精品解析：山西太原市2025-2026学年高一下学期7月期末学业诊断数学试卷

2025～2026学年第二学期高一年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午10:15—12:15） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列特征数中，刻画一组数据集中趋势的是（ ） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 标准差 2. 投掷一枚质地均匀的骰子，事件“出现奇数点”，“出现3点或5点”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与异面 D. 与的位置关系不确定 4. 已知数据，，…，的平均数和方差分别为5和4，则数据，，…，的平均数和方差分别为（ ） A. 11，16 B. 11，8 C. 10，8 D. 10，16 5. 某项球类比赛按三局两胜的赛制进行，甲、乙两队进行此项比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示此局比赛甲获胜，当出现4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下： 125 432 354 534 443 512 541 334 151 314 525 332 152 344 114 453 345 423 123 423 根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获胜的概率为（ ） A. 0.144 B. 0.432 C. 0.6 D. 0.648 6. 某运动软件记录了一组运动时长数据：20，30，25，40，35，从这组数据中随机删除3个数得到一组新数据，下列结论正确的有（ ） A. 新数据的极差是10的概率为0.4 B. 新数据的平均数是30的概率为0.3 C. 前后两组数据中位数不变的概率为0.2 D. 前后两组数据方差不变的概率为0.1 7. 如图，平面，为圆的直径，为圆上一点（不与，重合），点在线段上，且，若线段上存在一点满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知甲袋中有2个黑球、2个红球，乙袋中有2个红球、1个黑球和1个白球，每个球大小形状都完全相同．现进行摸球游戏，游戏规则为：先从甲袋中随机摸出两个球，再从乙袋中随机摸出一个球．游戏中奖规定：摸出的三个球，若恰有两个红球，则中奖；若恰有一个白球，也中奖；若摸出两个红球和1个白球，则不中奖；其余情况也不中奖，那么一名游戏参与者中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 袋中装有标号分别为1～8的8个大小形状相同的小球（仅编号不同），从中随机抽取一个小球，记事件“取出的小球编号为奇数”，“取出的小球编号为偶数”，“取出的小球编号大于4”，“取出的小球编号小于4”，则下列结论正确的是（ ） A. 与是互斥事件 B. 与不是对立事件 C. 与是相互独立事件 D. 与是相互独立事件 10. 某校高一学生有男生300人，女生200人，为了解该校高一学生的身高信息，按性别采用样本量按比例分配的分层随机抽样，共抽取50人，计算得到样本中男生、女生的平均身高分别为170和160（单位：厘米），方差分别为20和30，则下列结论正确的是（ ） A. 该校每一名高一学生被抽到的概率为0.1 B. 男生、女生应抽取的人数分别为30和20 C. 样本的平均数为165 D. 根据上述数据，估计该校高一学生身高的方差为48 11. 已知正方体的棱长为米，点从点出发，沿着棱以米/秒的速度按照的路径运动；同时点以米/秒的速度沿着棱从点到进行运动，运动时间，记过点，，的平面为，平面与平面的交线为，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截正方体所得的截面可能是三角形、四边形，不可能是五边形 B. 平面截正方体所得的含顶点的几何体可能是棱锥、棱柱，但不可能是棱台 C. 二面角的最小值为 D. 直线与直线所成角余弦值的范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 连续两次投掷一枚质地均匀的硬币，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则该试验的样本空间_____________． 13. 甲、乙两人向同一个目标进行射击，已知甲、乙射中目标的概率分别为0.6和0.5，且两人射中与否相互独立，则该目标被击中的概率为_____________． 14. 在三棱锥中，，，，，当三棱锥的体积最大时，则其外接球表面积为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某农场种植甲、乙两种小麦，在相同面积的试验田中分别连续种植十次．已知这十次种植试验中，甲种小麦产量的平均数为千克，方差为，乙种小麦的产量数据如下（单位：千克）： （1）根据上述数据，计算乙种小麦样本数据的平均数与方差； （2）并从计算结果分析，哪种小麦更具有推广价值？请说明理由． 16. 为了提升网络安全意识，某社区举办了一次“网络安全”知识竞赛，从参赛人群中随机抽取了100位居民，将其竞赛成绩分组整理，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛成绩的第一四分位数； （2）现按成绩采用样本量比例分配的分层抽样，从竞赛成绩在的样本中抽取5人，再从这5人中随机选出2人参加网络安全宣传活动，求这2人来自不同分组的概率． 17. 已知正方体的棱长为，，分别为正方体的棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 18. 甲、乙、丙三人计划到三个城市观光旅游，每人只选择其中一个城市．在选择时，三人随机且独立．已知甲选择三个城市的概率分别为，，；乙选择两个城市的概率分别为，；丙选择两个城市的概率分别为，． （1）求三人选择同一个城市旅游的概率； （2）求三人选择三个不同城市旅游的概率； （3）求三人中恰有两人选择市旅游的概率． 19. 如图，正方形的边长为2，，将沿翻折至，连接． （1）证明：； （2）设二面角的余弦值为，求； （3）设，求三棱锥内切球的表面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期高一年级期末学业诊断 数学试卷 （考试时间：上午10:15—12:15） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列特征数中，刻画一组数据集中趋势的是（ ） A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 标准差 【答案】A 【解析】 【详解】方差、标准差是衡量一组数据偏离其平均数的大小的量， 极差是最大值和最小值的差， 平均数是描述一组数据的集中趋势的量，故A正确. 2. 投掷一枚质地均匀的骰子，事件“出现奇数点”，“出现3点或5点”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】事件A=“出现奇数点”=“出现1点或3点或5点”，B=“出现3点或5点”，所以. 3. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与异面 D. 与的位置关系不确定 【答案】D 【解析】 【分析】借助于长方体这一模型，逐一判断即可. 【详解】如图，在长方体中，不妨记平面为平面，平面为平面，则显然. 若取为直线，取为直线，则满足，，且； 若取为直线，为直线，则满足，，且； 若取为直线，为直线，则满足，，且与异面. 由上分析，可知A,B,C项均有可能，故D正确. 4. 已知数据，，…，的平均数和方差分别为5和4，则数据，，…，的平均数和方差分别为（ ） A. 11，16 B. 11，8 C. 10，8 D. 10，16 【答案】A 【解析】 【详解】原数据平均数 ，则新平均数 , 原数据方差 ，则新方差 5. 某项球类比赛按三局两胜的赛制进行，甲、乙两队进行此项比赛．已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4．现用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示此局比赛甲获胜，当出现4或5时，表示此局比赛乙获胜．在一次试验中，产生了20组随机数如下： 125 432 354 534 443 512 541 334 151 314 525 332 152 344 114 453 345 423 123 423 根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获胜的概率为（ ） A. 0.144 B. 0.432 C. 0.6 D. 0.648 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，表示甲获胜的数有125，432，512，334，151，314，332，152，114，423，123，423共12组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为． 6. 某运动软件记录了一组运动时长数据：20，30，25，40，35，从这组数据中随机删除3个数得到一组新数据，下列结论正确的有（ ） A. 新数据的极差是10的概率为0.4 B. 新数据的平均数是30的概率为0.3 C. 前后两组数据中位数不变的概率为0.2 D. 前后两组数据方差不变的概率为0.1 【答案】C 【解析】 【详解】原数据从小到大排序为：， 删除3个数，留下2个数，所有可能的留下组合只有10种： ， 选项A，极差为10的组合有，，共3种， 其概率为，选项A错误. 选项B，平均数为30，即两数和为60的组合有，共2种， 其概率：，选项B错误. 选项C，原数据的中位数为，新数据（2 个数）的中位数是两数的平均数， 要等于30，需两数和为 60，即，共2种， 其概率：，选项C正确. 选项D，原数据方差：先算平均数， 方差为， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 保留：，， 没有任何一组新数据的方差等于原方差50， 所以方差不变的情况数为，概率为，选项D错误. 7. 如图，平面，为圆的直径，为圆上一点（不与，重合），点在线段上，且，若线段上存在一点满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】过点作，交于点， 平面，平面，， ，， ，即， 在平面内，过作于，连接. ，，，平面， 平面，，此即为满足条件的点， 是圆的直径，， ， ，即，故选项B正确. 8. 已知甲袋中有2个黑球、2个红球，乙袋中有2个红球、1个黑球和1个白球，每个球大小形状都完全相同．现进行摸球游戏，游戏规则为：先从甲袋中随机摸出两个球，再从乙袋中随机摸出一个球．游戏中奖规定：摸出的三个球，若恰有两个红球，则中奖；若恰有一个白球，也中奖；若摸出两个红球和1个白球，则不中奖；其余情况也不中奖，那么一名游戏参与者中奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合古典概型概率公式讨论出摸到不同球的概率，最后求解总概率即可. 【详解】从甲袋中随机摸出两个球，共有种情况， 从甲袋中摸出两个红球的情况数为种，则摸出两个红球的概率为， 而从甲袋中摸出一黑一红的情况数为种，可得摸出一黑一红的概率为， 而从甲袋中摸出两个黑球的情况数为种，可得摸出两个黑球的概率为， 由题意得从乙袋中随机摸出一个球，共有4种情况， 从乙中摸出一个红球的概率为，摸出一个黑球的概率为，摸出一个白球的概率为， 后面依据中奖规则讨论中奖的情况数， 当从甲袋中摸出两个红球，从乙袋中摸出一个黑球，此时概率为， 当从甲袋中摸出一黑一红，从乙袋中摸出一个红球，此时概率为， 当从甲袋中摸出两个黑球，从乙袋中摸出一个白球，此时概率为， 当从甲袋摸出一个红球和一个黑球，从乙袋中摸出一个白球，此时概率为， 综上可得中奖的概率为，故D正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 袋中装有标号分别为1～8的8个大小形状相同的小球（仅编号不同），从中随机抽取一个小球，记事件“取出的小球编号为奇数”，“取出的小球编号为偶数”，“取出的小球编号大于4”，“取出的小球编号小于4”，则下列结论正确的是（ ） A. 与是互斥事件 B. 与不是对立事件 C. 与是相互独立事件 D. 与是相互独立事件 【答案】AC 【解析】 【分析】分别求出样本空间和事件、、、，即可根据互斥事件和对立事件的概念去进行判断. 【详解】由题意从中任取一个球的样本空间为， 事件可表示为，事件可表示为，事件可表示为， 事件可表示为， 且，所以与互斥；与互为对立事件；A对，B错， ， ，，，，， 故，， 即与是相互独立事件，与不是相互独立事件，C对，D错. 10. 某校高一学生有男生300人，女生200人，为了解该校高一学生的身高信息，按性别采用样本量按比例分配的分层随机抽样，共抽取50人，计算得到样本中男生、女生的平均身高分别为170和160（单位：厘米），方差分别为20和30，则下列结论正确的是（ ） A. 该校每一名高一学生被抽到的概率为0.1 B. 男生、女生应抽取的人数分别为30和20 C. 样本的平均数为165 D. 根据上述数据，估计该校高一学生身高的方差为48 【答案】ABD 【解析】 【详解】每一名高一学生被抽到的概率为，A正确； 按比例分配抽样，，，B正确； 样本总平均数的计算公式为：，代入数据得： ，C错误； 在分层抽样中，总样本方差的计算公式为：，代入数据： ，D正确. 11. 已知正方体的棱长为米，点从点出发，沿着棱以米/秒的速度按照的路径运动；同时点以米/秒的速度沿着棱从点到进行运动，运动时间，记过点，，的平面为，平面与平面的交线为，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截正方体所得的截面可能是三角形、四边形，不可能是五边形 B. 平面截正方体所得的含顶点的几何体可能是棱锥、棱柱，但不可能是棱台 C. 二面角的最小值为 D. 直线与直线所成角余弦值的范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别以，，三种情况讨论ABCD选项，对AB分类讨论可得，对C则要作出二面角的平面角，当时，可得，当时，根据函数的单调性可得，当时，可得从而可得二面角的最小值，对D也根据分三类情况讨论，先由平行关系找到所求的角，再在直角三角形中计算角的正切值，进而可得，由同角三角函数关系可得余弦的范围. 【详解】对A选项，平面过点，且平面与正方体的侧面相交于，平面与正方体的侧面相交于， 当时，点在棱上，都在底面内，平面与正方体的棱仅交于三点， 此时截面为，截面为三角形； 当时，点在棱上，延长交底面内直线于点，则平面底面，， 此时截面为四边形； 当时，点在点，点在点，过的平面截正方体的截面为平行四边形. 综上所述，平面截正方体所得的截面可能是三角形、四边形，不可能是五边形，故A正确. 对B选项，由A选项分析知， 当时，平面截正方体所得的含顶点的几何体为三棱锥； 当时，因为平面平面，且平面平面， 平面平面，所以且，因此. 又因为平面，平面，所以平面平面， 所以交于一点，且平面平面， 所以平面截正方体所得的含顶点的几何体为三棱台； 当时，平面截正方体所得的含顶点的几何体为三棱柱 所以平面截正方体所得的含顶点的几何体可能是棱柱、棱锥、棱台，故B错误. 对C选项，是平面与底面的交线，即可能为或或. 因为底面，所以. 过作于，连接， 因为，，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以，因此就是二面角的平面角. 在中，，， 当时，交线为，此时，所以， 由等面积法可得，所以， 因为，所以，所以，得. 当时，交线为，且， 因为，所以，设，则， 解得，所以，，， 由等面积法可得，化简整理得， 设，因为函数与在都是单调递减函数， 所以在上单调递减，所以，得，即. 所以，因此. 当时，交线为，此时，，得. 综上所述，二面角的最小值为，故C正确. 对于D，因为，因此直线与所成角等于与的夹角. 当时，交线为，此时，所以， ； 当时，交线为，此时，，所以， 所以，因为，所以， 因此. 当时，交线为，此时，，. 综上所述，，得. 又因为，因为， 所以，且，所以. 因此，直线与直线所成角余弦值的范围为，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 连续两次投掷一枚质地均匀的硬币，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则该试验的样本空间_____________． 【答案】 【解析】 【详解】样本空间. 13. 甲、乙两人向同一个目标进行射击，已知甲、乙射中目标的概率分别为0.6和0.5，且两人射中与否相互独立，则该目标被击中的概率为_____________． 【答案】0.8 【解析】 【分析】由对立事件的概念和独立事件的乘法公式可得. 【详解】设事件为甲射中目标，事件为乙射中目标， 由题意可知， 两人都没有射中目标的概率为, 所以该目标被击中的概率为. 14. 在三棱锥中，，，，，当三棱锥的体积最大时，则其外接球表面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出平面和平面的外接圆圆心和半径后求出球心的相对距离并计算球半径和表面积. 【详解】 体积最大时，可知平面，则， 因为，，，所以，的外接圆以中点为圆心，且. 中，因为，所以，外接圆半径，圆心为. 取中点，，，求得. 令球心为，因为平面平面，平面平面，且，所以. 因平面，平面，组成矩形， 所以，故球半径， 所以表面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某农场种植甲、乙两种小麦，在相同面积的试验田中分别连续种植十次．已知这十次种植试验中，甲种小麦产量的平均数为千克，方差为，乙种小麦的产量数据如下（单位：千克）： （1）根据上述数据，计算乙种小麦样本数据的平均数与方差； （2）并从计算结果分析，哪种小麦更具有推广价值？请说明理由． 【答案】（1）， （2）由（1）及题意可得，乙种小麦产量的平均数千克大于甲种小麦产量的平均数千克， 同时其方差小于甲种小麦产量的方差，说明乙种小麦的产量更高更稳定，更具有推广价值. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合平均数和方差的计算公式即可求解； （2）通过样本的数字特征估计总体的数字特征即可得出结论. 【小问1详解】 设乙种小麦样本数据的平均数为，方差为，由题意得： ， . 【小问2详解】 略． 16. 为了提升网络安全意识，某社区举办了一次“网络安全”知识竞赛，从参赛人群中随机抽取了100位居民，将其竞赛成绩分组整理，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛成绩的第一四分位数； （2）现按成绩采用样本量比例分配的分层抽样，从竞赛成绩在的样本中抽取5人，再从这5人中随机选出2人参加网络安全宣传活动，求这2人来自不同分组的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，各小组的频率之和为1求出的值，再由百分位数的定义列式计算即得； （2）利用分层抽样确定从和中抽取的人数，分别用字母表示，并表示出试验对应的样本空间和所求事件包含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得. 【小问1详解】 由题意得，所以； 设这100名居民成绩的第一四分位数为， 由频率分布直方图可得成绩在的频率为， 在的频率为，所以， 由得， 所以估计该次竞赛成绩的第一四分位数为． 【小问2详解】 由题意得采用样本量比例分配的分层抽样抽取5人，则应从成绩在的居民中抽取2人， 分别记为，；从成绩在的居民中抽取3人，分别记为，，． 再从这5人中随机选出2人的样本空间为 ， 设事件“这2人来自不同分组”，则， 由古典概型概率公式，得． 17. 已知正方体的棱长为，，分别为正方体的棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面，所以平面， 由于，平面，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，根据题意得到平面， 平面， 从而得到平面平面即可证明； （2）连接，通过即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 连接，设点到平面的距离为， 因为正方体的棱长为，所以， 所以的面积，的面积， 由于，所以，即，解得， 所以点到平面的距离为. 18. 甲、乙、丙三人计划到三个城市观光旅游，每人只选择其中一个城市．在选择时，三人随机且独立．已知甲选择三个城市的概率分别为，，；乙选择两个城市的概率分别为，；丙选择两个城市的概率分别为，． （1）求三人选择同一个城市旅游的概率； （2）求三人选择三个不同城市旅游的概率； （3）求三人中恰有两人选择市旅游的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算即可； （2）利用互斥事件加法公式和独立事件的乘法公式计算即可； （3）利用互斥事件加法公式和独立事件的乘法公式计算即可； 【小问1详解】 设甲选择城市分别记为事件， 乙选择城市分别记为事件，丙选择城市分别记为事件， 则， 由题意得三人选择同一个城市旅游为事件， 所以． 【小问2详解】 由题意得三人选择三个不同城市旅游的事件为：， 所以 ． 【小问3详解】 由题意得三人中恰有两人选择市旅游的事件为：， 所以 ． 19. 如图，正方形的边长为2，，将沿翻折至，连接． （1）证明：； （2）设二面角的余弦值为，求； （3）设，求三棱锥内切球的表面积． 【答案】（1）因为四边形是正方形，所以， 由翻折可得，， ，平面， 所以平面，因为平面，所以. （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形对角线互相垂直的性质以及折叠前后垂直关系不变的特点，证明直线垂直于平面，进而推导出线线垂直. （2）取线段的中点，利用全等三角形和等腰三角形三线合一的性质找出二面角的平面角，结合余弦定理即可求解. （3）先利用余弦定理求出未知边长和四个面的表面积，随后利用等体积法将三棱锥沿平面 BOE割补求体积，并令其等于以球心为顶点的四个小三棱锥体积之和求出内切球半径r，最后代入公式计算球的表面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点是的中点，连接，， ，，， 同理可得，， 是二面角的平面角，， ， ，． 【小问3详解】 由题意得， ，， ， ，， ，，，，， ∵正方形的边长为2，，， 设三棱锥内切球的半径为，球心为， 则， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $