精品解析：云南大理下关一中教育集团2025～2026学年高二年级下学期期中考

下关一中教育集团2025~2026学年高二年级下学期期中考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以的共轭复数为. 2. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以． 3. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用向量垂直的条件可计算出，再利用夹角公式即可求解. 【详解】设与的夹角为，，， ，， 又，. 4. 函数在区间内的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】可化为， 当时，，所以， 所以函数在区间内的取值不可能为. 5. 不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响．一到周末，李明同学就会在电子游戏、看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去．若三个项目对下一次考试成绩造成下降的概率分别为、、，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可． 【详解】设李明选择的项目是电子游戏为事件，李明选择的项目是看小说为事件，李明选择的项目是追网剧为事件，李明在下一次考试中成绩下降为事件， ． 6. 在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理求得，由正弦定理化边为角得，代入另一已知得，从而得三角形形状． 【详解】∵，所以，又，∴， ∵，∴， ，，∴，从而，为等边三角形， 故选：C． 7. 已知双曲线虚轴的两个端点分别为，，左、右焦点分别为，，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在双曲线中，虚轴端点和焦点构成等腰三角形，利用等腰三角形底角的正切与顶角余弦的关系（二倍角公式），代入已知的顶角余弦值，解出与的比例即可求得离心率． 【详解】设，则， 由， 整理得，所以，整理得，所以． 8. 已知实数满足，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为函数，，和的图象的交点问题，结合图象判断即可. 【详解】依题意，令，则，，， 则a，b，c可分别视为函数，，的图象与直线交点的横坐标， 在同一坐标系中画出函数，，和的图象，如图， 当直线为时，； 当直线为或时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为时，； 当直线为移动到左端的直线时，始终有. 综上所述，，，都有可能成立，而不可能成立. 故选：C. 二、选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列各叙述正确的为（ ） A. 数据，，，，的第40百分位数为4 B. 甲乙等5个人站成一排拍照，则甲乙不相邻的站法数为72种 C. 若随机变量，则， D. 已知函数和的定义域相同，则“函数与均为增函数”是“函数为增函数”的充要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据百分位数的定义、插空法、二项分布的数学期望和方差的运算公式，结合数学期望和方差的性质、增函数的性质、充要条件的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为，则数据的第40百分位数为，故A正确； B：先将除甲乙外的三人全排，有种方法，再将甲乙在三人形成的四个空中插空有种方法， 所以甲乙不相邻的站法数为种方式，故B正确； C：因为，所以，， 所以，，故C正确； D：因为函数和的定义域相同，且函数与均为增函数，则函数为增函数，充分性成立； 若取，，显然是增函数，但是减函数，即必要性不成立，故D错误. 10. 已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，其中为的中点，为坐标原点，则下列说法正确的为（ ） A. 若直线的方程为，则 B. C. 点的轨迹方程为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先联立抛物线与直线方程，利用韦达定理得到交点坐标关系，再根据各选项要求，结合中点公式，焦半径公式、弦长公式等进行推理判断. 【详解】已知抛物线为，其焦点为，直线的方程为， 联立抛物线与直线方程可得：，化简可得：， 由题意可得直线与抛物线交于两点，所以， 设，则由韦达定理可得：， 代入直线的方程可得：，所以利用中点公式可得：， 在A选项中，若直线的方程为：，则，所以，A选项正确， 在B选项中，，B选项错误， 在C选项中，，所以，C选项正确， 在D选项中，， D选项正确. 11. 已知数列是首项为1的正项数列，前项和为，若对任意的正整数都有，则称是“数列”．下列结论正确的为（ ） A. 若是公差为2的等差数列，则是“3数列” B. 若是“2数列”，则不存在正整数，满足 C. 若是“数列”，且，则的最小值为4 D. 任给，若，且，则是“数列” 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，等差数列的通项公式和前项和，直接验证；对B，得到，再用数学归纳法估计，进而估计；对C，证明时定义中的不等式对任意正整数都成立，再证明任意都不能满足定义，从而确定最小值；对D，选取符合题设条件的，构造反例判断． 【详解】A：因为，公差为，所以 于是 又 所以对任意正整数，都有，故是“数列”，A正确． B：因为是“数列”，所以对任意正整数，都有 因此 下面证明 当时，，结论成立． 假设当时，，则 所以由数学归纳法可知，对任意正整数，都有． 当时， 所以不存在正整数，使，B正确． C：由可得 由等比数列前项和公式，得 又 先取． 此时 化简得 所以时，对任意正整数都成立，即是“数列”． 下面证明任何都不符合条件． 由于且，若是“数列”，则必有． 若，则当时，不符合定义． 若，令 因为数列可以无限增大，所以存在正整数，使 于是 而 由，得 所以对这个，有，与“数列”的定义矛盾． 因此任何都不符合条件，而符合条件，故的最小值为，C正确． D：取 则，且 但是而 所以，即定义中的不等式在时不成立，故不是“数列”，D错误． 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为_________（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【详解】对于的展开式通项为，其中，，，，， 因此，， 所以，故展开式中的系数为. 13. 已知函数为奇函数，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为函数为奇函数， 所以， 因为，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 14. 在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用解析法求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，， 设三角形内切圆半径为，则， 即，解得，所以圆心为， 故圆的方程为，设， 则 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可. （2）利用分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，则或． 又因为，所以，解得，故，． 【小问2详解】 因为，所以， 则. 16. 某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同． （1）求该考生恰好选到2所985高校的概率； （2）若该考生选到985高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先求出从10所高校中任取4所的总数，再求出恰有2所985高校的取法，再用古典概型的概率公式计算即可； （2）先分析出该考生选到985高校的个数取值为0，1，2，3，再利用超几何分布计算出取不同值时的概率，进而列出分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 从10所高校中，任取4所，共有种取法， 恰有2所985高校的取法为：， 该考生恰好选到2所985高校的概率为； 【小问2详解】 设为该考生选到985高校的个数，则的取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 则 0 1 2 3 . 17. 如图1在矩形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面，如图2. （1）求证：平面； （2）若点是线段上的一动点，且，当二面角的正弦值为时，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而根据面面垂直得到线面垂直，故，结合，得到线面垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，作出辅助线，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据二面角的正弦值得到方程，求出. 【小问1详解】 证明：因为在矩形中，为的中点， 所以，因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又平面， 所以⊥平面； 【小问2详解】 取中点，连接， 为的中点，则， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 取的中点，连接，则， 由（1）知，，所以⊥， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 由（1）知平面， 则平面的一个法向量可设为， 因为且，所以， ， . 设平面的法向量为，则， 即，取，则. 即平面的一个法向量为. 因为二面角的正弦值为 所以， 因为，解得. 18. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，直线FB过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆相交于M，N两点（M、N都不在坐标轴上），若，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程. （2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得. 【小问1详解】 令，由，得，则直线的斜率， 由直线过点，得直线的方程为，因此， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，直线的倾斜角为， 直线的倾斜角为，由直线的斜率知直线的倾斜角为， 于是，即有，显然均不等于， 则，即直线的斜率满足， 由题设知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 由，消去x并整理得，，显然， 设，则， 由，得，即， 则，整理得， 即，于是，而，解得，， 所以直线的方程为，即. 【点睛】关键点点睛：本题第2问，由，结合直线倾斜角及斜率的意义求得是解题之关键. 19. 已知函数，. （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若存在，使得，求实数t的取值范围； （3）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3） ，理由如下： 由可得， 令，则. 因为，则， 所以，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以，存在唯一的，使得， 即， 同理可得， 且， 因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 因为函数在上单调递减， 故，即， 取，则. 【解析】 【分析】（1）先求函数在 处的函数值得切点坐标,再用乘积法则求导得导函数,代入 算出切线斜率,最后由点斜式写出切线方程并整理. （2）由已知可得存在 ,使得 成立,因为 时, ,故存在 ,用参变分离法可得出 ,利用导数求出函数 在 上的最大值即可求解; （3）令 ,利用导数分析 在 上的单调性,利用零点存在性定理可知 ,求得 ,证明出 ,结合 的单调性,即可证得结论成立. 【小问1详解】 ，即切点为. 将代入，得，即切线斜率. 由点斜式，代入，. 得切线方程为，整理为. 【小问2详解】 由题意知，存在，使得成立， 因为时，，即， 故原不等式等价于存在，使得. 令，其中， ， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则， 故实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 下关一中教育集团2025~2026学年高二年级下学期期中考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 函数在区间内的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 5. 不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响．一到周末，李明同学就会在电子游戏、看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去．若三个项目对下一次考试成绩造成下降的概率分别为、、，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（ ） A. 等腰且非等边三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知双曲线虚轴的两个端点分别为，，左、右焦点分别为，，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则下列关系不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列各叙述正确的为（ ） A. 数据，，，，的第40百分位数为4 B. 甲乙等5个人站成一排拍照，则甲乙不相邻的站法数为72种 C. 若随机变量，则， D. 已知函数和的定义域相同，则“函数与均为增函数”是“函数为增函数”的充要条件 10. 已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，其中为的中点，为坐标原点，则下列说法正确的为（ ） A. 若直线的方程为，则 B. C. 点的轨迹方程为 D. 11. 已知数列是首项为1的正项数列，前项和为，若对任意的正整数都有，则称是“数列”．下列结论正确的为（ ） A. 若是公差为2的等差数列，则是“3数列” B. 若是“2数列”，则不存在正整数，满足 C. 若是“数列”，且，则的最小值为4 D. 任给，若，且，则是“数列” 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为_________（用数字作答）． 13. 已知函数为奇函数，则的最小值为_________． 14. 在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同． （1）求该考生恰好选到2所985高校的概率； （2）若该考生选到985高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望． 17. 如图1在矩形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面，如图2. （1）求证：平面； （2）若点是线段上的一动点，且，当二面角的正弦值为时，求的值. 18. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，直线FB过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆相交于M，N两点（M、N都不在坐标轴上），若，求直线的方程. 19. 已知函数，. （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若存在，使得，求实数t的取值范围； （3）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，，试比较与的大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $