四川省双流中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 以谢尔宾斯基三角形等数学文化情境为载体，通过数列与导数综合题设计，分层考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配高二下学期期中知识掌握程度检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等比数列、导数几何意义|第5题结合分形图形考查等比数列求和，体现数学眼光| |多选题|3/18|等差数列性质、函数切线|第11题引入“拐点”定义，考查创新应用能力| |填空题|3/15|函数切线方程、极值点|第14题分层设问极值点个数，培养数学思维严谨性| |解答题|5/77|数列通项与求和、函数单调性|第17题数列与等比数列综合，第19题导数证明不等式，强化数学语言表达与逻辑推理|

四川省双流中学2025-2026学年度高2024级高二下期中考试 数学学科试卷 注意事项： 1. 本试卷共8道单选题，3道多选题，3道填空题，5道解答题。 2. 选择题部分用2B铅笔填涂，非选择题部分用0.5mm黑色墨迹签字笔书写。 3. 考试结束后，将试卷，答题卡，草稿纸交回。 1. 单项选择题。（共8题，每5题，共40分） （ ） B. C. D. 2.已知等比数列中，，，则等于(    ) A. B. 4 C. D. 不确定 3.设是可导函数，且，则        A. 2 B. C. D. 4.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(    ) A. 有极大值 B. 有极小值 C. 有极大值 D. 有极小值 5.如图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．图中阴影三角形的个数为1，记为，图中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，，…，数列构成等比数列．设的前n项和为，若，则(    ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6.记为数列的前n项和.若，则(    ) A. 有最大项，有最大项 B. 有最大项，有最小项 C. 有最小项，有最大项 D. 有最小项，有最小项 7.定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有    A. B. C. D. 8.已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是   A. B. C. D. 二.多选题。（全选对得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分） 9.下面正确的是    A. 在等比数列中，若，，则 B. 等差数列的前n项和为，44048b79d883c12f42ec7ce45b6c2893 ，则的最大值为 C. 在等差数列中，若，则 D. 在等比数列中，若，，则 10.已知，且，则下列结论正确的是    A. 存在，使得 B. 对任意，都有 C. 对任意，都存在，使得 D. 若过点可以作曲线的两条切线，则 11.定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，，且有，则下列说法中正确的是(    ) A. B. 方程有三个根 C. 若关于x的方程在区间上有两解，则或 D. 若函数在区间上有最大值，则 三.填空题。（15分） 12.,则=_________ 13.函数过（1,13）的切线方程为_______________ 14.,当,的极值点个数_________； 当不确定的时候，的极小值点个数可能为_________。 4． 解答题。（77分） 15. （13分）已知 （1） 求的表达式 （2） 若是等差数列，，然后求出这个等差数列公差。 16.（15分）已知 （1） （2） 讨论的单调性,直接写出答案，不用写出过程。 （3） 求 （写出最后答案即可） 17.（15分）已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，， 求数列，的通项公式； 若，求数列的前n项和 18. （17分）有一不等式：， （2）求的最大值 （3）当 19. （17分）设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数． （1） （2）求的单调区间； （3）设函数，求证：； 四川省双流中学2025-2026学年度高2024级高二下期中考试 数学学科试卷答案 一.单选题。 1. B 2.C 3.B 4.A 5.C 6.A 7.D 8.D 二.多选题， 9.AB 10.BCD 11.ABD 三.填空题。（15分） 12.18 分值设计意图：第二条直线方程计算难度比较大，故本次考试只写一条直线方程不判0分，依然会得分，但是在以后的考试，可能会判0分 14.3；1或2（第一空2分，第二空3分，第二空写一个答案不给分） 四.解答题。（77分） 15.（13分）（1）数列通项与前项和的关系是： （2分） 当,代入题设相减： （2分） 对于, （2分） 综上， （1分） （如果没有写，建议只扣一次分，扣一分即可） （3） 对于,已经是等差数列，公差： （3分） 此时需要保证第一项和后面的项一起构成等差数列，因此 （1分） 计算后得： ，可以是任何实数 （2分） 16. （15分） （1） .......................................................3分 （求导错误0分） （2） 若 .......................................................3分 ,单调区间与上述相反（此处不再详细阐述，第一问增减区间互换答案就是第二问的答案） ......................................................3分 K=0:函数为常数，无单调性 .........................................................2分 （3） （代表|k|+向下取整） ........................................................4分 （第三问难度比较大，如果学生能够写出合理的解答过程，可以考虑给1-2分） 17. （15分）解：由题意，设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，， 由题可得，解得， （4分） 所以数列的通项公式，的通项公式为； （2分） ， （2分） 则数列的前n项和 ， （2分） 设， （2分） 则， 则 ， 所以， （2分） 所以 （1分） 18. （17分） （1） 不能（1分），理由如下： ............................................................6分（理由合理即可，鼓励学生在这一问中有发现，有探索，不需要写的太过于完美，第一问宽松给分） 直线与曲线切于，则： ..........................................................8分 则 .......................................................9分 .............................................11分 （单调性1分，如果此处学生没写，也要扣掉对应分数） （第二问如果不说明相切的时候a+b可能有最大而是直接设，将扣掉2分） （3） 当 ..............................................................13分 ，则 均成立 .......................................................................15分 ，故不等式成立 ......................16分 综上，对于所有整数均成立， ..............................................17分 （第三问如果学生用求导方法的一般来说逻辑都是错误的，如果学生用求导方法，阅卷老师要仔细看，如果存在严重的逻辑疏漏，第三问将做0分处理） 19.（17分） (1)解：由，可得， 进而可得 .............................................................3分 (2)，解得或 当x变化时，，的变化情况如下表： x + - + ↗ ↘ ↗ 所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是 ........................................................................7分 (3)证明：由，得， 令函数， 则 ...................................................................9分 由Ⅰ知，当时，， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 因此，当时，， 可得，即，........................................13分 令函数， 则 ...............................................................................14分 由Ⅰ知，在上单调递增， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减． 因此，当时，，即， 所以 ............................................................................17分 学科网（北京）股份有限公司 $