精品解析：陕西西安市第三中学2025-2026学年下学期期末考试七年级数学试题

七年级数学 （考试时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点、在射线上，直线，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 成语是中国传统文化的一大特色，它蕴含着丰富的智慧、哲理和象征意义．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 一箭双雕 B. 竹篮打水 C. 瓮中捉鳖 D. 水涨船高 5. 如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（ ） 温度/℃ 声速/（m/s） A. 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B. 温度越高，声速越快 C. 当空气温度为℃时，声音可以传播 D. 当温度每升高℃，声速增加 7. 在中，，的角平分线交于点，，，则点到的距离是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 8. 已知小明家距学校，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离与小明出发的时间之间的关系如图所示，以下说法中正确的个数为（ ） ①小明步行的速度是；②爸爸的速度是；③的值为12； ④当小明与爸爸相距时，小明出发后的时间是或或． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 据悉，模型在分析微型数据单元时，测得每个单元的存储量为0.0000025千兆字节．0.0000025用科学记数法表示为______． 10. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和个黄球，从中随机摸出一个，摸到红球的概率是，则的值为______． 11. 若多项式是一个完全平方式，则________． 12. 将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若，则∠CAB的度数为 _____度． 13. 如图，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的度数为__________°． 14. 如图，在中，，，点是边上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是______． 三、解答题（本题共11小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 运用乘法公式计算： （1）； （2） 17. 先化简，再求值：，其中 18. 如图，已知，利用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（不写作法．保留作图痕迹） 19. 如图，已知，，垂足为D、F，．求证：． 20. 在一个不透明的袋中有6个除颜色外其他都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，1个白球． （1）小明从中任意摸出一个小球，摸到白球的机会是_________ （2）小明和小亮商定一个游戏，规则如下：小明从中任意摸出一个小球，摸到红球则小明胜，否则小亮胜．问该游戏对双方是否公平，为什么？ 21. 已知：如图，点、、、在一条直线上，且，，．求证：． 22. 如图，在长方形中，，．点P在上运动，设，图中阴影部分的面积为y． （1）求出阴影部分的面积y与x之间的关系式； （2）点P在什么位置时，阴影部分的面积为20？ 23. 如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． （1）若，求的长度； （2）求的度数． 24. 将四个长为a，宽为b的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形和正方形． （1）观察与发现：请你观察图2直接写出，，之间的一个等量关系式为 ； （2）运用与探究：根据（1）的结论，解决下列问题：，，求的值； （3）实践与拓展：将两个正方形、按如图3摆放（点H与点A重合），若两个正方形面积之和为106，，求图中阴影部分面积和． 25. 【问题发现】 （1）如图1，在中，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中是边上的高．延长交于点，设面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学 （考试时间：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加 ∵ ∴A错误． 选项B：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘 ∵ ∴B错误． 选项C：根据积的乘方法则，将积的每个因式分别乘方，再将结果相乘 ∵ ∴C错误． 选项D：根据同底数幂相除法则，底数不变，指数相减 ∵，等式成立 ∴D正确． 3. 如图，点、在射线上，直线，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 4. 成语是中国传统文化的一大特色，它蕴含着丰富的智慧、哲理和象征意义．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 一箭双雕 B. 竹篮打水 C. 瓮中捉鳖 D. 水涨船高 【答案】A 【解析】 【分析】先明确三类事件的定义，在一定条件下，必然发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，据此对各选项判断即可． 【详解】解：A、一箭双雕可能发生，也可能不发生，是随机事件，符合题意； B、竹篮打水一定不可能成功，是不可能事件，不符合题意； C、瓮中捉鳖是一定会发生的事件，是必然事件，不符合题意； D、水涨船高是一定会发生的事件，是必然事件，不符合题意； 5. 如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：已知，， ，即， A选项，当时，， B选项，当时，不能判定， C选项，当时，， D选项，当时，． 6. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：下列说法错误的是（ ） 温度/℃ 声速/（m/s） A. 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B. 温度越高，声速越快 C. 当空气温度为℃时，声音可以传播 D. 当温度每升高℃，声速增加 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的定义，解题的关键的掌握函数的定义，掌握自变量和因变量的关系，从表格中读取信息，进行判断，即可． 【详解】由函数的定义可得，在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速， ∴选项A正确，不符合题意； ∵由表格信息可得，温度越高，声速越快， ∴选项B正确，不符合题意； ∵当空气温度为℃时，声音可以传播距离为， ∴选项C错误，符合题意； ∵由题意得当温度每升高℃，声速增加， ∴选项D正确，不符合题意； 故选：C． 7. 在中，，的角平分线交于点，，，则点到的距离是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质．由角平分线的性质，线段的和差，等量代换，求得点到直线的距离为3． 【详解】解：过点作交于点， 如图所示： ， ， 又是的角平分线，， ， 又，，， ， ， 即点到的距离是3， 故选：A． 8. 已知小明家距学校，一天，小明从家出发匀速步行前往学校，后，小明的爸爸发现他忘了带数学书．于是，爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明，在中途追上了小明后，爸爸以原速原路返回家中．小明与爸爸之间的距离与小明出发的时间之间的关系如图所示，以下说法中正确的个数为（ ） ①小明步行的速度是；②爸爸的速度是；③的值为12； ④当小明与爸爸相距时，小明出发后的时间是或或． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象及一元一次方程的应用，读懂函数图象，利用路程、速度与时间的关系是解题的关键．根据函数图象中的数据，可以计算出小明步行的速度、爸爸的速度以及a的值；即判断①②③；④分三种情况，然后分别计算出相应的时间，即可求解． 【详解】解：由图象可得，小明的速度为：，故①不正确； 爸爸的速度为：，故②正确； ，故③正确； 当小明与爸爸相距时，设小明出发后的时间为， 爸爸出发前：，解得； 爸爸出发后与小明相遇之前：，解得； 小明与爸爸相遇之后：，解得； 综上所述，当小明与爸爸相距时，小明出发后的时间是或或，故④正确． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 据悉，模型在分析微型数据单元时，测得每个单元的存储量为0.0000025千兆字节．0.0000025用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】0.0000025用科学记数法表示为． 故答案为：． 10. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的5个红球和个黄球，从中随机摸出一个，摸到红球的概率是，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】用红球的个数除以总球的个数得出红球的概率，从而求出n的值． 【详解】解：由题意得， 解得n=3． 经检验，n=3是方程的解，且符合题意， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 11. 若多项式是一个完全平方式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的形式是解题的关键．根据完全平方公式的定义，得出符合题意的形式，对应得出答案即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若，则∠CAB的度数为 _____度． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出∠ABC=∠DBC，根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如下图所示，设该长方形纸片为长方形DEFG，四边形BCGD沿BC翻折后得到四边形BCNM． ∵四边形BCGD沿BC翻折后得到四边形BCNM， ∴∠DBC=∠ABC． ∵四边形DEFG是长方形， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查长方形的性质，平行线的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题关键． 13. 如图，，的垂直平分线交于点D，连接，若，则的度数为__________°． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质．先根据等腰三角形的性质求得的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数，紧接着利用线段垂直平分线定理得到，从而得出的度数，最后利用角度和差关系求得结果． 【详解】解：∵，， ∴，则， 又∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 14. 如图，在中，，，点是边上的两个定点，点分别是边上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用．根据题意，分别作点的对称点，根据两点之间线段最短可确定点的位置为点，此时四边形的周长最小，根据对称的性质可得，，根据三角形的外角的性质可得，根据直角三角形中两锐角互余可得出，，运用等量待会即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点， ∴根据两点之间线段最短可得，的值最小， ∴四边形的周长最小值为：， ∵在中，，，即是等腰直角三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， 根据对顶角的性质可得，，， 根据对称的性质可得，，，，， ∴，， 在，中， ∵，， ∴ ， ∴当四边形的周长最小时，的大小是， 故答案为：． 三、解答题（本题共11小题，共78分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再将结果加减合并即可； （2）先计算积的乘方，再依次计算单项式乘法和单项式除法，最后合并同类项得到结果． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 16. 运用乘法公式计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将拆分为整百数加的形式，利用完全平方公式计算即可； （2）先对原式变形构造平方差公式，再用完全平方公式展开化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 18. 