精品解析：陕西西安市师范大学附属中学2025-2026学年度下学期七年级期末数学试题

陕西师大附中2025—2026学年度第二学期 期末考试七年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共10题，合计30分） 1. 2026年4月，我国科学家在嫦娥五号月壤中发现新矿物“镁嫦娥石”，其颗粒小，最小直径为0.000002米，大约是一根头发丝的二十分之一．将数据0.000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 甲骨文是汉字的早期形式，目前甲骨文已被列入世界文化遗产．下面四个选项是小明收集“晋”字的演变过程：甲骨文→金文→小篆→楷书，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的是商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 某小组做“用频率估计概率＂的试验时，绘出某一结果出现的频率折线图（如图），则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 从一个装有2个红球、2个蓝球、1个黑球的不透明袋子中任取一球，取到的是黑球 B. 抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 C. 抛一个质地均匀的正六面体的骰子，出现1点朝上 D. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任取一张，花色是红桃 7. 某校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图），学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点绕三棱柱侧面一周到顶点安装灯带，已知此三棱柱的高为，底面边长为，则灯带的长度最短为（ ） A. B. C. D. 8. 水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是边上的中点，于点，若的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，线段，，分别是的高、中线、角平分线，则点，，的位置关系为（ ） A. 点位置总在点、之间 B. 点位置总在点之间 C. 点位置总在点、的左边 D. 三者的位置关系不确定 二、填空题（每小题3分，共6题，合计18分） 11. ______． 12. 一个不透明的盒子里放有三张除数字外完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，随机抽取一张卡片，抽到奇数的概率为______． 13. 已知三角形的三边长分别为，，，则整数的最小值是________． 14. 如图，直线，与直线相交于点，，于点．若，则______时，． 15. 若一个直角三角形的两边长分别是1和2，则这个直角三角形的面积为______． 16. 如图，，点是直线右侧一动点，且满足的面积是3，则的最小值为______． 三、解答题（共8题，合计52分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，四边形中，，是对角线，请用尺规作图法，在边上求作一点，使的面积等于的面积．（不写作法，保留作图痕迹） 20. 将公式，通过适当的变形，可以解决很多数学问题． （1）已知，则______； （2）两块完全相同的特制直角三角板（），如图所示放置，其中在一条直线上，连接，若的面积为17，与面积之和为64，求线段的长． 21. 唐朝王湾的《次北固山下》颔联：“潮平两岸阔，风正一帆悬”，强调了一个人生信念：只有秉持正气，坚定信念，才能在人生的海洋中乘风破浪．如图是小江同学作的一个帆船模型的几何图形，点、点在线段上，，，且．求证：． 22. 游乐场里的数学 【问题情境】 海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度） 【问题探究】 小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2． 请根据图2中信息回答问题： （1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________； （2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米； 【问题解决】 （3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留） 23. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 24. 解答下面问题： （1）【问题发现】如图1，正方形的对角线、交于点是边上一点（点不与点、重合），过作射线交于点，则、、之间的数量关系为______． （2）【问题探究】如图2，四边形的对角线、交于点，，，，其中点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，当时，，求的值； （3）【问题解决】“一步一景皆诗意，一草一木尽生态”，某市在生态治理活动中准备新建一处休闲娱乐区；图3为休闲娱乐区的部分平面示意图：在四边形中，，点为休息处，满足，点在上，，设计人员为了提升休闲娱乐的观赏性和合理性，需要在的延长线上找一点，修建，两条步行走廊，满足，求的长度为______．（直接写出结果即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2025—2026学年度第二学期 期末考试七年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共10题，合计30分） 1. 2026年4月，我国科学家在嫦娥五号月壤中发现新矿物“镁嫦娥石”，其颗粒小，最小直径为0.000002米，大约是一根头发丝的二十分之一．将数据0.000002用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 甲骨文是汉字的早期形式，目前甲骨文已被列入世界文化遗产．下面四个选项是小明收集“晋”字的演变过程：甲骨文→金文→小篆→楷书，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：∵根据积的乘方运算法则，，再根据幂的乘方法则，，∴，A正确． 选项B：∵根据完全平方公式，，∴，B错误． 选项C：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴，C错误． 选项D：∵与不是同类项，不能合并，∴，D错误． 4. 如图所示的是商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，根据即可求解． 【详解】解：∵与地面平行，即， ∴， ∵， ∴． 5. 已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求出，即可求出答案． 【详解】解：设， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 6. 某小组做“用频率估计概率＂的试验时，绘出某一结果出现的频率折线图（如图），则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 从一个装有2个红球、2个蓝球、1个黑球的不透明袋子中任取一球，取到的是黑球 B. 抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上 C. 抛一个质地均匀的正六面体的骰子，出现1点朝上 D. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任取一张，花色是红桃 【答案】A 【解析】 【分析】根据折线统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算各选项的概率，找出概率为的选项即可． 【详解】解：由折线统计图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在附近 该事件发生的概率约为 、从一个装有个红球、个蓝球、个黑球的不透明袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为，符合题意； 、抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； 、抛一个质地均匀的正六面体的骰子，出现点朝上的概率为，不符合题意； 、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任取一张，花色是红桃的概率为，不符合题意． 7. 某校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图），学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点绕三棱柱侧面一周到顶点安装灯带，已知此三棱柱的高为，底面边长为，则灯带的长度最短为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将三棱柱展开，连接，则的长度就是灯带的最短长度，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：将三棱柱展开如图，连接，则的长度就是灯带的最短长度， 三棱柱的高为，底面边长为， ∴灯带的长度至少为：． 8. 水滴进玻璃容器（滴水速度相同）实验中，水的高度随滴水时间变化的情况（下左图），下面符合条件的示意图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断各容器的水的高度随时间上升的快慢进行判断即可． 【详解】解：根据图象，水的高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢， 选项A、B、C中容器上下粗细均匀，水的高度随滴水时间变化，上升速度一致，不符合题意； 选项D中容器下细上粗，水的高度随滴水时间变化，先上升的快，后上升的慢，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查用图象表示变量间的关系，从图象中得到水的高度随时间上升的快慢以及各容器的结构是解答的关键． 9. 如图，在中，是边上的中点，于点，若的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，利用面积公式求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：是边上的中点， ， ，， ， 即， ， 是的中点，， ， 在中，由勾股定理得：． 10. 在中，，线段，，分别是的高、中线、角平分线，则点，，的位置关系为（ ） A. 点位置总在点、之间 B. 点位置总在点之间 C. 点位置总在点、的左边 D. 三者的位置关系不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线、高、角平分线的定义，延长至点，使，连接，证明，得出，，再根据三角形的中线、高、角平分线的定义解答即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：假设（时对称同理），延长至点，使，连接， ， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∴点位于点和点之间， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共6题，合计18分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 一个不透明的盒子里放有三张除数字外完全相同的卡片，卡片上分别标有数字，随机抽取一张卡片，抽到奇数的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，随机抽取一张卡片，所有等可能的结果共种， 其中抽到奇数的结果为，，共种， 根据概率公式，抽到奇数的概率为． 13. 已知三角形的三边长分别为，，，则整数的最小值是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由三角形三边关系得，即， 为整数， 整数的最小值是． 14. 如图，直线，与直线相交于点，，于点．若，则______时，． 【答案】##度 【解析】 【分析】利用同位角相等两直线平行，对顶角相等结合题目所给条件求解即可． 【详解】解：， ， 要使， 则有， ， ， ， 当时，． 15. 若一个直角三角形的两边长分别是1和2，则这个直角三角形的面积为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题未明确给出的两边均为直角边，因此需要分两种情况讨论，结合勾股定理和直角三角形面积公式计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当和均为直角边时， ． 情况2：当为斜边，为直角边时，根据勾股定理，另一条直角边长为 ， 则． 综上可知，这个直角三角形的面积为或． 16. 如图，，点是直线右侧一动点，且满足的面积是3，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据勾股定理逆定理判定  为直角三角形，且 ；然后根据三角形面积公式求出点  到直线  的距离，确定点  的轨迹是一条平行于  的直线；最后利用轴对称性质（将军饮马模型），作点  关于该直线的对称点，发现对称点即为点 ，从而将  的最小值转化为线段  的长度 ． 【详解】解：    是直角三角形，且  ，  ， 设点  到直线  的距离为      解得    点  在平行于  且到  距离为  的直线  上 ， 如图所示， 作点  关于直线  的对称点 ，连接  交直线  于点 ，  直线 ，   直线    点  在直线  上   点  与点  关于直线  对称，且直线  到  的距离为  ，  ， ，且点  在直线  右侧，   点  与点  重合，   的最小值 ． 三、解答题（共8题，合计52分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用零指数幂性质、负整数指数幂性质、积的乘方逆运算进行简便计算； （2）运用同底数幂的乘除法、积的乘方法则化简计算． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 当时， 原式 19. 如图，四边形中，，是对角线，请用尺规作图法，在边上求作一点，使的面积等于的面积．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，平行线的判定及三角形面积，熟练掌握相关性质是解题关键．作，交于，根据内错角相等，两直线平行得出，根据平行线间的距离相等即可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵与同底，且平行线间的距离相等， ∴的面积等于的面积． 20. 将公式，通过适当的变形，可以解决很多数学问题． （1）已知，则______； （2）两块完全相同的特制直角三角板（），如图所示放置，其中在一条直线上，连接，若的面积为17，与面积之和为64，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式可得，再根据可得答案； （2）设，根据三角形的面积公式可推出，则可求出，据此求出的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵两块完全相同的特制直角三角板， ∴设， ∵的面积为17，与面积之和为64， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 21. 唐朝王湾的《次北固山下》颔联：“潮平两岸阔，风正一帆悬”，强调了一个人生信念：只有秉持正气，坚定信念，才能在人生的海洋中乘风破浪．如图是小江同学作的一个帆船模型的几何图形，点、点在线段上，，，且．求证：． 【答案】证明：， ， ∵，， ， 即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据线段的和差得到，证明，即可证明． 【详解】略． 22. 游乐场里的数学 【问题情境】 海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如图1所示，海盗船摆臂的长度为12米，其最大摆角为．（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度） 【问题探究】 小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：）以及所用的时间（单位：）的数据，并将这些数据绘制成图2． 请根据图2中信息回答问题： （1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________； （2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米； 【问题解决】 （3）该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留） 【答案】（1），h；（2）8，2；（3）． 【解析】 【分析】本题考查了求圆的面积，用图像表示变量间的关系． （1）根据题干信息判断即可； （2）根据图2作答即可； （3）先求出该点一个周期摆动，再根据图2求出2分钟摆动的周期数，最后相乘即可． 【详解】（1）解：∵高度随时间变化而变化， ∴自变量是，因变量是h， 故答案为：，h； （2）解：由图2可知，该点最高时距地面8米，最低时距地面2米； 故答案为：8，2； （3）解：∵海盗船摆臂的长度为12米， 该点所在的圆的周长为， ∵其最大摆角为， ∴该点单次摆动路程为， 即该点一个周期摆动， 由图2可知一个周期为， ∴2分钟即共摆动个周期， ∴该点按图2摆动的规律摆动2分钟，经过的总路程是． 23. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明：如图所示，连接， 是的垂直平分线， ， ，是的中点， 是的垂直平分线 ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用垂直平分线的性质得到，再结合、是中点，得到，进而证明； （2）证明，得到，根据三角形外角性质得到的度数，同理求出的度数，最后根据三角形内角和定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 24. 解答下面问题： （1）【问题发现】如图1，正方形的对角线、交于点是边上一点（点不与点、重合），过作射线交于点，则、、之间的数量关系为______． （2）【问题探究】如图2，四边形的对角线、交于点，，，，其中点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，当时，，求的值； （3）【问题解决】“一步一景皆诗意，一草一木尽生态”，某市在生态治理活动中准备新建一处休闲娱乐区；图3为休闲娱乐区的部分平面示意图：在四边形中，，点为休息处，满足，点在上，，设计人员为了提升休闲娱乐的观赏性和合理性，需要在的延长线上找一点，修建，两条步行走廊，满足，求的长度为______．（直接写出结果即可） 【答案】（1） （2） （3）12 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到，，可证明，得到，据此可得； （2）连接，证明，得到；可证明，得到，则可证明，进而得到，则是等腰直角三角形，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）过点P作于点H，可求出；设，则，，则可证明；求出；由勾股定理得，则；证明是等腰直角三角形，推出，则，；设，则，由勾股定理推出，则，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2所示，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3所示，过点P作于点H， ∵， ∴； 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $