的_____,两队半个月完成总工程的_______，再加上甲队单独施工1个月的工程量等于总工程量. 典 例 精 析 解：设乙队如果单独施工1个月完成总工程的 .依题意得 方程两边同乘6x,得2x+x+3=6x，解得：x=1 检验:当x=1时6x≠0,x=1是原分式方程的解，且符合题意. 答：由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务, 而甲队1个月完成总工程的 ,可知乙队施工速度快. 典 例 精 析 例2 某列列车平均提速 v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度是多少？ 分析：这里的字母 v,s 表示已知数据,设提速前列车的平均速度为 x km/h,那么提速前列车行驶 s km 所用时间为　 h,提速后列车的平均速度为　 km/h,提速后列车运行(s+50)km所用时间为　　　h.根据行驶时间的等量关系可以列出方程.  (x+v) 典 例 精 析 解: 设提速前这次列车的平均速度为 x km/h,则提速前它行驶 s km所用时间为 h;提速后列车的平均速度为(x+v)km/h,提速后它行驶(s+50)km 所用时间为 h. 根据行驶时间的等量关系,得 . 方程两边乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50). 解得： . 典 例 精 析 检验:由v,s都是正数,得x= 时x(x+v)≠0. 所以原分式方程的解为x= . 答:提速前列车的平均速度为 km/h. 典 例 精 析 (1)在实际问题中,有时题目中包含多个相等数量关系,在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系； (2)在检验过程中,不仅检验所得的解是否为原分式方程的解,还要检验这个解在实际问题中是否具有实际意义,如时间非负、人数为正整数等. 新 知 小 结 1.某小区为了排污,需铺设一段全长为720米的排污管道,为减少施工对居民生活的影响,需缩短施工时间,实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计划每天铺设x米,下面所列方程正确的是(　　) A. B. C. D. A 随 堂 检 测 2.在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛.当时洪水流速为10千米/时,张师傅奉命用冲锋舟去救援,他发现沿洪水顺流以最大速度航行2千米所用时间与以最大速度逆流航行1.2千米所用时间相等.请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 . 40千米/时 随 堂 检 测 3.农机厂到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度. 解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时， 依题意得：，可解得x=15. 经检验，x=15是原方程的解，且符合题意， 由x＝15得3x=45 答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时. 随 堂 检 测 4.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天? 解：设规定日期为x天，根据题意，得 ,解得：x=12. 经检验：x=12是原方程的解且符合题意. 答：规定日期为12天. 随 堂 检 测 类型 分式方程的应用 行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等 一审；二设；三列；四解；五验；六答 步骤 课 堂 总 结 $