精品解析：云南省楚雄第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

云南省楚雄第一中学2025-2026学年春季学期期中考 高二年级 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为180，180，90．现采用分层抽样的方法从中抽取5名学生去某敬老院参加献爱心活动，若再从这5人中抽取2人作为负责人，则事件“抽取的2名同学来自不同年级”的概率是 A. B. C. D. 3. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. C. 10 D. 12 4. 已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间上单调递增，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知等腰三角形的底角的余弦值等于，则这个三角形的顶角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为双曲线的右焦点，圆上的动点到双曲线渐近线的距离最小值为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 时，的值域为 C. 有三个零点 D. 曲线关于点对称 10. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ） A. ，， B. 当时，点P到x轴的距离的最大值为 C. 当时，函数单调递减 D. 当时， 11. 已知函数.，则下列说法正确的有（ ） A. 有唯一零点 B. 不等式的解集为 C. 在区间上单调递增 D. 有两个极值点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点在抛物线上，则到的准线的距离为______. 13. 已知数列是各项均为正数的等比数列，，则______. 14. ，若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角C的值 （2）若，的面积为，求的周长． 16. 设数列为等差数列，前项和为 ． （1）求数列的通项公式； （2）设的前项和为，求． 17. 如图，在直三棱柱中，侧面是边长为3的正方形，为的中点，，点满足. （1）求证：平面； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数，． （1）若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间； （2）若，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． 19. 已知椭圆的左顶点，上顶点. （1）求椭圆的方程. （2）过点的直线交于，两个不同的点（其中，点在第二象限），直线，分别交轴于，两个不同的点，点，点分别在线段，上. （ⅰ）证明：，的横坐标之和是定值； （ⅱ）已知当直线的斜率为时，的面积为，求此时与的面积之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省楚雄第一中学2025-2026学年春季学期期中考 高二年级 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集定义直接得结果. 【详解】， 故选：D. 【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. 已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为180，180，90．现采用分层抽样的方法从中抽取5名学生去某敬老院参加献爱心活动，若再从这5人中抽取2人作为负责人，则事件“抽取的2名同学来自不同年级”的概率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先按比例分别求出高一、高二、高三抽取的学生数，再列举出5人中选取2人的所有选法，找到符合条件的选法种数，利用古典概型概率公式计算即可. 【详解】样本容量与总容量的比为5：（180+180+90）＝1：90 则高一、高二、高三应分别抽取的学生为 ，（人），（人）． 高一2人记为A、B，高二2人记为a、b，高三1人记为1， 则从5人中选取2 人作为负责人的选法有（A,B） (A,a)(A,b)(A,1)(B,a)(B,b)(B,1)(a,b)(a,1)(b,1)共10种， 满足条件的有8种， 所以概率为=. 故选D. 【点睛】本题考查了分层抽样的定义，考查了列举法求事件的个数及古典概型求事件的概率，属于基础题. 3. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意可得：， 令，则可得：， 所以是等差数列，公差为2. 又因为，所以， 所以. 4. 已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程. 【详解】由可得：，即， 根据导数的定义可知：， 又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率， 所以过点处的切线方程为：，即， 故选：A. 5. 若函数在区间上单调递增，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，由于函数在区间上单调递增，可得在区间上恒成立，解出即可． 【详解】， 函数在区间单调递增， 在区间上恒成立， ， 而在区间上单调递减， ， 的取值范围是：， 故选：D． 6. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理的边角变换得到，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为， 两式相减，得， 由正弦定理，得，即， 因为，所以. 故选：C. 7. 已知等腰三角形的底角的余弦值等于，则这个三角形的顶角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设等腰三角形底角为，顶角为，则. 因为， 所以， 所以这个三角形的顶角的余弦值为. 8. 已知为双曲线的右焦点，圆上的动点到双曲线渐近线的距离最小值为，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再根据圆的性质得到动点到渐近线距离的表达式，结合已知条件建立关于、、的等式，最后根据双曲线的离心率公式，求出离心率． 【详解】对于双曲线，其渐近线方程为，即．  已知圆，其圆心坐标为，半径． 则圆心到渐近线的距离． 因为在双曲线中有，所以．  因为动点在圆上，所以动点到双曲线渐近线的距离最小值为圆心到 渐近线的距离减去圆的半径，即． 已知动点到双曲线渐近线的距离最小值为，所以，移项可得．  且，把代入可得： ，两边同时开方得． 所以离心率．  该双曲线的离心率为． 故选：A． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 时，的值域为 C. 有三个零点 D. 曲线关于点对称 【答案】AD 【解析】 【详解】，求导得， 令，得，；当时，，单调递减， 因，故A正确； 在上单调递减，在上单调递增，，， ，故时，的值域为，B错误； ，，时，故仅有1个零点，C错误； 由中心对称定义，若曲线关于点对称， 则需满足， 计算， ， 两式相加得； 计算，故， 满足， D正确. 10. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是（ ） A. ，， B. 当时，点P到x轴的距离的最大值为 C. 当时，函数单调递减 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意及函数过点求出解析式判断A，由函数值域可判断B，根据正弦型函数的单调性可判断C，时求出点，根据两点间距离公式判断D. 【详解】对于A，由题意可知，，所以， 又从点出发，所以， 又所以，故A正确； 对于B，，当时， 则，，则点到轴的距离的最大值为，故B正确； 对于C，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上不单调，故C错误； 对于D，当时，，则，， 所以，则，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数.，则下列说法正确的有（ ） A. 有唯一零点 B. 不等式的解集为 C. 在区间上单调递增 D. 有两个极值点 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的零点判断A，先利用导数判断，进而把目标不等式转化为求解一元一次不等式，求出解集判断B，利用导数与构造函数法求解单调性判断C，分类讨论求解出的单调性，进而求解极值点个数判断D即可. 【详解】对于A，依题意得， 即和是函数的零点，故A错误； 对于B，令，求导得， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 且，得到，则， 令，则即可， 所以或，解得，故B正确， 对于C，由题意得， 令，求导得， 当时，令，则， 可得在上单调递增，即在上单调递增， 而， 则在上递增，可得， 因此在上递增，故C正确； 对于D，当时，令， 求导得，由指数函数性质得在上单调递增， 由二次函数性质得在上单调递增， 则在上单调递增，故在上单调递增， 而，则， 由零点存在性定理得存在，使得，则， 当时，，得到在上单调递增， 则，， 即当时，，则， 则在上单调递减，且由选项C得在上单调递增， 因为， 当时，，得到在上单调递减， 而，则， 由零点存在性定理得存在作为零点，也是零点， 令，，令，， 此时，，令，， 则在上单调递增，在上单调递减， 由已知得，， 当时，，此时， 则在上单调递减，即在上单调递减， 当时，，， 则，而， 得到，即，此时在上单调递减， 综上可得，在上单调递减，而， 则，即，可得在上单调递增， 综上可得，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 得到有两个极值点，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知点在抛物线上，则到的准线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定条件求出抛物线方程，进而求出准线方程，计算距离即可. 【详解】因为点在抛物线上， 代入抛物线中得，解得，所以 故抛物线的准线方程为， 所以到的准线的距离为. 故答案为： 13. 已知数列是各项均为正数的等比数列，，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据等比数列性质结合对数运算运算求解即可. 【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，且，可得， 所以. 故答案为：5. 14. ，若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】先证时，故原不等式恒成立等价于在上递增，求导后分离参数得，构造函数，求得函数值域即可得a的取值范围. 【详解】设，则， 在上单调递增，，， ，，又在上恒成立， 需要在上为增函数，即对，恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，故， ，解得或. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角C的值 （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得以及的值； （2）由三角形的面积公式和余弦定理，即可求得的周长； 【小问1详解】 已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：， ，， ，又，； 【小问2详解】 由余弦定理得，， ，，，， 的周长为 16. 设数列为等差数列，前项和为 ． （1）求数列的通项公式； （2）设的前项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差，将条件利用等差数列的基本关系式列出方程组，求解即得； （2）将代入，分母有理化后，利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 设数列的公差为，由， 则，解得，故； 【小问2详解】 由（1）得． . 17. 如图，在直三棱柱中，侧面是边长为3的正方形，为的中点，，点满足. （1）求证：平面； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线线平行的判定及线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，结合已知条件求出相关点、向量的坐标，求出平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 如图，连接. 因为为的中点，所以， 因为，所以， 所以，所以. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 在直三棱柱中，， 因为，，，所以， 所以，所以，，两两互相垂直. 在中，，所以. 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，得. 设平面的法向量为， 则，即， 取，得. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数，． （1）若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间； （2）若，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）有极大值，极小值，单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出的定义域，求导，由得到或2，验证后舍去，满足要求，求出的单调区间，并得到极值情况； （2），定义域为，求导，得到的单调性及，根据得到实数a的取值范围. 【小问1详解】 ，定义域为， 则， 因为函数在处取得极大值， 所以，解得或2， 当时，， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时为极小值点，不合要求， 当时，， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时为极大值点，满足要求， 综上，，有极大值，极小值， 单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 ，定义域为， 则， 因为，所以， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 则， 令得，，解得， 故实数a的取值范围是. 19. 已知椭圆的左顶点，上顶点. （1）求椭圆的方程. （2）过点的直线交于，两个不同的点（其中，点在第二象限），直线，分别交轴于，两个不同的点，点，点分别在线段，上. （ⅰ）证明：，的横坐标之和是定值； （ⅱ）已知当直线的斜率为时，的面积为，求此时与的面积之和. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）由左顶点，上顶点，直接得的值，从而得到椭圆的方程； （2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，联立椭圆与直线的方程，并表示出方程，得坐标，利用韦达定理可求得横坐标之和为定值，并得到与的面积之比为定值，并由的面积为，求得与的面积之和. 【小问1详解】 由椭圆的左顶点，上顶点，得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）当过点的直线斜率不存在时，直线与椭圆只有1个交点，即左顶点，不合题意，所以直线的斜率存在； 设直线的方程为，设，， 由，消去整理得， 所以，解得， ，， 因为，所以直线的方程为 令，得， 同理可得. 所以. 又因为， ，所以 （ⅱ）由（ⅰ）知为，的中点，得， 所以 所以与的面积之比为. 所以当的面积为时， 与这两个三角形的面积之和是为定值，为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $