云南楚雄第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 蜀 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答策后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章，第七章第2节~ 中 第3节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片、2部文艺片、3部喜剧片，小华从中任选1部电 : 影观看，则不同的选法种数有 吧 A.18 B.9 C.8 D.7 2一作直线运动的质点的位移y(单位：m)与时间（单位：s)之间的关系为）y(e)一号：+，则该 质点在t=2s时的瞬时速度为 A.3 m/s B.6 m/s C.8 m/s D.9 m/s 3.若随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=6P(X=0),则P(X=1)= A号 R哥 c D号 4.某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求 其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为 A.5760 B.4320 C.2160 D.1440 5.已知函数f(x)=一x3+x2一mx在定义域上不是单调函数，则实数m的取值范围是 A[3+】 B.(3,+∞ c(-∞，] D.(-o,号) 6.若二项式(x+2)” 的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的是 A.第4项 B.第5项 C,第6项 D.第7项 : 【高二第二次月考·数学第1页（共4页）】 26-T-647B 7.已知数列(a)的通项公式是an=(n十号)π，b。=a,sin a,设{亿，)的前n项和为S,则S= A.100π B.75π C.50π D.25π 8.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)与f'(x)的定义域都是R,若对Hx∈R,f(x)十 3f(x)<0,且f(2)=e,则不等式f(3x)<e2-r的解集为 A(-,号) B(号，+∞) C.(-∞，2) D.(2,十∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知数列1a.)满足a,=号at1=1-士(m∈N),则 Aa=号 B.a2=-1 2 C.a2025=3 D.a22s=3 10.已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 1 是 m 品 1 则 A.m=3 BP(X1)=名 C.E(X)=1 D.DX)-号 11.已知x:∈A(i=1,2,3,4,5),关于方程x1十x2十x3十x4十x5=8,则下列说法正确的是 A.当A={1,2}时，该方程有15组解 B当A=(1,2)时，该方程的解满足x-十一x十%=0的概率为易 C.当A=N“时，该方程有35组解 D.当A=N时，该方程有495组解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若C5=C号，则r= 13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=23,S3m=99,则S2m= 14.为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会 实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛.某小组7名同学积 极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，每个项目至少有1人参加，则这7名同 学有 种不同的参加方法.（用数字作答） 【高一第二次月考·数学第2页（共4页）】 26-T-647B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知C+2C%=36. (1)求n的值； (2)求(2x+) 的二项展开式中的常数项， 16.(本小题满分15分) 已知函数∫(x)=x(x一a)2+1在x=一1处取得极小值. (1)求a的值； (2)求/)在区间[-号，-合]上的最大值和最小值 17.(本小题满分15分) 已知公比为正数的等比数列{a,)的前n项和为S,且a1=2a,十号，S,=13a,数列(6，)满 足61=d,(2m+3)6,=(2m+1)b1a∈N). (1)求数列{an)和(bn}的通项公式； (2)求数列{anbn}的前n项和Tn 【高二第二次月考·数学第3页（共4页）】 26-T-647B 18.(本小题满分17分) 甲、乙两个袋子中，各放有大小和形状相同的小球若干.每个袋子中标号为0的小球有1个， 标号为1的有3个，标号为2的有m个.从一个袋子中任取两个球，取到的标号都是2的概 率是品 (1)求m的值； (2)从两个袋子中各取一个小球，用X表示这两个小球的标号之和，求X的分布列和期望 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=a.x2一ax十lnx(a∈R), (1)当a=2时，求f(x)的图象在x=1处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性； (3)当a=0时，求证：f(x)<e一2. 【高二第二次月考·数学第4页（共4页）】 26-T-647B 参考答案、提示及评分细则 1.C由分类加法计数原理，得不同的选法种数为3十2十3=8.故选C. 2.A由题意得y(t)=t十1，所以y(2)=3,即该质点在t=2s时的瞬时速度为3m/s.故选A. 3.A由P(X=1)=6P(X=0),P(X=1)+P(X=0)=1,得P(X=1)=9.故选A 4.B若甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则有A=6种情况，将甲、乙、丙3个手工艺品看作一个整体，和剩余 的5个工艺品进行排列，则有A=720种情况.综上，共有6×720=4320种不同的排法.故选B. 5.D对函数求导得f(x)=一3.x2十2x一m,因为函数f(x)=一x3十x2一m.x在定义域上不是单调函数，所 以导函数的函数值既有正值又有负值，故△>0，即2一4X3·m>0,所以m<号.故选D. 6.C因为二项式(x+二）广的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，即2”=1024=2，解得n=10,所以 二项式(x十2)）“的展开式中，二项式系数最大的是C,是第6项故选C 7.C当n=2k-1(k∈N)时，sina,=sin[(2k-号)x]=-sin受=-1,6，=a,sin a,=-(n+号)x, sina1=sin[(2k+2)x]=sin受=1，b1=a1sina1=(n+2)r,所以6+61=，Sw= (b+b2)+(b3十b)十…+(bg+b1oo)=50元.故选C. 8.B令g(x)=ef(3x),则g'(x)=ef(3x)+ef'(3x)×3=e[f(3x)+3f(3x)],因为对Hx∈R, f)+3f()<0,所以f3x)+3f(3)<0,即g(x)<0,所以g(x)在R上单调递减，又g(号) ef2)=e,由f(3x)<e可得ef(3x)<c,即g()<g(号)，解得x>号，即不等式f3)<e 的解集为（号，十o∞），故选B 9D由a1=1一d得a1因为a=号，所以3a=一合a号，所以数列a}是以3 为周期的数列a临=a5x=a=3,as=a5X1=a1=号.故选CD 10.AD由随机变量分布列的性质，得令十最十m十是十日=1，解得m=,放A正确：P(X1)- PX=2)+PX=3)+P(X=4)=号+是+日-5放B错误：E(X)=0X日+1X是+2x是+3× 是+4×g=2,故C错误：D(X)=(0-2)2×日+(1-2)×最+(2-2)×号+(3-2)×是+ (4-2)X日-号，故D正确故选AD, 11.BCD对于A,当A={1,2}时，x,(i=1,2,3,4,5)中有3个2,2个1，所以该方程解的组数为C=10,故A 错误；对于B,因为x(i=1,2,3,4,5)中有3个2,2个1，且一x2十x3-x4十x=0,所以x2=x4=2,1, 中有2个是1,1个是2，所以所求概率为品，故B正确：对于C,当A=N时，相当于在8个1之间的 【高二第二次月考·数学参考答案第1页（共4页）】 26-T-647B 7个空隙中选4个插入4个隔板，把8个1分为5部分，各部分1的个数分别为x(i=1,2,3,4,5)的值，所 以解的组数为C=35,故C正确；对于D,当A=N时，设y,=十1，则y∈N,且M十y2十y十y4十y= 13,相当于在13个1之间的12个空隙中选4个插入4个隔板，把12个1分为5部分，各部分1的个数分别 为y(i=1,2,3,4,5)的值，所以解的组数为C2=495,故D正确.故选BCD. 12.2或3由组合数的性质知r=2,或r=3. 13.56因为{am}是等差数列，所以Sm,S2m一Sm,Sm一S2m成等差数列，即2(S2m一Sm)=Sm十S3m一S2m,所以 2(S2m-23)=23+99-S2m,解得S2m=56. 14.8400先将7名同学分成四组，有1,1,1,4；1,1,2,3和1,2,2,2这三种情况，当分组为1,1,1,4时，不同的 参加方法有CCCC×A=840:当分组为1，l,2,3时，不同的参加方法有CCCC×A=5040:当分组 A3 A号 为1,22,2时，不同的参加方法有CCCC×A=2520.综上所述，满足题意的不同的参加方法有840+ A 5040+2520=8400种. 15.解：(1)由C+2C%=36,得n十2×C",1)=36,即m2=36,解得n=±6. 2 …3分 由C%,得n∈N且n≥2，所以n=6. …6分 (2)由(1)，得n=6, (2x+上)》°的二项展开式中通项公式为T+1=C(2x)(）广=C·25x, …9分 令6-2r=0,得r=3,…11分 所以(2x+)）°的二项展开式中，常数项为T=C×2-160. …13分 16.解：(1)由题意知f(x)=(x-a)2+2x(x-a)=(x-a)(3x-a),… …1分 又f(x)在x=一1处取得极小值，所以f(一1)=（一1一a)(一3-a)=0,…3分 解得a=一1或a=一3.… …4分 当a=-1时，f(x)=(x+1D(3x+1),令f(x)>0,解得x<-1或x>-号，令f(x)<0,解得-1<x <-弓，所以fx)在(-，-1)上单调递增，在(-1，-子）上单调递减，所以f(x)在x=-1处取得极 大值，不符合题意；…5分 当a=-3时，f(x)=(x+3)(3x+3),令f(x)>0,解得x<-3或x>-1,令f(x)<0,解得-3<x< 一1，所以f(x)在（一∞，一3）上单调递增，在（一3，一1）上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增，所以f(x) 在x=一1处取得极小值，符合题意.…6分 综上，a的值为3.… …7分 (2)由(1)知f(x)=x(x+3)2+1,又f(-3)=1,f(-1)=-(-1+3)2+1=-3, (-号)=-号×(-号+3)‘+1=-g(-2)=-3×(-+3)°+1=-， 所以fx)m=f-3)=1,f(x)m=f(-号)=9 …15分 17.解：(1)设等比数列{am}的公比为q(q>0), 由S=13a,得a十ai9十ag=13aug,又a≠0，所以12g-9一1=0，解得g=号或g=-(舍去). 【高二第二次月考·数学参考答案第2页（共4页）】 26-T-647B 1分 又a=2a十号，则a=号a+g,解得a= 2 3 2分 所以a=a1=(}）” 3分 由<2m+3a=(2a+1a1,得会-多别 2n+1' …4分 所以会=号会=号…a≥2， b._2m+1 以上各式相乘，得会-会×会×…Xg品=音×号×…×2如（≥2 b2 2n-1 …6分 3 又b=1=3,所以bn=2n十1，且b=3满足上式，所以bn=2n十1(n∈N).…7分 a (2)由1)，得ab,=(2m+1)(号)）”， …9分 所以工.=3×（兮）+5x(号)》°+7×（号）广++(2m-1D(号)'+(2m+1D(号)”， 11分 3工.=3x(号)+5x(3)广°+7x(号)》'++(2a-1D(3)》广+(2m+1(3)。 两式相减，得号工，=1+2[(3)+（号》++（号）门-(2+1D(号)， …13分 所以号T=1+2× (g)[-(号)] 1-3 (2+1(g)》=专-(2n+4)(号)， 即T,=2-(+2)(})月 15分 18.解：(1)从一个袋子中任取两个球的总组合数为C%4=m+4),m+3) 2分 2 取到两个标号为2的球的组合数为C%=mm一1) 4分 m(m-1) 2 由取到的标号都是2的概率是得心了 (m+4)(m十3)15' 6分 2 整理得7m2-11m一6=0，解得m=2或m=一 （舍去. 8分 (2)X的可能取值为0,1,2,3,4.…9分 PX=0)=日×日-0 P(X=1)=×+×-0- rX=2)=×号+×+×-, P(X=4)= 【高二第二次月考·数学参考答案第3页（共4页）】 26-T-647B 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 1 P 1 13 36 6 36 9 …14分 所以EX0=06+1X6+2x0+3X号+4X号-日++1+号-子 …17分 1.1解：当a=2时fx)=2x2-2x+lnx,所以f1)=0,(x)=4-2+子 所以f(1)=4-2+1=3, 所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-0=3(x-1),即3x一y-3=0. …3分 (2)解：f(x)的定义域为(0，+o∞)，f(x)=2ax-a+1=2ar-ax+1, …4分 x 时，∫(x)三>0，此时f(x)在(0，十o∞)上单调递增：…” 当a<0时，令f(x)>0,解得0<<1--8a,令f(<0,解得>1-a8a 4 Aa 4 所以f(x)在(0，}-迎)上单调递增，在(}-。▣，+)上单调递减； …7分 Aa 当a>0时，若a2-8a≤0，即0<a≤8，f(x)≥0，所以f(x)在(0，十∞)上单调递增； 8分 若心-8a>0,即心8，令fr)>0,解得0<<}品或r>+V品 Aa ,令(x)<0,解得 士-a<x<}+,所以f()在(0，}n画)上单调递增，在 Aa 4a (。,}+)上单搁递减，在(+，+)上单调 …9分 Aa 综上，当a<0时f(x在(0，}-画)上单调递增在（任-西，十∞）上单调递减： Aa Aa 当0≤a≤8时，f(x)在(0，十∞)上单调递增： 当a>8时，f(x在(0，-0)上单调递增，在（日 ,}+ 4a 上单调递减，在 Aa (任+。，十)上单调通始。… …10分 (3)证明：当a=0时，f(x)=lnx,要证f(x)<e-2,即证e-lnx-2>0. 令g(x)=C-lnx一2(x>0),则g(x)=e-是，易得g(x)在(0，十∞)上单调递增， 又g(2)=et-}=e-2<0,g(1)=e-1>0,所以3m∈(3,1)，使得g(m)=0,故e= 2 …13分 当x∈(0，xo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x∈(x0,+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以8x)-8)=的-h0-2-h。-2=是+一2>0，所以)<e-2…17分 【高二第二次月考·数学参考答案第4页（共4页）】 26-T-647B