如图，已知，利用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（不写作法．保留作图痕迹） 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−复杂作图，三角形的面积等知识，作线段的垂直平分线交于点D，连接即可，熟练掌握作线段垂直平分线的方法是解决此题的关键． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线交于点D，连接AD， ∴D为边的中点， ∴， 根据三角形等底同高面积相等的性质可得， ∴点D即为所求． 19. 如图，已知，，垂足为D、F，．求证：． 【答案】证明： ，， ， ． ． ， ， ． ． 【解析】 【分析】因为、都垂直于，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得与平行．如果两条直线平行，那么同位角相等，据此可得到和的数量关系，结合已知，可推出，进而证得与平行，即可得到和的数量关系． 【详解】略 20. 在一个不透明的袋中有6个除颜色外其他都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，1个白球． （1）小明从中任意摸出一个小球，摸到白球的机会是_________ （2）小明和小亮商定一个游戏，规则如下：小明从中任意摸出一个小球，摸到红球则小明胜，否则小亮胜．问该游戏对双方是否公平，为什么？ 【答案】（1） （2）该游戏对双方是公平的，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查了概率公式和游戏的公平性，熟练掌握概率公式是关键． （1）根据概率公式进行解答即可； （2）根据概率公式求出小明获胜的概率和小亮获胜的概率，比较后即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵在一个不透明的袋中有6个除颜色外其他都相同的小球，其中3个红球，2个黄球，1个白球． ∴小明从中任意摸出一个小球，摸到白球的机会是； 故答案为：； 【小问2详解】 该游戏对双方是公平的，理由如下： 由题意可知小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， 他们获胜的概率相等，所以游戏是公平的． 21. 已知：如图，点、、、在一条直线上，且，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据证明，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 22. 如图，在长方形中，，．点P在上运动，设，图中阴影部分的面积为y． （1）求出阴影部分的面积y与x之间的关系式； （2）点P在什么位置时，阴影部分的面积为20？ 【答案】（1） （2）当（点P在上距离B点3个单位长度处）时，阴影面积为20 【解析】 【分析】（1）先计算长方形的面积，再计算空白三角形的面积，因为阴影部分面积等于长方形面积减去空白三角形面积，所以可据此建立y与x的关系式． （2）将代入第一问得到的关系式中，得到关于x的一元一次方程，解方程求出x的值，即可确定点P的位置． 【小问1详解】 解：长方形的面积为：， 空白部分是直角三角形，它的面积为： ， 阴影面积等于长方形面积减去空白三角形面积， 因此： ． 【小问2详解】 解：把代入关系式：，解得， 即当点在上，且距离B点3个单位长度处时，阴影部分面积为20． 23. 如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． （1）若，求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到垂直平分，则，再由是边的垂直平分线得到，即可得到； （2）根据三线合一得到，而，再由等边对等角即可求解． 【小问1详解】 解：∵，是的高线， ∴， ∴垂直平分， ∴ ∵是边的垂直平分线 ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的高线， ∴ ∵， ∴． 24. 将四个长为a，宽为b的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形和正方形． （1）观察与发现：请你观察图2直接写出，，之间的一个等量关系式为 ； （2）运用与探究：根据（1）的结论，解决下列问题：，，求的值； （3）实践与拓展：将两个正方形、按如图3摆放（点H与点A重合），若两个正方形面积之和为106，，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1） （2） （3）28 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积等于4个小长方形面积和小正方形面积之和，可得结论； （2）利用（1）中关系式计算可得结论； （3）利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【小问1详解】 解：图2整体上是边长为的正方形，因此面积为，中间小正方形的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 由题意得，，， ∵，即， ∴， 又∵，而， ∴， ∴ ． 25. 【问题发现】 （1）如图1，在中，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中是边上的高．延长交于点，设面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．熟知全等三角形的判定定理与性质定理是解题关键． （1）证明，即可根据“角角边”证明； （2）证明，根据“角角边”证明，得到，即可证明； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N．证明，得到，同理可证明，得到，从而证明，根据三角形面积公式即可证明． 【详解】解：（1）证明：直线直线， ， ， ， ， ， 在和中， ； （2）的数量关系是：，证明如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3），理由如下： 过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证明：， ， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $