精品解析：云南省昆明市第三中学2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题卷

昆明市第三中学初2027届初二年级下学期期末考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共15小题，每小题2分，共30分． 1. 六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵多边形内角和公式为，其中为多边形的边数，六边形的边数， ∴代入公式得六边形内角和为． 2. 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. 168 C. 124 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 3. 用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即． 4. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律求解即可． 【详解】解：先向左平移2个单位，可得解析式为， 再向下平移3个单位，可得解析式为． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，． ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 7. ，，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；由题意易得抛物线的对称轴为直线，且开口向下，进而根据“开口向下，离对称轴越近，其对应的函数值也就越大”进行排除选项即可． 【详解】解：由抛物线可知：抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∵，，在抛物线上， ∴， ∴； 故选：A． 8. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是直角三角形， ∵点E是的中点， ∴． 9. 二次函数的部分对应值如表：下列说法错误的是（ ） x 0 1 y 5 1 A. 抛物线开口向上 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x增大而增大 D. 最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】先代入表格中的已知点求出函数解析式，再结合二次函数的性质判断各选项即可． 【详解】解：将，，代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为． ∵， ∴抛物线开口向上，A正确； 抛物线对称轴为直线，故B正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，C正确； 抛物线顶点坐标为，函数的最小值为，不是，D错误． 10. 如图，在中，的平分线交于，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质解得的度数，再利用角平分线的性质求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴． 11. 如图是一个平行四边形活动支架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．现对其进行操作，下列说法正确的是（ ） A. 当时，是菱形 B. 当时，是矩形 C. 当时，是菱形 D. 当时，是矩形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、当时，是矩形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，故此选项错误； B、当时，是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，故此选项错误； C、由四边形是平行四边形，得到，推出，由，得到，推出，判定平行四边形是菱形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得；故此选项正确； D、由四边形是平行四边形，得到，推出，由，得到，因此，判定平行四边形是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，故此选项错误． 12. 在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（ ） A. 6支 B. 7支 C. 8支 D. 9支 【答案】C 【解析】 【分析】根据双循环赛制得到总比赛场数与球队数量的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为． 根据题意得． 整理得． 解得，． ∵球队数量为正整数，舍去． ∴，即参加小组赛的球队有8支． 13. 小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定折成的长方体盒子底面的长：因为矩形的长为8cm，左右各剪去一个边长为x的正方形，所以底面长为． 确定折成的长方体盒子底面的宽：因为矩形的宽为，上下各剪去一个边长为x的正方形，所以底面宽为． 利用矩形面积公式列方程：因为长方体底面积=长×宽，且已知底面积为 ，所以可列关于x的方程． 【详解】设剪去的正方形边长为，由题意，得． 14. 如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线与分别交于点E，F，连接，已知，，则的长为（　　） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 根据矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵． ∴， 解得， 故选：A． 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置判断的符号及相关代数式的符号，利用二次函数的对称性及增减性判断函数值的大小．  【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，故； 抛物线对称轴位于轴右侧，且，故； 抛物线与轴交于负半轴，故； ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴交于两点，， ∴对称轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 当时，由图像可知，即，故③错误； ∵对称轴，抛物线开口向上， ∴离对称轴越远的点，函数值越大， ∵，关于直线对称， ∴点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④． 二、填空题：本大题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 已知菱形中，，．则菱形的面积为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答． 【详解】解：∵菱形中，，，， ∴菱形的面积． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了菱形的面积．熟练掌握菱形的面积公式是解决问题的关键． 17. 函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 18. 已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员10次射击平均成绩相同，其方差如右表，如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择__________ 运动员 甲 乙 丙 丁 方差 2.1 5.2 4.3 1.1 【答案】丁 【解析】 【分析】平均成绩相同的情况下，方差越小，数据波动越小，射击成绩越稳定，只需比较四名运动员的方差大小即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴丁的方差最小，即丁的射击成绩最稳定． 19. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，再代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可得，， ∴ ． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得，. 21. 关于x的二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点 （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的对称轴和顶点坐标. 【答案】（1）（2）对称轴：直线；顶点坐标为. 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将C（0，3）代入求得a的值可得到抛物线的解析式； （2）把抛物线的解析式配方即可 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）， 将C（0，3）代入得：3=-3a，解得a=-1， ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3． （2）y=-x2+2x+3=-． ∴对称轴：直线；顶点坐标为. 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式以及对称轴和顶点坐标，熟练掌握相关知识是解题的关键 22. 王大爷想以墙为一边，另三边用长为的竹篱笆围成一个面积为的长方形花坛，已知墙长为，求：花坛的长和宽各是多少时，才能使竹篱笆正好合适？ 【答案】长为，宽为 【解析】 【分析】设在长方形花坛中，平行于墙的边长为，则垂直于墙的边长为，根据长方形的面积公式建立方程，解方程可得的值，再结合解答即可． 【详解】解：设在长方形花坛中，平行于墙的边长为，则垂直于墙的边长为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 则， 答：花坛的长为，宽为时，才能使竹篱笆正好合适． 23. 某学校组织学生参加以人工智能为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级n名学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知良好和中等所占圆心角为，C等级学生的成绩分别为 72，72，73，73，74，74，75，75，75，75，76，76，76，78，78 请根据以上信息，完成下列问题： （1）________，________，________； （2）C等级学生的成绩的中位数为________； （3）若该校九年级共有720名学生，试估计成绩小于70分的有多少人？ 【答案】（1），，； （2）75； （3）． 【解析】 【分析】（1）用A，D，E等级的人数之和除以其所占的百分比，即可求出n的值；用360度乘以待合格的人数所占的百分比，即可求解；用合格的人数除以抽取学生的人数乘以，即可求出m的值； （2）根据中位数的定义计算即可； （3）用总数乘以成绩小于70分的人数的比例即可． 【小问1详解】 解：； ； ， 即； 【小问2详解】 解：C等级学生的成绩从小到大排列如下： 72，72，73，73，74，74，75，75，75，75，76，76，76，78，78， 可知中位数为第8个数据，即75； 【小问3详解】 解：（人）． 24. 如图，四边形是矩形，点E是延长线上一点，过点A作的垂线交于点F，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的面积为20，两条对角线的差为8，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， ，即， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，，进而求出，证明四边形是平行四边形，利用证明四边形是菱形； （2）根据题意可知，，根据菱形的性质得到，，根据完全平方公式求出，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形的面积为20， ∴， 即， ∵两条对角线的差为8， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， 可知， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 25. 2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． （1）求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） 月平均增长率为 （2） 该款风云球服降价元时，月销售利润达元 【解析】 【分析】（1）根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于单价利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：设该款风云球服销售量的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该款风云球服降价元时，月销售利润达元， 降价后每件球服的利润为元，月销售量为件， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服降价元时，月销售利润达元. 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，当时，函数有最小值． （1）求抛物线的解析式； （2）记抛物线与x轴的一个交点的横坐标为r，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数最小值点在顶点处，结合顶点横坐标公式求出，再代入已知点求出，得到抛物线解析式； （2）利用交点横坐标满足抛物线方程，通过代数变形和整式乘法公式计算所求代数式的值即可. 【小问1详解】 解：在抛物线中，， 故函数最小值在顶点处取得， 由题意得顶点横坐标为， ∴，即， 解得； 把点代入解析式得； 故抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵是抛物线与轴交点的横坐标， ∴，显然， 等式两边同时除以得：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴. 27. 如图1，在正方形中两条对角线，相交于点O，点E为上一动点（点E与点B，C不重合），作交于点F，连接． （1）求证：； （2）若正方形的边长为8，求的面积的最大值； （3）探究，发现与证明： 如图2，若点P为对角线上一动点，作，其它条件不变，请你写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） （3） ； 理由如下：如图，过点作，作， 则有， ∴四边形为矩形， 由（1）知， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明； （2）设，表示出的面积，用配方法求解； （3）过点作，作，证明，得到，结合勾股定理解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵正方形的边长为8， 设， ∵， ∴， ∴， ∴ ，当且仅当时取等号，即的最大值为， ∴当时，的面积有最大值； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆明市第三中学初2027届初二年级下学期期末考试 数学试题卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔认真填涂考号． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共15小题，每小题2分，共30分． 1. 六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 2. 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. 168 C. 124 D. 150 3. 用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 5. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断 7. ，，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线、相交于点O，E是的中点，且，则的长是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 9. 二次函数的部分对应值如表：下列说法错误的是（ ） x 0 1 y 5 1 A. 抛物线开口向上 B. 对称轴为直线 C. 当时，y随x增大而增大 D. 最小值为 10. 如图，在中，的平分线交于，若，则为（ ） A. B. C. D. 11. 如图是一个平行四边形活动支架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．现对其进行操作，下列说法正确的是（ ） A. 当时，是菱形 B. 当时，是矩形 C. 当时，是菱形 D. 当时，是矩形 12. 在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（ ） A. 6支 B. 7支 C. 8支 D. 9支 13. 小明把一张长、宽的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子（如图所示）．如果这个无盖的长方体盒子底面积为，设剪去的正方形边长为，那么x满足的方程是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线与分别交于点E，F，连接，已知，，则的长为（　　） A. 5 B. 3 C. D. 15. 如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若点，在抛物线上，则． 其中包含所有正确结论的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本大题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 已知菱形中，，．则菱形的面积为__________． 17. 函数是关于的二次函数，则______． 18. 已知甲、乙、丙、丁四位射击运动员10次射击平均成绩相同，其方差如右表，如果选择一名射击成绩最稳定的运动员参加比赛，应选择__________ 运动员 甲 乙 丙 丁 方差 2.1 5.2 4.3 1.1 19. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 解方程： （1） （2） 21. 关于x的二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点 （1）求二次函数的解析式； （2）求二次函数的对称轴和顶点坐标. 22. 王大爷想以墙为一边，另三边用长为的竹篱笆围成一个面积为的长方形花坛，已知墙长为，求：花坛的长和宽各是多少时，才能使竹篱笆正好合适？ 23. 某学校组织学生参加以人工智能为主题的知识竞赛，为了解该校学生在本次竞赛中的情况，现随机抽取了九年级n名学生的竞赛成绩（成绩用x表示，且x为整数，单位：分），将测试成绩按以下5组进行整理：A（优秀）：；B（良好）：；C（中等）：；D（合格）：；E（待合格）：．并绘制了这些学生的竞赛成绩的频数直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知良好和中等所占圆心角为，C等级学生的成绩分别为 72，72，73，73，74，74，75，75，75，75，76，76，76，78，78 请根据以上信息，完成下列问题： （1）________，________，________； （2）C等级学生的成绩的中位数为________； （3）若该校九年级共有720名学生，试估计成绩小于70分的有多少人？ 24. 如图，四边形是矩形，点E是延长线上一点，过点A作的垂线交于点F，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的面积为20，两条对角线的差为8，求的长． 25. 2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． （1）求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； （2）从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，当时，函数有最小值． （1）求抛物线的解析式； （2）记抛物线与x轴的一个交点的横坐标为r，求的值． 27. 如图1，在正方形中两条对角线，相交于点O，点E为上一动点（点E与点B，C不重合），作交于点F，连接． （1）求证：； （2）若正方形的边长为8，求的面积的最大值； （3）探究，发现与证明： 如图2，若点P为对角线上一动点，作，其它条件不变，请你写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $