山西省太原市2024-2025学年高一下学期7月期末学业诊断数学试卷

2024~2025学年第二学期高一年级期末学业诊断 数学试卷 (考试时间：上午10：15一12：15) 说明：本试港为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 题号 三 四 总分 得分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合函目要求的) 1.“中国天限”为500米口径球面射电望远镜，它是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、 最灵敏的射电望远镜.“中国天眼”射电望远镜能够抽捉迅远宇宙的微弱信号，获得来自宇 宙的数据，这种获得数据的途径是 A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 D.通过查洵获得数据 2.已知一次试验本件A发生的概率为0.8，若重复做该试验10次，则下列结论正确的是 A.亦件A一定发生8次 B.亦件A一定有2次不发生 C.件A至少发生8次 D.事件A可能发生2次 3.已知空间直线a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则下列结论正确的是 A.allc B.a⊥c C.a与c异面 D.a与c的位置关系不确定 4.莱次波讲比赛共有7位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成幼时，从这7个原 始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分，则这5个有效评分与7个原始评 分相比，不变的数字特征是 A中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 5.已知m,为两条不同的直线，α，B是两个不同的平面，则下列结论正确的是 A若m∥an∥B、m∥n,则a∥B B.若m∥zn/8.m⊥n,则a⊥B C.若m∥x.nl/B.cl∥B,则mln D.若m⊥a,n⊥B,a⊥B,则m⊥n 6.连续地掷两次股子，A=“第一次抛掷结果向上的点数是3”，B=“两次地掷结果向上的点数 之和为奇数”，则下列结论正确的是 AA与B互斥 B.A与B相互独立 C.A与B既互斥，又相互独立 D.A与B既不互斥，也不相互独立 7.如图，某产品由A,B,C三个元件组成，每个元件是否正常工作互不影响，且零件A,B、C 正常工作的概率都为p(0<P<1),则该产品正常工作的概串为 A1-(1-p)p B.1-p1-p) C.1-(1-p1-p) D:1-p(1-pF 8.如图，在校长为a的正四面体ABCD中，1，分别是四面体ABCD外接球和内切球的半径， ,是与四面体ABCD各梭都相切的球的半径，则n,= A.3:1:V3 B.4:1:v万 C.4V3:3:4 D.3:1:V6 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分) 9.已知两组样本数据，五，…，x和，·y的均值和方差分别为，了和s,,则下列结论 正确的是 L若y=名-2(=12，…，10)，则y=x-2 B.若y=1-2(i=1,2,,10),则好=7-4 C.若y=2x171(i=12,…10),则y=4x-1 Di若=2x-1(i=1210),则好=4s好 10.在九章算术·商功》中把四个而都是直角三角形的四面体称为张既.记A=“从鳖圆的六 条梭中任取两条校，它们互相垂直”：B=“从张脚的四个而中任取两个而，它们互相垂直”； C=“分别从整郦的六条梭和四个面中任取一条梭和一个面（所取的桉不在取出的面内）、 它们互相垂直”，则下列结论正确的是 AP-=号 BRP(B)-=方 cPc=若 D.P(A)P(B)=P(C) 11.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容之一、用曲率刻画空间的弯曲性时规定：多面 体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面 体的面角，角度用弧度制.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为牙，故其各 个顶点的曲率均为2m-受×3=受如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，4C=BC=V反M, 点A的曲率为平，D,E分别为AC,AB的中点，则下列结论正确的是 A在三橙柱ABC-AB,C,中，点C的曲率为受 B在四面体AADE中，点E的曲率为石 C.在四面体A,ADE中，点A,的曲率小于 3 D.在四丽体A,ADE中，点D的尚率大于号 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）》 12.某射击运动员连续射击两次，设A,=“第i次射击击中目标”(i=1,2),则其样本空间 0= 13.某次围棋比赛按三局两胜的赛制进行，甲乙两人进行比赛.已知每局比赛甲获胜的概率 为0.6，乙获胜的概率为0.4.现用计算机产生1~5之间的随机数，当出现1,2或3时， 表示此局比赛甲获胜，当出现4或5时，表示此局比赛乙获胜.在一次试验中，产生了20组随 机数如下： 432334151314354534443512541 125 525332152345114453423123425344 根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获胜的概率为 14.如图所示的几何体是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，其上、下两个底面是全等且 平行的正六边形A,B,C,D,E,F,和ABCDEF,它们的中心分别为O,和O,侧面由12个全等 的以正六边形的边为底的等腰三角形组成，若该“正六角反棱柱”的各棱长都为2，则直线 AB,与下底面ABCDEF所成角的余弦值为 B 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题13分) 为选派一名学生参加市级实践技能比赛，甲、乙两名同学在实践基地加工直径为I0mm 的零件测试，从其加工的零件中各随机抽取10件测得数据如下（单位：mm): 甲1110911911109119 乙1012101110911999 (1)根据样本计算甲、乙所加工零件直径的平均数和方差； (2)从计算结果分析，应选派哪位同学参加比赛？ 16.(本小懒分15分) 如图，点E,F分别是正方体ABCD-ABCD的校BB1,DD1的中点. (1)正明：BD∥平面C,EF; (2)正明：平而G,EF⊥平面AA,C,C: (3)若AB=2,求三校锥B,-C,EF的休积. C 44 17.(本小题消分15分) 甲、乙两人代表“共进”社团金加学校猜成语活动，每轮活动由甲、乙各驸一个成语.已知 每轮活动甲州对的概率为 ，乙掰对的概率为p(0<p<1,甲和乙猜对与否互不影响，且每轮 活动的结果也互不影响 (1)当=时，①求第一轮活动中共进壮团猎对1个成语的概率： ②求前两轮活动中共进”"社团疳对2个成语的概率： (2)若侧两轮活动中共迷”性团猜对3个成酒的概率为爱求的位。 18.(本小题满分17分) 为超升市民食品安全意识，莱市食品安全监悟管理部门针对全市不同年龄的人群举办 了一次“食品安全”知识竞赛，从成绩优异的人群中随机抽取了100位市民，将其按年龄分组， 整理得到如图所示的频率分布直方图。 +领/姐距 (1)根据频率分布直方图，估计这100位市民年龄的 0.035 平均值和第75百分位数； 0.03 (2)现采用样本量比例分配的分层抽样，从年龄在 0.02 0.01 [40,60的样本中抽取6位市民，再从这6人中随机抽取 0.00S 2人，求这2人年龄在同一组的概率； V102030405060年的岁 (3)若样本中年龄在[40,50)的市民年龄的平均数与方差分别为45和54，年龄在[50,60] 的市民年龄的平均数与方差分别为54和30，据此计箅样本中年龄在[40,60]的市民年龄的方差. 19.(本小画渊分17分) 如图，在三按柱ABC-A,B,C,中，AB⊥AC,AB-AC,A1=A:B=A,C=2AB,点D是 B,C,的中点. (1)证明：A,D⊥平面A,BC: (2)求二面角A,-BC-D的余弦值； (3)设点P为底面ABC内（包括边界）的动点，且满足B,P∥平面A:CD,若点P的轨迹长度 为1求三梭柱BC-A1B,C,的侧面积. 2024-2025学年第二学期高一年级期末数学试题 参考答案及评分建议 一.选择题： D D A D B A 二.选择题： 9.AD 10.BCD 11.ABD 三.填空题：12.{44，AA,AA,AA} 13.0.55 146-5 2 四.解答题：15.解：(1)由题意得甲所加工零件直径的平均数仰和方差s2甲分别为： x9=01+10+9+11+9+I1+10+9+11+9)×0=10, 52单=[11-10)2+(10-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(9-10)2 +l-109+10-10P+9-103+01-10°+(9-101×0=08： …4分 乙所加工零件直径的平均数y2和方差s2乙分别为： z=10+12+10+11+10+9+11+9+9+9)×70=10. s2z=[(10-10)2+(12-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(10-10) +9-10+01-109+-10+(9-10°+(9-101x0=1: …8分 (2)由(1)得p=y2=10,52甲=0.8<s22=1, 由此计算结果可知，甲、乙两人所加工零件直径的平均数相同，但乙所加工零件直径的方差 比甲大，说明甲同学加工零件的技能更稳定，应选派甲参加比赛。 …13分 16.(I)证明：由正方体ABCD-A,B,C,D,得BB=DD,且BB,∥DD,即BE∥DF, 点E,F分别是棱BB,CC,的中点，∴BE=DF, …2分 ∴.BEFD为平行四边形，∴.EF∥BD, BD文平面C,EF,EFc平面C,EF,∴.BD∥平面C,EF. …5分 (2)由正方体ABCD-AB,C,D,得AC⊥BD, AA,⊥平面ABCD,·AA1⊥BD, 由(1)得EF∥BD,EF⊥AC,∴.EF⊥AA,…7分 又AA,∩AC=A,.EF⊥平面AAC,C, 又EFc平面CEF,·平面CEF⊥平面AA,C,C. ……11分 (3)由(1)得BB,∥DD,∴DD,∥平面BCC,B, .Va-o-Vr-AceV-e-CDSwceCDC …15分 17.解：（1)当p=时，①设A=“第1轮活动中甲猜对”B=“第1轮活动中乙猜对” 由题意得P代0=名.P代B)=行，且A与B,A与B,万与B都相互独立， …2分 3 所求事件为ABUAB,AB与AB互斥，则P(ABUAB)=P(AB)+P(AB) -n面+团n-对时兮分 …5分 ②设A=“前两轮活动中甲猜对i个成语”，B,=“前两轮活动中乙猜对i个成语”，i=0,l,2, 则0-c-写-2x对号4--号 a=-Na)=2对a-- 所求事件为ABUA,BUAB,AB2,AB,AB互斥，且A与B2,A,与B,A2与B 分别相互独立，则P(4BUA,B,UA,B)=P(AB)+P(A,B)+P(AB) 1141,4113 =P4)PB,)+PA)PB,)+P4)P(B,)=g×4+g×2+g×436 …10分 (2)设A=“前两轮活动中甲猜对i个成语”，B=“前两轮活动中乙猜对i个成语”， 1=a2,则0=2号号4=-号Ra=20-pm.a=. 所求事件为A,B2UA,B,AB2与AB,互斥，且A,与B2,A与B,分别相互独立， 则4U4B)=r4)+4A)-号r+号2-pm-p-内-器 37 P=5或P=5(舍去)· …15分 18.解：(1)由频率分布直方图得这100位市民年龄的平均值为 10×(15×0.005+25×0.03+35×0.035+45×0.02+55×0.01)=35, …2分 设这100位市民年龄的第75百分位数为x,由频率分布直方图可得年龄在[50,60]的频率 10×0.010=0.1,在[40,50)的频率10×0.02=0.2，所以x∈[40,50)， 由题意得10x0.01+(50-x)×0.02=1-0.75,解得x=425, 所以这100位市民年龄的第75百分位数为42.5. 5分 (2)由题意得采用样本量比例分配的分层抽样抽取6位市民，则应从年龄在[40,50)的市民 10x0.02 中抽取6× 一=4位，分别记为a,b,c,d:从年龄在[50,60)的市民中抽取2位， 10x(002+0.0 分别记为A,B, 再从这6人中随机抽取2人的样本空间为2={(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(b,c), (b,d),(b,A),(b,B),(c,d),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),(A,B)}, …9分 设事件A=“这2人年龄在同一组”，则A={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d,(c,d),(A,B)}, 由古典概型可得P()=”=了 …12分 (2)15 (3)由频率分布直方图得样本中年龄在[40,50)的市民的人数为100×10×0.02=20，年龄 在[50,60]的市民的人数为100×10×0.01=10， …13分